• Hội các mệnh đề sơ cấp và phủ định của nó gọi là hội sơ cấp (HSC); • Điều kiện cần và đủ để một tuyển sơ cấp đồng nhất đúng là trong.. tuyển đó có chứa một mệnh đề sơ cấp đồng thời chứ[r]
(1)Toán rời rạc
TS Đỗ Đức Đơng
(2)Logic (8 tiết)
• Logic mệnh đề
• Các phép tốn mệnh đề • Biểu thức logic
(3)Khái niệm mệnh đề chân trị
• Mệnh đề phát biểu xác định rõ tính sai phát biểu
• Ký hiệu X, Y, Z,… (có thể kèm với số)
• Tính sai gọi chân trị mệnh đề: (True, T, 1); sai (False, F, 0)
• Ví dụ:
(4)Các phép tốn mệnh đề
• Phép tuyển • Phép hội
• Phép phủ định • Phép kéo theo
(5)Phép tuyển
• Mệnh đề X tuyển với mệnh đề Y (ký hiệu X Y) mệnh đề định nghĩa sau: X Y nhận giá trị hai mệnh đề X, Y nhận giá trị đúng; Mệnh đề X Y nhận giá trị sai X, Y nhận giá trị sai
• Lập bảng chân trị
X Y X Y
F F F
F T T
T F T
(6)Phép hội
• Mệnh đề X hội với mệnh đề Y (ký hiệu X Y) mệnh đề định
nghĩa sau: X Y nhận giá trị hai mệnh đề X, Y nhận giá trị đúng; Mệnh đề X Y nhận giá trị sai
nhất mệnh đề nhận giá trị sai • Lập bảng chân trị?
X Y X Y
F F F
F T F
T F F
(7)Phép phủ định
• Phủ định mệnh đề X (ký hiệu ത𝑋 X) nhận giá trị sai X nhận giá trị đúng, ngược lại mệnh ത𝑋 nhận giá trị X giá trị sai
• Lập bảng chân trị?
X 𝑿 (hoặcഥ X)
F T
(8)Phép kéo theo
• Mệnh đề X kéo theo (suy ra) mệnh đề Y (ký hiệu X Y) mệnh đề định nghĩa sau: X Y nhận giá trị sai mệnh đề X nhận giá trị đúng, Y nhận giá trị sai; X Y nhận giá trị trường hợp lại
• Lập bảng chân trị?
X Y X Y
F F T
F T T
T F F
(9)Phép kéo theo hai chiều
• Mệnh đề X kéo theo hai chiều (tương đương) mệnh đề Y (ký hiệu X Y)?
là mệnh đề định nghĩa sau: X Y nhận giá trị mệnh đề X Y sai; X Y nhận giá trị sai trường hợp cịn lại
• Lập bảng chân trị?
