Cho(V,+,·) là một không gian vec-tơ trênR. ChoS={u1, . . . ,un} ⊂V.
Vec-tơv∈V là một tổ hợp tuyến tínhcủa các vec-tơ trong S
nếu
v=c1·u1+. . .+cn·un,
trong đó ci ∈Rvới i=1, . . . ,n.
Ví dụ 1: Trong không gianM2,2xét các vec-tơ
u1= [ 0 8 2 1 ] , u2= [ 0 2 1 0 ] , u3= [ −1 3 1 2 ] , u4= [ −2 0 1 3 ] .
Vec-tơu1là một tổ hợp tuyến tính củau2,u3,u4do
Tổ hợp tuyến tính
Cho(V,+,·) là một không gian vec-tơ trênR. ChoS={u1, . . . ,un} ⊂V.
Vec-tơv∈V là một tổ hợp tuyến tínhcủa các vec-tơ trong S
nếu
v=c1·u1+. . .+cn·un,
trong đó ci ∈Rvới i=1, . . . ,n.
Ví dụ 2: Mỗi vec-tơxtrong tập hợp
W={(x1,0,x3)| x1,x3∈R}
đều là tổ hợp tuyến tính củae1= [1,0,0]vàe3= [0,0,1]:
Tổ hợp tuyến tính
Cho(V,+,·) là một không gian vec-tơ trênR. ChoS={u1, . . . ,un} ⊂V.
Vec-tơv∈V là một tổ hợp tuyến tínhcủa các vec-tơ trong S
nếu
v=c1·u1+. . .+cn·un,
trong đó ci ∈Rvới i=1, . . . ,n.
Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S:
span(S) :={v∈V|v=c1·u1+. . .+cn·un vớici ∈R}.
Hệ sinh
Tập hợpS được gọi là mộthệ sinh củaVnếu
V=span(S).
Khi đó ta cũng nói Vsinh bởiS.
Ví dụ 1: Trong không gianR3xét các vec-tơ
e1=[ 1,0,0] , e2=[ 0,1,0] , e3=[ 0,0,1] . Tập hợpS={e1,e2,e3} là một hệ sinh củaR3 vì
mỗi vec-tơv= [v1,v2,v3]∈R3 đều là tổ hợp tuyến tính củae1,e2,e3:
Hệ sinh
Tập hợpS được gọi là mộthệ sinh củaVnếu
V=span(S).
Khi đó ta cũng nói Vsinh bởiS.
Ví dụ 2: Trong không gianR3xét các vec-tơ
u1=[ 1,0,0] , u2=[ 0,1,0] , u3=[ 0,0,1] , u4=[ 0,0,2] . Tập hợpS={u1,u2,u3,u4}là một hệ sinh củaR3vì
mỗi vec-tơv= [v1,v2,v3]∈R3 đều là tổ hợp tuyến tính củau1, . . . ,u4:
v=v1·u1+v2·u2+2
3v3·u3+1 3v3·u4.
Hệ sinh
Tập hợpS được gọi là mộthệ sinh củaVnếu
V=span(S).
Khi đó ta cũng nói Vsinh bởiS.
Ví dụ 3: Trong không gianR3xét các vec-tơ
e1=[ 1,0,0]
, e2=[0,1,0] 0,1,0]
.
Tập hợpS={e1,e2} KHÔNG là hệ sinh củaR3vì
vec-tơv= [0,0,1]∈R3 không thể là tổ hợp tuyến tính củae1,e2.
̸ ∃c1,c2∈R:v=c1·e1+c2·e2.
Hệ sinh
Tập hợpS được gọi là mộthệ sinh củaVnếu
V=span(S).
Khi đó ta cũng nói Vsinh bởiS.
Ví dụ 3: Trong không gianR3xét các vec-tơ
e1=[ 1,0,0]
, e2=[0,1,0] 0,1,0]
.
Tập hợpS={e1,e2} KHÔNG là hệ sinh củaR3vì
vec-tơv= [0,0,1]∈R3 không thể là tổ hợp tuyến tính củae1,e2.
̸ ∃c1,c2∈R:v=c1·e1+c2·e2.
Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Cơ sở và số chiều
Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết