Bai giang mon giai tich 1 cua tac gia to van ban

Tiên đề số thực Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực, ký hiệu là , ở đó có trang bị hai luật hợp thành trong phép toán  và... Phần tử bé nhất trong các cận tr

PGS TS TÔ VĂN BAN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I

( Phiên bản bê ta II: 03-09 / 2010 )

Hà nội - 2010

2.5.4 Khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số 85 2.5.5 Khảo sát đường cong cho dưới dạng tọa độ cực 87

Chương III Tích phân 96

3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 98 3.1.4 Tích phân bất định của một số lớp hàm sơ cấp 104

3.3.7 Định lý biến thiên toàn cục

4.4.3 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 161

4.5.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ 162

4.5.4 Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa 165

(a; b), [a; b], (a; b], khoảng suy rộng trên  : khoảng, đoạn, nửa khoảng

|a| trị tuyệt đối của số thực a,

 tích phân suy rộng loại I của hàm f(x) trên[a;  )

f (x) o (g(x)) f(x) là vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé g(x)

f (x) O(g(x)) f(x) là vô cùng bé cùng bậc so với vô cùng bé g(x)

f (x)g(x) f x là vô cùng bé tương đương với vô cùng bé g(x)

* Các số tự nhiên khác không 1, 2, , n, ký hiệu là  *;

  , ký hiệu là  Trong đại số ta biết  là một trường

Trong  không có các phần tử kiểu như 2, e, , , gọi là các số vô tỷ Cần đưa vào  các số vô tỷ để được - tập các số thực - rộng hơn  Có nhiều cách xây dựng tập các số thực như dùng các số thập phân vô hạn tuần hoàn, lát cắt Dedekin, Chúng ta đưa ra phương pháp xây dựng số thực sau đây, dễ hiểu

và được chấp nhận rộng rãi

b Tiên đề số thực

Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực, ký hiệu là

, ở đó có trang bị hai luật hợp thành trong (phép toán)  và và một quan hệ thứ tự  sau cho:

6) Phép nhân có tính chất giao hoán: a, b, a.bb.a

7)  có phần tử trung hòa với phép nhân, ký hiệu là 1, thỏa mãn điều kiện: a.1 1.a  a

8) Mọi phần tử a{0} đều có phần tử nghịch đảo, ký hiệu là a1, thỏa mãn điều kiện a a1a a1  1

9) Phép nhân phân phối với phép cộng:

a, b, c , a.(bc)a.ba.c (☼)

ii)  là một quan hệ thứ tự toàn phần trong , cụ thể là:

iii) Giữa các phép toán , và quan hệ thứ tự  có mối liên hệ sau đây: 1) ab  a c b c

2) d0, a b a.db.d

iv) Mỗi tập không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng

Các đòi hỏi i) - iv) xem là những tiên đề của số thực Riêng tiên đề iv) cần

có những giải thích tỷ mỉ hơn sau đây

c Cận, bị chặn

Ta nói x  là một cận trên (hay biên trên) của tập hợp A  nếu

a A, a x

  

Ta nói y   là một cận dưới (hay biên dưới) của tập hợp A   nếu

Ký hiệu phần tử lớn nhất của tập hợp A là Max(A)

Tương tự những điều trên đối với khái niệm phần tử nhỏ nhất Ký hiệu phần

Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

Supremum Phần tử bé nhất trong các cận trên của tập hợp A, nếu tồn tại,

được gọi là cận trên đúng của A, ký hiệu là Sup(A) (đọc là supremum của tập hợp A)

Phần tử lớn nhất trong các cận dưới của tập hợp A, nếu tồn tại, được gọi là cận dưới đúng của A, ký hiệu là Inf(A)

Có thể xảy ra trường hợp Sup(A)A hoặc (và) Inf (A)A Chẳng hạn khi A(a; b)

Dễ thấy tiên đề iv) tương đương với:

iv') Mỗi tập không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng

f

 

