• Một đỉnh được gọi là đỉnh khớp nếu như việc xóa đi đỉnh này và tất cả các cạnh liên thuộc với nó sẽ tạo ra đồ thị mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị gốc. • Các đỉnh nào tron[r]
(1)Toán rời rạc
TS Đỗ Đức Đông
dongdoduc@gmail.com
(2)Đồ thị (8 tiết)
1 Đồ thị, phân loại đồ thị Các thuật ngữ đồ thị
3 Biểu diễn đồ thị tính đẳng cấu Đường tính liên thơng
5 Đường EULER đường HAMILTON Bài toán đường ngắn
7 Đồ thị phẳng Tô màu đồ thị
(3)Đồ thị, phân loại đồ thị
• Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại
• Đồ thị dùng để giải toán nhiều lĩnh vực khác (mạch điện, cấu trúc hợp chất hóa học, mạng máy tính, …)
• Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh
• Người ta phân loại đồ thị theo đặc tính cạnh nối cặp đỉnh đồ thị
(4)Phân loại đồ thị
Đơn đồ thị
• Đơn đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸), tập khơng rỗng 𝑉 mà phần tử gọi đỉnh tập 𝐸 mà phần tử gọi cạnh, cặp khơng thứ tự đỉnh phân biệt
(5)Phân loại đồ thị
Đa đồ thị
• Đa đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸), 𝑉 tập đỉnh, 𝐸 tập cạnh, đồ thị
gồm cạnh vơ hướng, có nhiều cạnh nối cặp đỉnh (cạnh bội)
• Đơn đồ thị trường hợp riêng đa đồ thị
(6)Phân loại đồ thị
Đồ thị khuyên
• Đồ thị khuyên 𝐺 = (𝑉, 𝐸), 𝑉 tập đỉnh, 𝐸 tập cạnh, đồ thị có thêm loại cạnh nối từ đỉnh đến
(7)Phân loại đồ thị
Đơn đồ thị có hướng
• Đơn đồ thị có hướng 𝐺 = (𝑉, 𝐸), tập khơng rỗng 𝑉 mà phần tử gọi đỉnh tập 𝐸 mà phần tử gọi cạnh, cặp có thứ tự đỉnh phân biệt
(8)Phân loại đồ thị
Đa đồ thị có hướng
• Đa đồ thị có hướng 𝐺 = (𝑉, 𝐸), 𝑉 tập đỉnh, 𝐸 tập cạnh, đồ thị gồm cạnh có hướng, có nhiều cạnh nối cặp đỉnh (cạnh bội)
• Đơn đồ thị có hướng trường hợp riêng đa đồ thị có hướng
(9)Phân loại đồ thị
Loại Cạnh Có cạnh bội
khơng?
Có cạnh
khuyên không
Đơn đồ thị Vô hướng
Đa đồ thị Vô hướng x
Đồ thị khuyên x
Đơn đồ thị có hướng Có hướng
Đa đồ thị có hướng Có hướng x
(10)(11)(12)(13)Xác định loại đồ thị đồ thị sau
(14)(15)Các thuật ngữ đồ thị (1) – Bậc đỉnh
1 Đỉnh b, c liền kề (láng giềng) đồ thị
2 Đỉnh c, d liền kề (láng giềng)? Bậc đỉnh?
(16)Các thuật ngữ đồ thị (2) – Bậc đỉnh
1) Có cạnh đồ thị đơn có 10 đỉnh, đỉnh có bậc 5? 2) Có cạnh đồ thị đơn có 99 đỉnh, đỉnh có bậc 5?
→ Định lý 2: Đồ thị đơn có số chẵn đỉnh bậc lẻ.
(17)Thách đố
• Xây dựng đơn đồ thị gồm 10 đỉnh có cạnh mà ba đỉnh i, j, k tồn cạnh (i,j) hay (i,k) hay (k,j),
(18)Các thuật ngữ đồ thị (3) – Bậc vào ra
(19)Các thuật ngữ đồ thị (4) – Bậc vào ra
(20)Các thuật ngữ đồ thị (5) – Đồ thị đầy đủ
Đồ thị đầy đủ 𝑛 đỉnh, ký hiệu 𝐾𝑛 đơn đồ thị mà cặp đỉnh phân biệt có cạnh nối
(21)Các thuật ngữ đồ thị (6) – Đồ thị chu trình (vịng)
Đồ thị chu trình 𝐶𝑛 (𝑛 ≥ 3) đồ thị có 𝑛 đỉnh 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 cạnh 𝑣1, 𝑣2 , 𝑣2, 𝑣3 ,…, 𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛 , 𝑣𝑛, 𝑣1
(22)Các thuật ngữ đồ thị (7) – Đồ thị bánh xe
Khi thêm đỉnh vào đồ thị 𝐶𝑛 (𝑛 ≥ 3) nối đỉnh với tất đỉnh 𝐶𝑛
(23)Các thuật ngữ đồ thị (8) – Các khối 𝑛 chiều
Đồ thị khối 𝑛 chiều, ký hiêu 𝑄𝑛 đồ thị có 2𝑛 đỉnh, đỉnh biểu diễn xâu nhị phân độ dài 𝑛 Hai đỉnh liền kề xâu nhị phân biểu diễn chúng khác bit
(24)Các thuật ngữ đồ thị (9) – Đồ thị phân đơi (hai phía)
Một đồ thị 𝐺 gọi đồ thị phân đơi (đồ thị hai phía) tập đỉnh 𝑉 phân làm hai tập không rỗng, rời 𝑉1, 𝑉2 cho cạnh đồ thị nối đỉnh 𝑉1 với đỉnh 𝑉2
(25)Các thuật ngữ đồ thị (10) – Đồ thị phân đôi đầy đủ
(26)Các thuật ngữ đồ thị (11) – Đồ thị con
Đồ thị đồ thị 𝐺 = (𝑉, 𝐸) đồ thị 𝐺′ = 𝑉′, 𝐸′ , 𝑉′ ∈ 𝑉 𝐸′ ∈ 𝐸
(27)Các thuật ngữ đồ thị (12) – Hợp hai đồ thị
(28)Biểu diễn đồ thị - Danh sách cạnh, danh sách kề
Danh sách cạnh: Liệt kê tất cạnh đồ thị
Danh sách liền kề: Chỉ rõ đỉnh nối với đỉnh đồ thị
(29)Biểu diễn đồ thị - Danh sách cạnh, danh sách kề
Danh sách cạnh? Danh sách liền kề?
(30)Biểu diễn đồ thị - Ma trận liền kề (1)
(31)Biểu diễn đồ thị - Ma trận liền kề (2)
(32)Biểu diễn đồ thị - Ma trận liền kề (3)
(33)Sự đẳng cấu hai đồ thị (1)
(34)Sự đẳng cấu hai đồ thị (2)
Các cặp đồ thị sau có đẳng cấu hay khơng?
(35)Sự đẳng cấu hai đồ thị (3)
Các cặp đồ
thị sau có đẳng cấu hay khơng?
(36)Đường đi, chu trình
• Đường độ dài 𝑠 từ 𝑢 đến 𝑣 đơn đồ thị dãy đỉnh 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑠 mà 𝑥0 = 𝑢; 𝑥𝑠 = 𝑣 𝑥0, 𝑥1 , 𝑥1, 𝑥2 , … , (𝑥𝑠−1, 𝑥𝑠) cạnh đồ thị
• Đường gọi chu trình đường có bắt đầu kết thúc đỉnh
• Đường (hay chu trình) đơn đồ thị gọi đường đơn (chu trình đơn) khơng chứa cạnh lần
(37)Tính liên thơng đồ thị vơ hướng
Một đồ thị vô hướng gọi liên thông có đường cặp đỉnh phân biệt đồ thị
(38)Định lý: Giữa cặp đỉnh phân biệt đồ thị vô hướng liên thơng ln có đường đơn.
(39)Các thành phần liên thông
Một đồ thị không liên thông hợp nhiều đồ thị liên thơng (các đồ thị khơng có đỉnh chung) Các đồ thị liên thông rời
như gọi thành phần liên thông
(40)Đỉnh khớp (điểm khớp)
• Một đỉnh gọi đỉnh khớp việc xóa đỉnh tất cạnh liên thuộc với tạo đồ thị có nhiều thành phần liên thơng đồ thị gốc
• Các đỉnh đồ thị đỉnh khớp?
(41)Cầu (cạnh cắt)
• Một cạnh gọi cầu việc xóa cạnh tạo đồ thị có nhiều thành phần liên thông đồ thị gốc
• Các cạnh đồ thị cầu?
(42)Tính liên thơng đồ thị có hướng
• Đồ thị có hướng gọi liên thơng mạnh có đường từ a tới b từ b đến a với đỉnh a, b đồ thị;
• Đồ thị có hướng gọi liên thông yếu tồn đường hai đỉnh ta không quan tâm đến hướng cạnh Đồ thị liên thông mạnh đồ thị liên thông yếu
(43)Đếm số đường đỉnh (1)
• Cho 𝐺 đồ thị (có thể có cạnh bội, khuyên) với ma trận liền kề 𝐴, số đường khác độ dài 𝑟 từ 𝑖 đến 𝑗 giá trị phần tử (𝑖, 𝑗) ma trận 𝐴𝑟
• Chứng minh quy nạp
➢Giả sử phần tử (𝑖, 𝑗) ma trận 𝐴𝑟 là số đường khác độ dài 𝑟 từ 𝑖
đến 𝑗
➢Vì 𝐴𝑟+1 = 𝐴𝑟 × 𝐴 nên phần tử 𝑖, 𝑗 𝐴𝑟+1 bằng
𝑎𝑖,𝑗𝑟+1 = σ𝑘=1𝑛 𝑎𝑖,𝑘𝑟 𝑎𝑘,𝑗 = 𝑎𝑖,1𝑟 𝑎1,𝑗 + 𝑎𝑖,2𝑟 𝑎2,𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖,𝑛𝑟 𝑎𝑛,𝑗, 𝑎𝑖,𝑘𝑟 phần tử (𝑖, 𝑘) 𝐴𝑟, số đường độ dài 𝑟 từ 𝑖 đến 𝑘
(44)Đếm số đường đỉnh (2)
Đếm số đường độ dài từ a đến d
(45)Các đồ thị sau có đỉnh cạnh 1) 𝐾9
2) 𝐶15 3) 𝑊15 4) 𝐾3,4 5) 𝑄7
(46)Đồ thị đồ thị phân đơi (hai phía)
(47)Dựng tính số cạnh đồ thị đơn có bậc đỉnh sau 1) 4, 3, 3, 2,
2) 3, 3, 3, 3, 3) 1, 2, 3, 4, 4) 1, 2, 3, 4,
Thách đố:
Có n đội bóng, đội thứ i đăng kí đá bi trận Hãy xếp lịch đá cho đội đá với không trận với đội số trận đá sân nhà sân khách không vượt
(48)(49)(50)(51)• Chứng tỏ đồ thị liên thơng có n đỉnh có n-1 cạnh
• Chứng tỏ đơn đồ thị tồn đường từ đỉnh bậc lẻ tới đỉnh bậc lẻ khác
• Cho đơn đồ thị vô hướng, bậc đỉnh >= n/2 Chứng minh đồ thị liên thông
(52)Đếm số đường độ dài 4, độ dài từ 𝒗𝟏 đến 𝒗𝟒
(53)a) Hãy tìm ma trận kề K2, 3
b) Tìm số đường độ dài từ đỉnh bậc đến đỉnh bậc
(54)Chu trình Euler đường Euler (1)
• Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị G gọi chu trình Euler;
• Đường đơn chứa tất cạnh đồ thị G gọi đường Euler;
(55)Chu trình Euler đường Euler (2)
Đồ thị có chu trình Euler? Đồ thị có đường Euler?
(56)Điều kiện cần đủ để đồ thị có chu trình Euler
Một đa đồ thị liên thơng có chu trình Euler mỗi đỉnh của có bậc chẵn.
(57)(58)(59)Điều kiện cần đủ để đồ thị có đường Euler
Một đa đồ thị liên thơng có đường Euler khơng có chu trình đồ thị có đúng đỉnh bậc lẻ.
Thuật tốn tìm đường Euler???
(60)Thách đố
1) Tìm điều kiện cần đủ cho đồ thị có hướng để chu trình Euler có đường Euler
2) Cho đa đồ thị vô hướng, vẽ đa đồ thị nét vẽ
(61)Đường đi, chu trình Hamilton
• Đường 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 đồ thị 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , 𝑛 = |𝑉|, gọi đường Hamilton 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 với 𝑖 ≠ 𝑗
• Chu trình 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 đồ thị 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , 𝑛 = |𝑉|, gọi chu trình Hamilton 𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 với 𝑖 = 1,2, , 𝑛; 𝑗 = 1,2, , 𝑛; 𝑖 ≠ 𝑗
• Có điều kiện cần đủ để đồ thị có đường đi, chu trình Hamilton? • Có thuật tốn tìm đường đi, chu trình Hamilton?
(62)1) Tìm đường đi, hành trình Hamilton
2) Chỉ 𝑲𝒏 ln có chu trình Hamilton
(63)Tìm đường đi, chu trình Euler
(64)Vẽ nét
(65)1) với giá trị 𝑚, 𝑛 𝐾𝑚,𝑛 có chu trình Euler, đường Euler? 2) với giá trị 𝑚, 𝑛 𝐾𝑚,𝑛 có chu trình Hamilton, đường
Hamilton?
(66)Đồ thị có trọng số
• Đồ thị mà cạnh gán số (nguyên thực), gọi trọng số ứng với cạnh
• Nhiều tốn mơ hình đồ thị có trọng số
(67)Bài tốn tìm đường ngắn nhất
• Bài tốn tìm đường ngắn nhất: Tìm đường có độ dài ngắn hai đỉnh đồ thị
• Ví dụ, tìm đường ngắn từ a đến z
(68)Thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn (1)
(69)Thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn (2)
(70)Tìm đường ngắn thuật toán Dijkstra
(71)(72)(73)Đồ thị phẳng
• Đồ thị phẳng đồ thị vẽ mặt phẳng mà khơng có
cạnh cắt (ở điểm điểm mút cạnh) • Ví dụ, 𝐾4 đồ thị phẳng
(74)Cơng thức Euler (1)
• G đồ thị đơn phẳng liên thơng có e cạnh v đỉnh Gọi r số miền biểu diễn mặt phẳng G, r = e – v +
(75)Công thức Euler (2)
• Giả sử đơn đồ thị phẳng liên thơng có 20 đỉnh, đỉnh bậc 3, đồ thị chia mặt phẳng thành miền?
v = 20; e = (20x3)/2=30 → r = e – v + = 30 – 20 + = 12
• Giả sử G đơn đồ thị phẳng liên thơng có e cạnh, v đỉnh (v 3), e ≤ 3v-6
2e/3 r = e – v + nên e ≤ 3v-6
• Chứng minh K5 khơng phẳng
K5 có đỉnh 10 cạnh, ta có 10 > 3x5-6
(76)Công thức Euler (3)
• Giả sử G đơn đồ thị phẳng liên thơng có e cạnh, v đỉnh (v 3), khơng có chu trình độ dài 3, e ≤ 2v-4
• Chứng minh K3,3 không phẳng
→ K5 và K3,3 là không phẳng, nên đồ thị chứa K5 hoặc K3,3 thì đồ thị khơng phẳng;
(77)• Một đồ thị phẳng G, đồ thị nhận từ đồ thị G cách bỏ cạnh (u,v) thêm vào đỉnh với w hai cạnh (u,w) (w,v) đồ thị phẳng gọi đồng phơi với G
• Đồ thị khơng phẳng chứa đồ thị đồng
phôi với K5 hoặc K3,3;
Định lý Kuratowski
(78)Tô màu đồ thị (1)
• Tơ màu đồ
✓Các vùng kề tơ màu khác ✓Dùng màu
• Biểu diễn đồ đồ thị
(79)(80)Tô màu đồ thị (2)
(81)(82)• Số màu đồ thị Kn
• Số màu đồ thị Km,n
• Số màu đồ thị Cn
(83)• Bài tốn tơ màu đồ thị có nhiều ứng dụng
• Ứng dụng lập lịch thi: Lập lịch thi cho khơng có sinh viên thi môn lúc
➢Các môn đỉnh đồ thị
➢2 môn có sinh phải thi mơn → cạnh
➢Thời gian thi biểu diễn màu khác → Việc lập lịch tơ màu đồ thị
(84)(85)(86)(87)(88)Số miền Cn Số miền Wn
(89)(90)• Cho đơn đồ thị vơ hướng, bậc đỉnh >= n/2 Chứng minh đồ thị có chu trình hamilton
(91)• Câu 4: Phương trình sau có nghiệm ngun khơng âm? • X1 + X2 + X3 + 500X4 = 1000
• Câu 5: Đồ thị K4,3 có đỉnh, cạnh? Đồ thị K4,3 có chu trình Euler, đường Euler không? Biểu diễn đồ thị ma trận kề