Bài giảng toán giải tích 1 chương 4 số thực

GIAI TICH 1 - CHUONG 4 141SỐ THỰCNếu chúng ta qui hoạch một con đường màu xanh trên một khu đất hình vuông có chiều dài mỗi cạnh là 1 km.. Hỏi chúng ta nên ghi chiều dài d của con đường

Trang 1

GIAI TICH 1 - CHUONG 4 141

SỐ THỰCNếu chúng ta qui hoạch một con đường

màu xanh trên một khu đất hình vuông

có chiều dài mỗi cạnh là 1 km Hỏi

chúng ta nên ghi chiều dài d của con

đường này là bao nhiêu trong dự án ?

chúng ta đã thấy không có số hữu tỉ nào bằng d cả Con số d này có thực ngoài đời nhưng không thể tiếp cận

bằng các lý luận bình thường ngoài đời như đếm số, chiaphần (số nguyên và số hữu tỉ)

1

d

Trang 2

Định nghĩa — là một tập hợp trên đó ta xác định được:

phép cộng (x,y)  x +y và phép nhân (x,y)  xy (đây là các ánh xạ từ —  — vào —) và một quan hệ thứ tự toàn phần có các tính chất sau : với mọi x, y, z và u

trong —

(R1) x + y = y + x ,

(R2) x + (y + z) = (x+ y) + z,

(R3) có một phần tử 0 trong — sao cho 0 +x = x x  —,

(R4) có một phần tử - x trong — sao cho x + (-x) = 0,

Trong Phụ lục A của quyễn “Giáo Trình Toán Giải Tích1”, NXB Thống Kê, dùng khái niệm dãy Cauchy, chúng

ta xây dựng được tập hợp — các số thực d dựa vào tập

các số nguyên như sau

Trang 3

(R1) x + y = y + x ,

(R2) x + (y + z) = (x+ y) + z,

(R4) có một phần tử - x trong — sao cho x + (-x) = 0,

(R5) xy = yx,

(R6) x(yz) = (xy)z,

(R9) x(y + z) = xy + xz,

Trang 4

Bài toán 1 Cho  và  là hai số thực sao cho

x +  = x và x +  = x  x  .

Chứng minh  = 

x +  = x  x   x +  = x  x    = 

Bài toán 2 Cho  và  là hai số thực sao cho

Trang 5

BÀI TOÁN 3 Cho hai số thực x và y Chứng minh

Trang 6

BÀI TOÁN 6 Cho một số thực x Chứng minh

Trang 7

Trang 8

x ¥ y nếu và chỉ nếu y § x ,

Trang 9

Định nghĩa Cho hai số thực a và b , sao cho a § b

Trang 10

Cho một số thực a ta đặt

Ta gọi | a | là trị giá tuyệt đối của a

Trang 11

- |x | § x

° Nếu x ¥ 0 : | x | = x

Bài toán trở thành : nếu 0 § x chứng minh - x § x

° Nếu x § 0 : | x | = - x

Bài toán trở thành : nếu x § 0 chứng minh - (- x ) § x

Trang 12

- x - y § | x | + | y |

Dùng bài toán 8 , bài toán 9 và (R13)

Trang 13

(R15) — chứa tập hợp các số nguyên dương Õ và các số

(R16) Tập hợp các số nguyên Ÿ  -n : nÕ  0 Õ

chứa trong —

Trang 14

(R18) (Tính chất Archimède) Nếu x > 0 và 0 < y, lúc đó có một số nguyên dương n sao cho

(R19) (Tính trù mật của – và — \ – trong —) với mọi số

x -  < p < x < q < x +  và

x -  < r < x < s < x + .

Trang 15

Định nghĩa Cho A là một tập con khác trống trong —

Ta nói

bị chặn dưới

Trang 16

Thí dụ 1 Cho hai số thực a và b, sao cho a < b Ta

thấy

(- ¶, b ) là một tập bị chặn trên ,

(a , ¶ ) là một tập bị chặn dưới ,

[a , ¶) là một tập bị chặn dưới

(- ¶ , b ] là một tập bị chặn trên ,

(a , b ) là một tập bị chặn ,

[a , b ) là một tập bị chặn ,

(a , b ] là một tập bị chặn

Trang 17

(R20) Nếu A là một tập con khác trống và bị chặn trên

(i) x § m 0 " x œ A ,

(ii) Nếu có một b trong — sao cho x § b với

mọi x œ A , thì

m 0 § b

Trang 18

(R21) Nếu A là một tập con khác trống và bị chặn dưới

(ii) Nếu có một b trong — sao cho b § x với mọi

x œ A , thì

b § k 0

Trang 19

Bài toán 13 Cho A là khoảng (0,1) Chứng minh

sup A = 1

(i) x § m 0 " x œ A ,

(ii) Nếu có một b trong — sao cho x § b với

(ii) Nếu có một b trong — sao cho x § b với mọi

x œ (0 , 1) , thì 1 § b

Trang 20

Trang 21

Bài toán 14 Cho A là tập hợp { n-1 : n œ Õ } Chứng

Lúc đó ta gọi k 0 là chận dưới lớn nhất của A và ký

(ii) Nếu có một b trong — sao cho b § x với

Trang 22

(ii) Nếu có một b trong — sao cho b § x với mọi

Trang 23

Cho A là một tập bị chận trên trong — và M œ — Để chứng minh sup A § M , ta có thể làm như sau Chứng minh x § M " x œ A

Bài toán 15 Cho c là một số thực dương và B

là một tập con bị chặn trên khác trống của —

Đặt cB = cy : y  B  Chứng minh

sup cB = c sup B

Đặt A = cB và M = c sup B Ta phải chứng minh

Trang 24

Trang 25

sup d E § dsup E

Đặt A = cB và M = c sup B Ta phải chứng minh

M § sup A

cB = cy : y  B  Chứng minh sup cB = c sup B

Ta phải chứng minh c sup B § sup cB

Ta đã chứng minh sup cB § c sup B

Trang 26

Bài toán 16 Cho A là một tập khác trống và bị chặn

Trang 27

Bài toán 17 Cho A là một tập khác trống và bị chặn

trên trong — và c là một chặn trên của A Giả sử với mọi

Trang 28

(ii) Nếu b là một chặn trên của A , thì c § b

ﬁ

b là một chặn trên của A

c § b

Trang 29

b < c

b không còn là một chặn trên của A

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	151,49 KB