Bài giảng môn giải tích 1 chuong2 GH LT

Mơn học : GIẢI TÍCH CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ (Học Bài tập) CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới thiệu lọai hàm : Hàm hợp, hàm ngược, hàm lượng giác ngược, hàm hyperbol Giới hạn hàm số - Hàm liên tục Vơ lớn – Vơ bé CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho phương trình tham số Đạo hàm cấp cao Vi phân, vi phân cấp cao Cơng thức Taylor – Maclaurint Ứng dụng tính giới hạn hàm Quy tắc L’Hospital Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x) Giới thiệu phần mềm MatLab để giải tốn giải tích CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM BIẾN Tích phân bất định Tích phân xác định – Cơng thức Newton-Leibnitz Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vơ tận Tích phân hàm khơng bị chặn Ứng dụng tích phân CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân cấp 1: dạng Phương trình vi phân cấp 2: Pt giảm cấp Pt tuyến tính Hệ Phương trình vi phân tuyến tính CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn liên tục – Nhắc lại hàm học Hàm số mũ: y = ax Nếu a=1 hàm làm hàm hằng, nên ta tính a≠1 Hàm xác định với a>0, a≠1 MXĐ: (-∞,+∞), MGT: (0,+∞) Khi 00, a ≠1 MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞) a>1: Hàm đồng biến lim log a x = −∞ x →0 + lim log a x = +∞ x →+∞ Giới hạn liên tục – Nhắc lại hàm học 01 cụ thể Đặc biệt: a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx ln b ta có cơng thức log a b = ln a Giới hạn liên tục – Nhắc lại hàm họcc Hàm lũy thừa : y=xa MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (0,+∞) a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (- ∞,+∞) Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính giới hạn L2 = lim x →1+ sin 2( x − 1) e x −1 + cos x − Lưu ý: Vì hàm dấu lim có cos x − tức x≥1 nên ta tính giới hạn phải Khi x→1+ (x-1) VCB nên : sin2( x − 1) : 2( x − 1) e x −1 + cos x − = (e x −1 − 1) + (1 − cos x − 1) : ( x − 1) + 2( x − 1) L2 = lim = x →1 ( x − 1) ( ) x − = ( x − 1) 2 Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính e x − esin x L3 = lim x →0 t an3x e2 x − esin x (e2 x − 1) − (esin x − 1) L3 = lim = lim x →0 t an3x x →0 t an3x x − sin x 2x − x L3 = lim = lim = x →0 x →0 3x 3x Giới hạn & liên tục – VCL VCB Ví dụ: Tính e x − esin x L4 = lim x →0 3x e x − esin x (e x − 1) − (esin x − 1) L4 = lim = lim x →0 x →0 3x 3x Đến đây, khơng thể thay VCB tương đương vì: e x − : x  sin x − : sin x : x e Tử số HIỆU CỦA VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ Ta có cách làm khác: dùng quy tắc L’Hospital dùng CT Taylor - Maclaurint Giới hạn & liên tục – VCL VCB VCL: Hàm số A(x) gọi vơ lớn (VCL) x→x0 lim A( x) = ∞ x → x0 Ví dụ: lim (2 x + sin x) = ∞ x →∞ lim = ∞ x →0 x Nên A(x)=2x2+sinx VCL x→∞ ⇒ A( x) = x VCL x→0 Giới hạn & liên tục – VCL VCB So sánh VCL: Cho A(x) B(x) hai vơ lớn x → x0 A( x) = k Giả sử lim x → x0 B ( x ) 1) Nếu k = ∞ , A(x) gọi VCL bậc cao B(x), 2) Nếu k hữu hạn, khác khơng, A(x) B(x) hai VCL cấp 3) Nếu k=1, A(x) B(x) hai VCL tương đương 4) Nếu A(x) bậc với (B(x))m bậc A(x) m so với B(x) Giới hạn & liên tục – VCL VCB Qui tắc ngắt bỏ VCL Tổ ng hữ u hạn cá c VCL lim x→ x Tổ ng hữ u hạn cá c VCL VCL bậ c cao nhấ t củ a tử = lim VCL bậ c cao nhấ t củ a mẫ u x→ x0 Giới hạn & liên tục – VCL VCB lim Ví dụ: Tính x →∞ 10 x − 2x + − 2x + x x5 + x3 − x + x + 3x3 − x Khi x → ∞ tử số mẫu số tổng vơ lớn khơng bậc Bậc lớn tử số mẫu số Vậy: lim x →∞ x10 − x5 + − x3 + x 4 x = lim =− 3 x →∞ −2 x x + x − x + x + 3x − x Giới hạn & liên tục – Phụ lục  x   1 + ÷ − 1  32   32 + x − L1 = lim = lim x →0 x →0 x x x = lim = x →0 x 80 cos3 x − cos x (cos3 x − 1) − (cos x − 1) L = lim = lim 2 x →0 x →0 x x 2 − x + 49 x = lim = 20 x →0 x Giới hạn & liên tục – Phụ lục L3 = lim cot x ×cot(π / − x) x →π /4 π − 2x = lim tan(π − x) = l im =2 x →π /4 tan(π − x) x→π /4 π − x 4 ( L = lim − tan x x →0 )  = lim  − tan x x →0  ( 1/sin (2 x ) ) tan x    tan x sin (2 x ) lim x2 x→0 (2 x )2 = =4 e e Giới hạn & liên tục – Phụ lục L5 = lim ( cosh x )   = lim ( + (ch x − 1) ) ch x −1  x →0   1/(1−cos x ) x →0 =e x2 lim x →0 x 2 ch x −1 1−cos x =e x −1  x −1   x2 +      L6 = lim  = lim 1 + ÷ ÷  x →∞ x − x →∞  x −      4x x2 =e lim x→∞ x −1 =e x2 Giới hạn & liên tục – Phụ lục x−2 −x (4.2 − 4) − ( x − 4) L7 = lim = lim x →2 x − x→2 x−2  4(e( x −2) ln − 1)  = lim  − ( x + 2)  x→2 x−2   4(( x − 2)ln 2) = lim − = 4(ln − 1) x→2 x−2 x 2 Giới hạn & liên tục – Phụ lục x  1/ x  L8 = lim  e + ÷ x →∞  x 1/ x −1+ ) x ( e x   1/ x −1+ 1   1/ x e  = lim 1 + (e − + ) ÷ x x →∞   x    =e 1/ x −1+ ) x ( e lim x x →∞ =e 1 ( lim x + x ) x x →∞ =e Giới hạn & liên tục – Phụ lục L9 = lim x →+∞ x + 14 + x x2 − + x x > lim x →+∞ x ( x ( ) =1 + 14 / x + ) 1− / x +1   (− x)  (1 − 14 ) − 1÷  ÷ x x + 14 + x   x < lim L10 = lim x →−∞ x →−∞   x −2 + x (− x)  (1 + 2 ) − 1÷  ÷ −14 x   2 x = lim = −7 x →−∞ 2 x Giới hạn & liên tục – Phụ lục −2 e x (1 − e x ) 1 L11 = lim+ th  ÷ = lim = − x →0  x  x→0+ e x (1 + e x ) x   +   x x 2÷ L12 = lim x  ln 1 + ÷− ln ÷ = lim x  ln x →+∞ x ÷  x→+∞    2    2 = lim x ln 1 + ÷ = lim x = x →+∞  x  x→+∞ x Giới hạn & liên tục – Phụ lục sin x − cos x − esin x ln(cos x ) L13 = lim = lim x →0 x →0 x x2 − sin x ln(1 + (cos x − 1)) − x(cos x − 1) = lim = lim =0 2 x →0 x →0 x x (2 + x)(2 − x) 4− x = lim =4 L14 = lim x →2 x →2 sh(2 − x ) 2− x ... 1- 1 : Hàm f : X → Y , f ( x) = y gọi làm hàm 1- 1 ∀x1 ≠ x2 : f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) X − − − − − −− > Y Hàm 1- 1 X − − − − − −− > Y Không hàm 1- 1 Giới hạn liên tục – Hàm hợp hàm ngược Hàm y=x hàm 1- 1... phần mềm MatLab để giải toán giải tích CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM BIẾN Tích phân bất định Tích phân xác định – Công thức Newton-Leibnitz Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận Tích phân hàm không... ngược Hàm y=x hàm 1- 1 Hàm y=x2 không hàm 1- 1 Hàm 1- 1 có đồ thị cắt đường thẳng y = C, với C thuộc MGT hàm điểm Giới hạn liên tục – Hàm hợp hàm ngược Hàm ngược : Cho hàm 1- 1 f : X → Y , f ( x