Thông tin tài liệu
311
CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ
§1.TÍNHĐẠOHÀMBẬCNHẤTBẰNGPHƯƠNGPHÁPROMBERG
ĐạohàmtheophươngphápRomberglàmộtphươngphápngoạisuy
đểxácđịnhđạohàmvớimộtđộchínhxáccao.TaxétkhaitriểnTaylorcủa
hàm
f(x)tại(x+h)và(x‐h):
⋅⋅⋅++
′′′
+
′′
+
′
+=+ )x(f
!4
h
)x(f
!3
h
)x(f
2
h
)x(fh)x(f)hx(f
)4(
432
(1)
⋅⋅⋅−+
′′′
−
′′
+
′
−=− )x(f
!4
h
)x(f
!3
h
)x(f
2
h
)x(fh)x(f)hx(f
)4(
432
(2)
Trừ(1)cho(2)tacó:
⋅⋅⋅++
′′′
+
′
=−−+ )x(f
!5
h2
)x(f
!3
h2
)x(fh2)hx(f)hx(f
)5(
53
(3)
Nhưvậyrútra:
⋅⋅⋅−−
′′′
−
−−+
=
′
)x(f
!5
h
)x(f
!3
h
h2
)hx(
f
)hx(
f
)x(f
)5(
42
(4)
haytacóthểviếtlại:
[]
⋅⋅⋅++++−−+=
′
6
6
4
4
2
2
hahaha)hx(f)hx(f
h2
1
)x(f (5)
trongđócáchệsốaiphụthuộcfvàx.
Tađặt:
[]
)hx(f)hx(f
h2
1
)h( −−+=ϕ
(6)
Nhưvậytừ(5)và(6)tacó:
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
′
=ϕ=
6
6
4
4
2
2
hahaha)x(
f
)h()1,1(D
(7)
⋅⋅⋅−−−−
′
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ=
64
h
a
16
h
a
4
h
a)x(f
2
h
)1,2(D
6
6
4
4
2
2
(8)
vàtổngquátvớih
i=h/2
i‐1
tacó:
⋅
⋅
⋅
−
−
−
−
′
=ϕ=
6
i6
4
i4
2
i2i
hahaha)x(
f
)h()1,i(D (9)
TatạorasaiphânD(1,1)‐4D(2,1)vàcó:
⋅⋅⋅−−−
′
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ−ϕ
6
6
4
4
ha
16
15
ha
4
3
)x(f3
2
h
4)h( (10)
Chiahaivếcủa(10)cho‐3tanhậnđược:
⋅⋅⋅+++
′
=
−
=
6
6
4
4
ha
16
5
ha
4
1
)x(f
4
)1,1(D)1,2(D4
)2,2(D (11)
TrongkhiD(1,1)vàD(2,1)saikhácf
′(x)phụthuộcvàoh
2
thìD(2,2)saikhác
f
′(x)phụthuộcvàoh
4
.Bâygiờtalạichiađôibướchvànhậnđược:
312
⋅⋅⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
′
=
6
6
4
4
2
h
a
16
5
2
h
a
4
1
)x(f)2,3(D (12)
vàkhửsốhạngcóh
4
bằngcáchtạora:
6
6
ha
64
15
)x(f15)2,3(D16)3,2(D +⋅⋅⋅+
′
−=− (13)
Chiahaivếcủa(13)cho‐15tacó:
⋅⋅⋅−−
′
=
−
=
6
6
ha
64
1
)x(f
15
)2,2(D)2,3(D16
)3,3(D
(14)
Vớilầntínhnàysaisốcủađạohàmchỉcònphụthu ộcvàoh
6
.Lạitiếptụcchia
đôibướchvàtínhD(4,4)thìsaisốphụthuộch
8
.Sơđồtínhđạohàmtheo
phươngphápRomberglà:
D(1,1)
D(2,1) D(2,2)
D(3,1) D(3,2) D(3,3)
D(4,1)
D(4,2) D(4,3) D(4,4)
............
trongđómỗigiátrịsaulàgiátrịngoạisuycủagiátrịtrướcđóởhàngtrên.
Với2
≤j≤i≤ntacó:
14
)1j,1i(D)1j,i(D4
)j,i(D
1j
1j
−
−−−−
=
−
−
vàgiátrịkhởiđầulà:
[]
)hx(f)hx(f
h2
1
)h()j,i(D
ii
i
i
−−+=ϕ=
vớih
i=h/2
i‐1
.
Chúngtangừnglạikhihiệugiữahailầnngoạisuyđạtđộchínhxácyêu
cầu.
Taxâydựnghàm
diffromberg()đểthựchiênthuậttoántrên:
functiondf=diffromberg(f,x,h,maxiter,tol)
%TinhdaohambangphuongphapRomberg
D(1,1)=(feval(f,x+h)‐feval(f,x‐h))/(2*h);
fori=1:maxiter
h=h/2;
D(i+1,1)=(feval(f,x+h)‐feval(f,x‐h))/(2*h);
forj=1:i
D(i+1,j+1)=
(4^j*D(i+1,j)‐D(i,j))/(4^j‐1);
313
end
if(abs(D(i+1,i+1)‐D(i,i))<tol)
df=D(i+1,i+1);
break;
elseif(i==maxiter)
error(ʹNgoaisuyRichardsonkhonghoituʹ);
end
end
Đểtínhđạohàmcủahàmchotrướctadùngchươngtrình
ctdiffromberg.m:
clearall,clc
formatlong;
f=inline(ʹx^2+2*x*exp(x)+1ʹ);
x=2;
h=0.5;
tol=1e‐6;
maxiter=10;
df=diffromberg(f,x,h,maxiter,tol)
§2.TÍNHĐẠOHÀMBẬCCAO
TaxétkhaitriểnTaylorcủahàmf(x):
⋅⋅⋅++
′′′
+
′′
+
′
+=+ )x(f
!4
h
)x(f
!3
h
)x(f
2
h
)x(fh)x(f)hx(f
)4(
432
(1)
23 4
(4)
hh h
f(x h ) f(x) hf ( x) f (x) f ( x) f ( x)
23!4!
′′′′′′
−= − + − + −⋅⋅⋅
(2)
Từ(1)và(2)tacó:
(2)
c2
2
24
(4) (6)
f(x h) 2f(x) f(x h)
D(x,h)
h
h2h
f (x) f (x) f ( x)
12 6!
+− + −
=
′′
= + + +
L
(3)
Nhưvậynếutatínhđạohàmcấp2theo(3)thìsaisốcỡh
2
.Dùngphương
phápngoạisuyRichadsontacó:
314
2(2) (2)
c2 c2
22
4
(5)
2D (x,h) D (x,2h)
f(x 2 h) 16f(x h) 30f(x) 16f(x h) f(x 2h)
21 12h
h
f (x) f (x)
90
−
−+ + +− + +− −
=
−
′′
= − +L
Dovậy:
(2)
c2
2
4
(5)
f(x 2h) 16f(x h) 30f(x) 16f(x h) f(x 2h)
D(x,h)
12h
h
f (x) f (x)
90
−+ + +− + +− −
=
′′
= − +L
(4)
Nếuđạohàmcấpđượctínhtheo(4)thìsaisốchỉcòncỡh
4
.Từ(4)tacó:
(2)
22 11 00 1 1 2 2
c2
2
cf cf cf c f c f
D(x,h)
h
−
−−−
+++ +
= (5)
Trongđó:
f
2=f(x+2h)
f
1=f(x+h)
f
0=f(x)
f
‐1=f(x‐h)
f
‐2=f(x‐2h)
ViếtrõcáckhaitriểnTaylorcủaf
2,f1,f0,f‐1,f‐2tacó:
22
20 0 0 10 0 0
(2)
c2
2
22
00 1 0 0 0 2 0 0 0
(2h) h
cf 2hf f cf hf f
2! 2!
1
D(x,h)
h
h(2h)
c f c f hf f c f 2hf f
2! 2!
−−
⎧⎫
⎡⎤⎡⎤
′′′ ′′′
++ ++ ++ +
⎪⎪
⎢⎥⎢⎥
⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪
=
⎨⎬
⎡⎤⎡ ⎤
−
⎪⎪
′′′ ′ ′′
++ −+ −+ − + −
⎢⎥⎢ ⎥
⎪⎪
⎣⎦⎣ ⎦
⎩⎭
LL
LL
21 0 1 20 21 1 20
(2)
22
c2
2
2
21 1 20
(c c c c c )f h( 2c c c 2c )f
1
D(x,h)
2112
hccc cf
h
222 2
−− − −
−−
′
+++ + + ++−
⎧⎫
⎪⎪
=
⎛⎞
⎨⎬
′′
+++++
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
L
(6)
Taphảigiảihệphươngtrìnhsauđểtìmcáchệsốc
i.
2
1
22
0
23
1
44
2
1111 1
c0
2101 2
c0
22!12!0 12! 22!
c1
23!13!0 13! 23!
c0
24!14!0 14! 24!
c0
−
−
⎡
⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
=
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
−−
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
−
⎣⎦
⎣
⎦⎣⎦
(7)
315
Kếtquảtacóc2=‐1/12,c1=4/3,c0=‐5/2,c‐1=4/3c‐2=‐1/12.Dovậy:
(2)
210 12
c2
2
f16f30f16f f
D(x,h)
12h
−
−
−+ − + −
=
Tươngtựtacóđạohàmbậc4củahàm:
(4)
210 12
c2
4
f4f6f4f f
D(x,h)
12h
−
−
−+− +
=
Taxâydựnghàm
diffn()đểtínhđạohàmtớibậc5:
functiondf=diffn(f,n,x)
%Tinhdaohamcapncuaftaix
ifn>5
error(ʹHamchitinhduocdaohamdenbac5ʹ);
return;
end;
N=5;
xo=x;
T(1)=feval(f,xo);
h=0.005;
tmp=1;
fori=1:N
tmp=tmp*h;
c=difapx(i,[‐ii]);%hesocuadaoham
dix=c*feval(f,xo+[‐i:i]*h)ʹ;
T(i+1)=dix/tmp;%daoham
end
df=T(n+1);
h=0.005;
tmp=1;
fori=1:N
tmp=tmp*h;
c=difapx(i,[‐ii]);
%hesocuadaoham
dix=c*feval(f,xo+[‐i:i]*h)ʹ;%/h^i;%daoham
T(i+1)=dix/tmp;%hesocuachuoiTaylor
end
df=T(n+1);
316
Đểtínhđạohàmcủahàmtadùngchươngtrìnhctdiffn.m
clearall,clc
f=inline(ʹx.^2+atan(x)ʹ,ʹxʹ);
df=diffn(f,5,0)
§3.TÍNHĐẠOHÀMBẰNGPHƯƠNGPHÁPNỘISUY
Giảsửtacóhàmchodướidạngbảng:
x x
0 x1 x0 xn
y y0 y1 y0 yn
Đểtìmđạohàmcủahàmtạimộtđiểmnàođótasẽnộisuyhàmrồisauđó
tínhđạohàmcủahàmtạiđiểmđãcho.Taxâydựnghàm
diffinterp()đểthực
hiệncôngviệctrên.
functiondf=diffinterp(x,y,n,x0)
%Tinhdaohamcap1hai2bangphuogphapnoisuy
px=lagrange(x,y);%TimdathucnoisuyLagrange(x,y)
[p,dp,ddp]=peval(px,x0);
fprintf(ʹTrisocuahamla:%f\nʹ,p)
ifn==1
df=
dp;
else
df=ddp;
end
fprintf(ʹDaohamcap%dla:%f\nʹ,n,df);
Đểtínhđạohàmtadùngchươngtrình
ctdiffinterp.m:
clear,clc
x0=pi/4;
x=[2:6]*pi/16;
y=sin(x);
x=[1.51.92.12.63.2];
y=[1.06281.39611.54321.84232.0397];
317
n=2;
df=diffinterp(x,y,n,x0);
§4.TÍCHPHÂNXÁCĐỊNH
Mụcđíchcủatínhtíchphânxácđịnh,còngọilàcầuphương,làđánh
giáđịnhlượngbiểuthức:
∫
=
b
a
dx)x(fJ
trongđó f(x) là hàm liên tục trong khoảng
[a,b]vàcóthểbiểudiễnbởiđườngcongy=
f(x). Như vậy tích phân xácđịnh J là diện
tíchS
ABba,giớihạnbởiđườngcongf(x),trục
hoành,cácđườngthẳngx=avàx=b.Tích
phânnàythườngđượctínhgầnđúngbằng
côngthức:
n
ii
i1
J
Af(x)
=
=
∑
trongđóA
ilàtrọngsố,phụthuộcphươngpháptínhtíchphân.
Tấtcảcác phươngpháptínhtíchphânđượcsuyratừphươngphápn ội
suyhàmdướidấutíchphân.Dovậykếtquảsẽchínhxácn
ếuhàmcóthểxấp
xỉbằngđathức.Cácphươngpháptínhtíchphânxácđịnhbằngphươngpháp
sốđượcchiathành2nhóm:cácphươngphápNewton‐Cotesvàcácphương
phápGauss.Khidùngcácphươngpháp
Newton‐Coteskhoảnglấytíchphân
được chiađều như trong phương pháp hình thang hay phương pháp
Simpson.KhidùngcácphươngphápGauss,cáccdiểmchiađượcchọnđểđạt
độchínhxáccaonhất.Dophươngphápnàycần
ítlầntínhgiátrịhàmdươci
dấutíchphânnênthíchhợpkhihàmf(x)khótính.
§5.CÁCCÔNGTHỨCNEWTON‐COTES
1.Kháiniệmchung
:Takhảosáttíchphân
b
a
J
= f(x)dx
∫
(1)
Tachiamiềnlấytíchphân[a,b]thành(n‐1)đoạnbằngnhaucó
chiềudàimỗiđoạnh=(b‐a)/(n‐1)nhưhìnhvẽvàkíhiệucácđiểmchialà
a
b
A
B
y
x
318
x1,x2, ,xn.Sauđótaxấpxỉhàmf(x)bằngđa
thứcbậc(n‐1)điqua các nút.Đathứcnội
suyLagrangecủaf(x)códạng:
n
n1 i i
i1
P ( x) f(x )L (x)
−
=
=
∑
Nhưvậy,xấpxỉtíchphân(1)là:
n
bb b
n
n‐1iiii
i1
aa a
i1
J
= f(x)dx P (x)dx f(x ) L (x)dx A f(x )
=
=
== =
∑
∫∫ ∫
∑
(2)
Trongđó:
b
ii
a
A = L (x)dx i 1,2, ,n =
∫
(3)
Côngthức(2)làcôngthứcNewton‐Cotes.Vớin=2tacócôngthứchình
thangvàvớin=3tacócôngthứcSimpson.
2.Phươngpháphìnhthang
:Khin=2tacó:
2
1
12
xx xb
L(x)
xx h
−−
==−
−
1
2
21
xx xa
L(x)
xx h
−−
==
−
b
2
1
a
11h
A(xb)dx(ba)
h2h2
=− − = − =
∫
b
2
2
a
11h
A(xa)dx(ba)
h2h2
=−=−=
∫
Vậy:
h
J
f(a) f(b)
2
⎡⎤
=+
⎢⎥
⎣⎦
Trongthựctế,phươngpháphìnhthangđượcápdụngtrêntừngđoạn.Trên
mỗiđoạn[x
i,xi+1]tacó:
iii+1
h
J
f(x ) f(x )
2
⎡⎤
=+
⎢⎥
⎣⎦
và:
n
i1 2 3 n1 n
i1
h
J
J f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x )
2
−
=
⎡⎤
== + + ++ +
⎢⎥
⎣⎦
∑
L
(7)
TagọiH=b‐a.Nếutíchphântrênđượctínhchỉbởikhìnhthangthì:
k=1:
1
H
Jf(a)f(b)
2
⎡⎤
=+
⎢⎥
⎣⎦
(8)
x1
x2
x3
xn
x1=a
x2=b
h
319
k=2:
21
HH1 HH
Jf(a)2fa f(b) Jfa
242 22
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎢⎥
=+++ =++
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
k=3:
2
HH3HH
J f(a) 2fa 2fa 2fa f(b)
42 48
H3HH
Jfa fa
444
2
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
⎢⎥
= + ++ ++ + +
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
1
⎛⎞⎛ ⎞
⎢⎥
= + + + +
⎜⎟⎜ ⎟
2
⎝⎠⎝ ⎠
⎢⎥
⎣⎦
Tổngquát,vớik>1tacó:
k1
2
kk1
k1 k1
i1
1H (2i1)H
J
Jfa k2,3,
22 2
−
−
−−
=
−
⎡⎤
= + + =
⎢⎥
⎣⎦
∑
(9)
Côngthức(8)làcôngthứchìnhthanglặp.Tathấyrằngtổngchỉchứacácnút
mớixuấthiệnkhisốhìnhthangtănggấpđôi.TínhdãyJ
1,J2, bằng(8)và(9)
cầncùngmộtsốlầntínhnhưkhidùng(7).Nhưngkhidùng (8)và(9)takiểm
trađượctínhhộitụvàcóthểdừnglặpkhiđạtđộchínhxácchotrước.
Taxây
dựnghàmtrapezoid()đểthựchiệnthuậttoántrên.
functionJ=trapezoid(f,a,b,maxiter,tol)
%Quytachinhthanglap.
%Cuphap:J=trapezoid(f,a,b,k)
fa=feval(f,a);
fb=feval(f,b);
J1=(fa+fb)*(b‐a)/2;
fork=2:maxiter
n=2^(k‐2);%sodiemmoi
h=(b‐a)/n;%khoangchiamoi
x=a+h/2.0;%toadodiemmoithunhat
sum=0.0;
fori=1:n
fx=feval(f,x);
sum=sum+fx;
x=x+h;
end
320
J=(J1+h*sum)/2;
ifabs(J1‐J)<tol
break;
end
J1=J;
end
Đểtínhtíchphântadùngchươngtrìnhcttrapezoid.m
clearall,clc
f=inline(ʹ(x^3+1)*sin(x)ʹ,ʹxʹ);
a=0;
b=1;
maxiter=50;
tol=1e‐6;
J=trapezoid(f,a,b,maxiter,tol)
3.PhươngphápSimpson:Khin=3tacócôngthức
Simpson.Qua3điểm,hàmf(x)đượcxấpxỉbằngmột
hàmbậchai(mộtparabol).Đểtínhtíchphântathay
hàmf(x)ởvếphảibằngđathứcnộisuyNewtonti
ến
bậc2:
2
20 0 0
t(t 1)
Pyty y
2!
−
=+∆+ ∆ (10)
vàtacó:
b
b
2
aa
f(x)dx P ( x)dx=
∫∫
(11)
Đổibiếnx=x
1+ththìdx=hdt.Vớix=x1thìt=0vàvớix=x3thìt=2nên:
x0=a
x2=b
h
x1
h
[...]... ‐ Tích phân Gauss ‐ Hermite dùng xấp xỉ: ∞ −t ∫ e f(t)dt 2 −∞ ‐ Tích phân Gauss ‐ Laguerre dùng xấp xỉ: ∞ ∫e −t f(t)dt −∞ 333 ‐ Tích phân Gauss ‐ Chebyshev 1 dùng xấp xỉ: 1 ∫ −1 1 1 − t2 f(t)dt ‐ Tích phân Gauss ‐ Chebyshev 2 dùng xấp xỉ: 1 ∫ 1 − t 2 f(t)dt −1 2. Tích phân Gauss ‐ Legendre: Nếu hàm dưới dấu tích phân f(t) là đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng 3 ( bằng 2n ‐ 1) thì tích phân: b ∫ f(t)dt (1) có thể tính chính xác bởi 2(n) điểm bằng cách dùng công thức: ... w = 2./(N*N1*P(:, N1).^2); Thông thường, ta cần tính tích phân trên đoạn [a, b] nên cần đổi biến. Tích phân trên [a, b] của hàm f(x) được tính nhớ hàm intgausslobatto(): function J = intgausslobatto(f, n, a, b) [t, w] = gausslobatto(n); x = ((b ‐ a)*t + a + b)/2;%Pt. (9) fx = feval(f, x); J = wʹ*fx*(b ‐ a)/2;% Pt. (10) Để tính tích phân của hàm ta dùng chương trình chương trình ctintgausslobatto.m: ... a = x(4*k); j = 4*k + 1; end tp = tp*h*2/45; Để tính tích phân của một hàm ta dùng chương trình ctintbool.m: clear all, clc format long f = inline(ʹx.*sin(x)ʹ); a = 0; b = 2; m = 2; J = intbool(f, a, b, m) §8. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN FILON Giả sử cần tính tích phân: b J = ∫ f(x)cos(ωx)dx a Lúc đó ta có thể dùng công thức tích phân Filon: xn ∫ f(x)cos(tx)dx x0 { = h α(th) [ f2n... đoạn hàm tương đối bằng phẳng. Ngược lại phương pháp cầu phương thích nghi chia các đoạn không đều: ngắn trên các đoạn hàm thay đổi nhiều và dài trên các đoạn thay đổi ít và sẽ có sai số nhỏ khi số đoạn chia nhỏ. Thuật toán cầu phương thích nghi bắt đầu bằng việc tính tích phân int đối với toàn bộ đoạn [a, b] và tổng tích phân int12 = int1 + int2 trên 2 đoạn bằng nhau. Dựa trên int và int12 ta tính sai số. Nếu chưa đạt độ chính xác, ta ... w = b/Aʹ; Ta xây dựng hàm intghermite() để tính tích phân: function J = intglegendre(f, n) [t, w] = gausshermite(n); fx = feval(f, t); J = w*fxʹ;% Pt. (11) Để tính tích phân ta dùng chương trình ctgausshermite.m: clc, clear all f = inline(ʹ(x^3+1)*sin(x)ʹ,ʹxʹ); n = 15; J = intghermite(@f1, n) 4. Tích phân Gauss ‐ Laguerre: Khi dùng công thức tích phân Gauss ‐ Laguerre (5) trở thành: ... int = h*( feval(f, a) + 4.0*feval(f, (a + h)) + feval(f, b) )/3.0; Để tính tích phân ta dùng chương trình ctadaptive.m: clc, clear all f = inline(ʹsqrt(x).