Vậy, cả hai biểu diễn của q cho ra cùng 1 kết quả

Rõ ràng ánh xạ f là đơn ánh Vậy ta có thể đồng nhất  với

{ 1, q }f ( ) là một tập hợp con của  Như vậy, coi  là 1 bộ phận

Khoảng I, lấy thêm 2 mút của nó gọi là bao đóng của I, ký hiệu là I

Bất đẳng thức Mincopski (Bất đẳng thức tam giác trong  ) n

Chứng minh Bình phương 2 vế rồi đưa về bất đẳng thức C-B-S

b Giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối của số thực x là một số thực, ký hiệu là

c Khoảng cách thông thường trong 

ĐN Khoảng cách (thông thường) trong  là ánh xạ

Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y (hay từ x đến y)

Tính chất Các tính chất sau suy trực tiếp từ định nghĩa giá trị tuyệt đối

Chúng ta nhắc lại tiên đề về cận trên đúng:

Mọi tập A không trống và bị chặn trên đều có cận trên đúng Sup(A)

Hệ quả Mọi tập A không trống và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng

1 ( 1)

n2

8 42

    #

Định lý 1.1. Cho A  là tập không trống Khi đó

M là môt cân trên, (*)

Chứng minh a) " : Cần Giả sử " MSup(A) Vậy M là một cận trên Ta giả

sử không xảy ra (**), nghĩa là   0 0, a A, aM  Như vậy, 0 M   0cũng là 1 cận trên của A Rõ ràng M  0 M Vậy M không là cận trên nhỏ nhất, mâu thuẫn

b) " : Đủ Giả sử xảy ra (1) và (2) Như vậy M là 1 cận trên Giả sử M "không là cận trên nhỏ nhất Vì A bị chặn trên (ít ra bởi M) nên tồn tại cận trên nhỏ nhất M' và M M Đặt  MM Theo (**), 0

a A : M M (M M ) M a M

Vậy M không là cận trên, mâu thuẫn 

Lưu ý Điểm a nói ở (2) có thể chính là Sup(A) hoặc không

b Căn bậc n của số dương (☼)

Cho a  , ta sẽ chứng minh ! b    để  bn  , với n nguyên dương: a

Giả sử ngược lại, bn  Xảy ra 2 khả năng a

Khả năng 1: bn  Ta sẽ chứng minh tồn tại số thực a  (0; 1) để

(b )n  (*) aKhi đó b  E, bb  mâu thuẫn với định nghĩa bSup(E)

Bây giờ ta chứng minh (*) Theo khai triển nhị thức Newton,  (0; 1) thì

Như vậy (*) được chứng minh, tức là khả năng 1 không xảy ra

Khả năng 2: bn  Chứng minh tương tự, trường hợp này cũng dẫn đến amâu thuẫn Như vậy khả năng 2 cũng không xảy ra

b  Phần tử b này được ký hiệu bởi a na hay a1/n và gọi là căn bậc n của a

Với n2, ta ký hiệu a thay cho 2a

Độc giả có thể tự định nghĩa căn bậc lẻ của số âm: 2n 1 a , a0

c Tính chất Archimede - Phần nguyên

Định lý 1.2.  có tính chất Archimede sau đây:

 0, A0,  n *: n A

Hình ảnh trực quan: Nếu tôi có một cái gậy, thì dù anh có xa tôi mấy đi nữa,

tôi đặt liên tiếp các gậy này, tôi sẽ đến và đi quá chỗ anh đứng

   : Mâu thuẫn với cách xác định của b 

Phần nguyên Bây giờ cho x là số thực bất kỳ Lấy   , theo Định lý 1.2, 1

n : n n 1 x

   Vậy tập hợp {n: nn.1x} bị chặn trên Rõ ràng tập

hợp này không rỗng Vậy tồn tại phần tử lớn nhất, ký hiệu là [x] Ta thu được

Mệnh đề - Định nghĩa Với mọi x  tồn tại duy nhất số nguyên n , 

sao cho nxn 1 Số nguyên như vậy được gọi là phần nguyên của x, ký hiệu

là [x] (☼)

Định lý 1.4. Tập hợp các số vô tỷ   trù mật trong  

1.1.4 Đường thẳng thực mở rộng

Định nghĩa Thêm vào  hai phần tử bổ sung, gọi là âm vô cực (âm vô

cùng), dương vô cực (dương vô cùng), ký hiệu lần lượt là    được tập hợp ,mới, ký hiệu là 

