Slide bai giang mon giai tich 1 cua tac gia le xuan dai

Mục Lục 01 Gioi Han Lien Tuc Cua Ham Mot Bien 02 Gioi Han Cua Day So 03 Dao Ham Vi Phan Ham Mot Bien 04 Phuong Trinh Vi Phan Cap 05 Phuong Trinh Vi Phan Cap 06 He Phuong Trinh Vi Phan 07 Tich Phan Xac Dinh 08 Tich Phan Bat Dinh 09 Tich Phan Suy Rong 10 Ung Dung Cua Tich Phan GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Bài toán thực tế Lý thuyết tương đối Albert Einstein Nếu L0 khoảng cách từ người đứng yên đến vật đứng yên, L khoảng cách từ người đứng yên đến vật chuyển động với vận tốc v (m/s) ta có cơng thức L = L0 v2 − 2, c c vận tốc ánh sáng Câu hỏi: Nếu vật chuyển động với vận tốc gần vận tốc ánh sáng khoảng cách L nào? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Bài toán thực tế GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Bài toán thực tế Theo yêu cầu tốn cần tìm lim L0 v →c v2 − = L0 c c2 1− =0 c Kết luận: Nếu vật chuyển động với vận tốc gần với vận tốc ánh sáng, khoảng cách người đứng yên vật chuyển động gần TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Định nghĩa điểm giới hạn Định nghĩa điểm giới hạn Cho X ⊂ R tập hợp số đó, cịn a ∈ R số cố định Định nghĩa Nếu số a ∈ R điểm giới hạn tập hợp X ⊂ R, tồn dãy số (xn ) ⊂ X \ a hội tụ điểm a xn → a Định nghĩa Tập hợp (a − ε, a + ε), với ε > số tùy ý, gọi lân cận a Kí hiệu O(a, ε) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn hàm số Cho hàm số f (x) xác định tập hợp X ⊂ R a ∈ R điểm giới hạn tập hợp X Định nghĩa Số A ∈ R gọi giới hạn hàm số f (x) x → a, với dãy ∀(xn ) ⊂ X \ a hội tụ a : xn → a, dãy giá trị hàm số tương ứng hội tụ A : f (xn ) → A Ví dụ Giới hạn hàm số f (x) = x + 1, x → với ∀xn → f (xn ) = xn + → TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn hàm số Ví dụ ln n n→∞ n ln n 1/n lim = lim = 0(theo L’ Hopital) ⇒ SAI n→∞ n n→∞ KHƠNG TỒN TẠI (ln n) , (n) , n ∈ N Cách giải ln x 1/x lim = lim = 0(theo L’ Hopital) Do x→∞ x x→∞ theo định nghĩa giới hạn hàm số với ln n xn = n → ∞, ta có f (xn ) = → Vậy I = n Tìm giới hạn I = lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn hàm số Chú ý Nếu tồn dãy (xn ), (yn ) hội tụ a f (xn ), f (yn ) tiến tới giới hạn khác KHƠNG TỒN TẠI giới hạn lim f (x) x→a Ví dụ Tìm I = lim sin x→0 x 1 Xét dãy xn = 2πn+ π → yn = nπ → Ta có lim f (xn ) = lim sin(2πn + π2 ) = lim sin( π2 ) = n→∞ n→∞ n→∞ lim f (yn ) = lim sin(πn) = Vậy I n→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n→∞ GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số từ phía Xa+ = {x ∈ X \ x > a}, Xa− = {x ∈ X \ x < a} Cho hàm số f (x) xác định tập hợp X ⊂ R a ∈ R điểm giới hạn tập hợp Xa+(Xa−) Định nghĩa Số A ∈ R gọi giới hạn hàm số f (x) x → a từ bên phải (từ bên trái) lim f (x) = A ( lim f (x) = A) x→a,x∈Xa− x→a,x∈Xa+ Chúng kí hiệu lim f (x), f (a + 0) x→a+0 lim f (x), f (a − 0) x→a−0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI HẠN - TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2013 / 53 Thể tích vật thể trịn xoay Bài tập Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = x 2, y = 0, x + y = quanh trục Ox Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = ln x, y = 0, x = 1, x = quanh trục Ox ĐS Vx = 2π ln2 − 4π ln + 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 19 / Thể tích vật thể trịn xoay Bài tập Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = x + arctan x, y = x − arctan x, x = 0, x = quanh trục Ox ĐS Vx = π − 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 20 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Định lý Cho cung AB có phương trình y = f (x), a x b Khi độ dài cung AB b + f 2(x)dx L= a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 21 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Chia đoạn [a, b] điểm A = M0, M1, , Mi−1, Mi , , Mn = B Độ dài cung Mi−1Mi Li = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 22 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Theo định lý Lagrange, ta có yi − yi−1 = f (ξi )(xi − xi−1) = f (ξi ).∆xi , ξ ∈ (xi−1, xi ) Khi độ dài cung AB n L = lim n→∞ n + (f (ξi ))2∆xi = Li = lim n→∞ i=1 i=1 b + f 2(x)dx = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 23 / Tính độ dài cung Ví dụ Ví dụ x ln x − ,1 Tính độ dài cung y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x TP HCM — 2013 24 / Tính độ dài cung Ta có f (x) = y = x − 1+ x − 4x L= = Ví dụ 4x x2 + dx = 4x + x2 dx = − ln |x| 4x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 + dx 16x =4+ 1 ln TP HCM — 2013 25 / Tính độ dài cung Bài tập Bài x3 Tính độ dài cung y = + ,1 12 x x ĐS 25 Bài Tính độ dài cung y = ln(1 − x 2), − ĐS ln − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x TP HCM — 2013 26 / Tính diện tích mặt trịn xoay Cơng thức tính diện tích mặt trịn xoay Định lý Diện tích mặt trịn xoay tạo quay cung tròn y = f (x), a x b quanh trục Ox b |f (x)| S = 2π + f 2(x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 27 / Tính diện tích mặt trịn xoay Cơng thức tính diện tích mặt trịn xoay Yếu tố diện tích dS = 2π|f (x)|d = 2π|f (x)| + f 2(x)dx Diện tích mặt tròn xoay b S= b |f (x)| dS = 2π a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + f 2(x)dx a ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 28 / Tính diện tích mặt trịn xoay Ví dụ Ví dụ Tính diện tích bề mặt tròn xoay tạo quay π cung y = sin 2x, x quanh trục Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 29 / Tính diện tích mặt trịn xoay Ví dụ y = cos 2x Khi π/2 √ sin 2x + cos2 2xdx S = 2π Đặt t = cos 2x ⇒ dt = −4 sin 2xdx ⇒ x π2 sin 2xdx = − dt, t −2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 30 / Tính diện tích mặt trịn xoay Ví dụ Vậy −2 √ S = 2π + t2 − π = 2 √ dt = + t 2dt = −2 √ π t√ = + t + ln(t + + t 2) 2 √ π √ = [2 + ln(2 + 5)] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN = −2 TP HCM — 2013 31 / Tính diện tích mặt trịn xoay Bài tập Bài Tính√ diện tích bề mặt trịn xoay quay cung y = x + 4, x √ quanh trục Ox ĐS √ √ 1+ 3 + ln √ π 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 32 / Tính diện tích mặt tròn xoay Bài tập THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 33 / ... limit(f,x,x0,’left’) Ví dụ: syms x; limit(abs(x -1) /(x -1) ,x ,1, ’left’) ⇒ ans= -1 Giới hạn phải điểm : limit(f,x,x0,’right’) Ví dụ: syms x; limit(abs(x -1) /(x -1) ,x ,1, ’right’) ⇒ ans =1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIỚI... + x)µ − lim = µ(µ ∈ R) x→0 x √ n 1+ x ? ?1 = (n ∈ N) lim x→0 x n √ 1+ x ? ?1 = lim x→0 x arcsin x arctan x lim = 1, lim =1 x→0 x→0 x x cosh x − 1 sinh x lim = 1, lim = x→0 x→0 x x2 TS Lê Xuân Đại (BK... HÀM MỘT BIẾN TP HCM — 2 013 23 / 53 Giới hạn vô bé hàm số Những giới hạn sin x = x→0 x loga (1 + x) lim = loga e = (a > 0, a = 1) x→0 x ln a ln (1 + x) lim =1 x→0 x lim (1 + x) x = e lim x→0 ax