Bài giảng môn giải tích 1 dao ham

CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Đạo hàm Bài toán mở đầu 1: Xét đường cong y=f(x) Một điểm P cố định đường cong cát tuyến PQ Cho điểm Q chạy đường cong tới điểm P Nếu cát tuyến PQ dần đến vị trí giới hạn Pt đường thẳng Pt gọi tiếp tuyến đường cong P Bài toán đặt hàm có tiếp tuyến P hệ số góc bao nhiêu? t P Q Đạo hàm Bài toán mở đầu 2: Xét vật chuyển động đường thẳng Tại thời điểm t0 vị trí M0 với hồnh độ s0 = s(t0) Tại thời điểm t1 vị trí M1 với hồnh độ s1 = s(t1) Nếu vật chuyển động M0 M1 ta có t0 t1 vận tốc vật Nếu vật chuyển động khơng ta tính quãng đường Δs = s1 – s0 khoảng thời gian Δt = t1 – t0 Từ đó, ta có vận tốc trung bình tỉ số Δs/ Δt Khoảng thời gian Δt nhỏ vận tốc gần vận tốc thật Đạo hàm Cả hai tốn dẫn ta đến việc tính giới hạn tỉ số Δf/ Δx Δx→0 Tức dẫn đến việc lập hàm f(x) tính đạo hàm Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định lân cận x0, đạo hàm x0 hàm f(x) f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim = lim x → x0 ∆x →0 x − x0 ∆x Nếu giới hạn hữu hạn Các quy tắc tính đạo hàm ( f + g ) ′ = f ′ + g′ ( f g ) ′ = f g′ + g ′f  f ′ f g′ − g ′f g÷= g   Đạo hàm Bảng đạo hàm hàm −1 x ′ x x ′ x ′ / a = a ln a ⇒ e = e / ( arccos x ) = − x a ′ / x = a.x a −1 ′ 1 10 / ( arctan x ) = ′ ′ / ( log a x ) = ⇒ ( ln x ) = + x2 x ln a x −1 ′ 11 / ( arccot x ) = / ( sin x ) ′ = cos x + x2 / ( cos x ) ′ = − sin x 12 / ( shx ) ′ = chx ′ ′ = shx / ( tan x ) = = + tan x 13 / chx ( ) cos x ′ 14 / ( thx ) = 2 ′ / ( cot x ) = − = −(1 + cot x) ch x sin x ′ 15 / ( cthx ) = − sh x / ( arcsin x ) ′ = − x2 ( ) ( ) ( ) Đạo hàm Đạo hàm phía: Đạo hàm trái: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) f −′ ( x0 ) = lim − ∆x →0 ∆x Đạo hàm phải: f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) f +′ ( x0 ) = lim + ∆x →0 ∆x Định lý: Hàm f(x) có đạo hàm x0 có đạo hàm trái, đạo hàm phải x0 đạo hàm Đạo hàm vơ cùng: Nếu f (∆x + x0 ) − f ( x0 ) lim =∞ ∆x → ∆x Thì ta nói hàm f có đạo hàm vơ cực Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm hàm f ( x) = x − Áp dụng quy tắc bảng đạo hàm ta có f ′( x) = 3 ( x − 1) Như vậy, x=1 thay x=1 vào f ’ để tính mà phải dùng định nghĩa f (∆x + 1) − f (1) ∆x ′ f (1) = lim = lim = +∞ ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x Vậy:  ,x ≠1  f ′( x) =  ( x − 1)  ∞, x =  Đạo hàm Ví dụ: Tính đạo hàm  sin x ,x ≠  f ( x) =  x 1, x = Khi x≠0, ta tính bình thường Khi x=0, ta dùng đ/n  sin ∆x  f (∆x + 0) − f (0) = lim − 1÷ = f ′(0) = lim  ∆x →0 ∆x  ∆x ∆x →0 ∆x  Vậy:  x cos x − sin x ,x ≠  f ′( x) =  x 0, x = Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp h = f og ⇒ h′ = f ′.g ′ Tức y = g ( x), h( x) = f ( y ) ⇒ h′( x) = f ′( y ).g ′( x) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm : a f(x) = tan (x3+x) b g(x) = esinx ′ ( x + x) 3x + f ′( x) = = cos ( x + x) cos ( x3 + x) g ′( x) = esin x (sin x)′ = cos x.esin x Đạo hàm Đạo hàm hàm hợp ( f ( x) ) ′ f ( x) f ′( x ) ′ / ( ln f ( x) ) = f ′( x) f ( x) 1/ e ( / f ( x) a =e ) ′ = a f ( x) a −1 f ′( x) / ( sin f ( x) ) ′ = cos f ( x ) f ′( x) / ( cos f ( x) ) ′ = − sin f ( x) f ′( x ) / ( tan f ( x) ) ′ = f ′( x ) cos ( f ( x)) − f ′( x) ′ / ( cot f ( x) ) = sin f ( x) / ( arcsin f ( x) ) ′ = / ( arccos f ( x) ) ′ = 10 / ( arctan f ( x) ) ′ = f ′( x) − f ( x) − f ′( x) − f ( x) f ′( x) + f ( x) − f ′( x) ′ 11 / ( arccot f ( x) ) = + f ( x) Công thức Taylor - Maclaurint Sử dụng phần dư Lagrange sử dụng CT Taylor để tính gần có đánh gía sai số Sử dụng phần dư Peano sử dụng CT Taylor để tính giới hạn Khi x0 = CT Taylor gọi CT Maclaurint f ( k ) (0) k f ( x) = ∑ x + Rn k! k =0 f ′′(0) f ( n ) (0) n = f (0) + f ′(0).x + x + + x + Rn 2! n! n Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Taylor hàm y=x4+3x3-5x2+x-1 x0=1 y(1) = -1 y′ = x3 + x − 10 x + ⇒ y′(1) = y′′ = 12 x + 18 x − 10 ⇒ y′′(1) = 20 y′′′ = 24 x + 18 ⇒ y′′′(1) = 42 y (4) = 24 ⇒ y (4) (1) = 24 Vậy: y = −1 + 4( x − 1) + 10( x − 1) + 7( x − 1) + ( x − 1) Công thức Taylor - Maclaurint Công thức Maclaurint số hàm với phần dư Peano n x e = + x + x + x + + x + O ( x n ) 3! n! (−1) n +1 n +1 n +1 sin x = x − x + x + + x + O( x ) 3! 5! (2n + 1)! 2n ( −1) cos x = − x + x + + x 2n + O( x 2n ) 2! 4! (2n)! n +1 n +1 shx = x + x + x + + x + O( x ) 3! 5! (2n + 1)! 2n chx = + x + x + + x + O( x 2n ) 2! 4! (2n)! Công thức Taylor - Maclaurint Công thức Maclaurint số hàm với phần dư Peano n x x (−1) n +1 arctan x = x − + − L + x + O ( x n +1 ) 2n + 1 ( −1) n −1 n n ln(1 + x) = x − x + x − x + + x + O( x ) n α (α − 1) α (α − 1) (α − n + 1) n α (1 + x) = + α x + x + + x + O( x n ) 2! n! = − x + x − x3 + + (−1) n x n + O( x n ) 1+ x = + x + x + x3 + + x n + O( x n ) 1− x Cơng thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Taylor x0 = -1 đến cấp hàm f ( x) = x − 3x + 1 1 f ( x) = − = + x − x − −2 − x − x 3  x x  x x = 1+ +  ÷ +  ÷ + O ÷ ÷   ÷ 1− x 2 2 2   = + x + x + x3 + O ( x3 ) 1− x 1 15 f ( x) = + x + x + x + O( x3 ) 2 16 Cơng thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint hàm f(x) = ln(x2+5x+4) tính f(10)(0) x f ( x) = ln( x + 1) + ln( x + 4) = ln( x + 1) + ln + ln(1 + ) n n  (−1) n ( −1) x n x n  n  x x = ln +  x − x + + x + O( x ) ÷+  − ( ) + + ( ) + O(( ) ) ÷ n n 4    4 1 ( −1) n n n = ln + x − (1 + ) x + + (1 + n ) x + O( x ) n 4 n n ( −1) n Vậy: f ( x) = ln + ∑ (1 + n ) x + O( x n ) k =1 n f (10) (0) Theo CT Taylor: Là hệ số x10 khai 10! 10 10 ( − 1) 1 + (10) triển Suy ra: f (0) = 10! (1 + 10 ) = 10 9!410 Cơng thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint đến cấp hàm y = sin2x − cos x f ( x) = 1 1  = − 1 + 0.(2 x) − (2 x) + 0.(2 x) + (2 x) + 0.(2 x)5 + O( x ) ÷ 2 2! 4!  Vậy: f ( x) = x − x + O( x ) Chú ý: Vì hệ số x5 khai triển yêu cầu khai triển đến bậc ta phải viết phần dư O(x5) Nếu ví dụ trên, yêu cầu khai triển đến bậc phần dư O(x4) : f ( x) = x − x + O ( x ) Cơng thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint đến cấp hàm y=arcsinx Ta có : y′ = − x2 x x x dt  −1 2 − 2  ⇒y=∫ = ∫ (1 − t ) dt = ∫  + (−t ) + O(t ) ÷dt 2  1− t 0 arcsin x = x + x + O( x3 ) Công thức Taylor - Maclaurint tan x − sin x Ví dụ: Tính giới hạn lim x →0 sin x Sử dụng khai triển Maclaurint tử số tử số tổng VCB tương đương với x x→0 Còn mẫu số, ta cần thay sin3x ~ x3 Như vậy, bậc mẫu số (so với x) nên tử số ta khai triển đến x3 3     tan x − sin x =  x + x + O ( x ) ÷−  x − x + O ( x ) ÷ 3!     3 = x + O( x ) : x 2 tan x − sin x x3 Vậy: lim = lim = x →0 x →0 x sin x Công thức Taylor - Maclaurint ln + x3 − 2sin x + x cos x Ví dụ: Tính giới hạn L = lim x →0 tan x − sin x Vì: tan x − sin x : x3 Nên tử số ta khai triển hàm đến x3  3 3  ln(1 + x ) = x + O( x ) −2sin x = −2  x − x + O( x ) ÷ 3!   2 2 k.tr hàm cosx đến bậc 2 x cos x = x + 0.x + O( x ) có 2x nhân vào ( ( ( ) ) ) (   x + O( x ) −  x − x + O( x3 ) ÷+ x + 0.x + O( x ) 3!   L = lim x →0 x = 3 ) Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính giới hạn L = lim + x cos x − + x x →0 ln(1 + x) − x Ta dùng k.tr Maulaurint khơng thay VCB Dưới mẫu số, ta cần khai triển đến cấp khác nên tử số ta khai triển đến cấp 2   ln(1 + x) − x =  x − x + O( x ) ÷− x : − x 2   + x cos x − + x = ( − 1)   = + x ( − 0.x + O ( x) ) − 1 + x + 2 (2 x) + O( x ) ÷: x  ÷ 2!   −1 / x L = lim = −1 x →0 / x Công thức Taylor - Maclaurint arcsin x − sin x Ví dụ: Tính giới hạn L = lim x x →0 e + ln(1 − x ) − Khai triển đến x3 tử số cần đến x3 khác 3   arcsin x − x =  x + x + O ( x ) ÷− x : x 6   e x + ln(1 − x) − =     = 1 + x + x + x + O( x ) ÷+  (− x) − (− x) + (− x)3 + O( x ) ÷−     : − x / 6x L = lim = −1 x →0 −1 / x Cơng thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính gần với sai số ε = 10-3 giá trị A = ln(1,05) Sai số chênh lệch giá trị A mà ta khơng tính giá trị gần A mà ta tính Khi sai số nhỏ, giá trị ta tính xác Trong phần này, ta sử dụng cơng thức Taylor với phần dư Lagrange để tính n −1 1 ( − 1) n Đặt f ( x) = ln(1 + x) = x − x + x3 + + x + Rn n Cần tính A = ln(1,05) tức ta chọn x0=0,05, số c phần dư Lagrange Rn nằm 0,05 Công thức Taylor - Maclaurint n n +1 f ( n +1) (c) n +1 ( − 1) 0,05 Rn = x , ≤ c ≤ 0,05 = n + (n + 1)! (n + 1)! (c + 1) Ta phải tìm n để |Rn|≤10-3 ≤ c ≤ 0,05 ⇒ ≤ + c ≤ 1,05 ⇒ ≥ (1 + c) n n +1 0,05 −3 = ⇒ Rn ≤ ⇒n=2 n +1 ≤ 10 = (n + 1)! (n + 1)!20 1000 Vậy: A = ln(1,05) ≈ 0,05 − (0,05) = 0,05 − 0,00125 = 0, 04875 ≈ 0, 49 Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính gần với sai số ε = 10-5 giá trị A = 29 2 Đặt f ( x) = (1 + x) , x = , A = f ( ) 27 27 1/3 ( − 1) ( − 1) ( − n + 1) f ( x) = + x + 3 x + + 3 x n + Rn 2! n! n +1 ( − 1) ( − n) ( n +1) f (c) n +1 n +1   3 Rn = x = c  ÷ ,0 ≤ c ≤ (n + 1)! (n + 1)!  27  n +1 2.5 (3n − 1)   Rn ≤ n +1  ÷ (n + 1)!  27  2n +1.2.5 (3n − 1) = ≤ ⇒n=4 4n + 3.100000 ( n + 1)! −2 2.5 −2.5.8 16   ⇒ 29 ≈ 1 + + + + ÷  27 2.3 729 6.3 19683 24.3 531441  = 3,0723 ... Suy ra: 1 = ( x − 1) x ? ?1 y (10 ) = f g (10 ) + 10 .g (9) ? ?19 ? ?1 −3 ? ?17 = ( x + 1) ( x − 1) 2 2 ? ?17 ? ?1 −3 ? ?15 +10 ( x − 1) 2 2 ? ?17  1. 3.5 15 17 x +  = ( x − 1) ? ?10 − ÷ x −   Đạo hàm cấp... (n +1) bước, ta ( n +1) ( n +1) ′ ′′ R ( xn +1 ) f ( xn +1 ) R ( x) R ( x1 ) R ( x1 ) = = = = ( n +1) = G ( x) G′( x1 ) G′′( x1 ) (n + 1) ! G ( xn +1 ) Với xn +1 nằm x x0 (x≤xn +1? ??x0) Đặt c = xn +1, ... đh cấp n y = x ? ?1 Vì: 1? ?? 1  y= =  − ÷ x − x + x ? ?1   Nên : y ( n ) (n) (n)       =  − ÷ ÷ ÷    x ? ?1   x +1? ?? ÷   (? ?1) n!  1 = −  n +1 n +1 ÷  ( x − 1) ( x + 1)  n Đạo hàm