Khi đó  được gọi là đường thẳng thực mở rộng

Lưu ý Các phép toán ,  không được định nghĩa cho mọi phần tử của  ,

ví dụ (  ) ( ), 0.(), (ứng với các dạng vô định)

1.1.5 Lực lượng của ,  (Tự đọc) (☼)

Định nghĩa Cho 2 tập bất kỳ A và B A được gọi là có lực lượng bé hơn lực

lượng của B nếu tồn tại một đơn ánh f : AB

A và B được gọi là có cùng lực lượng (có lược lượng như nhau) nếu tồn tại song ánh f : AB

Lực lượng của tập hợp A ký hiệu là Card(A) (có tài liệu ghi là #A)

Nếu A là tập hữu hạn n phần tử: A{a , , a }1 n thì quy ước Card(A)n Nếu lực lượng của A bé hơn lực lượng của B thì ta viết

Chẳng hạn, chúng ta có thể sắp xếp tập này thành dãy như sau:

Tính chất  là tập hợp không đếm được, ngoài ra

Card( ) Card[0; 1]Card(0; 1)Card(0; 1]

Nếu bớt đi (hay thêm vào) một tập hợp không đếm được một tập hợp đếm được thì được một tập hợp không đếm được

Định nghĩa Tập hợp A được gọi là có lực lượng nhỏ hơn thực sự lực lượng

của tập hợp B, và ta viết Card(A)Card(B) nếu:

a.1 Giới hạn thông thường

Dãy {u } được gọi là hội tụ đến giới hạn  (hay có giới hạn  ) nếu với mọi n

số   , tồn tại N   sao cho 0 | un |   , n N

 Hai dãy số trùng nhau từ một số hạng nào đó trở đi cùng hội tụ hay cùng phân kỳ

 Nếu ta thay đổi một số hữu hạn số hạng, hay thêm vào hoặc bớt đi một

số hữu hạn số hạng của dãy thì được một dãy cùng hội tụ hay cùng phân

kỳ như dãy dãy cho

a.3 Giới hạn vô hạn

Ta nói dãy {u } tiến đến + (hay n {u }có giới hạn + , n {u } nhận + nlàm giới hạn ) nếu:

Ta nói dãy {u } tiến đến  (hay n {u } có giới hạn  , n {u } nhận  làm ngiới hạn) nếu:

 L 0,  N :  n N, | u | L.n 

Định lý 1.11. Cho hai dãy {u }, {v } n n

n n n

n

n n n

 

 

  được xác định từ một chỉ số N

n n

8 u , v 0 (n  ) Dãy n

n

uv

 

 

  được xác định từ một

 

 

  xác định, ít ra từ chỉ số M trở đi Ta có

Ví dụ 1.2 Xét sự hội tụ của dãy  na , (a0)

Trường hợp 1: a  1 Dùng khai triển nhị thức Newton ta có

Trường hợp 2: 0  a  1 Khi đó 1/ a Theo trường hợp 1, 1

n n

Ví dụ 1.3 Xét sự hội tụ của dãy

n m

n

    Thực vậy, với n đặt h2 A 1  thì: 0

an

m m

Ta nói hàm mũ dần ra vô hạn nhanh hơn bất kỳ hàm lũy thừa nào (hay hàm

mũ trội hơn hàm lũy thừa) #

Ví dụ 1.4 Chứng minh rằng

n n

Ta nói giai thừa trội hơn hàm mũ (n! dần ra  nhanh hơn an) #

1.2.2 Dãy đơn điệu

a Định nghĩa

Dãy {u } được gọi là tăng (giảm) nếu n un un 1 (un un 1 ) với mọi n

-

24

Dãy {u } được gọi là tăng (giảm) thực sự nếu n un  un 1 (un  un 1 ) với mọi n

Dãy tăng hoặc giảm gọi chung là dãy đơn điệu

Định lý 1 14 Dãy tăng (giảm), bị chặn trên (dưới) thì hội tụ

Chứng minh + Giả sử dãy {u } tăng và bị chặn trên: n

u u  L  Tập hợp {u , nn 1, 2, } không trống và bị chặn trên Theo tiên đề về cận trên, tồn tại MSup{u , nn 1, 2, } Ta sẽ chứng minh

Hệ quả Dãy tăng, không bị chặn trên thì hội tụ tới +,

Dãy giảm, không bị chặn dưới thì hội tụ tới - .

