Slide 5 Đại số Tuyến Tính – Không gian Vecto và tích vô hướng – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU

Không gian vec-tơ với tích vô hướng Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Mục đích, lý do nghiên cứu và ý tưởng. Mục đích:[r]

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn Một số khái niệm

Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn Một số khái niệm

Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm Tích vơ hướng Euclid mặt phẳng R2

Cho u = (u1, u2) v = (v1, v2) trênR2

Tích vơ hướng (hay tích trong) u với v định nghĩa bởi

u· v := u1v1+ u2v2.

Độ dài vec-tơ u xác định bởi

∥u∥ :=√u2

1+ u22 (= √

u· u).

Góc θ∈ [0, π] vec-tơ u vec-tơ v xác định bởi

cos θ :=√ u1v1+ u2v2 u2

1+ u22 √

v2 1+ v22

(

= u· v ∥u∥∥v∥

) .

Vec-tơ u gọi vng góc với vec-tơ v u· v = 0.

Khoảng cách vec-tơ u vec-tơ v xác định bởi

d(u, v) := √

Tích vơ hướng Euclid trênRn Một số khái niệm Tích vơ hướng Euclid trên Rn

Cho u, v∈ Rn, với u = (u1, , u

n) v = (v1, , vn)

Tích vơ hướng (hay tích trong) u với v định nghĩa bởi

u· v :=

n

∑

i=1

uivi= u1v1+ + unvn.

Độ dài vec-tơ u xác định bởi

∥u∥ :=√u· u (

= √

u2

1+ + u2n

) .

Góc θ∈ [0, π] vec-tơ u vec-tơ v xác định bởi

cos θ := u· v ∥u∥∥v∥

(

= √ u1v1+ + unvn u2

1+ + u2n

√ v2

1+ + v2n

) .

Vec-tơ u gọi vng góc với vec-tơ v u· v = 0. Khoảng cách vec-tơ u vec-tơ v xác định bởi

d(u, v) :=∥u − v∥ (

= √

(u1− v1)2+ + (un− vn)2

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn

Một số khái niệm

Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất Tính chất tích vơ hướng Euclid trên Rn

Cho c∈ R u, v, w ∈ Rn Ta ln có:

u· v = v · u.

u· (v + w) = u · v + u · w.

c(u· v) = (cu) · v = u · (cv).

u· u = ∥u∥2.

u· u ≥ 0, u · u = ⇔ u = 0.

∥cu∥ = |c|∥u∥.

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Với u, v∈ Rnta ln có |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥.

Chứng minh:

Trường hợp u = ta có|0 · v| = = 0∥v∥ = ∥u∥∥v∥. Xét trường hợp u̸= Với t ∈ R ta có:

0≤ (tu + v) · (tu + v) = (u · u)t2+ 2(u· v)t + v · v.

Đặt a = u· u, b = 2(u · v), c = v · v Do u ̸= 0, nên a > 0.

Chú ý rằng, với a > 0, tam thức bậc hai at2+ bt + c≥ ∀ t ∈ R và

b2− 4ac ≤ 0 ⇔ b2≤ 4ac

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất Bất đẳng thức tam giác

Với u, v∈ Rnta ln có ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

Chứng minh:

Ta có

∥u + v∥2= (u + v)· (u + v) = u· u + 2(u · v) + v · v

=∥u∥2+ 2(u· v) + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2+ 2|u · v| + ∥v∥2

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất Định lý Pythagor

Các vec-tơ u, v∈ Rn vng góc với nhau

khi ∥u + v∥2=∥u∥2+∥v∥2

Chứng minh:

Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có

∥u + v∥2=∥u∥2+ 2(u· v) + ∥v∥2.

Từ ta suy

u vng góc với v

⇔ u · v = 0

Tích vơ hướng Euclid trênRn Các tính chất Chuẩn hóa vec-tơ

Vec-tơ u∈ Rn được gọi vec-tơ đơn vị nếu∥u∥ = 1.

Nếu v∈ Rn\{0}, u =

∥v∥v vec-tơ đơn vị (theo hướng v).

Chứng minh:

Do v̸= 0, nên ∥v∥ > Ta có

∥u∥ = ∥v∥1 v =

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn

Một số khái niệm Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Khái niệm tích vơ hướng tổng qt

Cho V không gian vec-tơ. Một hàm thực

⟨, ⟩ : V × V → R

(u, v)7→ ⟨u, v⟩

được gọi tích vơ hướng (hay tích trong) V thỏa mãn tiên đề sau:

tính đối xứng: ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ ∀ u, v ∈ V; tính song tuyến tính:

⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩ ∀ u, v, w ∈ V;

tính song tuyến tính: c⟨u, v⟩ = ⟨cu, v⟩ ∀ u, v ∈ V, c ∈ R; tính xác định dương: ⟨u, u⟩ ≥ ∀ u ∈ V, và

⟨u, u⟩ = ⇔ u = 0.

