a. Xét hàm số f (x) e x trên R; ta có f (x) e" x 0 với mọi x R suy ra đồ thị hàm số lõm trên R. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(0; 1) có phương trình y x 1 . Theo tính chất 2 ta có BĐT: ex x 1. Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x 0 .
Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau Bài 49 Giải các phương trình sau
a) ex x 1 0 b) ex23 x 2 x2 3 1 x
c) esin x 3cosx-2sin2x (sinx 3 cos x) 1 2sin2x .
b. Xét hàm số 2 2 x 3x 2 f (x) e trên R; ta có 2 2 " x 3x 2 f (x) 2x 3 2 e 0 với
mọi x R suy ra đồ thị hàm số lõm trên R. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1; 1) có phương trình yx 2 ; tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B(2; 1) có phương trình y x 1 . Theo tính chất 2 ta có các BĐT: ex23x 2 x 2
và
2
x 3x 2
e x 1
. Các đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x 1 và x 2 . Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau
Bài 50 Giải các phương trình sau
a) ex23x 2 x 2 0
b) ex23x 2 x 1 0
.
c. Xét hàm số f(x) = lnx trên khoảng (0;+∞) ; ta có
¿
\} \} \( x \) = - \{ \{1\} over \{x rSup \{ size 8\{2\} \} \} \} <0\} \{
¿f❑
¿
với mọi
x∈(0;+∞) suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng (0;+∞) . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;0) có phương trình y = x – 1. theo tính chất 1 ta có BĐT: lnx ≤ x −1 . Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 1. Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau:
Bài 51 Giải các phương trình sau
a) lnx – x + 1 = 0 b) ln(x4 – 5x2 + 5) = x4 – 5x2 + 4 c) ln(sinx + cosx) - (sinx + cosx) + 1 = 0.
d. Xét hàm số f(x) = ln(x2 – 3x +2) trên D=(− ∞;1)∪(2;+∞) ; ta có
¿
\} \} \( x \) = \{ \{ - 2x rSup \{ size 8\{2\} \} +6x - 5\} over \{ left (x rSup \{ size 8\{2\} \} - 3x+2 right ) rSup \{ size 8\{2\} \} \} \} <0\} \{
¿f❑
¿
với ∀x∈D suy ra đồ thị hàm số lồi trên D . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(0; ln2) có phương trình y=−3
2 x+ln2 ; tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm B(3; ln2) có phương trình y=3 2x − 9 2+ln 2 . Theo tính chất 1 ta có các BĐT sau: ln(x2−3x+2)≤−3 2 x+ln 2 và ln(x2−3x+2)≤3 2x − 9 2+ln 2 . Các đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0 và x = 3. Vậy là ta có thể tạo ra bài toán sau
a) 2 ln(x2−3x+2)+3x −ln 4=0 b)
2 ln(x2−3x+2)−3x+9−ln 4=0 .