Ví dụ 1.5 Hai dãy

n n

Hình 1.1 chỉ ra 7 giá trị đầu của dãy {u } và n {v } n

(Chúng ta nhớ lại định nghĩa khác của e:

n n

là dãy, nhưng không là dãy con của {u } vì chỉ số 1 bị lặp lại! n

Định lý 1.16 Nếu {u } có giới hạn  thì mọi dãy con trích ra từ đó cũng n

Ví dụ 1.6 Xét sự hội tụ của dãy {( 1) } n

2n 2n

2n 1 2n 1

u ( 1) 1 1 (n )

u  ( 1)  1 1 (n )

       

Vì 1  , theo Định lý 1.16, dãy này không thể hội tụ, vậy nó phân kỳ 1 #

Định lý 1.17 Cho {u } là một dãy, còn  là một số thực Khi đó, n

2n n

n

n

lim ulim u

Vậy n

n

lim u

   

Lưu ý: Có thể mở rộng Định lý trên bằng cách tách {u } thành hai hoặc k n

dãy con rời nhau

Định lý 1.18 (Bổ đề Bolzano-Weierstrass) Từ mọi dãy số thực bị chặn đều

có thể trích ra một dãy con hội tụ

Chứng minh Cho dãy bị chặn {u }n a , b1 1  :    , n * a1un b1

Đặt h b1a1 Rõ ràng đoạn 0 [a ; b ] chứa vô hạn phần tử của dãy 1 1 {u } n

[a ; (a b ) / 2], [(a1b ) / 2; b ]1 1 Có ít nhất một trong 2 đoạn này chứa vô hạn

các phần tử của dãy {u } Gọi đoạn đó là n [a ; b ] 2 2

Tương tự, bằng quy nạp ta xây dựng được dãy đoạn [a ; b ] mà n n

+ Chứa vô hạn các phần tử của dãy {u } , n

nhau) Theo Định lý 1.15, tồn tại giới hạn chung của chúng:

k k

lim a lim b

     Theo định lý kẹp

k

n k

lim u





   thì    Khi đó  được gọi là giới hạn trên của dãy {u }n và ký hiệu là lim u n

Chúng ta dễ dàng hiểu ý nghĩa của giới hạn dưới lim u n

Định lý 1.19

i Luôn tồn tại lim u   n

Hơn nữa nếu {u } không bị chặn trên thì n lim u   n

ii Nếu {u }n bị chặn trên bởi M thì lim un M

nlim u lim u lim u

Dãy {u } là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ n

Chứng minh a Đủ "" Giả sử {u } là dãy hội tụ Đặt n n

u hội tụ đến giới hạn  nào đó;

+ Chứng minh  là giới hạn của {u }  nNét đặc sắc của Định lý Cauchy là nó không cần đến giới hạn của dãy Định

lý được sử dụng hiệu quả để chứng minh dãy không hội tụ

Ví dụ 1.7 Xét sự hội tụ của dãy xn 1 1 1

    N

Ví dụ 1.8 Chứng minh rằng các dãy {sin n}, {cos n} không hội tụ

Giải i Ta có | sin(n2) sin n | 2 | cos(n 1)sin1| | cos(n 1) |    

Giả sử N là một số nguyên dương cho trước bất kỳ Chọn  1 / 2 Xét 7 số nguyên liên tiếp N + 1, , N + 7 Khi thể hiện góc lượng giác của 7 số nguyên này lên vòng tròn đơn vị, có ít nhất một điểm nằm trên cung AC (vì độ dài cung ACbằng 2/3 1)

B x

A

0,5

0 0 0

| sin(n 2) sin n | | cos(n 1) | 1 / 2

Theo nguyên lý Cauchy, dãy đã cho không hội tụ

ii Ta có cos(n2)cos n 2 sin (n 1) sin1

Nếu dãy {cos n} có giới hạn thì vế trái dần đến 0, và do đó vế phải cũng dần đến 0 (khi n dần ra vô hạn), mâu thuẫn với i

Hình 1.2 Dãy sinn

51 số hạng đầu của dãy sin n thể hiện ở Hình 1.2. #

d Dãy truy hồi dạng un 1 f (u )n (☼)

Cho f : I là hàm nào đó từ khoảng đóng I vào I, còn dãy I {u } xác định nbởi công thức truy hồi un 1 f (u )n

d.1 f(x) liên tục và un    (n ) thì I và f ( )   (  được gọi

là điểm bất động của ánh xạ f)

Thường ta phải giải phương trình này, các nghiệm của nó gọi là các giới hạn

"khả dĩ" của dãy {u } n

d.2 f(x) đơn điệu tăng

+ Trường hợp 1: u0u1u1u2 Vậy {u } tăng n

+ Trường hợp 2: u0u1u1u2 Vậy {u } giảm n

Như vậy {u } đơn điệu Cần xét thêm tính bị chặn của nó Thường n {u } bị nchặn bởi giới hạn 'khả dĩ"

d.3 f(x) đơn điệu giảm

Khi đó hàm g(x)f (f (x)) đơn điệu tăng Theo phần d.2, hai dãy

{u } và {u  } đơn điệu, chiều biến thiên của chúng trái ngược nhau

Việc xét dấu của g(x) , cũng vậy, x g(x) 1

x  giúp ta dễ dàng xét chiều biến thiên của 2 dãy này Cần xét thêm tính bị chặn và sự bằng nhau của giới hạn của 2 dãy chẵn lẻ đó

Lưu ý Để xét dấu của u1u0 đôi khi ta xét dấu của f (x) x (☼)

Ví dụ 1.9 Tìm giới hạn của dãy n 0 n 1 n

2 n

u{u }: u 1, u

u 1





u 1 u 1lim u 0.

uu

ĐS

n 0

1.3.1 Các phương pháp biểu diễn hàm số (☼)

Hàm số được biểu diến theo một trong 4 cách:

 Bằng biểu thức  Bằng bảng số liệu

 Bằng đồ thị  Bằng lời

a) Biểu diễn hàm số theo phương pháp đại số (bằng biểu thức hiển)

Biểu thức là dạng thông dụng nhất, dễ xử lý nhất của hàm số Sau đây là một vài ví dụ

* Diện tích hình tròn bán kính r được tính bởi công thức S r2 Bởi vì bán kính luôn dương, đòi hỏi cần có là r 0

* Chiều cao của hòn đá thả rơi tự do từ một tháp cao 140 m có thể tính theo công thức h 1404,9t2, t là thời gian tính từ lúc thả Vì đá chỉ có thể rơi xuống đến mặt đất, đòi hỏi của thời gian là 140 4,9t 2  hay 0

0 t 140 / 4,95,35

Trong hai ví dụ trên, r, t tương ứng là biến số (hay biến độc lập); S, h là hàm số (hay biến phụ thuộc) Các tập (0; ( tương ứng [0; 5,35] ) là tập xác )định

b) Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu

Các kết quả đo đạc trong phòng thí nghiệm hay được thể hiện dưới dạng bảng Bảng số là dạng rất tự nhiên của hàm số Xét các ví dụ sau

* Dân số thế giới P phụ thuộc vào thời gian t Tại mỗi thời điểm t có một giá trị của P (triệu người) Ta nói rằng P là hàm của t và ta viết PP(t) Tuy nhiên, chúng ta chỉ biết dân số tại một số năm nhất định Bảng sau cho ta xấp xỉ dân số tại một số năm chẵn Chẳng hạn, tại năm 1950 là P(1950)2 520 (triệu người)

Tình hình tương tự như vậy ở 2 cột cuối của Bảng 1.1, ở đó chỉ ra tỷ lệ thể tích CO trong không khí (phần triệu) Như vậy, mặc dầu tỷ lệ C của 2 CO trong 2không khí là hàm của thời gian t: CC(t) Tuy nhiên, ta không biết công thức hiển của C qua t, ta chỉ biết giá trị của C tại một số điểm nhất định

