Đang tải... (xem toàn văn)
Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết.. Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính..[r]
(1)Không gian vec-tơ
(2)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả khơng gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(3)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(4)Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u = (u1, u2).
0 y
x
2
1 u = (2, 3)
Phép cộng hai vec-tơ:
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).
Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:
(5)Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u = (u1, u2).
0 y
x
2
1 u = (2, 3)
v = (3, 1) u + v = (5, 4)
Phép cộng hai vec-tơ:
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:
(6)Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u = (u1, u2).
0 y
x
2
1 u = (2, 3)
2u = (4, 6)
Phép cộng hai vec-tơ:
u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).
Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:
(7)Tính chất
Cho = (0, 0), u, v, w∈ R2, c, d∈ R Ta có
u + v∈ R2
u + v = v + u.
(u + v) + w = u + (v + w).
u + = u.
∃ − u ∈ R2: u + (−u) = 0.
c· u ∈ R2
c· (u + v) = c · u + c · v.
(c + d)· u = c · u + d · u.
c(d· u) = (cd) · u.
(8)Vec-tơ không gian tọa độ Descartes R3
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u = (u1, u2, u3).
Phép cộng hai vec-tơ:
u+v = (u1, u2, u3)+(v1, v2, v3) := (u1+v1, u2+v2, u3+v3).
Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈ R:
(9)Tính chất
Cho = (0, 0, 0), u, v, w∈ R3, c, d∈ R Ta có
u + v∈ R3
u + v = v + u.
(u + v) + w = u + (v + w).
u + = u.
∃ − u ∈ R3: u + (−u) = 0.
c· u ∈ R3
c· (u + v) = c · u + c · v.
(c + d)· u = c · u + d · u.
c(d· u) = (cd) · u.
(10)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(11)Định nghĩa không gian vec-tơ
Tập hợp V̸= ∅ không gian vec-tơ R V trang bị
Phép cộng vec-tơ:
+: V× V → V (u, v)7→ u+v,
Phép nhân vec-tơ với vơ hướng:
◦:R × V → V (c, u)7→ c◦u,
thỏa mãn tiên đề sau:
1 u+v = v+u ∀ u, v ∈ V,
2 (u+v)+w = u+(v+w) ∀ u, v, w ∈ V,
3 ∃ ∈ V : u+0 = u ∀ u ∈ V,
4 ∀ u ∈ V ∃ u′∈ V : u+u′= 0,
5 c◦(u+v) = c◦u+c◦v ∀ c ∈ R, u, v ∈ V, (c + d)◦u = c◦u+d◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V, c◦(d◦u) = (cd)◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,
(12)Ví dụ
Tập hợp số thực R không gian vec-tơ
với phép cộng phép nhân thông thường
Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, , xn] khơng gian vec-tơ với phép tốn
[x1, , xn]+[y1, , yn] = [x1+ y1, , xn+ yn],
c◦[x1, , xn] = [cx1, , cxn] (với c∈ R).
Tập hợpRn các cột n-thành phần thực x1 xn
là không gian vec-tơ với phép toán x1 xn + .y1
yn =
x1+ y1
xn+ yn
, c◦
x1 xn = cx1 cxn
(13)Ví dụ
Tập hợp số thực R không gian vec-tơ
với phép cộng phép nhân thông thường
Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, , xn]
là khơng gian vec-tơ với phép tốn
[x1, , xn]+[y1, , yn] = [x1+ y1, , xn+ yn],
c◦[x1, , xn] = [cx1, , cxn] (với c∈ R).
Tập hợpRn các cột n-thành phần thực x1 xn
là không gian vec-tơ với phép toán x1 xn + .y1
yn =
x1+ y1
xn+ yn
, c◦
x1 xn = cx1 cxn
(14)Ví dụ
Tập hợp số thực R không gian vec-tơ
với phép cộng phép nhân thông thường
Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, , xn]
là khơng gian vec-tơ với phép tốn
[x1, , xn]+[y1, , yn] = [x1+ y1, , xn+ yn],
c◦[x1, , xn] = [cx1, , cxn] (với c∈ R).