X Y X Y
F F T
F T F
T F F
(10)Biểu thức logic
• Định nghĩa:
Mỗi mệnh đề (ký hiệu X, Y, Z,…) biểu thức; Nếu A biểu thức ҧ𝐴 biểu thức;
Nếu A, B biểu thức (A B), (A B), (A B), (A B) biểu thức
• Bảng chân trị: bảng tính tốn chân trị biểu thức logic theo giá trị biến tham gia biểu thức
(11)Chứng minh hai biểu thức tương đương
• Chứng minh hai biểu thức E F tương đương Chứng minh E F chân trị trường hợp (chứng minh EF nhận giá trị đúng)
• Biểu thức đúng: Biểu thức E gọi E nhận giá trị (E 1);
(12)(13)(14)Luật đối ngẫu
Giả sử A biểu thức chứa phép toán , , mà khơng chứa phép tốn Tạo biểu thức A* cách thay tất phép toán thành thay tất phép toán thành , A* gọi biểu thức đối ngẫu biểu thức A
Ví dụ: biểu thức (X Y) Z (X Y) Z đối ngẫu Định lý: A*(X1, X2,…,Xn) A( X1, X2,…, Xn)
Nếu A mệnh đề sơ cấp A(X) (X) X
Giả sử chứng minh cho công thức A* A(X) B* B(X), ta cần chứng minh định lý cho biểu thức (AB), (AB), A
(15)Luật thay thế
Giả sử A biểu thức chứa mệnh đề sơ cấp X, tạo biểu thức B cách thay X biểu thức E ta có: A B
Ví dụ: ((pq)p)q đúng,
(16)(17)(18)(19)(20)Tuyển hội sơ cấp
• Tuyển mệnh đề sơ cấp phủ định gọi tuyển sơ cấp (TSC)
• Hội mệnh đề sơ cấp phủ định gọi hội sơ cấp (HSC); • Điều kiện cần đủ để tuyển sơ cấp đồng
tuyển có chứa mệnh đề sơ cấp đồng thời chứa phủ định
Ví dụ: X X Y đồng
• Điều kiện cần đủ để hội sơ cấp đồng sai hội có chứa mệnh đề sơ cấp đồng thời chứa phủ định
(21)Chuẩn tắc tuyển chuẩn tắc hội
Giả sử A biểu thức
• Nếu A’ A mà A’ tuyển hội sơ cấp, tức A’ = (HCS1) (HCS2) … (HCSn) A’ gọi dạng chuẩn tắc tuyển A
• Nếu A” A mà A” hội tuyển sơ cấp, tức A” = (TCS1) (TCS2) … (TCSn) A” gọi dạng chuẩn tắc hội A
• Định lý: biểu thức có dạng chuẩn tắc tuyển chuẩn tắc hội
• Điều kiện cần đủ để biểu thức A đồng dạng chuẩn tắc hội tuyển sơ cấp chứa mệnh đề sơ cấp phủ định
(22)Thuật toán nhận biết đúng
Input: Biểu thức A
Output: Dạng chuẩn tắc hội, A đúng? Thuật toán
Bước 1: Khử phép toán kéo theo () A cách áp dụng XY XY
Bước 2: Đưa phép toán phủ định trực tiếp liên quan đến mệnh đề sơ cấp cách áp dụng (A B) (A B) (A B) (A B)
Bước 3: Đưa dạng chuẩn tắc hội cách áp dụng X(YZ) (XY)(XZ) Bước 4: Kiểm tra điều kiện kết luận
(23)Thuật toán nhận biết sai
Input: Biểu thức A
Output: Dạng chuẩn tắc tuyển A, A sai? Thuật toán
Bước 1: Khử phép toán kéo theo () A cách áp dụng XY XY Bước 2: Đưa phép toán phủ định trực tiếp liên quan đến mệnh đề sơ cấp cách áp dụng (A B) (A B) (A B) (A B)
Bước 3: Đưa dạng chuẩn tắc tuyển cách áp dụng X(YZ) (XY)(XZ) Bước 4: Kiểm tra điều kiện kết luận
(24)(25)(26)Các quy tắc suy diễn logic mệnh đề
• Trong hệ thống tốn học bao gồm tiên đề (được giả định đúng), ta suy định lý (một định lý khẳng định chứng minh đúng)
• Logic cơng cụ phục vụ cho việc phân tích chứng minh
