Đang tải... (xem toàn văn)
Tôi đã chấm, trao giải thưởng và thống kê cụ thể như sau: các em học sinh khá đã xây dựng được khoảng 30% đến 50% bài toán tương tự như các bài toán có trong bài viết của tôi, các em học[r]
(1)PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ
I.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một tốn khó (Bài T7/374 – THTT năm 2008) “Cho số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 4(a + b +c) – = Tìm giá trị lớn của biểu thức S=(a+√a2+1)b(b+√b2+1)c(c +√c2+1)a ” hay tốn mang tính
“tầm vóc” (USA MO 2003) “Chứng minh bất đẳng thức
(2 a+b+ c )2 2 a2+( b+c )2+
(2 b+ c+ a)2 2 b2+(c +a)2+
(2 c+ a+b )2
2 c2+(a+ b)2≤ 8 Trong a ;b ;c là số thực
dương” Giải hai tốn có phải dùng đến phương pháp “cao siêu” hay kỉ thuật “tinh xảo” khơng ? Xin trả lời cần dùng tính chất đơn giản hàm số ta giải hai tốn Vậy học sinh giỏi tốn tạo tốn khơng ? Xin thưa khơng em tạo tốn mà cịn có khả “tác giả” toán hay khó Thiết nghỉ để em trở thành “chủ nhân” tốn hay khó ngồi việc truyền thụ kiến thức cho học sinh giáo viên nên cho em học sinh tiến hành hoạt động “khai thác vấn đề tưởng chừng đơn giản” SGK Đây hoạt động cần thiết để phát triển tư sáng tạo; phát triển tính chịu khó tìm tịi, đào sâu suy nghỉ học sinh để từ giáo viên phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn học Vì lí mà tơi chọn viết đề tài
I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Có nhiều vấn đề “khai thác” SGK, Sách Bài Tập, Sách Tự Chọn Thiết nghỉ đồng nghiệp phải thường xuyên chịu khó “tìm tịi” vấn đề định hướng cho học sinh yêu cầu em tự “khai thác” để tìm “cái mới” riêng em Nếu làm tốt hoạt động phát huy lực học sinh; em chủ động việc tiếp thu kiến thức em tìm phương pháp học hiệu cho riêng Bài viết khơng mong muốn thể hết ý mà xin phép đưa dẫn chứng “Vận dụng hai tính chất hàm số để sáng tạo chứng minh toán”.
(2)PHẦN II NỘI DUNG
II.1 NHỮNG THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN 1 Thuận lợi
- Bản thân Nhà trường; Tổ chun mơn quan tâm giúp đỡ, khuyến khích động viên việc tổ chức thi Tốn học như: “Giải tốn có thưởng”; “Câu lạc Toán học & Bạn yêu toán”; thi “Ai tác giả nhiều toán nhất”;…
- Bản thân tơi giáo viên trẻ nhiệt tình, ln chịu khó tìm tịi sáng tạo, có kinh nghiệm nhiều ý tưởng việc tổ chức thi Tốn học - Có nhiều học sinh đặc biệt học sinh lớp chọn có tố chất; nhiệt tình ln mong muốn tìm hiểu, khám phá vấn đề Tốn học 2 Khó khăn
Bên cạnh thuận lợi tơi củng gặp số khó khăn định sau: - Đặc thù mơn Tốn khó so với mơn học khác nên em thường có tâm lý e ngại học Tốn, chưa nói đến việc “khai thác, hiểu sâu” mơn Tốn
- Phần lớn học sinh trường có hồn cảnh gia đình khó khăn nên bậc phụ huynh chưa trọng vào việc học em mình; từ em học sinh củng nhãng việc học tập thân Đầu vào lớp 10 em thấp so với mặt chung tồn Tỉnh đặc biệt mơn Tốn
- Các em cịn có tâm lý rụt rè tham gia thi nói chung thi Tốn học nói riêng
II.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
- Có thể nói có khơng giáo viên “lãng qn” hoạt động “khai thác những vấn đề” SGK Nếu truyền thụ kiến thức cho học sinh mà bỏ qua hoạt động khơng thân bị mai kiến thức mà em học sinh bị động trước vấn đề “tưởng chừng mẽ” toán học; khả suy luận, tư duy, sáng tạo học sinh bị hạn chế Đây thực trạng đáng buồn cho nhiều giáo viên
- Một số học sinh mang khuynh hướng “học đối phó, học để thi” nên không muốn “hiểu sâu, hiểu rộng” vấn đề tốn học Do em ln “nói khơng” khơng nhiệt tình tham gia thi Toán học II.3 KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI ĐỀ TÀI
(3)tài Hy vọng đồng nghiệp triển khai ứng dụng thành công./
II.4 LÝ THUYẾT CƠ SỞ
1 Hai tính chất hiển nhiên hàm số Tính chất Cho đồ thị hàm số y = f(x)
lồi khoảng (a; b) Cát tuyến AB có phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm C có hồnh độ x0
thuộc khoảng (a; b) có phương trình y = ax + b Ta ln có bất đẳng thức
Ax B f (x) ax b với x a;b.
( Xem hình 1) Hình Tính chất Cho đồ thị hàm số y = f(x)
lõm khoảng (a; b) Cát tuyến AB có phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm C có hồnh độ x0
thuộc khoảng (a; b) có phương trình y = ax + b Ta ln có bất đẳng thức
ax b f (x) Ax B với x a;b.
( Xem hình 2) Hình 2 Nhắc lại số kiến thức sử dụng đề tài
1 Nếu f (x) 0'' , x (a;b) đồ thị hàm số y = f(x) lõm khoảng (a; b) Nếu f (x) 0'' , x (a;b) đồ thị hàm số y = f(x) lồi khoảng (a; b) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm C(x0; f(x0))
'
0 0
y f (x ) x x f (x )
4 Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA; yA) B(xB; yB)
(yB – yA)(x – xA) + (xA – xB)(y – yA) =
II.5 VẬN DỤNG HAI TÍNH CHẤT TRÊN
Ta áp dụng hai tính chất nêu cho hàm số quen thuộc để tạo toán Bất đẳng thức tốn Phương trình
1 Vận dụng cho hàm số lượng giác a Hàm số y = sinx
x0
O x
y
A
B
C
a b
f(x)
x0
O x
y
A
B
a b
C
(4)Xét hàm số f(x) = sinx khoảng 0;; ta có f (x)" sinx 0 với x 0; suy đồ thị hàm số lồi khoảng 0; Tiếp tuyến đồ thị hàm số
điểm có hồnh độ x00; có phương trình
'
0 0 0
y f x x x f x cos x x x sinx Theo tính chất ta có bất đẳng
thức: sinx cos x x x 0 0 sinx0(1) Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = sinx lồi
khoảng 0; x1 0; Cát tuyến OA qua hai điểm O(0; 0) A x ;sinx 1 có
phương trình
1
1 sinx
y x
x
Theo tính chất ta có:
1
1 sinx
sinx x
x
(2) Bây ta vận dụng BĐT(1) BĐT(2) để tạo số toán
** Áp dụng BĐT(1) cho góc A; B; C tam giác ABC x0
ta có
1
sin A cos A sin A
3 3
;
1
sin B B
2
;
1
sin C C
2
Cộng BĐT chiều thu ta có
1 3 3
sin A sin B sin C A B C
2 2
(vì A B C ) Đẳng thức
xãy A B C
** Áp dụng BĐT(2) cho góc A; B; C tam giác nhọn ABC x1
ta có:
sin 2
2
sinA> A A
2
;
2 sin B B
;
2 sin C C
Từ ta thu BĐT sau
2
sin A sin B sin C A B C 2
(vì A B C ) Vậy ta có tốn
sau:
Bài a) Chứng minh:
3 sin A sin B sin C
2
(5)** Áp dụng BĐT(1) cho góc
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C số đo góc của
tam giác ABC) x0
ta có:
A A A
sin cos sin
2 6 2
;
B B
sin
2 2
;
C C
sin
2 2
Từ ta thu BĐT sau:
A B C A B C 3
sin sin sin
2 2 2 2 2
(vì A B C ) Đẳng thức
xãy A B C
** Áp dụng BĐT(2) cho góc
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C số đo góc của
tam giác nhọn ABC) x1
ta có:
sin
A 4 A 2 A
sin >
2 2
4
;
B 2 B sin
2 2;
C 2 C sin
2 2 Từ ta thu BĐT sau
A B C 2 A B C
sin sin sin
2 2 2
(vì A B C ) Vậy ta có
bài tốn sau:
Bài a) Chứng minh:
A B C
sin sin sin
2 2 với tam giác ABC
b) Chứng minh:
A B C
sin sin sin
2 với tam giác nhọn ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc
A B C ; ;
4 4 (với A; B; C góc của
tam giác ABC) x0 12
ta có
A A A
sin cos sin
4 12 12 12 12
(6)(chú ý:
2 3
sin ;cos
12 12
);
B B
sin
4 12
;
C C
sin
4 12
Cộng BĐT thu ta có BĐT sau
A B C A B C 3 3
sin sin sin
4 4 4 4 2
Đẳng thức xãy A B C
** Áp dụng BĐT(2) cho góc
A B C ; ;
4 4 (với A; B; C góc tam
giác nhọn ABC) x1
ta có:
sin
A 8 A 2 A
sin >
4 4
8
(chú ý:
2
sin
8
);
B 2 B sin >
4
;
C 2 C sin >
4
Từ ta thu được
BĐT sau:
A B C 2 A B C
sin sin sin 2
4 4 4
Vậy ta có
bài toán sau:
Bài a) Chứng minh:
A B C 3
sin sin sin
4 4
với tam giác ABC
b) Chứng minh:
A B C
sin sin sin 2
4 với tam giác nhọn
ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc n n n
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C góc của
tam giác ABC) x0 3.2n
(n N, n 2 ) ta thu BĐT:
n n n n n n n
A A 2 A 2
sin cos sin
2 3.2 3.2 3.2 2 3.2
(chú ý: n n
2 2
sin ;cos
3.2 3.2
(7)n n n
B 2 B 2
sin
2 2 3.2
n n n
C 2 C 2
sin
2 2 3.2
Từ suy BĐT sau
n n n n n n n
n n n
A B C 2 A B C 2
sin sin sin
2 2 2 2 2
A B C 2
sin sin sin
2 2
Đẳng thức xãy A B C
** Áp dụng BĐT(1) cho góc n n n
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C góc của
tam giác nhọn ABC)
và x1 2n 1
(n N, n 2 ) ta có
n n
n n n
n sin
A 2 A 2 A
sin >
2 2
2
(chú
ý: n
2 sin
2
(n - dấu căn));
n
n n
B 2 B sin >
2
n
n n
C 2 C sin >
2
Từ ta thu BĐT sau
n
n n n n n n
A B C 2 A B C
sin sin sin 2
2 2 2
Vậy ta có tốn tổng qt sau:
Bài a) Chứng minh: n n n
A B C 2
sin sin sin
2 2
(n dấu căn)
với tam giác ABC n N,n 2
b) Chứng minh: n n n
A B C
sin sin sin 2
2 (n dấu căn)
(8)** Áp dụng BĐT(1) cho góc AB; BC; CA với A; B; C góc
của tam giác ABC x0
ta thu BĐT sau
1
sin AB cos AB sin AB
3 3
;
1
sin BC BC
2
;
1
sin CA CA
2
Từ suy ra:
1 3
sin AB sin BC sin CA AB BC CA
2
Mặt khác theo BĐT CauChy ta có:
A B B C C A
AB BC CA
2 2
Từ suy
3 sin AB sin BC sin CA
2
Đẳng thức xãy
A B C
Vậy ta có tốn sau:
Bài Chứng minh:
3 sin AB sin BC sin CA
2
với tam giác ABC. ** Áp dụng BĐT(1) cho góc 3 A B; B C; C A2 3 với A; B; C
góc tam giác ABC x0
ta thu BĐT sau:
2 2
3 3
sin A B cos A B sin A B
3 3
;
2
3 3
sin B C B C
2
;
2
3 3
sin C A C A
2
Từ suy ra:
2 2 2
3 3 3 3
sin A B sin B C sin C A A B B C C A
2
(9)2 2
3 A B B C 3C A A A B B B C C C A
3 3
Từ suy
2 2
3 3 3
sin A B sin B C sin C A
Đẳng thức xãy
A B C
Vậy ta có toán sau:
Bài Chứng minh rằng:
2 2
3 3 3
sin A B sin B C sin C A
với tam giác ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc n A B ; B C ; C An k k n n k k n n k k với A; B; C
là góc tam giác ABC (n, k N;n 2;1 k n ) x0 3
ta thu
BĐT sau:
n k k n k k n k k
n n n
sin A B cos A B sin A B
3 3
;
n k k n k k
n n
sin B C B C
2
;
n k k n k k
n n
sin C A C A
2
Suy
n k k n k k n k k n k k n k k n k k
n n n n n n 3
sin A B sin B C sin C A A B B C C A
2
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
n k k n k k n k k
n A B n B C n C A n k A kB n k B kC n k C kA
n n n
Từ suy ra:
n k k n k k n k k
n n n 3
sin A B sin B C sin C A
2
Đẳng thức xãy
khi A B C
Vậy ta có tốn tổng qt sau:
Bài Chứng minh rằng:
n k k n k k n k k
n n n 3
sin A B sin B C sin C A
2
với mọi tam giác ABC (n,k N;n 2;1 k n ).
** Áp dụng BĐT(1) cho góc
2AB 2BC 2CA
; ;
A B B C C A (với A; B; C số đo
các góc tam giác ABC) x0
(10)2AB 2AB 2AB
sin cos sin
A B A B 3 A B
;
2BC 2BC
sin
B C B C
;
2CA 2CA
sin
C A C A
Từ suy ra
2AB 2BC 2CA 2AB 2BC 2CA 3
sin sin sin
A B B C C A A B B C C A
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
A B2 B C2 C A2
2AB 2BC 2CA
A B B C C A A B B C C A
Từ suy ra
2AB 2BC 2CA 3
sin sin sin
A B B C C A Đẳng thức xãy khi
A B C
Vậy ta thu toán sau:
Bài Chứng minh rằng:
2AB 2BC 2CA 3
sin sin sin
A B B C C A với tam
giác ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc
1 1
AB; BC; CA
2 2 với A; B; C các
góc tam giác ABC x0
ta thu BĐT sau:
1 1
sin AB cos AB sin AB
2 6 2
1 1
sin BC BC
2 2
;
1 1
sin CA CA
2 2
Từ suy
1 1 1
sin AB sin BC sin CA AB BC CA
2 2 2 2 2
Mặt khác theo BĐT CauChy ta có
1 1 A B B C C A
AB BC CA
2 2 4
Từ suy ta
1 1
sin AB sin BC sin CA
2 2 Đẳng thức xãy khi
A B C
(11)Bài Chứng minh rằng:
1 1
sin AB sin BC sin CA
2 2 với tam
giác ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc
2 2
3 3
1 1
A B; B C; C A
2 2 với A; B; C là
các góc tam giác ABC x0
ta thu BĐT sau
2 2
3 3
1 1
sin A B cos A B sin A B
2 6 2
;
2
3
1 1
sin B C B C
2 2
;
2
3
1 1
sin C A C A
2 2
Suy
2 2 2
3 3 3
1 1 1
sin A B sin B C sin C A A B B C C A
2 2 2 2 2
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có:
2 2
3 3
1 1 A A B B B C C C A
A B B C C A
2 2 6
Từ suy
2 2
3 3
1 1
sin A B sin B C sin C A
2 2 Đẳng thức xãy khi
A B C
Vậy ta có tốn sau:
Bài 10 Chứng minh:
2 2
3 3
1 1
sin A B sin B C sin C A
2 2 với tam
giác
ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc
n k k n k k n k k
n n n
1 1
A B ; B C ; C A
2 2
với A; B;
C góc tam giác ABC (n,k N;n 2;1 k n ) x0 6
ta có BĐT
n k k n k k n k k
n n n
1 1
sin A B cos A B sin A B
2 6 2
;
n k k n k k
n n
1 1
sin B C B C
2 2
;
n k k n k k
n n
1 1
sin C A C A
2 2
(12)n k k n k k n k k n k k n k k n k k
n n n n n n
1 1 1
sin A B sin B C sin C A A B B C C A
2 2 2 2 2
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
n k k n k k n k k
n n n n k A kB n k B kC n k C kA
1 1
A B B C C A
2 2 2n 2n 2n
Từ suy ra:
n k k n k k n k k
n n n
1 1
sin A B sin B C sin C A
2 2
Đẳng thức xãy
khi A B C
Vậy ta có tốn tổng qt sau:
Bài 11 Chứng minh rằng:
n k k n k k n k k
n n n
1 1
sin A B sin B C sin C A
2 2
với tam giác ABC (n,k N;n 2;1 k n ).
b Hàm số y = cosx
Xét hàm số f(x) = cosx khoảng 0;2
; ta có f (x)" cosx 0 với
x 0;
suy đồ thị hàm số lồi khoảng 0;2
Tiếp tuyến đồ thị
hàm số điểm có hồnh độ x0 0;2
có phương trình
'
0 0 0
y f x x x f x sin x x x cosx Theo tính chất ta có bất
đẳng thức: cosx sin x x x0 0 cosx0(3)
Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = cosx lồi khoảng 0; x1 0;2
Cát tuyến OA
qua hai điểm O(0; 0) A x ;cosx 1 có phương trình
1
1 cosx
y x
x
Theo tính
chất ta có:
1
1 cosx
cos x x
x
(4)
Tương tự hàm số y = sinx, ta vận dụng BĐT(3) BĐT(4) tạo ra được số toán sau:
Bài 12 Chứng minh: cos A+cos B+cos C ≤3
2 với tam giác nhọn ABC.
Bài 13 a) Chứng minh:
A B C 3
cos cos cos
(13)b) Chứng minh:
A B C
cos cos cos
2 với tam giác nhọn
ABC.
Bài 14 a) Chứng minh:
A B C 3
cos cos cos
4 4
với tam giác ABC
b) Chứng minh:
A B C
cos cos cos 2
4 với tam giác nhọn
ABC.
Bài 15 a) Chứng minh: n n n
A B C 2
cos cos cos
2 2
(n dấu
căn) với tam giác ABC n N, n 2
b) Chứng minh: n n n
A B C
cos cos cos 2
2 (n dấu căn)
với tam giác nhọn ABC n N, n 2 . c Hàm số y = tanx
Xét hàm số f(x) = tanx khoảng 0;2
; ta có "
3 2sinx
f (x)
cos x
với
x 0;
suy đồ thị hàm số lõm khoảng 0;2
Tiếp tuyến đồ thị
hàm số điểm có hoành độ x0 0;2
có phương trình
'
0 0 0
0
y f x x x f x x x tan x
cos x
Theo tính chất ta có bất đẳng thức: 0 0
tanx x x tan x
cos x
(5)
Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = tanx lõm khoảng 0; x1 0;2
Cát tuyến OA
qua hai điểm O(0; 0) A x ; tan x 1 có phương trình
1
1 tanx
y x
x
Theo tính
chất ta có:
1
1 tanx tan x< x
x (6) Ta vận dụng BĐT(5) BĐT(6) để tạo một
(14)** Áp dụng BĐT(5) cho góc A; B; C tam giác nhọn ABC
0 x
3
ta có:
2
tan A A tan A
3 3
cos
;
tan B B
3
tan C C 3
Từ ta thu BĐT sau
tan A tan B tan C A B C 3 3 3 (vì A B C ) Đẳng thức
xãy A B C
Vậy ta có tốn sau:
Bài 16 Chứng minh: tan A tan B tan C 3 với tam giác ABCnhọn.
** Áp dụng BĐT(5) cho góc
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C số đo góc của
tam giác ABC) x0
ta có:
2
A A A
tan tan
2 cos 6
6
;
B B
tan
2
;
C C
tan
2
Từ ta thu BĐT sau
A B C A B C
tan tan tan 3
2 2 2 2
(vì A B C ) Đẳng thức
xãy A B C
** Áp dụng BĐT(6) cho góc
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C số đo góc tam
giác nhọn ABC) x1
ta có
tan
A 4 A A
tan <
2 2
4
;
B B tan
2 ;
C C tan
2 Từ ta thu BĐT:
A B C A B C
tan tan tan
2 2 2
(vì A B C ) Vậy ta có bài
(15)Bài 17 a) Chứng minh:
A B C
tan tan tan
2 với tam giác ABC
b) Chứng minh:
A B C
tan tan tan
2 với tam giác nhọn ABC.
** Áp dụng BĐT(5) cho góc
A B C ; ;
4 4 (với A; B; C góc của
tam giác ABC) x0 12
ta có
2
A A A
tan tan
4 cos 12 12 12
12
(chú ý:
2
tan 3;cos
12 12
);
B B
tan
4 12
;
C C
tan
4 12
Từ ta thu BĐT sau
A B C A B C
tan tan tan 3 3
4 4 4 4
(vì A B C ) Đẳng thức xãy A B C
** Áp dụng BĐT(6) cho góc
A B C ; ;
4 4 (với A; B; C góc tam
giác nhọn ABC) x1
ta có:
tan 8 2 1
A 8 A A
tan <
4 4
8
(chú ý:
tan
8
);
8
B B
tan <
4
;
8
C C
tan <
4
Từ ta thu BĐT
sau:
8
A B C A B C
tan tan tan 2
4 4 4
(vì A B C ).
Vậy ta có tốn sau:
Bài 18 a) Chứng minh:
A B C
tan tan tan 3
(16)b) Chứng minh:
A B C
tan tan tan 2
4 với tam giác nhọn
ABC.
** Áp dụng BĐT(5) cho góc n n n
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C góc của
tam giác ABC) x0 3.2n
(n N, n 2 ) ta thu BĐT
n n n n n n
2 n
A A A 2
tan tan
2 cos 3.2 3.2 2 2 3 3.2 2 2 3
3.2
(chú ý:
n n
2 2
tan ;cos
3.2 2 2 3 3.2
(n - dấu căn));
n n n
B B 2
tan
2 2 2 3 3.2 2 2 3
n n n
C C 2
tan
2 2 2 3 3.2 2 2 3
Từ ta thu BĐT
n n n n n n n
n n n
A B C A B C 2
tan tan tan
2 2 2 2 3 2 2 2 2 3
A B C 2
tan tan tan
2 2 2 2 3
Đẳng thức xãy A B C
** Áp dụng BĐT(6) cho góc n n n
A B C ; ;
2 2 (với A; B; C góc của
tam giác nhọn ABC) x1 2n 1
(n N, n 2 ) ta thu BĐT
n n
n n n
n tan
A 2 A 2 A
tan <
2 2 2 2
2
(chú ý:
n
2 tan
2 2 2 2
(17)n
n n
B 2 B tan <
2 2 2 2
;
n
n n
C 2 C tan <
2 2 2 2
Từ suy
n
n n n n n n
A B C 2 A B C 2
tan tan tan
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Vậy ta có tốn tổng qt sau:
Bài 19 a) Chứng minh:
n n n
A B C 2
tan tan tan
2 2 2 2 3
(n dấu
căn) với tam giác ABC n N, n 2
b) Chứng minh:
n n n
A B C 2
tan tan tan
2 2 2 2 2
(n dấu
căn) với tam giác nhọn ABC n N, n 2 .
d Hàm số y = cotx
Xét hàm số f(x) = cotx khoảng 0;2
; ta có "
3 2cos x
f (x)
sin x
với
x 0;
suy đồ thị hàm số lõm khoảng 0;2
Tiếp tuyến đồ thị
hàm số điểm có hồnh độ x0 0;2
có phương trình
'
0 0 0
0
y f x x x f x x x cot x
sin x
Theo tính chất ta có bất
đẳng thức: 0 0
1
cotx x x cot x
sin x
(7)
Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = cotx lõm khoảng 0; x1 0;2
Cát tuyến OA
qua hai điểm O(0; 0) A x ;cot x 1 có phương trình
1
1 cotx
y x
x
Theo tính
chất ta có:
1
1 cotx cot x< x
(18)Tương tự hàm số y = tanx, ta vận dụng BĐT(7) BĐT(8) tạo ra được số toán sau:
Bài 20 Chứng minh: cot A cot B cot C 3 với tam giác ABCnhọn
Bài 21 a) Chứng minh:
A B C
cot cot cot 3
2 với tam giác ABC
b) Chứng minh:
A B C
cot cot cot
2 với tam giác nhọn ABC.
Bài 22 a) Chứng minh:
A B C
cot cot cot 3
4 với tam giác ABC
b) Chứng minh:
A B C
cot cot cot 2
4 với tam giác nhọn
ABC.
Bài 23 a) Chứng minh:
n n n
A B C 2
cot cot cot
2 2 2 2 3
(n dấu
căn) với tam giác ABC n N, n 2
b) Chứng minh:
n n n
A B C 2
cot cot cot
2 2 2 2 2
(n dấu
căn) với tam giác nhọn ABC n N, n 2 .
** Áp dụng BĐT(7) cho góc AB; BC; CA với A; B; C góc
của tam giác nhọn ABC x0
ta thu BĐT sau
2
1
cot AB AB cot AB
3 3 3
sin
;
4
cot BC BC
3 3
;
4
cot CA CA
3 3
Từ ta
4
cot AB cot BC cot CA AB BC CA
3
Mặt khác theo
BĐT CauChy ta có:
A B B C C A
AB BC CA
2 2
(19)A B C
Vậy ta có tốn sau:
Bài 24 Chứng minh: cot AB cot BC cot CA 3với tam giác ABC
nhọn.
** Áp dụng BĐT(7) cho góc 3 A B; B C; C A2 3 với A; B; C
góc tam giác nhọn ABC x0
ta thu BĐT sau
2 2
3 3
2
1
cot A B A B cot A B
3 3 3
sin
;
2
3 3
cot B C B C
3 3
;
2
3 3
cot C A C A
3 3
Từ suy ra
2 2 2
3 3 3
cot A B cot B C cot C A A B B C C A
3
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
2 2
3 A B B C 3C A A A B B B C C C A
3 3
Từ ta
2 2
3 3
cot A B cot B C cot C A 3 Đẳng thức xãy khi
A B C
Vậy ta có toán sau:
Bài 25 Chứng minh: cot A B cot B C cot C A3 3 với tam giác
nhọn ABC.
** Áp dụng BĐT(7) cho góc n A B ; B C ; C An k k n n k k n n k k với A; B; C
là góc tam giác nhọn ABC (n,k N;n 2;1 k n ) x0 3
ta có
BĐT:
n k k n k k n k k
n n n
2
1
cot A B A B cot A B
3 3 3
sin
;
n k k n k k
n n
cot B C B C
3 3
;
n k k n k k
n n
cot C A C A
3 3
(20)
n k k n k k n k k n k k n k k n k k
n n n n n n
cot A B cot B C cot C A A B B C C A
3
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
n k k n k k n k k
n A B n B C n C A n k A kB n k B kC n k C kA
n n n
Từ suy ra: cot A Bn n k k cot B Cn n k k cot C An n k k 3 Đẳng thức xãy khi
và A B C
Vậy ta có toán tổng quát sau:
Bài 26 Chứng minh rằng: cot A Bn n k k cot B Cn n k k cot C An n k k 3 với mọi
tam giác ABC nhọn (n,k N;n 2;1 k n ).
** Áp dụng BĐT(7) cho góc
2AB 2BC 2CA
; ;
A B B C C A (với A; B; C số đo
các góc tam giác nhọn ABC) x0
ta có
2
2AB 2AB 2AB
cot cot
A B sin A B 3 A B 3
3
;
2BC 2BC
cot
B C B C 3
;
2CA 2CA
cot
C A C A 3
Từ ta có
2AB 2BC 2CA 2AB 2BC 2CA
cot cot cot
A B B C C A A B B C C A
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
A B2 B C2 C A2
2AB 2BC 2CA
A B B C C A A B B C C A
Từ suy
2AB 2BC 2CA
cot cot cot
A B B C C A Đẳng thức xãy khi
A B C
Vậy ta thu toán sau:
Bài 27 Chứng minh:
2AB 2BC 2CA
cot cot cot
A B B C C A với tam giác
(21)** Áp dụng BĐT(7) cho góc
1 1
AB; BC; CA
2 2 với A; B; C các
góc tam giác ABC x0
ta thu BĐT sau
2
1 1
cot AB AB cot AB
2 sin 6
6
1
cot BC BC
2
;
1
cot CA CA
2
Suy ra
1 1 1
cot AB cot BC cot CA AB BC CA 3
2 2 2 2
Mặt khác theo BĐT CauChy ta có
1 1 A B B C C A
AB BC CA
2 2 4
Từ suy ta
1 1
cot AB cot BC cot CA 3
2 Đẳng thức xãy
khi A B C
Vậy ta có toán sau:
Bài 28 Chứng minh:
1 1
cot AB cot BC cot CA 3
2 với tam
giác ABC.
** Áp dụng BĐT(7) cho góc
2 2
3 3
1 1
A B; B C; C A
2 2 với A; B; C là
các góc tam giác ABC x0
ta thu BĐT sau
2 2
3 3
2
1 1
cot A B A B cot A B
2 sin 6
6
;
2
3
1
cot B C B C
2
;
2
3
1
cot C A C A
2
Suy ra
2 2 2
3 3 3
1 1 1
cot A B cot B C cot C A A B B C C A 3
2 2 2 2
(22)2 2
3 3
1 1 A A B B B C C C A
A B B C C A
2 2 6
Từ ta có
2 2
3 3
1 1
cot A B cot B C cot C A 3
2 Đẳng thức xãy khi
A B C
Vậy ta có tốn sau:
Bài 29 Chứng minh:
2 2
3 3
1 1
cot A B cot B C cot C A 3
2 với tam
giác ABC.
** Áp dụng BĐT(1) cho góc
n k k n k k n k k
n n n
1 1
A B ; B C ; C A
2 2
với A; B;
C góc tam giác ABC (n,k N;n 2;1 k n ) x0
ta thu
BĐT:
n k k n k k n k k
n n n
2
1 1
cot A B A B cot A B
2 sin 6
6
;
n k k n k k
n n
1
cot B C B C
2
;
n k k n k k
n n
1
cot C A C A
2
Cộng BĐT chiều ta thu BĐT
n k k n k k n k k n k k n k k n k k
n n n n n n
1 1 1
cot A B cot B C cot C A A B B C C A
2 2 2 2
3
Mặt khác áp dụng BĐT CauChy ta có
n k k n k k n k k
n n n n k A kB n k B kC n k C kA
1 1
A B B C C A
2 2 2n 2n 2n
Từ suy ra:
n k k n k k n k k
n n n
1 1
cot A B cot B C cot C A 3
2 2
Đẳng thức xãy
ra A B C
Vậy ta có tốn tổng quát sau:
Bài 30 Chứng minh rằng:
n k k n k k n k k
n n n
1 1
cot A B cot B C cot C A 3
2 2
với tam giác ABC (n, k N;n 2;1 k n ).
(23)a Hàm số bậc hai
Xét hàm số f(x) = x2 đoạn [1; 2]; dễ thấy đồ thị hàm số lõm đoạn
[1; 2] Cát tuyến AB qua hai điểm thuộc đồ thị A(1; 1) B(2; 4) có phương trình y = 3x – Theo tính chất ta có BĐT: x2≤ x −2 (9).
** Áp dụng BĐT(9) cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn a b c 4 ta có
¿
a2≤ a −2
b2≤ b −2 c2≤ c − 2
⇒a2
+b2+c2≤ 3(a+b+c )− 6=6
¿{ {
¿
Đẳng thức xãy a 1;b 1;c 2
và hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
Bài 31 Cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4 Chứng
minh rằng: a2+b2+c2≤ 6 Đẳng thức xãy ?
** Áp dụng BĐT(9) cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn a b c 5 ta có
¿
a2≤ a −2 b2≤ b −2
c2≤ c − 2 ⇒a2
+b2+c2≤ 3(a+b+c )− 6=9
¿{ {
¿
Đẳng thức xãy a 1;b 2;c 2
và hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
Bài 32 Cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 5 Chứng
minh rằng: a2+b2+c2≤ 9 Đẳng thức xãy ?
** Áp dụng BĐT(9) cho số thực a;b;c1;2 ta có ¿
a2≤ a −2
b2≤ b −2 c2≤ c − 2
⇔
¿a+2
a≤ 3 b+2
b≤ 3 c +2
c≤ 3
⇒a+b+c +2(1
a+
1
b+
1
c)≤ 9
¿{ {
¿
(24)BĐT(a) ⇔10 ≥(a+b+c+1)+2(1 a+
1
b+
1
c)≥2√(a+b+c+1) 2(
1
a+
1
b+
1
c)
⇔(a+b +c+1)(1 a+
1
b+
1
c)≤
25
2 Đẳng thức xãy
a=1;b=1 ;c=2 và hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu toán
Bài 33 Cho số thực a;b;c1;2 .Chứng minh: (a+b+c +1)(1
a+
1
b+
1
c)≤
25
2
Đẳng thức xãy ? ** Ta có BĐT(a) ⇔8 ≥(a+b+c −1)+2(1
a+
1
b+
1
c)≥ 2√(a+b+c −1).2(
1
a+
1
b+
1
c)
⇔(a+b +c− 1)(1 a+
1
b+
1
c)≤ 8 Đẳng thức xãy
a=1;b=2 ;c=2 và hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu toán
Bài 34 Cho số thực a;b;c1;2 .Chứng minh: (a+b+c − 1)(1
a+
1
b+
1
c)≤ 8
b Hàm số bậc ba
Xét hàm số f (x) x 3 đoạn 1;2 ; ta có f (x) 6x 0" với x1;2 suy
ra đồ thị hàm số lõm đoạn 1;2 Cát tuyến AB qua hai điểm thuộc đồ thị là A(1; 1) B(2; 8) có phương trình y = 7x – Theo tính chất ta có BĐT:
3
x 7x 6 (10).
** Áp dụng BĐT(10) cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn a b c 4 ta có
3
3 3
3
a 7a
b 7b a b c a b c 18 10 c 7c
Đẳng thức xãy khi
a 1;b 1;c 2 hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
Bài 35 Cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4 Chứng
minh rằng: a3b3c3 10 Đẳng thức xãy ?