Tập hợpRn các cột n-thành phần thực
x1 xn
là không gian vec-tơ với phép toán x1 xn + .y1
yn =
x1+ y1
xn+ yn
, c◦
x1 xn = cx1 cxn
(15)Ví dụ
Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột
là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:
(aij)m×n +(bij)m×n = (aij+ bij)m×n,
c◦(aij)m×n = (caij)m×n (với c∈ R).
Tập hợp C[a, b] hàm thực liên tục [a, b]
là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:
(f+g)(x) = f(x) + g(x),
(16)Ví dụ
Tập hợp Mm,n các ma trận thực m hàng, n cột
là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:
(aij)m×n +(bij)m×n = (aij+ bij)m×n,
c◦(aij)m×n = (caij)m×n (với c∈ R).
Tập hợp C[a, b] hàm thực liên tục [a, b]
là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:
(f+g)(x) = f(x) + g(x),
(17)Ví dụ
Tập hợp Pn(x) đa thức
theo ẩn x, với hệ số thực,
có bậc KHƠNG Q n
là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:
(anxn+ + a0)+(bnxn+ + b0) = (an+ bn)xn+ + (a0+ b0), c◦(anxn+ + a0) = canxn+ + ca0 (với c∈ R).
Chú ý:
Khẳng định không đặt điều kiện
“đa thức có bậc xác n”.
Khẳng định bỏ điều kiện “đa thức có bậc≤ n”.
(18)Ví dụ
Cho (V,+,·), (W, +,·) không gian vec-tơ Tập hợp
V× W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W}
là không gian vec-tơ với phép toán
(v, w)+(v′, w′) = (v+v′, w + w′),
(19)Một số tính chất
Cho (V,+,◦) không gian vec-tơ Ta có: Phần tử 0∈ V nhất.
Với u∈ V, tồn phần tử u′∈ V thỏa mãn
u+u′ = 0. Phần tử u′ ký hiệu là−u. 0◦u = với u∈ V.
c◦0 = với c∈ R.
c◦u = =⇒ c = u = 0.
(−c)◦u = c◦(−u) = −(c◦u) với c∈ R, u ∈ V.
( m ∑
i=1
ci
) ◦
∑n
j=1
uj
=∑m
i=1 n
∑
j=1
(20)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ
2 Mô tả khơng gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(21)Định nghĩa số tính chất
Cho (V,+,◦) không gian vec-tơ, và∅ ̸= W ⊂ V.
Ta nói W khơng gian vec-tơ V nếu
u+v∈ W ∀ u, v ∈ W,
c◦u∈ W ∀ c ∈ R, u ∈ W.
Một số tính chất:
(W,+,◦) khơng gian vec-tơ
0∈ V ∩ W.
Nếu W1, W2là không gian vec-tơ V,
(22)Ví dụ
Cho trước x0, y0 ∈ R Tập hợp
W ={(x, y) | (x, y) = t(x0, y0), t∈ R}
là không gian vec-tơ củaR2
(với phép tốn thơng thường)
Tập hợp
W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}
(23)Ví dụ
Cho trước x0, y0 ∈ R Tập hợp
W ={(x, y) | (x, y) = t(x0, y0), t∈ R}
là khơng gian vec-tơ củaR2
(với phép tốn thông thường)
Tập hợp
W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}
là không gian vec-tơ củaR3
(24)Ví dụ
Nếu V khơng gian vec-tơ
thì V không gian vec-tơ (tầm thường) V.
Pn(x) không gian vec-tơ Pn+1(x).
Pn(x) không gian vec-tơ P(x).
Tập hợp
W ={A∈ Mn,n | A = AT}
là không gian vec-tơ Mn,n
Cho A∈ Mm,n, = [0, , 0]t∈ Rn Tập hợp
W ={x ∈ Rn | Ax = 0}
(25)Ví dụ
Nếu V khơng gian vec-tơ
thì V không gian vec-tơ (tầm thường) V.
Pn(x) không gian vec-tơ Pn+1(x). Pn(x) không gian vec-tơ P(x).
