De De Nghi Toan 11 Cua Hai Phong

[r]

Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN DUYÊN H I B C B - KH I L P 11Ề Ọ Ọ Ỏ Ả Ắ Ộ Ố Ớ (Đ H i phòng đ ngh )ề ả ề ị

Bài (Phương trình h phệ ương trình). Gi i h phả ệ ương trình:

cos 3 cos

3 cos

3

x y

y z

z x







  



  

 



  

 

  

 



  

   

  

 Bài (Hình h c ph ng).ọ ẳ

Cho n a đử ường tròn tâm O đường kính AB hai m C, D thu c n a để ộ ường tròn Ti p n c a đế ế ủ ường tròn t i C D l n lạ ầ ượ c t đường th ng AB t iẳ N, M Hai đường th ng NC MD c t t i E H ẳ ắ ạ EFMN Ch ng minhứ

r ng EF phân giác góc ằ CFD

Bài (Phương trình hàm – Hàm s ).ố

Cho n m t s t nhiên Tìm t t c hàm s liên t c ộ ố ự ấ ả ố ụ f x  th a mãnỏ

     

0 n 2n 0,

n n n

C f x C f x  C f x   x R

Bài (Dãy s - Đa th c) ố ứ Cho dãy  xn n



 th a mãn ỏ x11;x2 x3 9;x4 1

4

4 3,

n n n n n

x   x x x x    n . Ch ng minh r ng t n t i ứ ằ limxn tính gi i h n đó.ớ

Bài (T h p).ổ ợ

Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên ứ ằ ọ ố ự n 2 t n t i m t t p h p S g m n sồ ộ ậ ợ ố t nhiên cho ab chia h t cho ự ế  

2

Đáp án

Bài Xét hàm s ố      

cos ' sin '

3 3 3

f x    x f x     x f x 

    .

T x y  f y  f z   f '   y z   y z

Tương t ta có ự x y  y z  z x  y x  x y  y z  z x Gi s ả xmax , ,x y z  x y z

T có f x  x Xét hàm s :ố

  cos '  sin

3 3 3

g x  x   x g x      x

    .

V y g(x) đ ng bi n mà ậ ế

0 g 

 

  nên h phệ ương trình cho có nghi mệ

duy nh t ấ

3 x  y z

Bài 2.

F E

N M

T

A B

C

D

Gi s ti p n c t t i T, TE c t MN t i F’ H TF’’ vng góc v i MN.ả ế ế ắ ắ ạ

Khi TO phân giác góc MTN nên

OM TM ON TN .

Theo đ nh lí Ceva: ị '

'

MF ND TC NF TD MC 

 

' '' '' ''

cot tan

' '' '' ''

MF MC MC DO MF TF MF

CMO DNO

NF ND CO ND TF NF NF

     

V y ậ F F'F"

T giác TCOF, TOFD n i ti p nên ứ ộ ế TFC TOC TFD TOD  ;   mà TOC TOD  nên

FE phân giác góc CFD

D th y g(x) m t hàm s ch n nên ta ch xét v i ễ ấ ộ ố ẵ ỉ x 0 Ta có g 0 0;

 1

g   2  1  

n n

g x   g x

Xét x 0 0;1 ta có          

2

0 lim 0

n n

n n

n

g x g x g x

 

    

Xét x 0 1; ta có          

2

0 lim 0

n n

n n

n

g x g x g x

 

    

V y ậ g x   0,  x R B đ đổ ề ược ch ng minh xong ứ

Tr l i toán, xét hàm s ố        

0 k 2k 0

k k k k

G x C f x C f x  C f x 

Nh nậ th y ấ G xk  liên t c ụ      

2

1 ,

k k k

G x G x G  x  k N

T gi thi t ta có ả ế G xn  0 Gn1 x Gn1 x2 0 Theo b đ ổ ề Gn1 x 0

Ti p t c nh v y cho đ n ế ụ ậ ế G x0   0 f x   0, x

Bài Đ t ặ Mn maxx xn; n1;xn2;xn3 ; mn minx xn; n1;xn2;xn3

Ta th y r ng ấ ằ mn dãy tăng b ch n trên, ị ặ Mn dãy gi m b ch n dả ị ặ ưới

Nh v y t n t i ậ nlimmn m

   nlim Mn M m M 

V i m i ọ  0 tùy ý t n t i ồ ạ n0 cho  n n0:

n n

M M M

m m m

          

M t khác t n t i ặ n n cho xn4 mk

Nh v y ậ    

3 4

4

4 ,

n n n n n k

x   x x x x    m  M m   m M m    Cho   0 d n đ n ẫ ế m M V y ậ m M a Do t n t i ồ ạ limxn a

T đ ng th c ẳ ứ xn44 x x x xn n1 n2 n3, nhân vào r i ướ ược l c ta

4 2 10

4 1

n n n n

x x x x    x x x x  a   a V y ậ limx n 3.

Bài Ta ch ng minh toán b ng phứ ằ ương pháp quy n p toán h c.ạ ọ V i n = ch n ọ S 2 0;1

Gi s toán đ n n = k nghĩa ta ch n đả ế ọ ượ ậc t p Sk th a mãn bàiỏ

toán Ta ch ng minh toán v i n = k + 1.ứ

G i L b i s chung nh nh t c a s khác có d ng ọ ộ ố ỏ ấ ủ ố  

2

a b ab v iớ t t c b ấ ả ộ a b S,  k Xét Sk1L a a S |  k  0 Suy S

k+1 có k 1ph n t ầ

Ta ch ng minh th a mãn toán Th t v y:ứ ỏ ậ ậ N u m t s a ho c b b ng ế ộ ố ặ ằ  

2

ab a b  .

L a L b   L a L b

        T suy u ph i ch ng minh.