Đây là tài liệu tổng hợp slide bài giảng môn đại số tuyến tính của tác giả Lê Xuân Đại hay dành cho các bạn sinh viên đang học môn đại số tuyến tính nhất là sinh viên trường Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh. Tài liệu này bao gồm các vấn đề liên quan đến chương trình môn đại số tuyến tính như: Số phức Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Không gian vector Không gian Euclide Ánh xạ tuyến tính Trị riêng – vector riêng Dạng toán phương Không gian vector con Trong đó, mỗi slide đều được viết một cách đầy đủ, chi tiết và dể hiểu nhằm giúp các bạn sinh viên có thể nắm được các kiến thức trọng tâm của môn học này.
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 1/1 Mục tiêu môn học Môn học cung cấp cho học viên kiến thức Đại số tuyến tính Cách vận dụng kiến thức học toán kỹ thuật, toán thực tế TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 2/1 Chuẩn đầu môn học Sau kết thúc môn học, sinh viên biết: tính định thức, làm việc với ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, hiểu khái niệm không gian véc-tơ, hiểu khái niệm ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng véc-tơ riêng, chéo hóa ma trận, chéo hóa ánh xạ tuyến tính, đưa dạng toàn phương tắc Sv phát triển khả suy luận logic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 3/1 Nội dung môn học Số phức - Tự học giải tập Ma trận - Tuần 1, Định thức - Tuần Hệ phương trình đại số tuyến tính - Tuần Không gian véc-tơ - Tuần 5, 6, Không gian Euclid - Tuần Ánh xạ tuyến tính - Tuần 9, 10 Trị riêng, véc-tơ riêng - Tuần 11, 12 Dạng toàn phương - Tuần 13, 14 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 4/1 Nhiệm vụ sinh viên Đi học đầy đủ (nếu vắng phân nửa số buổi học học kỳ, giáo viên có quyền đề nghị cấm thi) Tham dự giảng lớp làm tất tập Đọc trước đến lớp Nghiên cứu phần mềm tính toán MatLab để tham gia làm tập lớn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 5/1 Phương pháp đánh giá Thi kỳ hình thức trắc nghiệm - 20% Thi viết tự luận cuối kỳ (90 phút) - 60% Báo cáo Bài tập lớn - 20% -Dùng phần mềm MatLab để tính toán TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 6/1 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Lưu Cường, v.v Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Tp HCM-2011 Đỗ Công Khanh, v.v Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Tp HCM Gilbert Strang Linear Algebra and its applications-Fourth Edition Dennis B Ames Fundamentals of Linear Algebra California- 1970 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 7/1 TÀI LIỆU THAM KHẢO MATLAB A Guide to MatLab for Beginners ands Experienced Users Basics of MatLab and Beyond Elementary Mathematical and Computational Tools for Electrical and Computer Engineers using MatLab Dr Sikander M Mirza Introduction to MatLab TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 8/1 Cách truy cập tài liệu e-learning TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 9/1 SỐ PHỨC TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 33 Tổng giao không gian Phần bù không gian Số chiều phần bù không gian Định lý Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F không gian véctơ E , dim(F ) = p(p n) Khi F có phần bù E Mọi phần bù F E có số chiều n − p TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 35CON / 53 Tổng giao không gian Phần bù không gian Hệ Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G không gian véctơ E có tổng trực tiếp Khi dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ) Ta có F G không gian véctơ E nên H = F ⊕ G không gian véctơ E ⇒ dim(H) = p n Mặt khác H = F ⊕ G nên G phần bù F H ⇒ dim(G ) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 36CON / 53 Tổng giao không gian Phần bù không gian Hệ Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, , Fm không gian véctơ E có tổng trực tiếp Khi m dim(F1 ⊕ F2 ⊕ ⊕ Fm ) = dim(Fi ) i=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 37CON / 53 Tổng giao không gian Phần bù không gian Hệ Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G không gian véctơ E Nếu F ⊂G ⇒ F = G dim(F ) = dim(G ) Vì F ⊂ G nên F có phần bù H G dim(H) = dim(G ) − dim(F ) ⇒ dim(H) = ⇒ H = {0} Vậy G = F + H = F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 38CON / 53 Tổng giao không gian Cơ sở số chiều tổng không gian Mối liên hệ số chiều tổng giao không gian Định lý Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G không gian véctơ E Khi dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 39CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18) Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > V =< v1, v2, v3, v4 > Tìm sở chiều không gian U + V U ∩ V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 40CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Tìmcơ sở U 1 3 0 → 4 8 0 16 12 16 0 0 4 0 Vậy dim(U) = sở U {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 41CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm sở V 3 2 0 → 3 8 0 16 16 18 −1 0 −1 0 0 0 Vậy dim(V ) = sở V {(1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 42CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Không gian U + V không gian sinh véctơ {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4), (1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)} Tìm sở U + V 1 1 0 4 0 2 A= → 1 3 3 0 4 −1 −1 0 0 ⇒ r (A) = Vậy dim(U + V ) = sở U + V {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 2), (0, 0, 2, 4)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 43CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm sở số chiều U ∩ V u ∈ U ∩ V ⇔ u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) ⇔u= u = α3(1, 3, 3, 3) + α4(0, −1, −1, 0) α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4), α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) = α3(1, 3, 3, 3)+α4(0, −1, −1, 0) ⇔ u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) α1 = α3 = α4 = 2α2 ⇒ u = α2(2, 4, 4, 6) Vậy dim(U ∩ V ) = sở U ∩ V (2, 4, 4, 6) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 44CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 − 2x3 = ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} V = {(x1, x2, x3, x4) : x1 = x2 = x3} Tìm sở chiều không gian U + V U ∩ V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 45CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm sở U 1 −2 −1 −2 → 1 −2 0 −2 −2 Vậy dim(U) = sở U {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm sở V Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1) Vậy dim(V ) = sở V {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 46CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Không gian U + V không gian sinh véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} Tìm sở U + V 1 1 1 A = −1 → −2 −1 0 0 ⇒ r (A) = Vậy dim(U + V ) = sở U + V {(1, 1, 1, 0), (0, −2, −1, 1), (0, 0, 0, 1)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 47CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm sở số chiều U ∩ V x ∈ U ∩ V ⇔ x1 + x2 − 2x3 = x1 = x2 = x3 = α x1 − x2 − 2x4 = ⇔ x4 = x1 = x2 = x3 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0) Vậy dim(U ∩ V ) = sở U ∩ V (1, 1, 1, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 48CON / 53 Tổng giao không gian Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 49CON / 53 ... Ma trận - Tuần 1, Định thức - Tuần Hệ phương trình đại số tuyến tính - Tuần Không gian véc-tơ - Tuần 5, 6, Không gian Euclid - Tuần Ánh xạ tuyến tính - Tuần 9, 10 Trị riêng, véc-tơ riêng - Tuần... KHẢO Trần Lưu Cường, v.v Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Tp HCM-2011 Đỗ Công Khanh, v.v Đại số tuyến tính NXB Đại học quốc gia Tp HCM Gilbert Strang Linear Algebra and its applications-Fourth... MatLab for Beginners ands Experienced Users Basics of MatLab and Beyond Elementary Mathematical and Computational Tools for Electrical and Computer Engineers using MatLab Dr Sikander M Mirza Introduction