ChoVlà một không gian vec-tơ n chiều. Khi đó
S={v1, . . . ,vn} ⊂Vlà một cơ sở của Vnếu
S độc lập tuyến tính, hoặc
S là một hệ sinh củaV.
Chứng minh:
Giả sửSđộc lập tuyến tính. Ta cần chỉ raSlà hệ sinh củaV. Thật vậy, giả sử phản chứngSkhông là hệ sinh củaV, tức là
∃u∈V: u̸∈span(S).
Như vậyT:=S∪ {u}độc lập tuyến tính và|T|=n+1>n=dim(V). Điều này mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính cực đại củaS. Giả sử span(S) =V. Ta cần chỉ raSđộc lập tuyến tính.
Thật vậy, giả sửSphụ thuộc tuyến tính. Ta có thể bỏ đi một số vec-tơ trongS
để thu được tập hợpS1gồmk<nvec-tơ độc lập tuyến tính. Khi đó span(S) =span(S1).
Như vậyV=span(S1), và doS1độc lập tuyến tính, nênS1cũng là cơ sở củaV. Tuy nhiên|S1|=k<n, mâu thuẫn với tính chất bất biến về số chiều củaV.
Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều
Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết