ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN DUYÊN HẢI BẮC BỘ - KHỐI LỚP 11 (Đề Hảiphòngđề nghị) Bài (Phương trình hệ phương trình) Giải hệ phương trình: � � � y� �x cos � �3 � � � � � � �y cos � z � �3 � � � � � �z cos � x � �3 � � Bài (Hình học phẳng) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến đường tròn C D cắt đường thẳng AB N, M Hai đường thẳng NC MD cắt E Hạ EF MN � Chứng minh EF phân giác góc CFD Bài (Phương trình hàm – Hàm số) Cho n số tự nhiên Tìm tất hàm số liên tục f x thỏa mãn 0, x �R Cn0 f x Cn1 f x Cnn f x n Bài (Dãy số - Đa thức) � Cho dãy xn n 1 thỏa mãn x1 1; x2 x3 9; x4 xn xn xn 1 xn xn 3 , n �1 Chứng minh tồn lim xn tính giới hạn Bài (Tổ hợp) Chứng minh với số tự nhiên n �2 tồn tập hợp S gồm n số tự nhiên cho ab chia hết cho a b với số a �b phân biệt thuộc S Đáp án � � � � x �� f ' x sin � x �� f ' x 3 �3 � �3 � Bài Xét hàm số f x cos � Từ x y f y f z f ' y z �y z Tương tự ta có x y �y z �z x �y x � x y y z z x Giả sử x max x, y, z � x y z Từ có f x x Xét hàm số: � � � g x x cos � x �� g ' x sin � 3 �3 � �3 � x � � �3� Vậy g(x) đồng biến mà g � �2 � � nên hệ phương trình cho có nghiệm � � x y z Bài T D C M E A F B N Giả sử tiếp tuyến cắt T, TE cắt MN F’ Hạ TF’’ vng góc với MN Khi TO phân giác góc MTN nên OM TM ON TN MF ' ND TC 1 NF ' TD MC MF ' MC MC DO � tan DNO � MF '' TF '' MF '' � cot CMO NF ' ND CO ND TF '' NF '' NF '' Vậy F �F ' �F " � TOC � ; TFD � TOD � � TOD � Tứ giác TCOF, TOFD nội tiếp nên TFC mà TOC Theo định lí Ceva: nên FE phân giác góc CFD Bài Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu g(x) hàm số liên tục thỏa mãn g x g x g x �0 Dễ thấy g(x) hàm số chẵn nên ta xét với x �0 Ta có g 0; 1 g 1 g x n n g x g x lim 1 g x 1 g x0 Xét x0 � 0;1 ta có g x0 1 g x0 nlim �� n Xét x0 � 1; � ta có g x0 1 n n n 2n n n n �� 2n Vậy g x �0 , x �R Bổ đề chứng minh xong k Trở lại toán, xét hàm số Gk x Ck f x Ck f x Ck f x Nhận k thấy Gk x liên tục Gk x Gk x Gk 1 x , k �N Từ giả thiết ta có Gn x � Gn 1 x Gn 1 x Theo bổ đề Gn 1 x Tiếp tục G0 x � f x 0, x Bài Đặt M n max xn ; xn 1 ; xn ; xn 3 ; mn xn ; xn 1; xn ; xn 3 Ta thấy mn dãy tăng bị chặn trên, M n dãy giảm bị chặn mn m lim M n M m �M Như tồn nlim �� n �� �M M n M m mn m � Với tùy ý tồn n0 cho n �n0 : � Mặt khác tồn n �n0 cho xn mk Như xn xn xn 1 xn xn 3 � mk M m � m M m , 3 Cho � dẫn đến m �M Vậy m M a Do tồn lim xn a Từ đẳng thức xn4 xn xn 1 xn xn 3 , nhân vào ước lược ta xn4 xn33 xn2 xn 1 x1 x22 x33 x44 � a10 95 � a Vậy lim xn Bài Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp toán học Với n = chọn S2 0;1 Giả sử toán đến n = k nghĩa ta chọn tập Sk thỏa mãn toán Ta chứng minh toán với n = k + Gọi L bội số chung nhỏ số khác có dạng a b ab với tất a, b �S k Xét Sk 1 L a | a �Sk � 0 Suy Sk+1 có k phần tử Ta chứng minh thỏa mãn tốn Thật vậy: Nếu số a b abM a b Nếu số có dạng L a L b ta có L a L b L L a b ab Mab � L a L b M� L a L b � � � Từ suy điều phải chứng minh ... sin � 3 �3 � �3 � x � � �3� Vậy g(x) đồng biến mà g � �2 � � nên hệ phương trình cho có nghi m � � x y z Bài T D C M E A F B N Giả sử tiếp tuyến cắt T, TE cắt MN F’ Hạ TF’’ vng