Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) Chương 5 Không gian Euclid:

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 5: Không gian Euclid • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (12/2007) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung 5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan. 5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt. 5.2 – Bù vuông góc của không gian con. 5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con. 5.1 Tích vô hướng Định nghĩa tích vô hướng Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau: a. ( , ) ( , ) ( , ) u v V u v v u    b. ( , ,w V) ( , ) ( , ) ( , ) u v u v w u w v w      c. ( , , ) ( , ) ( , ) R u v V u v u v         d. ( ) ( , ) 0;( , ) 0 0 u V u u u u u       Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô hướng trên đó được gọi là không gian Euclid. Giải. 5.1. Tích vô hướng Trong không gian cho qui tắc 2 R Ví dụ 1 2 2 1 2 2 ( , ) ; ( , ) x x x R y y y R       1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 ( , ) (( , ),( , )) 2 2 10 x y x x y y x y x y x y x y      1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ (2,1), (1, 1) u v    2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là (2,1), (1, 1) u v    ( , ) ((2,1),(1, 1)) u v   2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10         5.1. Tích vô hướng Ví dụ 2 2 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ; ( ) [x]. p x a x b x c q x a x b x c P        Trong không gian cho qui tắc 2 [x] P 1 0 ( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx   1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của 2 ( ) 2 3 1, ( ) 1 p x x x q x x      1 0 ( , ) ( ). ( ) p q p x q x dx   1 2 0 (2 3 1)( 1) x x x dx      1 6  2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là 5.1. Tích vô hướng Định nghĩa độ dài véctơ Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được định nghĩa như sau || || ( , ) u u u  Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị. Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa. 5.1. Tích vô hướng Bất đẳng thức tam giác. Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V. || || || || || || u v u v    Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau | ( , ) | || ||.|| || u v u v  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính. 5.1. Tích vô hướng Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v|| Định nghĩa góc giữa hai véctơ Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V. Góc giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa  ( , ) cos || ||.|| || u v u v   Trong không gian cho qui tắc 5.1. Tích vô hướng Ví dụ 1 2 3 3 1 2 3 3 ( , , ) ; ( , , ) x x x x R y y y y R       Trong không gian cho qui tắc 3 R 1 2 3 1 2 3 ( , ) (( , , ),( , , )) x y x x x y y y  1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng. 2. Tính tích vô hướng của hai véctơ (2,1,0), (3, 2,4) u v    1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 5 2 2 3 x y x y x y x y x y      2. ( , ) ((2,1,0),(3, 2,4)) u v   5.2.3 2.2.( 2) 2.1.3 3.1.( 2) 0.4        ( , ) 22. u v  Trong không gian cho qui tắc 5.1. Tích vô hướng Ví dụ 1 2 3 3 1 2 3 3 ( , , ) ; ( , , ) x x x x R y y y y R       Trong không gian cho qui tắc 3 R 1 2 3 1 2 3 ( , ) (( , , ),( , , )) x y x x x y y y  1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 5 2 2 3 x y x y x y x y x y      3. Tìm độ dài của véctơ (3,2,1) u  || || ( , ) u u u  ((3,2,1),(3,2,1))  || || 5.3.3 2.3.2 2.2.3 3.2.2 1.1 u      || || 82 u  Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ nhưng “dài” hơn!!! [...]... f1, f1 ) ( f2 , f2 ) 5 5 5 5 Chọn f3  (2, 2, 1, 1) Họ trực giao cần tìm F  { f1, f 2 , f3} Chọn Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta được họ trực chuẩn 1 1   2 3 1 1   2 2 1 1    1 , , , , , ,  , 0, ,  ,  ,  3 3   15 15 15 15   10 10 10 10    3 5. 3 Q trình trực giao hóa Gram-Schmidt - Ví dụ Trong khơng gian R4 với tích vơ...  1 5. 2 Bù vng góc của khơng gian con - Định nghĩa bù vng góc của khơng gian con Cho khơng con F của khơng gian Euclid V Tập hợp F   { x  V | x  F} được gọi là bù vng góc của khơng gian con F Định lý Cho khơng con F của khơng gian Euclid V Khi đó 1 F  là ng gian con củ V khô a 2 dim( F )  dim( F  )  dim V 5. 2 Bù vng góc của khơng gian con... thì cơng việc tính tích vơ hướng của hai véctơ rất nhanh gọn!! 5. 3 Q trình trực giao hóa Gram-Schmidt - Khi làm việc với khơng gian Euclid V, ta làm việc với cơ sở của khơng gian véctơ Theo định lý trên và ví dụ ở slide trước ta thấy nếu cơ sở là trực chuẩn thì cơng việc tính tốn rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vơ hướng của hai véctơ, tính độ dài,... dùng để tìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một khơng gian con của khơng gian Euclid Định lý (q trình Gram – Schmidt) Cho E  { e1, e2 , , em} là họ độc lập tuyến tính của khơng gian Euclid V Khi đó có thể xây dựng từ E một họ trực giao F  { f1, f 2 , , f m} sao cho  f1, f 2 , , f m  e1, e2 , , em  5. 3 Q trình trực giao hóa Gram-Schmidt ... khơng của khơng gian Euclid V Khi đó S độc lập tt Chứng minh (bằng định nghĩa của độc lập tuyến tính) Giả sử 1u1   2u2    mum  0 Khi đó (u1 , 1u1   2u2    mum )  (u1 ,0)  0  1 (u1 , u1 )   2 (u1, u2 )    m (u1 , um )  0  1 (u1 , u1 )  0 vì S khơng chứa véctơ 0 nên (u1 , u1 )  0  1  0 Tương tự ta chứng minh được  2   3    m  0 Vậy S độc lập tuyến tính 5. 2 Bù vng... “lớn” hơn!!! 5. 1 Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R3 cho qui tắc x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3 ( x, y )  (( x1, x2 , x3 ),( y1, y2 , y3 ))  5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3 v 5 Tìm góc giữa hai véctơ u  (1,0,1) và  (2,1,0) cos   (u , v) 12 12   || u || || v || 6 31 186 12  a  arccos 186 5. 1 Tích vơ... tìm cơ sở và chiều của khơng gian F  Bước 1 Tìm một tập sinh của F Giả sử đó là { f1, f 2 , , f m} Bước 2 Tìm khơng gian con bù vng góc n c i p a y  F   y  F  y vuôg gó vớtậ sinh củ F  ( y, f1 )  0  y  f1  ( y, f )  0 y f 2  2   hệ thuầ nhấAX  0 n t     ( y , f m )  0  y  fm   F  là ng gian nghiệ củ hệ khô m a 5. 2 Bù vng góc của khơng gian con .. .5. 1 Tích vơ hướng Ví dụ Trong khơng gian R3 cho qui tắc x  ( x1, x2 , x3 )  R3 ; y  ( y1, y2 , y3 )  R3 ( x, y )  (( x1, x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 ))  5 x1 y1  2 x1 y2  2 x2 y1  3 x2 y2  x3 y3 4 Tìm khoảng cách giữa hai véctơ u  (1, 2,1) và  (3,0, 2) v d (u, v) || u  v ||  (u  v, u  v)  ((2, 2, 1),(2, 2, 1)) d (u , v)  5. (2).(2)... 1 ( p, q)   p ( x)q( x)dx 1 4 Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với p ( x)  x 2  x  2; q ( x)  x 2  2 x  3 d ( p, q) || p  q ||  ( p  q, p  q) 1  (3x  1,3x  1)  2  (3x  1) dx 1 2 2 5. 1 Tích vơ hướng Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P2[x], đặt 1 ( p, q)   p ( x)q( x)dx 1 2 5 Tính góc giữa hai véctơ p ( x) ... 66 66 66 66   5. 4 Hình chiếu vng góc, khoảng cách Trong khơng gian Euclid V cho khơng gian con F và một véctơ v tùy ý Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dưới dạng: v  f  g | f F & g F véctơ f được gọi là hình chiếu vng góc của v xuống F: f  prF v Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng cách từ v đến khơng gian con F d(v,