[Giáo trình Toán rời rạc] - Chương3 - Đồ thị pptx

http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 37 CHƯƠNG III ðỒ THỊ Lý thuyết ñồ thị là một ngành khoa học ñược phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện ñại. Những ý tưởng cơ bản của nó ñược ñưa ra từ thế kỷ 18 bởi nhà toán học Thụy Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông ñã dùng ñồ thị ñể giải quyết bài toán 7 chiếc cầu Konigsberg nổi tiếng. ðồ thị cũng ñược dùng ñể giải các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Thí dụ, dùng ñồ thị ñể xác ñịnh xem có thực hiện một mạch ñiện trên một bảng ñiện phẳng ñược không. Chúng ta cũng có thể phân biệt hai hợp chất hóa học có cùng công thức phân tử nhưng có cấu trúc khác nhau nhờ ñồ thị. Chúng ta cũng có thể xác ñịnh xem hai máy tính có ñược nối với nhau bằng một ñường truyền thông hay không nếu dùng mô hình ñồ thị mạng máy tính. ðồ thị với các trọng số ñược gán cho các cạnh của nó có thể dùng ñể giải các bài toán như bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất giữa hai thành phố trong một mạng giao thông. Chúng ta cũng có thể dùng ñồ thị ñể lập lịch thi và phân chia kênh cho các ñài truyền hình. 3.1. ðỊNH NGHĨA VÀ THÍ DỤ. ðồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các ñỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các ñỉnh ñó. Người ta phân loại ñồ thị tùy theo ñặc tính và số các cạnh nối các cặp ñỉnh của ñồ thị. Nhiều bài toán thuộc những lĩnh vực rất khác nhau có thể giải ñược bằng mô hình ñồ thị. Chẳng hạn người ta có thể dùng ñồ thị ñể biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường sinh thái, dùng ñồ thị ñể biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào ñó, và cũng có thể dùng ñồ thị ñể biểu diễn các kết cục của cuộc thi ñấu thể thao. Chúng ta cũng có thể dùng ñồ thị ñể giải các bài toán như bài toán tính số các tổ hợp khác nhau của các chuyến bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không, hay ñể giải bài toán ñi tham quan tất cả các ñường phố của một thành phố sao cho mỗi ñường phố ñi qua ñúng một lần, hoặc bài toán tìm số các màu cần thiết ñể tô các vùng khác nhau của một bản ñồ. Trong ñời sống, chúng ta thường gặp những sơ ñồ, như sơ ñồ tổ chức bộ máy, sơ ñồ giao thông, sơ ñồ hướng dẫn thứ tự ñọc các chương trong một cuốn sách, , gồm những ñiểm biểu thị các ñối tượng ñược xem xét (người, tổ chức, ñịa danh, chương mục sách, ) và nối một số ñiểm với nhau bằng những ñoạn thẳng (hoặc cong) hay những mũi tên, tượng trưng cho một quan hệ nào ñó giữa các ñối tượng. ðó là những thí dụ về ñồ thị. 3.1.1. ðịnh nghĩa: Một ñơn ñồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các ñỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, ñó là các cặp không có thứ tự của các ñỉnh phân biệt. http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 38 3.1.2. ðịnh nghĩa: Một ña ñồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các ñỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, ñó là các cặp không có thứ tự của các ñỉnh phân biệt. Hai cạnh ñược gọi là cạnh bội hay song song nếu chúng cùng tương ứng với một cặp ñỉnh. Rõ ràng mỗi ñơn ñồ thị là ña ñồ thị, nhưng không phải ña ñồ thị nào cũng là ñơn ñồ thị. 3.1.3. ðịnh nghĩa: Một giả ñồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các ñỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, ñó là các cặp không có thứ tự của các ñỉnh (không nhất thiết là phân biệt). Với v∈V, nếu (v,v)∈E thì ta nói có một khuyên tại ñỉnh v. Tóm lại, giả ñồ thị là loại ñồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó có thể chứa các khuyên và các cạnh bội. ða ñồ thị là loại ñồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn ñơn ñồ thị là loại ñồ thị vô hướng không chứa cạnh bội hoặc các khuyên. Thí dụ 1: ðơn ñồ thị Giả ñồ thị 3.1.4. ðịnh nghĩa: Một ñồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các ñỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cung, ñó là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. 3.1.5. ðịnh nghĩa: Một ña ñồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các ñỉnh và một họ E mà các phần tử của nó gọi là các cung, ñó là các cặp có thứ tự của các phần tử thuộc V. ðồ thị vô hướng nhận ñược từ ñồ thị có hướng G bằng cách xoá bỏ các chiều mũi tên trên các cung ñược gọi là ñồ thị vô hướng nền của G. Thí dụ 2: ðồ thị có hướng ða ñồ thị có hướng v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 6 v 7 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 v 3 v 5 V 5 v 1 v 2 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 39 Thí dụ 3: 1) ðồ thị “lấn tổ” trong sinh thái học. ðồ thị ñược dùng trong nhiều mô hình có tính ñến sự tương tác của các loài vật. Chẳng hạn sự cạnh tranh của các loài trong một hệ sinh thái có thể mô hình hóa bằng ñồ thị “lấn tổ”. Mỗi loài ñược biểu diễn bằng một ñỉnh. Một cạnh vô hướng nối hai ñỉnh nếu hai loài ñược biểu diễn bằng các ñỉnh này là cạnh tranh với nhau. 2) ðồ thị ảnh hưởng. Khi nghiên cứu tính cách của một nhóm nguời, ta thấy một số người có thể có ảnh hưởng lên suy nghĩ của những người khác. ðồ thị có hướng ñược gọi là ñồ thị ảnh hưởng có thể dùng ñể mô hình bài toán này. Mỗi người của nhóm ñược biểu diễn bằng một ñỉnh. Khi một người ñược biểu diễn bằng ñỉnh a có ảnh hưởng lên người ñược biểu diễn bằng ñỉnh b thì có một cung nối từ ñỉnh a ñến ñỉnh b. 3) Thi ñấu vòng tròn. Một cuộc thi ñấu thể thao trong ñó mỗi ñội ñấu với mỗi ñội khác ñúng một lần gọi là ñấu vòng tròn. Cuộc thi ñấu như thế có thể ñược mô hình bằng một ñồ thị có hướng trong ñó mỗi ñội là một ñỉnh. Một cung ñi từ ñỉnh a ñến ñỉnh b nếu ñội a thắng ñội b. 4) Các chương trình máy tính có thể thi hành nhanh hơn bằng cách thi hành ñồng thời một số câu lệnh nào ñó. ðiều quan trọng là không ñược thực hiện một câu lệnh ñòi hỏi kết quả của câu lệnh khác chưa ñược thực hiện. Sự phụ thuộc của các câu lệnh vào các câu lệnh trước có thể biểu diễn bằng một ñồ thị có hướng. Mỗi câu lệnh ñược biểu diễn bằng một ñỉnh và có một cung từ một ñỉnh tới một ñỉnh khác nếu câu lệnh ñược biểu diễn bằng ñỉnh thứ hai không thể thực hiện ñược trước khi câu lệnh ñược biểu diễn bằng ñỉnh thứ nhất ñược thực hiện. ðồ thị này ñược gọi là ñồ thị có ưu tiên