Đang tải... (xem toàn văn)
Đối với mỗi câu, thí sinh có thể giải bằng cách khác với đáp án, khi đó người chấm thi, trên cơ sở thang điểm đã có của câu này, đề nghị thang điểm và trao đổi trực tiếp với Tổ trưởng đ[r]
(1)0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC PHẦN GIẢI TÍCH
***** (Học kỳ II năm học 2016-2017)
Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian phát đề
Đề số Câu 1.(1.5đ) Khảo sát liên tục điểm (0,0) hàm số
0 y x
0 y x ) y x cos(
) y x ( y x ) y , x ( f
2
2 2
2 2
Câu 2.(1.5đ) Tìm cực trị hàm số f(x,y)x yx2 y6x8
Câu 3.(1.5đ) Tính tích phân hai lớp
0 x
0
y
2
dy y
xe dx
I
Câu 4.(1.5đ) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt 2
y x
z , x2 y2 z2 2
Câu 5.(1.5đ) Cho tích phân đường loại hai L
2
dx y dy x
I với L biên nửa hình tròn
0 y
1 y
x2
định hướng dương Tính I theo cách: Tính trực tiếp dùng định lý Green, so sánh kết thu
Câu 6.(1.5đ) Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân (y + exsiny)dx + (x + excosy)dy = với điều kiện ban đầu
2 ) (
y
(2)1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu 1.(1,5đ)
Điều kiện để hàm số
y x 0 y x ) y x cos( ) y x ( y x ) y , x ( f 2 2 2 2
có nghĩa – cos(x2 + y2) cos(x2 + y2) x2 + y2 2k (kN*) miền xác định hàm số f(x,y) xét D = {(x,y)R2 x2 + y2 2k (kN*)}.(0,25đ)
Khi (x,y) (0,0) ta có
y x sin ) y x ( y x y x 2 y x sin ) y x ( y x ) y x cos( ) y x ( y x ) y , x (
f 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) , ( ) y , x ( 2 ) , ( ) y , x ( ) , ( ) y , x ( 2 2 2 2 y x y x sin lim y x y x lim ) y , x ( f lim y x y x sin y x y x
(1)(0,5đ)
+ Ta có 2y 2y
x y x y x y x
0 2 3
3 2
(x,y) (0,0) nên theo nguyên lý kẹp ta
được
y x
y x
lim 2 2
3 ) , ( ) y , x
( (2)(0,25đ)
+ Đặt t
2 y x t 2
(x,y) (0,0)
t
t sin lim y x y x sin lim t 2 2 ) , ( ) y , x ( 1 y x y x sin lim y x y x sin
lim 2 2
2 2 ) , ( ) y , x ( 2 2 ) , ( ) y , x (
(3)(0,25đ)
Thay (2) (3) vào (1) ta lim f(x,y) 0.1 f(0,0) ) , ( ) y , x
( nên theo định nghĩa hàm số f(x,y) xét liên tục điểm (0,0).(0,25đ)
Cách khác
(C1) Khi (x,y) (0,0) ta có
) y x cos( ) y x cos( ) y x cos( ) y x ( y x ) y x cos( ) y x ( y x ) y , x (
f 2 2 2 2
(3)2
Vì 2y 2y
x y x y x
y x
0 2 3
3 2
2
(x,y) (0,0) nên theo nguyên lý kẹp ta
0 y x
y x
lim 2 2
3 ) , ( ) y , x
( ; lim 1 cos(x y ) 2 )
0 , ( ) y , x
( x y
) y x sin(
lim 2 2
2 ) , ( ) y , x
(
nên ta
) , ( f
2 ) y , x ( f lim
2 )
0 , ( ) y , x
( nên theo định nghĩa hàm số f(x,y) xét liên tục điểm (0,0)
(C2) Khi (x,y) (0,0) ta có
) y x cos(
) y x ( ) y x (
y x ) y x cos(
) y x ( y x ) y , x (
f 2 2
2 2
2 2
2 2
- Ta có 2y 2y
x y x y x
y x
0 2 3
3 2
2
(x,y) (0,0) nên theo nguyên lý kẹp ta
được
y x
y x
lim 2 2
3 ) , ( ) y , x
( ;
- Mặt khác, đặt tx2 y2 t 0 (x,y) (0,0) – cost t
2 t cos
2 lim t sin
t lim t cos
t lim ) y x cos(
) y x ( lim
0 t ) ' L ( t ) ' L ( t 2
2 2 ) , ( ) y , x
(
Do lim f(x,y) 0.2 f(0,0) )
0 , ( ) y , x
( nên theo định nghĩa hàm số f(x,y) xét liên tục điểm (0,0)
Câu 2.(1,5đ)