**Áp dụng BĐT(10) cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn a b c 5 ta có
3
3 3
3
a 7a
b 7b a b c a b c 18 17 c 7c
Đẳng thức xãy khi
a 1;b 2;c 2 hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
(25)minh rằng: a3b3c3 17 Đẳng thức xãy ?
**Áp dụng BĐT(10) cho số thực a;b;c1;2 ta có
2
3
3 2 2
3
2
a
a a 7a
6 1
b 7b b a b c 21
b a b c
c 7c 6
c
c
(b)
BĐT(b) ⇔30 ≥(a2
+b2+c2+9)+6(1
a+
1
b+
1
c)≥ 2√(a
2
+b2+c2+9).6(1
a+
1
b+
1
c)
⇔(a2
+b2+c2+9)(1
a+
1
b+
1
c)≤
75
2 Đẳng thức xãy a 1;b 1;c 2
và hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
Bài 37 Cho số thực a;b;c1;2 Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 1 75
(a b c 9)
a b c
Đẳng thức xãy ?
BĐT (b) ⇔24 ≥ (a2
+b2+c2+3)+6(1
a+
1
b+
1
c)≥ 2√(a
2
+b2+c2+3).6(1
a+
1
b+
1
c)
⇔(a2
+b2+c2+3)(1
a+
1
b+
1
c)≤ 24 Đẳng thức xãy a 1;b 2;c 2
và hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
Bài 38 Cho số thực a;b;c1;2 Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 1
(a b c 3) 24
a b c
Đẳng thức xãy ?
c Hàm số bậc bốn
Xét hàm số f (x) x 5x2 4 đoạn 1;2 ; ta có f (x) 12x" 10 0 với
(26)**Áp dụng BĐT(11) cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn a+b +c=4 ta
có:
¿
a4≤5 a2− 4 b4≤5 b2− 4
c4≤5 c2−4 ⇒a4
+b4+c4≤5 (a2+b2+c2)− 12
¿{ {
¿
(c) Mặt khác theo Bài 31 ta có a2
+b2+c2≤ 6
Kết hợp với (c) ta thu được: a4+b4+c4≤18 Đẳng thức xãy
khi a 1;b 1;c 2 hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu bài toán:
Bài 39 Cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn đẳng thức a+b +c=4 Chứng minh rằng: a4 b4 c4 18 Đẳng thức xãy ?
**Áp dụng BĐT(11) cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn a+b +c=5 ta
có:
¿
a4≤5 a2− 4 b4≤5 b2− 4
c4≤5 c2−4
⇒a4
+b4+c4≤5 (a2+b2+c2)− 12
¿{ {
¿
(d) Mặt khác theo Bài 32 ta có a2+b2+c2≤ 9
Kết hợp với (d) ta thu được: a4+b4+c4≤33 Đẳng thức xãy
a 1;b 2;c 2 hoán vị ba số a;b;c Vậy ta thu toán:
Bài 40 Cho số thực a;b;c1;2 thoả mãn đẳng thức a+b +c=5 Chứng minh rằng: a4 b4c4 33 Đẳng thức xãy ?
** Áp dụng BĐT(11) cho số thực a;b;c;d1;2 ta có
2
4
2
4 2
2 2
2 2
4
2
4
2
a
a
a 5a 4
b
b 5b b a b c d 4 1 1 20
4 a b c d
c 5c c 5
c d 5d
4
d
d
(e)
(27)26 ≥(a2+b2+c2+d2+6)+4(1
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)≥ 2√(a
2
+b2+c2+d2+6) 4(
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2) ⇔(a2
+b2+c2+d2+6)(
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)≤
169
4 Đẳng thức xãy
a=1;b=1 ;c=1 ;d=2 hoán vị ba số a;b;c;d Vậy ta thu bài toán:
Bài 41 Cho số thực a;b;c;d1;2 Chứng minh bất đẳng thức sau: (a2+b2+c2+d2+6)(
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)≤
169
4 Đẳng thức xãy ?
Mặt khác ta thấy BĐT(e) tương đương với BĐT
20 ≥(a2
+b2+c2+d2)+4(
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)≥2√(a
+b2+c2+d2) 4(1
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)
⇔(a2+b2+c2+d2)(1 a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)≤25 Đẳng thức xãy a=1;b=1 ;c=2 ;d=2 hoán vị ba số a;b;c;d Vậy ta thu bài toán:
Bài 42 Cho số thực a;b;c;d1;2 Chứng minh bất đẳng thức sau: (a2
+b2+c2+d2)(1
a2+
1
b2+
1
c2+
1
d2)≤ 25 Đẳng thức xãy ?
3 Vận dụng cho hàm số luỷ thừa
a Xét hàm số
3
f (x) x đoạn [1; 4]; ta có
7 " 15 2
f (x) x
4
với
x 1;4 suy đồ thị hàm số lõm đoạn [1; 4] Cát tuyến AB qua hai điểm
thuộc đồ thị A(1; 1)
1 B 4;
8
có phương trình
7 31
y x
24 24
Theo tính chất ta có BĐT:
3
2 31
x x
24 24
(12)
**Áp dụng BĐT(12) cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn điều kiện
(28)3
3 3
2 2
3
7 31
a a
24 24
7 31 31 17
b b a b c (a b c)
24 24 24 8
7 31
c c
24 24
Đẳng thức xãy ra
khi a 1;b 1;c 4 hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu
được toán
Bài 43 Cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn đẳng thức a b c 6 Chứng
minh rằng:
3 3
2 2 17
a b c
8
Đẳng thức xãy ?
**Áp dụng BĐT(12) cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn điều kiện
a b c 9 ta có
2
3 3
2 2
3
7 31
a a
24 24
7 31 31
b b a b c (a b c)
24 24 24
7 31
c c
24 24
Đẳng thức xãy ra
khi a 1;b 4;c 4 hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu
được toán
Bài 44 Cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn đẳng thức a b c 9 Chứng
minh rằng:
3 3
2 2
a b c
4
Đẳng thức xãy ?
b Xét hàm số
2
f (x) x đoạn [1; 8]; ta có
4 "
f (x) x
9
với
x 1;8 suy đồ thị hàm số lồi đoạn [1; 8] Cát tuyến AB qua hai điểm
thuộc đồ thị A(1; 1) B 8;4 có phương trình
3
y x
7
Theo tính chất 1
ta có BĐT:
2
3
x x
7
(13)
**Áp dụng BĐT(13) cho số thực a;b;c1;8 thoả mãn điều kiện
(29)2
2 2
3 3
2
3
a a
7
3 12
b b a b c (a b c)
7 7
3
c c
7
Đẳng thức xãy chỉ
khi a 1;b 1;c 8 hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu bài toán
Bài 45 Cho số thực a;b;c1;8 thoả mãn đẳng thức a b c 10
Chứng
minh rằng:
2 2
3 3
a b c 6 Đẳng thức xãy ?