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ + unvn

là tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng qt)

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thông thường).

Tổng quát, với ci > (i = 1, , n) cho trước, phép toán

⟨u, v⟩ := c1u1v1+ + cnunvn

xác định tích vơ hướng Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường)

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

một tích vơ hướng trênR3, vi phạm tiên đề tính xác

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ + unvn

là tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng quát)

Phép toán ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thơng thường).

Tổng qt, với ci > (i = 1, , n) cho trước, phép toán

⟨u, v⟩ := c1u1v1+ + cnunvn

xác định tích vơ hướng Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường)

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

một tích vơ hướng trênR3, vi phạm tiên đề tính xác

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ + unvn

là tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng quát)

Phép toán ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thơng thường).

Tổng quát, với ci > (i = 1, , n) cho trước, phép toán ⟨u, v⟩ := c1u1v1+ + cnunvn

xác định tích vơ hướng Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường)

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHÔNG xác định

một tích vơ hướng trênR3, vi phạm tiên đề tính xác

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Ví dụ

Tích vơ hướng Euclid Rn xác định bởi

u· v = u1v1+ + unvn

là tích vơ hướng (theo định nghĩa tổng qt)

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1+ 2u2v2 xác định tích vơ hướng

trên R2 (khác với tích vơ hướng Euclid thông thường).

Tổng quát, với ci > (i = 1, , n) cho trước, phép toán ⟨u, v⟩ := c1u1v1+ + cnunvn

xác định tích vơ hướng Rn (khác với tích vơ hướng

Euclid thơng thường)

Phép tốn ⟨u, v⟩ := u1v1− 2u2v2+ u3v3 KHƠNG xác định

Khơng gian vec-tơ với tích vô hướng Khái niệm Một số khái niệm liên quan

Cho (V,⟨, ⟩) khơng gian tích trong. Cho u, v∈ V.

Độ dài vec-tơ u xác định bởi

∥u∥ :=√⟨u, u⟩.

Góc θ∈ [0, π] vec-tơ u vec-tơ v xác định bởi

cos θ := ⟨u, v⟩

∥u∥∥v∥.

Vec-tơ u gọi vng góc với vec-tơ v nếu⟨u, v⟩ = 0.

Khoảng cách vec-tơ u vec-tơ v xác định bởi

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Khái niệm Một số tính chất

Cho (V,⟨, ⟩) khơng gian tích trong. Cho u, v, w∈ V, c ∈ R Ta ln có

⟨0, v⟩ = ⟨v, 0⟩ = 0.

⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩. ⟨u, cv⟩ = c⟨u, v⟩.

Chứng minh: Coi tập

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: |⟨u, v⟩| ≤ ∥u∥∥v∥. Bất đẳng thức tam giác: ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥. Định lý Pythagor:

u vng góc với v ⇔ ∥u + v∥2 =∥u∥2+∥v∥2.

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn

Một số khái niệm Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao Phép chiếu vng góc mặt phẳng

Cho u, v∈ R2 với v̸= 0.

Gọi projvu hình chiếu u lên v.

projvu ảnh vị tự v qua gốc tọa độ,

nên

projvu = av.

Ta có

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao Phép chiếu trực giao

Định nghĩa:

Cho V khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Cho u, v∈ V, với v ̸= 0.

Hình chiếu vng góc u lên v xác định bởi

projvu := ⟨u, v⟩ ⟨v, v⟩v.

Ví dụ:

Trong khơng gian vec-tơ V = C[0, 1] với tích vô hướng

⟨f, g⟩ =

∫

0

f(x)g(x)dx,

xét vec-tơ f(x) = g(x) = x. Hình chiếu vng góc f lên g là

projgf = ⟨f, g⟩ ⟨g, g⟩g =

∫1 f(x)g(x)dx ∫1 g(x)g(x)dx g(x) = ∫1 xdx ∫1 0x2dx

x =

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao Phép chiếu trực giao

Định nghĩa:

Cho V không gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Cho u, v∈ V, với v ̸= 0.

Hình chiếu vng góc u lên v xác định bởi

projvu := ⟨u, v⟩ ⟨v, v⟩v.

Ví dụ:

Trong khơng gian vec-tơ V = C[0, 1] với tích vơ hướng

⟨f, g⟩ = ∫

0

f(x)g(x)dx,

xét vec-tơ f(x) = g(x) = x. Hình chiếu vng góc f lên g là

projgf = ⟨f, g⟩ ⟨g, g⟩g =

∫1 f(x)g(x)dx ∫1 g(x)g(x)dx g(x) = ∫1 xdx ∫1

0x2dx x =

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép chiếu trực giao Tính chất hình chiếu vng góc

Cho V khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Cho u, v∈ V, với v ̸= 0.

Ta có

d(u, projvu)≤ d(u, cv) ∀ c ∈ R.

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn

Một số khái niệm Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Khái niệm

Cho V không gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Cho S ={v1, , vn} ⊆ V.

Tập hợp S gọi trực giao nếu

⟨vi, vj⟩ = ∀ i, j = 1, , n, i ̸= j.

Tập hợp S gọi trực chuẩn nếu S trực giao, và

∥vi∥ = ∀ i = 1, , n.

Tập hợp S gọi sở trực giao V nếu S trực giao, và

S sở V.

Tập hợp S gọi sở trực chuẩn V nếu S trực chuẩn, và

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơ R3 với tích vơ hướng thơng thường,

các tập hợp sau sở trực chuẩn: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Khơng gian vec-tơ với tích vô hướng Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Ví dụ

Trong khơng gian vec-tơ C[0, 2π] với tích vơ hướng

⟨f, g⟩ =

∫ 2π

0

f(x)g(x)dx,

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Tính chất

Cho V khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Cho S ={v1, , vn} ⊆ V\{0}.

Nếu S trực giao, S độc lập tuyến tính. Chứng minh?

Hệ quả: Nếu dim(V) = n S trực giao, S sở V.

(Hệ số Fourier) Nếu S sở trực chuẩn V,

thì vec-tơ w∈ V có biểu diễn

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Tính chất

Cho V khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Cho S ={v1, , vn} ⊆ V\{0}.

Nếu S trực giao, S độc lập tuyến tính. Chứng minh?

Hệ quả: Nếu dim(V) = n S trực giao, S sở V.

(Hệ số Fourier) Nếu S sở trực chuẩn V,

thì vec-tơ w∈ V có biểu diễn

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Nội dung

1 Tích vơ hướng Euclid Rn

Một số khái niệm Các tính chất

2 Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng

Khái niệm

Phép chiếu trực giao

Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Mục đích, lý nghiên cứu ý tưởng

Mục đích:

Xây dựng sở trực chuẩn cho không gian vec-tơ

Lý nghiên cứu:

Tính tốn sở trực chuẩn thuận tiện

Ý tưởng:

Xuất phát từ sở (không thiết trực giao trực chuẩn)

Trực giao hóa sở cho

Khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Quy trình

Cho V khơng gian vec-tơ với tích vơ hướng⟨, ⟩. Xuất phát từ sở B ={v1, , vn} V.

Trực giao hóa sở B để thu sở trực giao

B′={w1, , wn}, với

w1= v1,

w2= v2− ⟨v2 , w1⟩ ⟨w1, w1⟩

w1,

w3= v3− ⟨v3 , w1⟩ ⟨w1, w1⟩

w1− ⟨v3 , w2⟩ ⟨w2, w2⟩

w2,

wn= vn− ⟨vn

, w1⟩ ⟨w1, w1⟩

w1− ⟨vn , w2⟩ ⟨w2, w2⟩

w2− − ⟨vn , wn−1⟩

⟨wn−1, wn−1⟩ wn−1.

Chuẩn hóa sở trực giao B′ để thu sở trực chuẩn

Không gian vec-tơ với tích vơ hướng Phép trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt Ví dụ

u cầu: Trực chuẩn hóa hệ vec-tơ B ={(1, 1), (0, 1)}. Thực hiện:

Đặt v1= (1, 1) v2= (0, 1).

Áp dụng quy trình trực giao hóa Gram-Schmidt với{v1, v2} ta thu được

w1= v1= (1, 1),

w2= v2− ⟨v2 , w1⟩ ⟨w1, w1⟩

w1= (0, 1)−

2(1, 1) = ( −1 2, ) .

Trực chuẩn hóa hệ vec-tơ{w1, w2} ta thu hệ vec-tơ trực chuẩn

u1=∥w1∥−1w1= (√ 2 , √ 2 )

Thanks