là độc lập tuyến tính vì c1e1+c2e2=0 ⇔ [c1,c2] = [0,0] ⇔ c1=c2=0. Hệ vec-tơv1= [1,2,3],v2= [0,1,2],v3= [−2,0,1]trong R3 là độc lập tuyến tính vì hệ thức c1v1+c2v2+c3v3=0
tương đương với
c1 −2c3=0
2c1+ c2 =0
3c1+2c2+ c3=0
và hệ phương trình (tuyến tính thuần nhất) này có nghiệm duy nhất
Ví dụCác vec-tơ e1= [1,0],v2= [0,1]trongR2 Các vec-tơ e1= [1,0],v2= [0,1]trongR2 là độc lập tuyến tính vì c1e1+c2e2=0 ⇔ [c1,c2] = [0,0] ⇔ c1=c2=0. Hệ vec-tơv1= [1,2,3],v2= [0,1,2],v3= [−2,0,1]trong R3 là độc lập tuyến tính vì hệ thức c1v1+c2v2+c3v3=0
tương đương với
c1 −2c3=0 2c1+ c2 =0 3c1+2c2+ c3=0
và hệ phương trình (tuyến tính thuần nhất) này có nghiệm duy nhất
Ví dụ
Trong không gian vec-tơ P2xét các vec-tơ
v1=1+x−2x2, v2=2+5x−x2, v3=x+x2.
Hệ thứcc1v1+c2v2+c3v3=0tương đương với
c1+2c2 =0
c1+5c2+c3=0
−2c1− c2+c3=0 Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường
c1=2, c2=−1, c3=3.
Như vậy ta có
2v1−v2+3v3=0
và do đó v1,v2,v3phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét: Hệ thứcc1·v1+. . .+cn·vn=0tương đương với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theonẩn sốc1, . . . ,cn.