trước sau. 3.2. BẬC CỦA ðỈNH. 3.2.1. ðịnh nghĩa: Hai ñỉnh u và v trong ñồ thị (vô hướng) G=(V,E) ñược gọi là liền kề nếu (u,v)∈E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các ñỉnh u và v. Cạnh e cũng ñược gọi là cạnh nối các ñỉnh u và v. Các ñỉnh u và v gọi là các ñiểm ñầu mút của cạnh e. 3.2.2. ðịnh nghĩa: Bậc của ñỉnh v trong ñồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một ñỉnh ñược tính hai lần cho bậc của nó. ðỉnh v gọi là ñỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là ñỉnh cô lập nếu deg(v)=0. Thí dụ 4: Ta có deg(v 1 )=7, deg(v 2 )=5, deg(v 3 )=3, deg(v 4 )=0, deg(v 5 )=4, deg(v 6 )=1, deg(v 7 )=2. ðỉnh v 4 là ñỉnh cô lập và ñỉnh v 6 là ñỉnh treo. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 40 3.2.3. Mệnh ñề: Cho ñồ thị G = (V, E). Khi ñó 2|E| = ∑ ∈Vv v)deg( . Chứng minh: Rõ ràng mỗi cạnh e = (u,v) ñược tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v). Từ ñó suy ra tổng tất cả các bậc của các ñỉnh bằng hai lần số cạnh. 3.2.4. Hệ quả: Số ñỉnh bậc lẻ của một ñồ thị là một số chẵn. Chứng minh: Gọi V 1 và V 2 tương ứng là tập các ñỉnh bậc chẵn và tập các ñỉnh bậc lẻ của ñồ thị G = (V, E). Khi ñó 2|E| = ∑ ∈ 1 )deg( Vv v + ∑ ∈ 2 )deg( Vv v Vế trái là một số chẵn và tổng thứ nhất cũng là một số chẵn nên tổng thứ hai là một số chẵn. Vì deg(v) là lẻ với mọi v ∈ V 2 nên |V 2 | là một số chẵn. 3.2.5. Mệnh ñề: Trong một ñơn ñồ thị, luôn tồn tại hai ñỉnh có cùng bậc. Chứng minh: Xét ñơn ñồ thị G=(V,E) có |V|=n. Khi ñó phát biểu trên ñược ñưa về bài toán: trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm ñược 2 người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau (xem Thí dụ 6 của 2.2.3). 3.2.6. ðịnh nghĩa: ðỉnh u ñược gọi là nối tới v hay v ñược gọi là ñược nối từ u trong ñồ thị có hướng G nếu (u,v) là một cung của G. ðỉnh u gọi là ñỉnh ñầu và ñỉnh v gọi là ñỉnh cuối của cung này. 3.2.7. ðịnh nghĩa: Bậc vào (t.ư. bậc ra) của ñỉnh v trong ñồ thị có hướng G, ký hiệu deg t (v) (t.ư. deg o (v)), là số các cung có ñỉnh cuối là v. Thí dụ 5: deg t (v 1 ) = 2, deg o (v 1 ) = 3, deg t (v 2 ) = 5, deg o (v 2 ) = 1, deg t (v 3 ) = 2, deg o (v 3 ) = 4, deg t (v 4 ) = 1, deg 0 (v 4 ) = 3, deg t (v 5 ) = 1, deg o (v 5 ) = 0, deg t (v 6 ) = 0, deg o (v 6 ) = 0. ðỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là ñỉnh cô lập. ðỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là ñỉnh treo, cung có ñỉnh cuối là ñỉnh treo gọi là cung treo. 3.2.8. Mệnh ñề: Cho G =(V, E) là một ñồ thị có hướng. Khi ñó v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 41 ∑ ∑ ∈ ∈ = Vv Vv ot vv )(deg)(deg = |E|. Chứng minh: Kết quả có ngay là vì mỗi cung ñược tính một lần cho ñỉnh ñầu và một lần cho ñỉnh cuối. 3.3. NHỮNG ðƠN ðỒ THỊ ðẶC BIỆT. 3.3.1. ðồ thị ñầy ñủ: ðồ thị ñầy ñủ n ñỉnh, ký hiệu là K n , là ñơn ñồ thị mà hai ñỉnh phân biệt bất kỳ của nó luôn liền kề. Như vậy, K n có 2 )1( − nn cạnh và mỗi ñỉnh của K n có bậc là n−1. Thí dụ 6: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 3.3.2. ðồ thị vòng: ðơn ñồ thị n ñỉnh v 1 , v 2 , , v n (n≥3) và n cạnh (v 1 ,v 2 ), (v 2 ,v 3 ), , (v n-1 ,v n ), (v n ,v 1 ) ñược gọi là ñồ thị vòng, ký hiệu là C n . Như vậy, mỗi ñỉnh của C n có bậc là 2. Thí dụ 7: C 3 C 4 C 5 C 6 3.3.3. ðồ thị bánh xe: Từ ñồ thị vòng C n , thêm vào ñỉnh v n+1 và các cạnh (v n+1 ,v 1 ), (v n+1 ,v 2 ), , (v n+1 ,v n ), ta nhận ñược ñơn ñồ thị gọi là ñồ thị bánh xe, ký hiệu là W n . Như vậy, ñồ thị W n có n+1 ñỉnh, 2n cạnh, một ñỉnh bậc n và n ñỉnh bậc 3. Thí dụ 8: W 3 W 4 W 5 W 6 3.3.4. ðồ thị lập phương: ðơn ñồ thị 2 n ñỉnh, tương ứng với 2 n xâu nhị phân ñộ dài n và hai ñỉnh kề nhau khi và chỉ khi 2 xâu nhị phân tương ứng với hai ñỉnh này chỉ khác nhau ñúng một bit ñược gọi là ñồ thị lập phương, ký hiệu là Q n . Như vậy, mỗi ñỉnh của Q n có bậc là n và số cạnh của Q n là n.2 n-1 (từ công thức 2|E| = ∑ ∈Vv v)deg( ). v 1 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 2 v 1 v 3 V 4 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 4 v 3 v 1 v 5 v 2 v 4 v 3 v 1 v 6 v 5 v 2 v 3 v 4 v 2 v 3 v 1 v 2 v 4 v 3 v 1 v 5 v 2 v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 v 3 v 4 v 1 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 42 Thí dụ 9: Q 1 Q 2 Q 3 3.3.5. ðồ thị phân ñôi (ñồ thị hai phe): ðơn ñồ thị G=(V,E) sao cho V=V 1 ∪V 2 , V 1 ∩V 2 =∅, V 1 ≠∅, V 2 ≠∅ và mỗi cạnh của G ñược nối một ñỉnh trong V 1 và một ñỉnh trong V 2 ñược gọi là ñồ thị phân ñôi. Nếu ñồ thị phân ñôi G=(V 1 ∪V 2 ,E) sao cho với mọi v 1 ∈V 1 , v 2 ∈V 2 , (v 1 ,v 2 )∈E thì G ñược gọi là ñồ thị phân ñôi ñầy ñủ. Nếu |V 1 |=m, |V 2 |=n thì ñồ thị phân ñôi ñầy ñủ G ký hiệu là K m,n . Như vậy K m,n có m.n cạnh, các ñỉnh của V 1 có bậc n và các ñỉnh của V 2 có bậc m. Thí dụ 10: K 2,4 K 3,3 3.3.6. Một vài ứng dụng của các ñồ thị ñặc biệt: 1) Các mạng cục bộ (LAN): Một số mạng cục bộ dùng cấu trúc hình sao, trong ñó tất cả các thiết bị ñược nối với thiết bị ñiều khiển trung tâm. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một ñồ thị phân ñôi ñầy ñủ K 1,n . Các thông báo gửi từ thiết bị này tới thiết bị khác ñều phải qua thiết bị ñiều khiển trung tâm. Mạng cục bộ cũng có thể có cấu trúc vòng tròn, trong ñó mỗi thiết bị nối với ñúng hai thiết bị khác. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một ñồ thị vòng C n . Thông báo gửi từ thiết bị này tới thiết bị khác ñược truyền ñi theo vòng tròn cho tới khi ñến nơi nhận. Cấu trúc hình sao Cấu trúc vòng tròn Cấu trúc hỗn hợp 0 1 10 11 01 00 000 100 010 001 011 101 111 110 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 6 v 7 v 8 v 9 v 1 v 2 v 8 v 7 v 6 v 5 v 4 v 3 v 9 v 2 v 8 v 7 v 3 v 4 v 6 v 5 v 1 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 43 Cuối cùng, một số mạng cục bộ dùng cấu trúc hỗn hợp của hai cấu trúc trên. Các thông báo ñược truyền vòng quanh theo vòng tròn hoặc có thể qua thiết bị trung tâm. Sự dư thừa này có thể làm cho mạng ñáng tin cậy hơn. Mạng cục bộ kiểu này có thể biểu diễn bằng một ñồ thị bánh xe W n . 