Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ[1,0],[0,1]lập thành một cơ sở (chính tắc). Các vec-tơ[1,1],[0,1]cũng lập thành một cơ sở.

Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] lập thành một cơ sở. Các vec-tơ[1,2,3],[0,1,2],[1,0,1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

(i) Mỗi không gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ[1,0],[0,1]lập thành một cơ sở (chính tắc). Các vec-tơ[1,1],[0,1]cũng lập thành một cơ sở. Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] lập thành một cơ sở. Các vec-tơ[1,2,3],[0,1,2],[1,0,1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

(i) Mỗi không gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

Nhận xét về số vec-tơ trong cơ sở

Trong không gian vec-tơ R2:

Các vec-tơ[1,0],[0,1]lập thành một cơ sở (chính tắc). Các vec-tơ[1,1],[0,1]cũng lập thành một cơ sở. Trong không gian vec-tơ R3:

Các vec-tơ[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] lập thành một cơ sở. Các vec-tơ[1,2,3],[0,1,2],[1,0,1] cũng lập thành một cơ sở.

Nhận xét:

(i) Mỗi không gian vec-tơ có thể có nhiều cơ sở.

Tính chất độc lập tuyến tính “cực đại” của cơ sởChoVlà một không gian vec-tơ. ChoVlà một không gian vec-tơ.

NếuS={v1, . . . ,vn}là một cơ sở củaV, vàT={u1, . . . ,um} ⊂Vvớim>n, thìTphụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh: Xét hệ thức

k1u1+. . .+kmum=0. (1) DoSlà cơ sở củaV, nên

u1=c11v1+c12v2+. . .+c1nvn . . . um=cm1v1+cm2v2+. . .+cmnvn Thay vào (1) ta có d1v1+d2v2+. . .+dnvn=0 với di=c1ik1+c2ik2+. . .+cmikm (i=1, . . . ,n). DoSđộc lập tuyến tính, nêndi=0(i=1, . . . ,n).

Ta thu được hệnphương trình tuyến tính thuần nhất theomẩnk1, . . . ,km. Dom>n, nên (1) có nghiệm không tầm thường. VậyTphụ thuộc tuyến tính.