*cos(x)ʹ); a = 0; b = 1; tol = 1e‐5; J = adaptivesimpson(f, a, b, tol) §6. TÍCH PHÂN ROMBERG Tích phân Romberg kết hợp quy tắc tích phân hình thang với phương pháp ngoại suy Richardson. Trước hết ta đưa vào khái niệm: Ri,1 = Ji b Trong đó Ji là giá trị xấp xỉ của ... Để tính tích phân ta dùng chương trình ctgausslaguerre.m: clear all, clc format long f = inline(ʹ(x.^2).*cos(x)ʹ,ʹxʹ); n = 10; J = intglaguerre(f, n) 5. Tích phân Gauss ‐ Chebyshev: Công thức tính tích phân Gauss ‐ Chebyshev 1 có dạng: n J GC1 [ t 1 ,t 2 ,K ,t n ] = ∑ w i f(t i ) (20) (21) (22) (23) i =1 Công thức (20) cho ta tính tích phân: ... tp = tp*h*0.3; Để tính tích phân ta dùng chương trình ctweddle.m: format long f = inline(ʹexp(x).*sin(x)ʹ,ʹxʹ); a = 0; b = 2; m = 20; J = intweddle(f, a, b, m) §13. CẦU PHƯƠNG GAUSS 1. Các công thức tích phân Gauss: Trong phần này chúng ta sẽ xét một số phương pháp cầu phương Gauss: ‐ Tích phân Gauss ‐ Legendre dùng xấp xỉ: b ∫ f(t)dt a ‐ Tích phân Gauss ‐ Hermite dùng xấp xỉ: ... clc Để tính tích phân ta dùng chương trình ctsimpson.m: clear all, clc f = inline(ʹexp(x).*sin(x)ʹ,ʹxʹ); a = 0; b = 1; n = 6; s = simpson(f, a, b, n) 3. Phương pháp cầu phương thích nghi: Trong tích phân bằng phương pháp Simpson, các đoạn được chia đều và làm cho sai số không giống nhau trên các đoạn: sai số lớn trên các đoạn hàm biến đổi nhiều và sai số nhỏ trên các ... J = R(j+1, j+1); (3) (4) 324 Để tính tích phân ta dùng chương trình ctromberg.m: clear all, clc f = inline(ʹexp(x).*sin(x)ʹ,ʹxʹ); a = 0; b = 1; maxiter = 20; tol = 1e‐6; J = romberg(f, a, b, maxiter, tol) §7. TÍCH PHÂN BOOL Ta khảo sát hàm y = f(x) trên đoạn [x0, x4], với: x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, x4 = x0 + 4h Theo Bool, tích phân: x4 2h m J = ∫ f(x)dx = ∑ 7f(x0 .
311
CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN SỐ
§1.TÍNHĐẠOHÀMBẬCNHẤTBẰNGPHƯƠNGPHÁPROMBERG
Đạo hàm theophươngphápRomberglàmộtphươngphápngoạisuy
đểxácđịnh đạo hàm vớimộtđộchínhxáccao.TaxétkhaitriểnTaylorcủa
hàm
f(x)tại(x+h) và (x‐h):
⋅⋅⋅++
′′′
+
′′
+
′
+=+. diện
tích S
ABba,giớihạnbởiđườngcongf(x),trục
hoành,cácđườngthẳngx=a và x=b. Tích
phân nàythườngđượctínhgầnđúngbằng
côngthức:
n
ii
i1
J
Af(x)
=
=
∑
trongđóA
ilàtrọngsố,phụthuộcphươngpháptính tích phân.
Tấtcảcác phươngpháptính tích phân đượcsuyratừphươngphápn ội
suy hàm dướidấu tích phân. Dovậykếtquảsẽchínhxácn
ếu hàm cóthểxấp
xỉbằngđathức.Cácphươngpháptính tích phân xácđịnhbằngphươngpháp
sốđượcchiathành2nhóm:cácphươngphápNewton‐Cotes và cácphương
phápGauss.Khidùngcácphươngpháp
Newton‐Coteskhoảnglấy tích phân
được
Ngày đăng: 23/01/2014, 06:20
Xem thêm: Tài liệu CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ppt, Tài liệu CHƯƠNG 6: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ppt
