Bài giảng toán giải tích 1 chương 4 số thực

CHƯƠNG BỐN SỐ THỰC Nếu qui hoạch đường màu xanh khu đất hình vuông có chiều dài cạnh km Hỏi nên ghi chiều dài d đường dự án ? d Theo định lý Pythagore d2 = Trong chương trước, thấy số hữu tỉ d Con số d có thực đời tiếp cận lý luận bình thường đời đếm số, chia phần (số nguyên số GIAI hữTICH u tỉ) - CHUONG 141 Trong Phụ lục A quyễn “Giáo Trình Toán Giải Tích 1”, NXB Thống Kê, dùng khái niệm dãy Cauchy, xây dựng tập hợp — số thực d dựa vào tập số nguyên sau Định nghóa — tập hợp ta xác định được: phép cộng (x,y)  x +y phép nhân (x,y)  xy (đây ánh xạ từ —  — vào —) quan hệ thứ tự toàn phần có tính chất sau : với x, y, z u — (R1) x + y = y + x , (R2) x + (y + z) = (x+ y) + z, (R3) có phần tử — cho +x = x x  —, GIAI TICH - CHUONG 142 (R4) có phần tử - x — cho x + (-x) = 0, (R1) x + y = y + x , (R2) x + (y + z) = (x+ y) + z, (R3) có phần tử — cho +x = x  x  —, (R4) có phần tử - x — cho x + (-x) = 0, (R5) xy = yx, (R6) x(yz) = (xy)z, (R7) có phần tử — cho 1x = x x  —, (R8) x  có phần tử x-1 — cho x -1.x = 1, (R9) x(y + z) = xy + xz, GIAI TICH - CHUONG 143 Bài toán Cho   hai số thực cho x +  = x vaø x +  = x  x   Chứng minh  =  x+=x x =+=+= x +=x x = Vậy phần tử Bài toán Cho   hai số thực cho .x = x .x = x  x   Chứng minh  =  .x = x x .x = x x =  = . = . =  Vaäy phần tử GIAI TICH - CHUONG 144 BÀI TOÁN Cho hai số thực x y Chứng minh x+ y = x x + y = x fl y = y = [x +y]+ (-x) = x+ (-x) = 0 = x +[y+ (-x)] = x +[(-x ) +y] = [x +(-x )] +y = + y = y BÀI TOÁN Cho số thực x Chứng minh 0.x = 0.x = (0).x = (0 + 0).x = 0.x + 0.x 0.x = BÀI TOÁN Cho hai số thực x y Giả sử x ∫ Chứng minh x y = fl y = y =( x-1) (x y ) = ( x-1) = ( GIAI TICH - CHUONG x-1) y = 145 BÀI TOÁN Cho số thực x Chứng minh (-1).x = - x (R4) x + (-x) = 0, x + (-1).x = 1.x + (-1).x 1.x + (-1).x = [1+ (-1)].x = 0.x Định nghóa Cho hai số thực x y Ta đặt y - x = y + (- x ) GIAI TICH - CHUONG 146 (R10) " x § y y § z "  " x § z ", (R11) " x § y y § x"  "x = y ", (R12) x § y y § x, (R13) " x § y z § u "  " x + z § y + u ", (R14) " x § y § u "  " x u § y u " BÀI TOÁN Cho hai số thực x y Chứng minh x§y đ 0§ y -x x § y fl § y -x x § y § § y -x fl x § y y -x x + (- x) § y + ( - x ) § y -x GIAI TICH - CHUONG (Dùng (R13) ) 147 BÀI TOÁN Cho hai số thực x y Chứng minh x § y fl -y § -x (1) x Ø -y : (1) (R13) : x § -y § y -x -y = x +(-x -y) x +(-x -y) § y+(-x -y) Định nghóa Cho hai số thực x y ta dùng ký hieọu sau : xƠy neỏu vaứ chổ neỏu y Đ x , x > y " y § x x  y ", GIAI TICH - CHUONG 148 x < y " y ¥ x x  y " Định nghóa Cho hai số thực a b , cho a § b Ta ñaët [a , b ] = { x œ — : a § x § b } Định nghóa Cho hai số thực a b , cho a < b Ta đặt (a , b ) = { x œ — : a < x < b } [a , b ) = { x œ : a Đ x < b } (- ả, (a , b b] ) == {{xxœœ—— : : a x< < y, lúc có số nguyên dương n cho GIAI TICH - CHUONG 162 -1 y < nx (hay n y < x ) Cho A tập bị chận — M œ — Để chứng minh sup A § M , ta làm sau Chứng minh x § M " x œA Bài toán 15 Cho c số thực dương B tập bị chặn khác trống — Ñaët cB = cy : y  B  Chứng minh sup cB = c sup B Đặt A = cB vaø M = c sup B Ta phải chứng minh ∏ sup A § M ∏ M § sup A GIAI TICH - CHUONG 163 cB = cy : y  B  Chứng minh sup cB = c sup B Đặt A = cB M = c sup B Ta phải chứng minh ∏ sup A § M ∏ M § sup A Chứng minh sup A § M Chứng minh x Chứng minh y cy § c sup B cy § c sup B § sup B § csup B = M GIAI TICH - CHUONG " x œ A = cB " y œB " y œB " y œB 164 cB = cy : y  B  Chứng minh sup cB = c sup B Đặt A = cB M = c sup B Ta phải chứng minh M § sup A Ta phải chứng minh c sup B § sup cB Ta chứng minh sup cB § c sup B Đặt E = cB d = c-1 Ta có B = d E sup d E § dsup E GIAI TICH - CHUONG 165 Baøi toán 16 Cho A tập khác trống bị chặn — c = sup A Cho  số thực dương Chứng minh c -  không chặn A (i) x § m0 " x œA , (ii) Nếu có b — cho x § b x œ A , m0 § b với Lúc m0 = sup A (i) x § c " x œA , (ii) Nếu có b — cho x § b x œ A , c § b c -  chặn A : c  c -  GIAI TICH - CHUONG với 166 Bài toán 17 Cho A tập khác trống bị chặn — c chặn A Giả sử với số thực dương  ta có x  A cho c -  < x Chứng minh c = sup A (i) x § m0 " x œA , (ii) Nếu có b — cho x § b với x œ A , m0 § b Lúc m0 = sup A (i) x § c " x œA , (ii) Nếu có b — cho x § b x œ A , GIAIcTICH§1 - CHUONG b với 167 (ii) Nếu b chặn A , c § b fi Đảo đề : b < c b < c b chặn A c § b “ P fi Q ” fi fi ‹ “~Q fi ~P ” b không chặn A Tìm x œ A GIAI TICH - CHUONG cho b < x 168 b < c cho Tìm x œ A fi   (c  b) b b < x c- x A c 2 "  > ta có x  A cho c- < x b không chặn A GIAI TICH - CHUONG 169