Miền xác định hàm số f(x,y)x yx2 y6x8 xét D = {(x,y)R2y0}
- Ta có
1 y
x y
) y , x ( f
6 x y x
) y , x ( f
(0,25đ)
Do hệ phương trình để xác định điểm dừng hàm số xét
4 y
4 x
1 y
x
0 x y
0 y
) y , x ( f
0 x
) y , x ( f
Như vậy, hàm số xét có điểm dừng P(4,4).(0,25đ)
- Ta có
16 AC B
8 y
) , ( f C
4 y x
) , ( f B
2 x
) , ( f A
y y
x y
) y , x ( f
y
1 y
x ) y , x ( f
2 x
) y , x ( f
2
2 2
2
2 2
2
(0,5đ)
Tại điểm dừng P(4,4) ta có
0 A
0
(4)3 Câu 3.(1,5đ)
Từ cận tích phân
2
x
0
y
2
dy y
xe dx
I ta vẽ miền lấy tích phân D hệ tọa độ Oxy
Nếu tính theo chiều dương trục Oy
2
x y
2 x
D , cịn tính theo chiều dương
của trục Ox
y x
4 y
D (0,5đ)
Để tính I dễ dàng, ta đổi thứ tự lấy tích phân
y
0
y
dx y
xe dy
I (0,5đ)
2 e e ) y ( d e dy e dy y
4 x
e
0 y
0 y
0 y
0
y
0 y
2
.(0,5đ)
Câu 4.(1,5đ)
Thể tính cần tính V
dxdydz
V (0,25đ)
Vật thể V giới hạn mặt mặt cầu 2
2
2
y x z z y
x mặt
dưới mặt nón 2
1 x y
z , nên 2 2
2
1 z z x y z x y
z Cịn hình chiếu
(5)4
z y
x2 với mặt nón 2
y x
z nghiệm hệ phương trình
2
2 2
y x z
2 z y x
chính đường tròn x2 + y2 = 1.(0,25đ)
Cách
Do
D
2 2 D
y x
y x D
y x
y x
dxdy y
x y x dxdy
z dz
dxdy V
2
2 2
2
2
(4)
Để tính tích phân hai lớp trên, ta đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,)
sin r y
cos r x
J = r
2
2 2
r y
x
r y x
(5) Qua phép đổi biến này, miền D biến thành
miền D’ Trong tọa độ cực (r,) miền D’ xác định sau: - Đối với tọa độ r: Thay
sin r y
cos r x
vào phương trình hình tròn x2 + y2 ta r2 r 1(6);
- Đối với tọa độ : 2(7).(0,5đ)
Thay (5), (6) (7) vào (4) ta
1
0
0
2
0
0
0
2
dr r dr r r rdr
r r d V
1
0
0
2
1
0
0
2
dr r ) r ( d r 2 dr r ) r ( d r 2
3 ) ( 3
2 2
r ) r ( 2
1
0
0
.(0,5đ)
Cách
Đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y,z) sang tọa độ trụ (r,,z)
z z
sin r y
cos r x
J = r Qua phép đổi
biến này, miền V biến thành miền V’
Trong hệ tọa độ trụ, miền V’ xác định sau: - Đối với tọa độ r: Thay
sin r y
cos r x
vào phương trình hình trịn x2 + y2 ta r2 r 1;
- Đối với tọa độ : 2 - Đối với tọa độ z: Vì
sin r y
cos r x
nên từ x2 y2 z 2x2 y2 suy rz 2r2
(0,5đ)
Do
1
0
r r
0
0
0 r
r '
V V
dr z
r dz
rdr d dz rdrd dxdydz
V
2
1
0
0
2
1
0
0
2
0
2
(6)5
3 ) ( 3
2 2
r ) r ( 2
1
0
0
.(0,5đ)
Câu 5.(1,5đ)
(*)Tính trực tiếp tích phân L
2
dx y dy x
I với L biên nửa hình trịn
0 y
1 y
x2
định hướng dương
Ta có
L
2
I I dx y dy x
I
với
2
L
2
2 L
2
1
dx y dy x I
dx y dy x I
L1 đoạn thẳng có điểm đầu
B(-1,0) điểm cuối A(1,0), L2 nửa đường tròn (cung AB) x2 + y2 = (y 0)
- Trên đoạn BA: y = với -1 x dy = I x dy y dx x 0.dx 0dx
1
1
2 L
2
1
1
- Trên cung AB: Phương trình tham số nửa đường tròn AB
t sin y
t cos x
với t ,
0
3
0
2
L
2
2 x dy y dx cos tcostdt sin t( sintdt) (cos t sin t)dt cos tdt I
tdt cos dy
tdt sin dx
2
3 4
t cos t cos
t sin t sin ) t (cos d ) t cos ( ) t (sin d ) t sin ( tdt sin
0
0
2
2
3
Suy
3 4 I I
I 1 2 (0,5đ)
(**)Tính tích phân L
2
dx y dy x
I với L biên nửa hình trịn
0 y
1 y
x2
định hướng dương, cách dùng định lý Green
Theo định lý Green
D
L
dxdy y