Tập hợp
W ={A∈ Mn,n | A = AT}
là không gian vec-tơ Mn,n
Cho A∈ Mm,n, = [0, , 0]t∈ Rn Tập hợp
W ={x ∈ Rn | Ax = 0}
(26)Ví dụ
Nếu V khơng gian vec-tơ
thì V không gian vec-tơ (tầm thường) V.
Pn(x) không gian vec-tơ Pn+1(x).
Pn(x) không gian vec-tơ P(x).
Tập hợp
W ={A∈ Mn,n | A = AT}
là không gian vec-tơ Mn,n
Cho A∈ Mm,n, = [0, , 0]t∈ Rn Tập hợp
W ={x ∈ Rn | Ax = 0}
(27)Ví dụ
Nếu V khơng gian vec-tơ
thì V không gian vec-tơ (tầm thường) V.
Pn(x) không gian vec-tơ Pn+1(x).
Pn(x) không gian vec-tơ P(x).
Tập hợp
W ={A∈ Mn,n | A = AT}
là không gian vec-tơ Mn,n
Cho A∈ Mm,n, = [0, , 0]t∈ Rn Tập hợp
W ={x ∈ Rn | Ax = 0}
(28)Ví dụ
Nếu V khơng gian vec-tơ
thì V không gian vec-tơ (tầm thường) V.
Pn(x) không gian vec-tơ Pn+1(x).
Pn(x) không gian vec-tơ P(x).
Tập hợp
W ={A∈ Mn,n | A = AT}
là không gian vec-tơ Mn,n
Cho A∈ Mm,n, = [0, , 0]t∈ Rn Tập hợp
W ={x ∈ Rn | Ax = 0}
(29)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả khơng gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(30)Tổ hợp tuyến tính
Cho (V, +,·) khơng gian vec-tơ R.
Cho S ={u1, , un} ⊂ V.
Vec-tơ v∈ V tổ hợp tuyến tính vec-tơ S
nếu
v = c1· u1+ + cn· un,
trong ci ∈ R với i = 1, , n.
Ví dụ 1: Trong không gian M2,2xét vec-tơ
u1= [
0 ]
, u2= [
0 ]
, u3= [
−1 3
1
]
, u4= [
−2 0
1
]
.
Vec-tơ u1là tổ hợp tuyến tính u2, u3, u4do
(31)Tổ hợp tuyến tính
Cho (V, +,·) khơng gian vec-tơ R.
Cho S ={u1, , un} ⊂ V.
Vec-tơ v∈ V tổ hợp tuyến tính vec-tơ S
nếu
v = c1· u1+ + cn· un,
trong ci ∈ R với i = 1, , n.
Ví dụ 2: Mỗi vec-tơ x tập hợp
W ={(x1, 0, x3)| x1, x3∈ R}
đều tổ hợp tuyến tính e1= [1, 0, 0] e3= [0, 0, 1]:
(32)Tổ hợp tuyến tính
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ R.
Cho S ={u1, , un} ⊂ V.
Vec-tơ v∈ V tổ hợp tuyến tính vec-tơ S
nếu
v = c1· u1+ + cn· un,
trong ci ∈ R với i = 1, , n.
Tập hợp tổ hợp tuyến tính vec-tơ S:
span(S) :={v ∈ V | v = c1· u1+ + cn· un với ci ∈ R}.
(33)Hệ sinh
Tập hợp S gọi hệ sinh V nếu
V = span(S).
Khi ta nói V sinh S.
Ví dụ 1: Trong khơng gianR3xét vec-tơ
e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0], e3=[0, 0, 1].
Tập hợp S ={e1, e2, e3} hệ sinh R3
mỗi vec-tơ v = [v1, v2, v3]∈ R3 đều tổ hợp tuyến tính e1, e2, e3:
(34)Hệ sinh
Tập hợp S gọi hệ sinh V nếu
V = span(S).
Khi ta nói V sinh S.
Ví dụ 2: Trong không gianR3xét vec-tơ
u1=[1, 0, 0], u2=[0, 1, 0], u3=[0, 0, 1], u4=[0, 0, 2].
Tập hợp S ={u1, u2, u3, u4} hệ sinh R3vì
mỗi vec-tơ v = [v1, v2, v3]∈ R3 đều tổ hợp tuyến tính u1, , u4:
v = v1· u1+ v2· u2+
2
(35)Hệ sinh
Tập hợp S gọi hệ sinh V nếu
V = span(S).
Khi ta nói V sinh S.
Ví dụ 3: Trong không gianR3xét vec-tơ
e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0].
Tập hợp S ={e1, e2} KHÔNG hệ sinh R3vì
vec-tơ v = [0, 0, 1]∈ R3 khơng thể tổ hợp tuyến tính e1, e2 ̸ ∃ c1, c2∈ R : v = c1· e1+ c2· e2.
(36)Hệ sinh
Tập hợp S gọi hệ sinh V nếu
V = span(S).
Khi ta nói V sinh S.
Ví dụ 3: Trong không gianR3xét vec-tơ
e1=[1, 0, 0], e2=[0, 1, 0].
Tập hợp S ={e1, e2} KHÔNG hệ sinh R3vì
vec-tơ v = [0, 0, 1]∈ R3 khơng thể tổ hợp tuyến tính e1, e2 ̸ ∃ c1, c2∈ R : v = c1· e1+ c2· e2.
(37)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(38)Định nghĩa
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ R.
Cho hệ vec-tơ S ={v1, , vn} ⊂ V.
Hệ vec-tơ S gọi độc lập tuyến tính nếu
c1· v1+ + cn· vn= ⇔ c1 = = cn= 0.
Hệ vec-tơ S gọi phụ thuộc tuyến tính nếu
(39)Ví dụ
Các vec-tơ e1= [1, 0], v2= [0, 1] trongR2
là độc lập tuyến tính
c1e1+ c2e2= 0 ⇔ [c1, c2] = [0, 0] ⇔ c1= c2= 0.
Hệ vec-tơ v1= [1, 2, 3], v2= [0, 1, 2], v3= [−2, 0, 1] R3 độc lập tuyến tính hệ thức
c1v1+ c2v2+ c3v3= 0
tương đương với
c1 − 2c3= 2c1+ c2 = 3c1+ 2c2+ c3=
và hệ phương trình (tuyến tính nhất) có nghiệm
(40)Ví dụ
Các vec-tơ e1= [1, 0], v2= [0, 1] trongR2
là độc lập tuyến tính
c1e1+ c2e2= 0 ⇔ [c1, c2] = [0, 0] ⇔ c1= c2= 0.
Hệ vec-tơ v1= [1, 2, 3], v2= [0, 1, 2], v3= [−2, 0, 1] R3
là độc lập tuyến tính hệ thức
c1v1+ c2v2+ c3v3= 0 tương đương với
c1 − 2c3=
2c1+ c2 =
3c1+ 2c2+ c3=
và hệ phương trình (tuyến tính nhất) có nghiệm
(41)Ví dụ
Trong không gian vec-tơ P2xét vec-tơ
v1= + x− 2x2, v2= + 5x− x2, v3= x + x2.
Hệ thức c1v1+ c2v2+ c3v3= tương đương với
c1+ 2c2 = c1+ 5c2+ c3= −2c1− c2+ c3=
Hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường
c1= 2, c2=−1, c3= 3.
Như ta có
2v1− v2+ 3v3= 0
và v1, v2, v3phụ thuộc tuyến tính
Nhận xét: Hệ thức c1· v1+ + cn· vn= tương đương với
(42)Ý nghĩa hình học
Hai vec-tơ v1, v2∈ R2
phụ thuộc tuyến tính⇔ v1, v2đồng phương (i);
độc lập tuyến tính⇔ v1, v2không đồng phương (ii)
v1
v2
v1 v2
(43)Ý nghĩa hình học
Hai vec-tơ v1, v2∈ R3
độc lập tuyến tính⇔ v1, v2khơng đồng phương (a);
(44)Ý nghĩa hình học
Ba vec-tơ v1, v2, v3∈ R3
độc lập tuyến tính⇔ v1, v2, v3khơng đồng phẳng (hình trái);
(45)Tính chất
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ.
Hệ vec-tơ v∈ V phụ thuộc tuyến tính ⇔ v = 0.
Chứng minh ⇒:
v phụ thuộc tuyến tính ⇒ tồn c ̸= cho c · v = 0.
Nhân hai vế với c−1 ta có
v = (c−1c)· v = c−1(c· v) = c−1· = 0.
Chứng minh ⇐:
(46)Tính chất
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ, n > 1. Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V độc lập tuyến tính
⇔ vec-tơ u ∈ V, tồn biểu diễn
u = c1· v1+ + cn· vn (với ci∈ R)
thì biểu diễn
Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính
⇔ (ít nhất) vec-tơ vi tổ hợp tuyến tính vec-tơ cịn lại
Nếu S ={v1, , vn} độc lập tuyến tính,
thì tập hợp S độc lập tuyến tính.
(47)Tính chất
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ, n > 1. Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V độc lập tuyến tính
⇔ vec-tơ u ∈ V, tồn biểu diễn
u = c1· v1+ + cn· vn (với ci∈ R)
thì biểu diễn
Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính
⇔ (ít nhất) vec-tơ vi tổ hợp tuyến tính vec-tơ
còn lại
Nếu S ={v1, , vn} độc lập tuyến tính,
thì tập hợp S độc lập tuyến tính.
(48)Tính chất
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ, n > 1. Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V độc lập tuyến tính
⇔ vec-tơ u ∈ V, tồn biểu diễn
u = c1· v1+ + cn· vn (với ci∈ R)
thì biểu diễn
Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính
⇔ (ít nhất) vec-tơ vi tổ hợp tuyến tính vec-tơ
còn lại
Nếu S ={v1, , vn} độc lập tuyến tính,
thì tập hợp S độc lập tuyến tính.
(49)Tính chất
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ, n > 1. Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V độc lập tuyến tính
⇔ vec-tơ u ∈ V, tồn biểu diễn
u = c1· v1+ + cn· vn (với ci∈ R)
thì biểu diễn
Hệ vec-tơ v1, , vn∈ V phụ thuộc tuyến tính
⇔ (ít nhất) vec-tơ vi tổ hợp tuyến tính vec-tơ
cịn lại
Nếu S ={v1, , vn} độc lập tuyến tính,
thì tập hợp S độc lập tuyến tính.
Nếu S ={v1, , vn} phụ thuộc tuyến tính,
(50)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(51)Cơ sở không gian vec-tơ
Cho (V, +,·) không gian vec-tơ.
Tập hợp vec-tơ B ={v1, , vn} sở V nếu
(i) B hệ sinh V, và
(ii) B độc lập tuyến tính.
Nhận xét:
Cho u vec-tơ V.
(i)⇔ u = c1· v1+ + cn· vnvới ci∈ R.
(52)Cơ sở tắc
Các vec-tơ
e1=
, e2 =
, , en= 0
lập thành sở (được gọi sở tắc) của Rn.
Các vec-tơ
1, x, x2, , xn
lập thành sở (chính tắc) Pn
Các vec-tơ [ 0 ] , [ 0 ] , [ 0 ] , [ 0 ]
(53)Cơ sở tắc
Các vec-tơ
e1=
, e2 =
, , en= 0
lập thành sở (được gọi sở tắc) của Rn.
Các vec-tơ
1, x, x2, , xn
lập thành sở (chính tắc) Pn
Các vec-tơ [ 0 ] , [ 0 ] , [ 0 ] , [ 0 ]
(54)Cơ sở tắc
Các vec-tơ
e1=
, e2 =
, , en= 0
lập thành sở (được gọi sở tắc) của Rn.
Các vec-tơ
1, x, x2, , xn
lập thành sở (chính tắc) Pn
Các vec-tơ [ 0 ] , [ 0 ] , [ 0 ] , [ 0 ]
(55)Xác định sở qua định thức
Hệ n vec-tơ B ={v1, , vn} ⊂ Rnlập thành sở củaRn
khi
det(v1, , vn)̸= 0.
Chứng minh:
B sở của Rn
⇔ c1v1+ + cnvn=u có nghiệm nhất∀ u ∈ Rn
⇔ det(v1, , vn)̸= (theo quy tắc Cramer).
Ví dụ: Do
1 ... tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số. .. Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh... tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không