2) Xử lý song song: Các thuật toán ñể giải các bài toán ñược thiết kế ñể thực hiện một phép toán tại mỗi thời ñiểm là thuật toán nối tiếp. Tuy nhiên, nhiều bài toán với số lượng tính toán rất lớn như bài toán mô phỏng thời tiết, tạo hình trong y học hay phân tích mật mã không thể giải ñược trong một khoảng thời gian hợp lý nếu dùng thuật toán nối tiếp ngay cả khi dùng các siêu máy tính. Ngoài ra, do những giới hạn về mặt vật lý ñối với tốc ñộ thực hiện các phép toán cơ sở, nên thường gặp các bài toán không thể giải trong khoảng thời gian hợp lý bằng các thao tác nối tiếp. Vì vậy, người ta phải nghĩ ñến kiểu xử lý song song. Khi xử lý song song, người ta dùng các máy tính có nhiều bộ xử lý riêng biệt, mỗi bộ xử lý có bộ nhớ riêng, nhờ ñó có thể khắc phục ñược những hạn chế của các máy nối tiếp. Các thuật toán song song phân chia bài toán chính thành một số bài toán con sao cho có thể giải ñồng thời ñược. Do vậy, bằng các thuật toán song song và nhờ việc sử dụng các máy tính có bộ ña xử lý, người ta hy vọng có thể giải nhanh các bài toán phức tạp. Trong thuật toán song song có một dãy các chỉ thị theo dõi việc thực hiện thuật toán, gửi các bài toán con tới các bộ xử lý khác nhau, chuyển các thông tin vào, thông tin ra tới các bộ xử lý thích hợp. Khi dùng cách xử lý song song, mỗi bộ xử lý có thể cần các thông tin ra của các bộ xử lý khác. Do ñó chúng cần phải ñược kết nối với nhau. Người ta có thể dùng loại ñồ thị thích hợp ñể biểu diễn mạng kết nối các bộ xử lý trong một máy tính có nhiều bộ xử lý. Kiểu mạng kết nối dùng ñể thực hiện một thuật toán song song cụ thể phụ thuộc vào những yêu cầu với việc trao ñổi dữ liệu giữa các bộ xử lý, phụ thuộc vào tốc ñộ mong muốn và tất nhiên vào phần cứng hiện có. Mạng kết nối các bộ xử lý ñơn giản nhất và cũng ñắt nhất là có các liên kết hai chiều giữa mỗi cặp bộ xử lý. Các mạng này có thể mô hình bằng ñồ thị ñầy ñủ K n , trong ñó n là số bộ xử lý. Tuy nhiên, các mạng liên kết kiểu này có số kết nối quá nhiều mà trong thực tế số kết nối cần phải có giới hạn. Các bộ xử lý có thể kết nối ñơn giản là sắp xếp chúng theo một mảng một chiều. Ưu ñiểm của mảng một chiều là mỗi bộ xử lý có nhiều nhất 2 ñường nối trực tiếp với các bộ xử lý khác. Nhược ñiểm là nhiều khi cần có rất nhiều các kết nối trung gian ñể các bộ xử lý trao ñổi thông tin với nhau. Mạng kiểu lưới (hoặc mảng hai chiều) rất hay ñược dùng cho các mạng liên kết. Trong một mạng như thế, số các bộ xử lý là một số chính phương, n=m 2 . Các bộ xử lý P 1 P 2 P 4 P 5 P 3 P 6 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 44 ñược gán nhãn P(i,j), 0 ≤ i, j ≤ m−1. Các kết nối hai chiều sẽ nối bộ xử lý P(i,j) với bốn bộ xử lý bên cạnh, tức là với P(i,j±1) và P(i±1,j) chừng nào các bộ xử lý còn ở trong lưới. Mạng kết nối quan trọng nhất là mạng kiểu siêu khối. Với các mạng loại này số các bộ xử lý là luỹ thừa của 2, n=2 m . Các bộ xử lý ñược gán nhãn là P 0 , P 1 , , P n-1 . Mỗi bộ xử lý có liên kết hai chiều với m bộ xử lý khác. Bộ xử lý P i nối với bộ xử lý có chỉ số biểu diễn bằng dãy nhị phân khác với dãy nhị phân biểu diễn i tại ñúng một bit. Mạng kiểu siêu khối cân bằng số các kết nối trực tiếp của mỗi bộ xử lý và số các kết nối gián tiếp sao cho các bộ xử lý có thể truyền thông ñược. Nhiều máy tính ñã chế tạo theo mạng kiểu siêu khối và nhiều thuật toán ñã ñược thiết kế ñể sử dụng mạng kiểu siêu khối. ðồ thị lập phương Q m biểu diễn mạng kiểu siêu khối có 2 m bộ xử lý. 3.4. BIỂU DIỄN ðỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ðẲNG CẤU ðỒ THỊ: 3.4.1. ðịnh nghĩa: Cho ñồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với V={v 1 ,v 2 , , v n }. Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các ñỉnh v 1 ,v 2 , , v n là ma trận A= ),()( ,1 ZnMa njiij ∈ ≤≤ , trong ñó a ij là số cạnh hoặc cung nối từ v i tới v j . Như vậy, ma trận liền kề của một ñồ thị vô hướng là ma trận ñối xứng, nghĩa là jiij aa = , trong khi ma trận liền kề của một ñồ thị có hướng không có tính ñối xứng. Thí dụ 11: Ma trận liền kề với thứ tự các ñỉnh v 1 , v 2 , v 3 , v 4 là:               0212 2110 1103 2030 P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 0 P 7 v 1 v 2 v 3 v 4 http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 45 Ma trận liền kề với thứ tự các ñỉnh v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 là:                 01011 10200 01001 01210 11011 3.4.2. ðịnh nghĩa: Cho ñồ thị vô hướng G=(V,E), v 1 , v 2 , , v n là các ñỉnh và e 1 , e 2 , , e m là các cạnh của G. Ma trận liên thuộc của G theo thứ tự trên của V và E là ma trận M= ),()( 1 1 ZmnMm mj niij × ∈ ≤≤ ≤≤ , ij m bằng 1 nếu cạnh e j nối với ñỉnh v i và bằng 0 nếu cạnh e j không nối với ñỉnh v i . Thí dụ 12: Ma trận liên thuộc theo thứ tự các ñỉnh v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 và các cạnh e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 là:                 011010 000101 110000 101100 000011 3.4.3. ðịnh nghĩa: Các ñơn ñồ thị G 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ) ñược gọi là ñẳng cấu nếu tồn tại một song ánh f từ V 1 lên V 2 sao cho các ñỉnh u và v là liền kề trong G 1 khi và chỉ khi f(u) và f(v) là liền kề trong G 2 với mọi u và v trong V 1 . Ánh xạ f như thế gọi là một phép ñẳng cấu. Thông thường, ñể chứng tỏ hai ñơn ñồ thị là không ñẳng cấu, người ta chỉ ra chúng không có chung một tính chất mà các ñơn ñồ thị ñẳng cấu cần phải có. Tính chất như thế gọi là một bất biến ñối với phép ñẳng cấu của các ñơn ñồ thị. Thí dụ 13: 1) Hai ñơn ñồ thị G 1 và G 2 sau là ñẳng cấu qua phép ñẳng cấu f: a a x, b a u, c a z, d a v, e a y: G 1 G 2 v 1 v 2 v 5 v 4 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 a b c e d u v x y z http://ebook.here.vn Tải miễn phí ðề thi, eBook, Tài liệu học tập 46 2) Hai ñồ thị G 1 và G 2 sau ñều có 5 ñỉnh và 6 cạnh nhưng không ñẳng cấu vì trong G 1 có một ñỉnh bậc 4 mà trong G 2 không có ñỉnh bậc 4 nào. 3) Hai ñồ thị G 1 và G 2 sau ñều có 7 ñỉnh, 10 cạnh, cùng có một ñỉnh bậc 4, bốn ñỉnh bậc 3 và hai ñỉnh bậc 2. Tuy nhiên G 1 và G 2 là không ñẳng cấu vì hai ñỉnh bậc 2 của G 1 (a và d) là không kề nhau, trong khi hai ñỉnh bậc 2 của G 2 (y và z) là kề nhau. G 1 G 2 4) Hãy xác ñịnh xem hai ñồ thị sau có ñẳng cấu hay không? G 1 G 2 Hai ñồ thị G 1 và G 2 là ñẳng cấu vì hai ma trận liền kề của G 1 theo thứ tự các ñỉnh u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 và của G 2 theo thứ tự các ñỉnh v 6 , v 3 , v 4 , v 5 , v 1 , v 2 là như nhau và bằng:                     010010 101000 010101 001010 100101 001010 3.5. CÁC ðỒ THỊ MỚI TỪ ðỒ THỊ CŨ. 3.5.1. ðịnh nghĩa: Cho hai ñồ thị G 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ). Ta nói G 2 là ñồ thị con của G 1 nếu V 2 ⊂ V 1 và E 2 ⊂ E 1 . Trong trường hợp V 1 =V 2 thì G 2 gọi là con bao trùm của G 1 . a d c b g e h u v x y w t z u 1 v 3 v 1 u 2 u 4 u 6 u 5 u 3 v 6 v 2 v 4 v 5 [...]