Slide 3 – Toán rời rạc – Com_new – Đỗ Đức Đông – UET – Tài liệu VNU

• Một cách sắp xếp có thứ tự

Đếm phần tử

• Các ngun lí • Hốn vị tổ hợp • Hệ số nhị thức

• Nguyên lý lồng chim bồ câu • Thuật tốn chia để trị

Lý thuyết tổ hợp

Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán rời rạc, chuyên nghiên cứu xếp đối tượng

• Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất Đếm phần tử xuất nhiều toán học tin học, dùng để giải nhiều vấn đề dùng nhiều tính xác suất biến cố

Ví dụ, cần đếm số cách khác đặt mật thỏa mãn điều kiện: Độ dài ký tự không vượt ký tự ký tư lấy từ tập

[‘0’ ’9’,’a’ ’z’]

• Tạo cách xếp đối tượng thỏa mãn tính chất

Các nguyên lí phép đếm (1)

Quy tắc cộng

• Quy tắc cộng: Giả sử có hai cơng việc Việc thứ làm 𝑛1 cách, việc thứ hai làm 𝑛2 cách, có 𝑛1 + 𝑛2 cách làm hai cơng việc

• Ví dụ: Cần chọn đại biểu nam sinh viên có điểm trung bình từ 8.0 trở lên nữ sinh viên có điểm trung bình từ 7.5 trở lên Biết có 20 sinh viên nam thỏa mãn tiêu chuẩn, 25 nữ sinh viên thỏa mãn tiêu chuẩn Như có 20 + 25 cách chọn đại biểu

• Quy tắc phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp sau: Nếu 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 tập rời nhau, số phần tử hợp tập tổng số phần tử tập thành phần

Các nguyên lí phép đếm (2)

Quy tắc nhân

• Quy tắc nhân: Giả sử có nhiệm vụ tách làm hai cơng việc Việc thứ làm 𝑛1 cách, việc thứ hai làm 𝑛2 cách, có 𝑛1 × 𝑛2 cách làm nhiệm vụ

• Ví dụ: Cần chọn hai đại biểu, nam sinh viên có điểm trung bình từ 8.0 trở lên nữ sinh viên có điểm trung bình từ 7.5 trở lên Biết có 20 sinh viên nam thỏa mãn tiêu chuẩn, 25 nữ sinh viên thỏa mãn tiêu chuẩn Như có 2025 cách chọn đại biểu

• Quy tắc phát biểu dạng ngơn ngữ tập hợp sau: Chọn phần tử tích Đề-các 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛 tiến hành cách chọn phần tử 𝐴1, phần tử 𝐴2, …, phần tử 𝐴𝑛

1) Đếm số cách khác đặt mật thỏa mãn điều kiện sau:

Độ dài ký tự không vượt ký tự; Mỗi ký tư lấy từ tập [‘0’ ’9’,’a’ ’z’]

2) Hãy cho biết biến k nhận giá trị sau chạy đoạn chương trình đây:

Các nguyên lí phép đếm (3)

• Quy tắc cộng dẫn đến trùng lặp số trường hợp bị tính hai lần Để tính số cách thực nhiệm vụ, ta cộng số cách làm hai việc trừ số cách làm bị tính hai lần  ngun lý bù trừ

• Ví dụ: đếm số lượng xâu nhị phân độ dài 8, bắt đầu bit kết thúc hai bit 00

128 (số xâu bắt đầu 1) + 64 (số xâu kết thúc 00) – 32 (số xâu bắt đầu kết thúc 00) = 160

• Theo nguyên lý tập hợp: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵| Cở sở phép đếm (4)

Hoán vị chỉnh hợp

• Hốn vị tập đối tượng khác cách xếp có thứ tự đối tượng

• Một cách xếp có thứ tự 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛) phần tử 𝑛 phần tử gọi chỉnh hợp chập 𝒓 𝒏 phần tử Hoán vị trường hợp đặc biệt 𝑟 = 𝑛

• Cho 𝑆 = {1,2,3} Cách xếp (3,1,2) hốn vị 𝑆, cịn cách xếp (3,1) chỉnh hợp chập 𝑆

• Định lý: Số chỉnh hợp chập 𝑟 𝑛 phần tử

𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛 𝑛 − 𝑛 − … 𝑛 − 𝑟 + 𝑃 𝑛, 𝑛 = 𝑛!

Có cách xếp người ngồi quanh bàn tròn, hai cách ngồi gọi giống cách nhận từ cách

Tổ hợp

• Một tổ hợp chập 𝑟 tập hợp cách chọn khơng có thứ tự 𝑟 phần tử tập cho

• Cho 𝑆 = {1,2,3,4,5} Khi {1,3,4} tổ hợp chập 𝑆 • 𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝑃 𝑛,𝑟

𝑟! =

𝑛! 𝑟! 𝑛−𝑟 !

• 𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑟)

Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên người người A, B, C Có 𝐶32 = 3!

2!1! = 3,

cách AB, AC, BC

Ví dụ 2: Đếm số đường từ góc trái lên góc

• Có cách lấy quân từ cỗ tú lơ khơ 52 quân cho quân lấy có quân Át quân 10

Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng

Hoán vị có lặp (chỉnh hợp lặp)

• Tính xác suất lấy liên tiếp bóng đỏ khỏi bình kín chứa bóng đỏ bóng xanh, sau lần lấy bóng lại bỏ trở lại bình

53/123 (lấy mẫu có hồn lại)

Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng

Tổ hợp lặp

• Giả sử đĩa hoa có táo, cam, lê, loại có Tính số cách lấy từ đĩa hoa thứ tự lấy không quan trọng, thuộc loại không phân biệt

15 cách

• Có cách chọn tờ giấy bạc từ két đựng tiền gồm tờ 1, 2, 5, 10, 20,

50, 100 đô thứ tự lấy không quan trọng, tờ thuộc loại không phân biệt

Hoán vị tập hợp có phần tử giống nhau

• Số hốn vị 𝑛 phần tử, có 𝑛1 phần tử giống thuộc loại 1, 𝑛2 phần tử giống thuộc loại 2,…, 𝑛𝑘 phần tử giống thuộc loại 𝑘 bằng:

𝑛!

𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑘!

Hệ số nhị thức (1)

• Hàng đẳng thức PASCAL: Với 𝑛, 𝑘(𝑛 ≥ 𝑘)

Hệ số nhị thức (2)

Định lí 1:

෍

𝑘=0 𝑛

Hệ số nhị thức (3)

Định lí (Nhị thức):

𝑥 + 𝑦 𝑛 = ෍

𝑗=0 𝑛

𝐶 𝑛, 𝑗 𝑥𝑛−𝑗𝑦𝑗

= 𝐶 𝑛, 𝑥𝑛 + 𝐶 𝑛, 𝑥𝑛−1𝑦 + ⋯ + 𝐶 𝑛, 𝑛 − 𝑥𝑦𝑛−1 + 𝐶 𝑛, 𝑛 𝑦𝑛

Định lí 3:

෍

𝑘=0 𝑛

• Tìm hệ số 𝑥5𝑦8 trong khai triển 𝑥 + 𝑦 15

• Tìm hệ số 𝑥8 trong khai triển 𝑥 + 1 10

• 𝐶 𝑛, 2𝑛 = σ𝑘=0𝑛 𝐶 𝑘, 𝑛

• Tìm cơng thức tính hệ số 𝑥𝑘 trong khai triển 𝑥 + 𝑥

Ví dụ 1: Bài tốn ni thỏ

1) Các thỏ không chết

2) Hai tháng sau đời, cặp thỏ sinh cặp thỏ (một đực, cái)

3) Khi sinh tháng chúng lại sinh cặp

Giả sử từ đầu tháng có cặp đời đến tháng thứ n có cặp

Gọi 𝑓(𝑛) số thỏ tháng thứ 𝑛 Tháng 1: Có cặp 𝑓 =

Tháng 2: Có cặp 𝑓 =

𝑓 𝑛 = 𝑎

𝑓 𝑛 + = 𝑏 (có 𝑏 − 𝑎 cặp sinh)

Ví dụ 2: Bài tốn ni thỏ 2

1) Các thỏ không chết

2) Ba tháng sau đời, cặp thỏ sinh cặp thỏ (một đực, cái)

3) Khi sinh tháng chúng lại sinh cặp

Ví dụ 3: Bài tốn đếm số lượng xâu nhị phân

Đếm số lượng xâu nhị phân mà khơng có hai bit đứng cạnh 𝑛 = có xâu thỏa mãn 0,

𝑛 = có xâu thỏa mãn 00, 01, 10

𝑛 = có xâu 000, 001, 010, 100, 101

Kĩ thuật truy hồi (2)

• Kĩ thuật truy hồi dùng để đánh giá độ phức tạp thuật tốn chia để trị

• Thuật tốn chia để trị chia toán thành toán dạng (none overlapping) nhỏ

Thuật tốn chia để trị

Tính 𝐴𝑁

• Cách tính

Tính 𝐵 = 𝐴𝑁2

𝐶 = ì ì %2

ã phc

𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛

2 +

Bài toán tháp Hà nội

• Trị chơi tháp Hà nội trị chơi với đĩa có kích

thước đơi khác nhau, có lỗ giữa, nằm xuyên ba cọc A, B, C

• Trị chơi bắt đầu trạng thái đĩa chồng lên cọc A, đĩa nhỏ nằm đĩa lớn, tức đĩa nhỏ nằm cùng, tạo dạng hình nón u cầu trị chơi chuyển tồn số đĩa từ cọc A sang cọc C, tuân theo quy tắc sau:

• Chỉ sử dụng cọc để chuyển;

• Một lần di chuyển đĩa nằm từ cọc sang cọc khác;

• Một đĩa đặt lên đĩa lớn

Cách chuyển n đĩa từ cọc A sang C tối ưu Tính số lần chuyển đĩa?

Chuyển(n-1,A,B) Chuyển(1,A,C) Chuyển(n-1,B,A)

𝑓 = 1; 𝑓 = 3;

Bài toán lát gạch

Thuật tốn quy hoạch động

Trị chơi lị cị: người chơi cần vượt qua đoạn đường dài n mét,

mỗi bước, người chơi có ba cách nhảy với độ dài bước nhảy tương ứng mét, mét, mét Một cách nhảy thỏa mãn thực bước nhảy có tổng n Đếm số cách nhảy thỏa mãn.

𝑓 𝑛 số cách nhảy thỏa mãn 𝑓 =

𝑓 = 𝑓 =

Cho bảng gồm 𝑚 hàng, 𝑛 cột Mỗi

bảng chứa kí tự A B Xuất phát từ góc trái dưới, lần di chuyển sang ô bên ô bên phải Đếm số lượng

đường đến góc phải mà xâu ghép từ kí tự đường xâu đối xứng

Gọi 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣) số lượng đường từ ô (𝑥, 𝑦) đến ô (𝑢, 𝑣)

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 = ෍

𝑥′,𝑦′ 𝑏ê𝑛 𝑡𝑟ê𝑛 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏ê𝑛 𝑝ℎả𝑖 𝑐ủ𝑎 ô (𝑥,𝑦) 𝑢′,𝑣′ 𝑏ê𝑛 𝑡𝑟á𝑖 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏ê𝑛 𝑑ướ𝑖 ô (𝑢,𝑣) 𝑘í 𝑡ự 𝑥,′𝑦′ 𝑔𝑖ố𝑛𝑔 𝑘í 𝑡ự (𝑢′,𝑣′)

Nguyên lý lồng chim bồ câu

• Định lý 1: Nếu có 𝑘 + (hoặc nhiều hơn) đồ vật đặt vào 𝑘 hộp có hộp chứa chứa hai nhiều hai đồ vật • Ví dụ: Một tập thể gồm 367 người, có người trùng

ngày sinh

• Định lý 2: Nếu có 𝑘 đồ vật đặt vào 𝑏 hộp, tồn hộp chứa 𝑘

𝑏 vật

• Ví dụ: Trong 100 người có 100

Chứng tỏ 𝑛 + số nguyên dương đội khác nhau không vượt 2𝑛, tồn hai số nguyên tố

Trong 𝑛 + số đôi khác không vượt 2𝑛 tồn hai số liên tiếp nhau