) y , x ( P x
) y , x ( Q dy
) y , x ( Q dx ) y , x (
P tích phân
) y x ( y
) y , x ( P x
) y , x ( Q
x x
) y , x ( Q
y y
) y , x ( P
x ) y , x ( Q
y ) y , x ( P dx y dy x I
2
L
2
2
, ta
được
D D
L
2
dxdy ) y x ( dxdy ) y x ( dx y dy x
I với D nửa hình trịn
0 y
1 y
x2
(7)6 Để tính
D
dxdy ) y x
( thuận lợi, ta đổi biến từ tọa độ Descarter (x,y) sang tọa độ cực (r,)
sin r y
cos r x
J = r Qua phép đổi biến này, miền D biến thành miền D’ Trong hệ tọa độ cực, miền D’ xác định sau:
- Đối với tọa độ r: Thay
sin r y
cos r x
vào phương trình hình trịn x2 + y2 ta r2 r 1;
- Đối với tọa độ :
Do
0
0
1
0 D
d ) sin (cos dr
r rdr ) sin r cos r ( d dxdy ) y x
(
3 2 cos
sin r
0
0
Suy
3 dxdy ) y x ( dx y dy x I
D L
2
2
.(0,5đ)
Như vậy, kết tính tích phân I hai cách theo u cầu có giá trị Câu 6.(1,5đ)
Từ phương trình vi phân (y + exsiny)dx + (x + excosy)dy = suy ra
y cos e x ) y , x ( Q
y sin e y ) y , x ( P
x x
x ) y , x ( Q y
) y , x ( P
y cos e x
) y , x ( Q
y cos e y
) y , x ( P
x x
do biểu thức (y + exsiny)dx + (x + excosy)dy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy vi phân toàn phần (cấp 1) hàm số u(x,y) đó, tức dy P(x,y)dx Q(x,y)dy
y ) y , x ( u dx x
) y , x ( u ) y , x (
du
phương
trình vi phân cho trở thành du(x,y) = (8).(0,5đ)
Do
dx P(x,y)dx (y) x
) y , x ( u ) y , x ( u ) y , x ( P x
) y , x ( u
) y ( y sin e xy ) y , x ( u ) y ( dx ) y sin e y ( ) y , x (
u x x
dy ) y ( d y cos e x ) y , x ( Q dy
) y ( d y cos e x y
) y , x (
u x x
K ) y ( dy
) y ( d dy
) y ( d y cos e x y cos e
x x x
với K số tùy ý.(0,5đ)
Như vậy, ta u(x,y) = xy + exsiny + K với K số tùy ý Thay u(x,y) vừa tìm vào (8) ta du(x,y) = d(xy + exsiny + K) = xy + exsiny = C với C số tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho
Thay điều kiện ban đầu
2 ) (
y vào nghiệm tổng quát vừa tìm được:
1 C C sin e
(8)7
Cách khác Thay
y cos e x ) y , x ( Q
y sin e y ) y , x ( P
x x
vào công thức u(x,y) P(t,y )dt Q(x,t)dt K
y
y x
x
0
0
với
K số tùy ý x0 = y0 = 0, ta u(x,y)(0e sin0)dt(xe cost)dtK
y
0
x x
0 t
K y sin e xy K ) t sin e xt (
0 y x
0
x
(0,5đ)
Thay u(x,y) vừa tìm vào (8) ta du(x,y) = d(xy + exsiny + K) = xy + exsiny = C với C số tùy ý, nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho
Thay điều kiện ban đầu
2 ) (
y vào nghiệm tổng quát vừa tìm được:
C C sin e
0 nên nghiệm riêng cần tìm xy + exsiny = 1.(0,5đ) Câu 7.(1,0đ)
Phương trình y’ + ycosx = sinxcosx phương trình vi phân tuyến tính với
x cos x sin ) x ( q
x cos ) x ( p
(0,25đ)
Ta có
p(x)dx sinx
x sin dx ) x ( p
e e
e e
x sin xdx cos dx
) x (
p q(x)ep(x)dxdxsinxcosxesinxdx
x sin x
sin x
sin x
sin x
sin x sin x
sin
e ) x (sin e
x sin e ) x (sin d e x sin e ) e ( xd sin ) x (sin d xe
sin
,
sinx
x sin x
sin dx
) x ( p dx
) x ( p
e C x sin e
C e
) x (sin e
C dx e
) x ( q
y
(0,5đ)
Từ yêu cầu nghiệm qua điểm (x,y) = (0,1) ta có C
e C 1 e
C sin
1 sin0 sin0
nên nghiệm phải tìm
e x sin
y sinx (0,25đ)
Ghi chú:
1 Theo Quy chế đào tạo, điểm cho lẻ đến 0,1