... n (tr ñ nh ñ u và ñ nh cu i c a chu trình là trùng nhau) ñư c g i là ñư ng ñi ho c chu trình sơ c p Rõ ràng r ng m t ñư ng ñi (t.ư chu trình) sơ c p là ñư ng ñi (t.ư chu trình) ñơn Thí d 17: x y z w v u Trong ñơn ñ th trên, x, y, z, w, v, y là ñư ng ñi ñơn (không sơ c p) ñ dài 5; x, w, v, z, y không là ñư ng ñi vì (v, z) không là c nh; y, z, w, x, v, u, y là chu trình sơ c p ñ dài 6 3.6.2 ð nh nghĩa:... e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ,en=(xn-1,xn), v i x0=u và xn=v Khi ñ th không có c nh (ho c cung) b i, ta ký hi u ñư ng ñi này 47 http://ebook.here.vn T i mi n phí ð thi, eBook, Tài li u h c t p b ng dãy các ñ nh x0, x1, , xn ðư ng ñi ñư c g i là chu trình n u nó b t ñ u và k t thúc t i cùng m t ñ nh ðư ng ñi ho c chu trình g i là ñơn n u nó không ch a cùng m t c nh (ho c cung) quá m t l n M t ñư ng ñi ho c chu trình không... các ñ nh u và v có ñư ng ñi ng n hơn qua các ñ nh x0, x1, , xi-1, xj, , xn nh n ñư c b ng cách xoá ñi các c nh tương ng v i dãy các ñ nh xi, , xj-1 3.6.5 M nh ñ : M i ñơn ñ th n ñ nh (n ≥ 2) có t ng b c c a hai ñ nh tuỳ ý không nh hơn n ñ u là ñ th liên thông Ch ng minh: Cho ñơn ñ th G=(V,E) có n ñ nh (n ≥ 2) và tho mãn yêu c u c a bài toán Gi s G không liên thông, t c là t n t i hai ñ nh u và v sao... − 1)(n j − 2)  − −  = ni − n j + 1 −  2 2 2 2     Th t c này ñư c l p l i khi hai thành ph n nào ñó có s ñ nh tho (*) Vì v y m1 là l n nh t (n, k là c ñ nh) khi ñ th g m k-1 ñ nh cô l p và m t ñ th ñ y ñ v i n-k+1 ñ nh T ñó suy ra b t ñ ng th c c n tìm 3.6.10 ð nh nghĩa: ð th có hư ng G ñư c g i là liên thông m nh n u v i hai ñ nh phân bi t b t kỳ u và v c a G ñ u có ñư ng ñi t u t i v và... c nh nào trong G’ cũng tăng s thành ph n liên thông lên 1 và khi ñó ñ th thu ñư c s có n ñ nh, k+1 thành ph n liên thông và m0−1 c nh Theo gi thi t quy n p, ta có m0−1 ≥ n−(k+1) hay m0 ≥ n−k V y m ≥ n-k B sung c nh vào G ñ nh n ñư c ñ th G’’ có m1 c nh sao cho k thành ph n liên thông là nh ng ñ th ñ y ñ Ta có m ≤ m1 nên ch c n ch ng minh (n − k )(n − k + 1) m1 ≤ 2 Gi s Gi và Gj là hai thành ph n . một ñồ thị bánh xe W n . 2) Xử lý song song: Các thuật toán ñể giải các bài toán ñược thiết kế ñể thực hiện một phép toán tại mỗi thời ñiểm là thuật toán nối tiếp. Tuy nhiên, nhiều bài toán với. ñồ thị con liên thông, mỗi cặp các ñồ thị con này không có ñỉnh chung. Các ñồ thị con liên thông rời nhau như vậy ñược gọi là các thành phần liên thông của ñồ thị ñang xét. Như vậy, một ñồ thị. ñồ thị là loại ñồ thị vô hướng tổng quát nhất vì nó có thể chứa các khuyên và các cạnh bội. ða ñồ thị là loại ñồ thị vô hướng có thể chứa cạnh bội nhưng không thể có các khuyên, còn ñơn ñồ thị