• Một chứng minh bao gồm nhiều bước suy luận mà bước ta đến (hay suy ra) khẳng định từ khẳng định biết • Trong tốn học, ta thường gặp dạng suy diễn sau: A1 A2 …
(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)Logic vị từ
• Giả sử tập hợp phần tử ( thường gọi trường hay không gian), xét mệnh đề trường :
• Mệnh đề gồm phần tử nói lên tính chất phần tử đó;
• Mệnh đề gồm hai phần tử tham gia nói lên quan hệ hai phần tử;
• Ví dụ: = {1, 2, 3,…,}, mệnh đề “Số số nguyên tố”, “Số lớn số 3”
• Biểu thức P(x) gọi vị từ xác định trường , thay x phần tử trường P(x) trở thành mệnh đề xác định trường
• Như vậy, P(x) xem ánh xạ (hay hàm) xác định
trường nhận giá trị tập {đúng, sai} Loại vị từ gọi vị từ ngơi, nói lên tính chất phần tử thuộc
(38)Vị từ nhiều ngơi
Để nói lên quan hệ phần tử trường , người ta cần đưa vào vị từ nhiều
Biểu thức P(x1, x2,…,xn) gọi vị từ xác định tập n=
1× 2×… ×n, thay xi phần tử trường i ta mệnh đề xác
định n Khi P(x
1, x2,…,xn) gọi vị từ n
Các vị từ thường ký hiệu chữ P, F, Q, R (có thể có số kèm), gọi biến vị từ
(39)Công thức
1) Mỗi biến mệnh đề biến vị từ công thức;
2) Nếu A, B cơng thức (A B), (A B), (A B), A công thức; 3) Nếu A cơng thức (x)A (x)A cơng thức
(x)A mệnh đề, mệnh đề A với phần tử trường ; (x)A mệnh đề, mệnh đề có phần tử trường mà A đúng; (x), (x) gọi lượng từ;
(x)A (x)A chứa biến x chứa thêm số biến khác khơng nằm dấu , x gọi biến ràng buộc, biến khác gọi biến tự
(40)(41)(42)(43)Logic mệnh đề logic vị từ
• Logic vị từ rộng logic mệnh đề, A biểu thức logic logic mệnh đề cơng thức logic vị từ Mọi đồng logic mệnh đề đồng logic vị từ
• Ví dụ, cơng thức sau logic vị từ: AB AB;
(AB) (AB); …
(44)• Ví dụ 1: P(x) câu “x+1 > x” không gian tập hợp số thực Vì x+1 > x với số thực nên x P(x)
• Ví dụ 2: Xác định giá trị x P(x), với P(x) câu “x2 < 10” không gian
bao gồm số nguyên dương không vượt
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
• Ví dụ 3: P(x) câu “x > 3” không gian tập hợp số thực Vì P(4) nên x P(x)
• Ví dụ 4: Xác định giá trị x P(x), với P(x) câu “x2 > 10” không gian
bao gồm số nguyên dương không vượt
(45)Dịch câu thành biểu thức logic (1)
• Mọi người có xác người bạn tốt B(x,y) câu “y bạn tốt x”
∀𝑥 ∃𝑦 ∀𝑧 [𝐵 𝑥, 𝑦 ∧ 𝑧 ≠ , ]
ã Nu mt người phụ nữ sinh đẻ, người mẹ người đó”
F(x) câu “x phụ nữ”; P(x) câu “x sinh đẻ”; M(x,y) câu “x mẹ y”
(46)Dịch câu thành biểu thức logic (2)
Tất sư tử dữ;
Một số sư tử không uống cafe;
Một số sinh vật không uống cafe
P(x) câu “x sư tử”; Q(x) câu “x dữ”; R(x) câu “x uống café”;
∀𝑥 𝑃 𝑥 → 𝑄 𝑥
∃𝑥(𝑃 𝑥 ∧ ¬𝑅 𝑥 ) ∃𝑥(𝑃 𝑥 → ¬𝑅 𝑥 )
(47)Dịch câu thành biểu thức logic (3)
“Tất chim ruồi có màu sặc sỡ”
“Khơng có chim lớn sống mật ong”
“Các chim không sống mật ong có màu xám” “Chim ruồi nhỏ”
P(x): “x chim ruồi”; Q(x): “x lớn”;
R(x): “x sống mật ong”; S(x): “x có màu sặc sỡ” ∀𝑥 𝑃 𝑥 → 𝑆 𝑥
(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(67)