**Áp dụng BĐT(13) cho số thực a;b;c1;8 thoả mãn điều kiện
a b c 17 ta có
3
2 2
3 3
2
3
a a
7
3 12
b b a b c (a b c)
7 7
3
c c
7
Đẳng thức xãy chỉ
khi a 1;b 8;c 8 hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu bài toán
Bài 46 Cho số thực a;b;c1;8 thoả mãn đẳng thức a b c 17
Chứng
minh rằng:
2 2
3 3
a b c 9 Đẳng thức xãy ?
c Xét hàm số
3
f (x) x đoạn [1; 4]; ta có
1 " 2 f (x) x
4
với x1;4 suy đồ thị hàm số lõm đoạn [1; 4] Cát tuyến AB qua hai điểm thuộc
đồ thị A(1; 1) B 4;8 có phương trình
7
y x
3
Theo tính chất ta có
BĐT:
3
2
x x
3
(30)**Áp dụng BĐT(14) cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn điều kiện
a b c 6 ta có
2
3 3
2 2
3
7
a a
3
7
b b a b c (a b c) 10
3 3
7
c c
3
Đẳng thức xãy chỉ
khi a 1;b 1;c 4 hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu bài toán
Bài 47 Cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn đẳng thức a b c 6 Chứng
minh rằng:
3 3
2 2
a b c 10 Đẳng thức xãy ?
**Áp dụng BĐT(14) cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn điều kiện
a b c 9 ta có
2
3 3
2 2
3
7
a a
3
7
b b a b c (a b c) 17
3 3
7
c c
3
Đẳng thức xãy chỉ
khi a 1;b 4;c 4 hoán vị ba số a; b; c Vậy ta thu bài
toán
Bài 48 Cho số thực a;b;c1;4 thoả mãn đẳng thức a b c 9 Chứng
minh rằng:
3 3
2 2
a b c 17 Đẳng thức xãy ?
4 Vận dụng cho hàm số mũ hàm số lôgarit
a Xét hàm số f (x) e x R; ta có f (x) e" x 0 với x R suy đồ thị
hàm số lõm R Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A(0; 1) có phương trình y x 1 Theo tính chất ta có BĐT: ex x 1
Đẳng thức xãy và
chỉ x 0 .
(31)a) ex x 0 b)
2
x x 2
e x x
c) esin x 3cosx-2sin2x (sinx cos x) 2sin2x .
b Xét hàm số
2
x 3x f (x) e
R; ta có
2
2
" x 3x
f (x) 2x e
với
mọi x R suy đồ thị hàm số lõm R Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm
A(1; 1) có phương trình yx 2 ; tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm B(2; 1)
có phương trình y x 1 Theo tính chất ta có BĐT: ex23x 2 x và
2
x 3x
e x
Các đẳng thức xãy x 1 x 2 Vậy ta có
thể tạo toán sau
Bài 50 Giải phương trình sau a) ex23x 2 x
b) ex23x 2 x .
c Xét hàm số f(x) = lnx khoảng (0 ;+ ∞) ; ta có
¿
\} \} \( x \) = - \{ \{1\} over \{x rSup \{ size 8\{2\} \} \} \} <0\} \{
¿f❑
¿
với
x∈ (0 ;+∞) suy đồ thị hàm số lồi khoảng (0 ;+ ∞) Tiếp tuyến đồ
thị hàm số điểm A (1 ;0) có phương trình y = x – theo tính chất ta có BĐT: ln x ≤ x − 1 Đẳng thức xãy x = Vậy ta tạo ra tốn sau:
Bài 51 Giải phương trình sau
a) lnx – x + = b) ln(x4 – 5x2 + 5) = x4 – 5x2 + 4
c) ln(sinx + cosx) - (sinx + cosx) + =
d Xét hàm số f(x) = ln(x2 – 3x +2) D=(− ∞;1)∪(2 ;+∞) ; ta có
¿
\} \} \( x \) = \{ \{ - 2x rSup \{ size 8\{2\} \} +6x - 5\} over \{ left (x rSup \{ size 8\{2\} \} - 3x+2 right ) rSup \{ size 8\{2\} \} \} \} <0\} \{
¿f❑
¿
với ∀ x ∈ D suy đồ thị hàm số lồi D Tiếp tuyến đồ thị hàm số
điểm A(0; ln2) có phương trình y=−3
2 x+ln2 ; tiếp tuyến đồ thị hàm số
điểm B(3; ln2) có phương trình y=3
2x −
2+ln Theo tính chất ta có các
BĐT sau:
ln(x2−3 x+2)≤−3
2 x+ln 2 ln(x
2
−3 x+2)≤3
2x −
2+ln Các đẳng thức xãy
(32)a) 2 ln(x2− x +2)+3 x − ln 4=0 b)
2 ln(x2− x +2)− x+9− ln 4=0
5 Vận dụng hai tính chất để giải số tốn khó Bài (USA MO 2003) Chứng minh bất đẳng thức
(2 a+b+c)
2
2 a2+(b+c)2+
(2 b+ c+a)2
2 b2+(c +a)2+
(2 c+a+b)2
2 c2+(a+b)2≤ 8 Trong a ;b ;c là số
thực
dương.
Giải
Khơng tính tổng qt tốn ta chuẩn hố a+b +c=3 Khi
BĐT thành (3+a )
2
2 a2+(3 − a)2+
(3+b)2 2 b2+(3 −b )2+
(3+c )2
2 c2+(3 − c )2≤ 8 Ta thấy đẳng thức xãy
khi a=b=c=1 Ta xét hàm số f (x)= (3+ x)
2 x2+(3 − x)2 đoạn [0 ;3]
Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A (1 ;8
3) y=
4 3x +
4
3
Từ ta đưa dự đốn (3+ x )
2
2 x2
+(3− x )2≤ x +
4
3 (*) với ∀ x ∈[0 ; 3] Ta chứng
minh dự đốn đúng; ta có
(3+ x)2
2 x2+(3− x)2≤
4 3x +
4 3⇔(x
2− x +3
)(4 x+4)≥ x2+6 x +9⇔(x −1)2(4 x +3)≥ 0
Bất đẳng thức cuối với ∀ x ∈[0 ;3] ; đẳng thức xãy
chỉ x=1 Áp dụng BĐT(*) cho số thực khơng âm a; b; c ta có:
(3+a )2 2 a2
+(3 − a)2≤ 3a+
4 ;
(3+b )2 2 b2
+(3 − b)2≤ 3b+
4 ;
(3+c )2 2 c2
+(3 −c )2≤ 3c+
4
3 Cộng
BĐT chiều ta BĐT sau
(3+a)2
2 a2+(3 − a)2+
(3+b)2
2 b2+(3 −b)2+
(3+c)2
2 c2+(3 − c)2≤
4
3(a+b+ c)+4=8 Đẳng thức xãy
chỉ a=b=c=1 Vậy toán giải xong
Bài (JAPAN MO 2002) Chứng minh với số thực dương a ;b ;c
ta
có bất đẳng thức: (b +c − a)
2
(b+c )2+a2+
(c +a − b)2 ( c+ a)2+b2+
(a+ b −c )2 (a+ b)2+c2≥
3
5 .
(33)Khơng tính tổng qt tốn ta chuẩn hố a+b +c=3 Khi BĐT thành
(3 −2 a)2 (3 − a)2+a2+
(3 −2 b)2 (3 − b)2+b2+
(3− c )2 (3 − c )2+c2≥
3 5⇔ a
2
−12 a+9
2 a2−6 a+9 +
4 b2− 12b +9
2 b2−6 b+9 +
4 c2− 12 c+9
2c2−6 c +9 ≥
3
⇔2 −
2 a2− a+9+2 −
9
2 b2− b+9+2 −
9
2 c2−6 c+9≥
3
⇔
2 a2− a+9+
1
2 b2− b+9+
1
2 c2−6 c+9≤
3
5 Ta thấy đẳng thức bất đẳng
thức cuối xãy a=b=c=1 Ta xét hàm số f (x)=
2 x2−6 x +9
trên đoạn [0 ;3] Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A (1 ;1
5)
là y=
25 x +
25 Từ ta đưa dự đốn
1
2 x2− x+9≤
2
25 x+
3
25 (**) với
∀ x ∈[0 ;3] Ta chứng minh dự đoán nêu đúng; ta có:
1
2 x2− x+9≤
2
25 x+
3 25 ⇔(2 x
2
−6 x +9)(2 x+3 )≥ 25⇔2 x3−3 x2+1≥ 0
⇔(x −1)2(2 x+ 1)≥ 0 Bất đẳng thức cuối với ∀ x ∈[0 ; 3] ;
đẳng thức xãy x=1 Áp dụng BĐT(**) cho số thực
không âm a; b; c ta có:
2 a2−6 a+9≤
2
25a+
3
25 ;
1 2 b2−6 b +9≤
2
25 b+
3
25 ;
1
2 c2− c +9≤
2 25c +
3
25 Cộng BĐT chiều ta
2 a2−6 a+9+
1
2 b2−6 b+9+
1
2 c2− c +9≤
2
25 (a+b+c)+
9
25=
3
Đẳng thức xãy a=b=c=1 Vậy toán giải xong
Bài Cho số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện 4(a + b +c) – = Tìm giá trị lớn biểu thức sau
S=(a+√a2+1)b(b+√b2+1)c(c +√c2+1)a .
(Bài T7/374 – THTT năm 2008) Giải
Ta có ln S=b ln(a+√a2+1)+c ln(b+√b2+1)+a ln(c +√c2+1) Xét hàm số
f (x)=ln(x+√x2+1) khoảng (0 ;+ ∞) ; ta có f'(x )=
√x2
+1
⇒ f'
(34)=
5 Vậy
tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A(3
(34)y=4
5x +ln 2−
5 Mặt khác
¿
\} \} \( x \) = \{ \{ - x\} over \{ left (x rSup \{ size 8\{2\} \} +1 right ) sqrt \{x rSup \{ size 8\{2\} \} +1\} \} \} <0\} \{
¿f❑
¿
với ∀ x ∈(0 ;+∞) suy đồ thị hàm số lồi ttrên khoảng (0 ;+ ∞) Theo tính
chất ta có BĐT
ln(x +√x2+1)≤4
5 x+ln2 −
3
5,∀ x ∈ (0 ;+∞) Áp dụng BĐT cho số dương a
ta
được ln(a+√a2+1)≤4
5a+ln 2−
3
5⇒b ln(a+√a
2+1)≤4
5ab +(ln 2−
5)b Tương tự ta có
c ln(b+√b2+1)≤4
5bc +(ln 2−
5)c ; a ln(c+√c
2+1)≤4
5ca+(ln −
5)a Cộng theo vế
ba BĐT ta thu
ln S ≤4
5(ab+ bc+ ca )+(ln2 −
5)(a+b+c)≤
(a+b+ c )2
3 +(ln 2−
3
5)(a+b+c )=
4ln
Đẳng thức xãy a=b=c=3
4 Vậy giá trị lớn S 44√2
Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: 1+cos
A
2
A +
1+cos B
2
B +
1+cosC
2
C >3√3
góc A ;B ;C đo radian.
(Bài T8/274 – THTT) Giải
Xét hàm số f (x)=tan x+sin x nửa khoảng ¿ ; ta có f'(x )=
cos2x +cos x
⇒ f'
(0)=2 Mặt khác ta thấy
¿
\} \} \( x \) = \{ \{2sin x\} over \{ cos rSup \{ size 8\{3\} \} x\} \} - sin x= \{ \{sin x \( - cos rSup \{ size 8\{3\} \} x \) \} over \{cos rSup \{ size 8\{3\} \} x\} \} >= 0,` forall x in \[0; \{ \{π\} over \{2\} \} \)\} \{
¿f❑
¿
suy đồ thị hàm số lõm khoảng (0 ;π
2) Tiếp tuyến đồ thị hàm số
điểm O(0; 0) có PT y = 2x Theo tính chất ta có BĐT: tan x +sin x ≥ x
Đẳng thức xãy x = Áp dụng BĐT cho góc A2∈(0 ;π 2)
ta có: tan A 2+sin
A
2 >A⇔ tan
A
2 cot
A
2+sin
A
2cot
A
2>A cot
A
2 ⇔
1+cosA
2
A >cot A
(35)tương tự ta có 1+cos
B
2
B >cot
B
2
1+cosC
2
C >cot
C
2 Cộng vế theo vế ba BĐT
cùng chiều ta 1+cos
A
2
A +
1+cosB
2
B +
1+cosC
2
C >cot
A
2+cot
B
2+cot
C
2 Theo
Bài 21 ta có cot A 2+cot
B
2+cot
C
2 ≥3√3 Từ suy
1+cos A
2
A +
1+cosB
2
B +
1+cosC
2
C >3√3 Vậy toán giải xong
PHẦN III KẾT LUẬN
III.1 KẾT QUẢ THỰC HIỆN
(36)mới,… Nhưng lớn thi khởi xướng phong trào thi đua học tập nghiên cứu phận học sinh giỏi tốn; từ ta nhân rộng phong trào cho tất đối tượng học sinh
III.2 LỜI KẾT
Chúng ta với học sinh “hợp tác đơi bên có lợi” để thực tốt hoạt động tơi tin ngày không xa em trở thành học sinh giỏi tốn; trở thành giáo viên giỏi tốn;…… ngày em đồng nghiệp khám phá toán, định lý mang tầm “một nhà tốn học” Chúc đồng nghiệp thành cơng
Xin chân thành cảm ơn !!!
CÁC TÀI LIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG ĐỂ VIẾT ĐỀ TÀI
1 Sách GK Hình học 10 – NXB Giáo Dục
2 Sách GK Đại số Giải tích 11 – NXB Giáo Dục Sách GK Giải tích 12 – NXB Giáo Dục
4 Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn Hệ thức lượng giác – TG: Trần Phương – NXB Hà Nội