Tuy nhiên, có thể lại hoàn toàn không có những giá trị trung gian kiểu như

t1981 Trong trường hợp ấy, khó mà dùng dạng khác của hàm số ngoài dạng bảng như trên

Bảng 1.1 Dân số thế giới (a) và nồng độ CO2 trong không khí (b)

-

32

Hình 1.3 Gia tốc đứngcủa mặt đất trong một trận động đất

d) Biểu diễn hàm số bằng cách mô tả (bằng lời)

Hàm số cũng có thể cho theo cách mô tả Chẳng hạn, trọng lượng cơ thể người là hàm theo thời gian t; lợi nhuận của cửa hàng xăng là hàm của khối lượng xăng dầu tiêu thụ được

Một hàm số có thể có một số dạng biểu diễn Chúng ta cần có những kỹ năng để chuyển từ dạng biểu diễn này sang dạng khác, dầu rằng điều đó không phải lúc nào cũng làm được

Chúng ta dẫn ra sau đây định nghĩa tổng quát về hàm số

Định nghĩa. Cho hai tập hợp X và Y trong  Hàm số f là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x của tập hợp X với một phần tử f(x) duy nhất của tập hợp Y

Hình 1.4 Sơ đồ biểu diến hàm số

Người ta thường ký hiệu hàm số như sau:

f : X Y

x X f (x) Y



   hay đơn giản hơn, yf (x), xX

Tập hợp X gọi là tập xác định của hàm số Số f(x) gọi là giá trị của hàm f tại x Tập những giá trị có thể nhận của hàm số được gọi là tập giá trị của nó:

W{f (x) : xX}

a o

x o o

X Y

o f(a)

o f(x)

o

Với hàm số yf (x), xX, x gọi là biến số độc lập (hay đối số), y gọi là biến phụ thuộc (hay hàm số)

Biến độc lập thường ký hiệu là x, biến phụ thuộc thường ký hiệu là y, nhưng cũng có thể dùng các ký hiệu khác Chẳng hạn, để chỉ hàm số

đồ thị hàm số (dầu rằng ở phổ thông ta đã có những năng lực nhất định), đọc đồ thị, xử lý thông tin từ đồ thị

Đường cong nào trên mắt phẳng tọa độ là đồ thị của hàm nào đó? Trả lời câu hỏi này, ta dùng kiểm định đường dốc đứng sau đây

Kiểm định đường dốc đứng Đường cong (L) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

là đồ thị của một hàm số nào đó khi và chỉ khi một đường thẳng song song với trục tung chỉ có thể cắt (L) tại nhiều nhất 1 điểm

Trong Hình 1.5, đường cong (a), (d) là đồ thị của hàm nào đó, đường cong (b), (c) không là đồ thị của bất kỳ hàm số nào

Hình 1.5 Một số đường cong trong mặt phẳng

-

34

Bây giờ ta xét đường cong (L) : xy2  ở Hình 1.5 (c) Tuy nó không 1 0

là đồ thị của bất kỳ hàm nào, nhưng nhận xét rằng

Ví d 1.11 Khi bật bình nước nóng lên, nhiệt độ nước trong bình phụ thuộc

vào thời gian đun Ta tắt bình đi rồi đem nước nóng sử dụng Vẽ sơ lược đồ thị nhiệt độ nước trong bình

Giải Nhiệt độ ban đầu của nước gần với nhiệt độ trong phòng Khi ta bật

công tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng Khi ta ngắt công tắc điện, nhiệt độ bình giảm không đáng kể Khi ta tháo nước ra khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ của nước nguồn Vì thế, ta có thể vẽ sơ bộ đồ thị nước trong bình như hình vẽ sau: #

Ví dụ 1.12 Số liệu sau lấy từ một thí nghiệm ở phòng thí nghiệm về đường

lactoza của axit hydroxyvaleric tại 25 C0 Nồng độ C(t) (mol/l) sau t phút thể hiện ở bảng Dùng số liệu này để vẽ xấp xỉ đồ thị hàm nồng độ Tiếp theo, dùng

đồ thị để ước lượng nồng độ tại 5 phút

C(t) 0.0800 0.0570 0.0408 0.0295 0.0210 Trước hết ta lập đồ thị của 5 điểm số liệu Có những cách hoàn toàn tốt để xác lập đường cong tối ưu qua các điểm này (chẳng hạn, dùng mô hình hồi quy của Xác suất Thống kê, phương pháp bình phương cực tiểu sẽ học trong học phần Phương Pháp Tính ) Tuy nhiên, 5 điểm số liệu này có dáng điệu rất tốt, ta

có thể vẽ bằng tay một đường cong trơn đơn giản qua 5 điểm đó như Hình 1.6

T

t

0 0.02

Hàm xác định trên từng đoạn (Piecewise defined fuctions)

Trong các ví dụ sau đây, hàm số xác định bởi những công thức khác nhau trên những phần khác nhau trên tập xác định

Ví dụ 1.13 Vận tốc góc của một động cơ từ lúc chuyển động cho bởi công

thức VAteat, A, a là hai hằng số dương Sau khi đạt vận tốc cực đại tại thời điểm t1 / a, động cơ chuyển động quay đều Hàm vận tốc V(t) được viết dưới dạng

at

0 khi t 0

1V(t) At e khi 0 t

-

36

Ví dụ 1.14 Hàm giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1.15 Tìm biểu thức cho hàm f có đồ thị như ở hình dưới đây

Trên đoạn (; 0), rõ ràng hàm cho bởi công thức f (x)0

Đoạn thẳng tiếp theo có hệ số góc 1, dễ thấy công thức biểu diễn hàm là

f (x)x khi 0x2

Tương tự, trên đoạn kế tiếp, hệ số góc bằng -1, công thức là

f (x)4x khi 2x Trên đoạn cuỗi, f (x)4  0

Tóm lại, công thức biểu diễn hàm f là

Hình 1.8 Hàm giá trị tuyệt đối

Hàm giá trị tuyệt đối cho bởi công

Vậy f(x) không chẵn, cũng không lẻ

d) Tập xác định không đối xứng qua gốc tọa độ; hàm không chẵn, cũng không lẻ

Nhận xét Việc chọn giá trị 1, -1 ở c) là khá tùy tiện; nếu hàm không chẵn

và (hoặc) không lẻ, gần như ta chọn ngẫu nhiên một số bất kỳ đều đạt ý định

chứng minh của ta #

Vậy với mọi yY, tồn tại duy nhất xX để f (x)y

Phép tương ứng đó xác định một ánh xạ (một hàm số) từ Y vào X, ký hiệu

là f1, gọi là ánh xạ (hàm số) ngược của f:

Theo thói quen, ta dùng chữ x đề chỉ đối số, chữ y để chỉ hàm số Như vậy

ta sẽ ký hiệu hàm ngược của hàm yf (x) là

yf1(x), xY

Tính chất Nếu hàm f(x) có hàm ngược và đồng biến (nghịch biến) thì hàm

ngược cũng đồng biến (nghịch biến)

Nói cách khác, hàm ngược biến thiên cùng chiều với hàm xuôi

Bây giờ cho yf (x), xX là đơn ánh (Ta không chỉ rõ miền ảnh Y) Gọi

Y{f (x), xX} là tập giá trị của f Thế thì f : XY là song ánh Theo phân tích trên, tồn tại f1: YX Chúng ta gọi đây là hàm ngược của hàm ban đầu

Ví dụ 1.18 a yx2 Đây là ánh xạ, tập xác định là  , không là đơn ánh Vậy không có hàm ngược

Ví dụ 1.19 Xét hàm số ysin x Hàm này xác định trên  , không là đơn ánh nên không có hàm ngược

Bây giờ xét hàm số y sin x, x

    Hàm số này đồng biến Vậy tồn tại hàm ngược, ký hiệu là arcsinx hay đầy đủ hơn yarcsin x,  1 x Đồ thị 1như Hình 1.10 #

Hàm lượng giác: sin x, cos x, tg x, cotg x

Hàm lượng giác ngược:

yarcsin x, x [ 1;1] là hàm ngược của hàm y s inx, x

yarc cos x, x [ 1; 1] là hàm ngược của hàm ycosx, 0x 

yarc tg x, x  ( ; )là hàm ngược của hàm y tg x, x

sh2x 2chx shxch2x ch x sh x



Công thức cộng arctang:

a barctg a arctg b arctg

Tương tự, nếu ta bật công tắc ở thời điểm t5 và điện thế tác động là 120 vol thì điện thế của đoạn mạch là V(t)110u(t5) (Hình 1.11 (c))

Hình 1.11 Một số hàm liên quan đến hàm bước nhảy đơn vị

Nhờ hàm bước nhảy đơn vị ta có thể xây dựng hàm ramp (tạm dịch: hàm dốc xiên), đó là hàm yCt u(t), biểu diễn sự tăng đều của dòng điện hay điện thế trong đoạn mạch Chẳng hạn, nếu đóng mạch tại thời điểm t và điện thế 0tăng đều đề trong khoảng thời gian 40 giây đạt được 220 vol thì V(t)220 t u(t), t40

Điện thế ở Hình 1.11 (d) có thể biểu diễn qua hàm u(t):

V(t)220(t20)u(t20), t50

b Hàm phần nguyên y[x]

(Số nguyên lớn nhất (gần nhất) nhỏ thua x)

c Hàm phần phân yx [x] , ký hiệu là {x}

Đồ thị hàm phần nguyên, phần phân cho ở Hình 1.12

Hình 1.12 Đồ thị hàm phần nguyên (a) và hàm phần phân (b)

d Hàm bậc thang

Hàm số xác định trên đoạn [a; b] được gọi là hàm bậc thang (hay hằng số từng khúc) nếu tồn tại phép phân hoạch đoạn [a; b] thành những đoạn rời nhau để f(x) không đổi trên mỗi đoạn con đó:

Hình 1.14 dưới đây mô tả quá trình mô hình hóa

 Nhiệm vụ đầu tiên với một bài toán của thế giới thực là phát biểu mô

hình toán bằng cách nhận dạng và đặt tên các biến độc lập và biến phụ thuộc; đặt

ra các giả thiết làm đơn giản hóa hiện tượng đủ đến mức mà có thể làm cho mô hình dễ xử lý về mặt toán học Bằng các hiểu biết của chúng ta về mặt vật lý,

những kỹ năng toán học, ta thu được các phương trình liên hệ các biến Khi mà

không có quy luật vật lý nào định hướng chúng ta, ta cần thu tập dữ liệu, khảo sát

dữ liệu dưới dạng bảng để trích rút ra dáng vẻ của chúng Từ bảng dữ liệu, ta có thể lập đồ thị; điều này gợi ý ta về dạng hàm trong một số trường hợp

 Bước tiệp theo là dùng nhũng kiến thức toàn học ta có đối với mô

hình toán vừa phát biểu để rút trích ra những kết luận về mặt toán học

 Bước thứ 3 là dùng những kết luận này và mô tả chúng như những thông tin về các hiện tượng của thế giới thực xuất phát để đưa ra những lời giải thích hay dự báo

 Cuối cùng, kiểm tra những dự báo bằng những kiểm định phản bác lại

số liệu thực mới Nếu những dự báo này không phù hợp với thế giới thực, ta cần sửa chữa mô hình của ta hay phát biểu mô hình mới và lặp lại từ đầu

Hình 1.14 Quá trình mô hình hóa

Mô hình toán không bao giờ biểu diễn hoàn toàn đầy đủ tình trạng vật lý,

nó chỉ là sự lý tưởng hóa Một mô hình tốt làm cho thực tiễn đơn giản hóa đi đáng kể để thừa nhận các tính toán toán học, nhưng phải đủ chuẩn mực để đưa ra những kết luận giá trị Điều quan trọng là đưa ra những mặt hạn chế của mô hình

Mẹ Tự nhiên đưa ra phán quyết cuối cùng (☼)

Dự báo thế giới thực