giáo trình toán rời rạc phần đồ thị

CH NG IIIƯƠ Đ THỒ Ị Lý thuy t đ th là m t ngành khoa h c đ c phát tri n t lâu nh ng l i cóế ồ ị ộ ọ ượ ể ừ ư ạ nhi u ng d ng hi n đ i. Nh ng ý t ng c b n c a nó đ c đ a ra t th k 18 b iề ứ ụ ệ ạ ữ ưở ơ ả ủ ượ ư ừ ế ỷ ở nhà toán h c Th y Sĩ tên là Leonhard Euler. Ông đã dùng đ th đ gi i quy t bài toánọ ụ ồ ị ể ả ế 7 chi c c u Konigsberg n i ti ng.ế ầ ổ ế Đ th cũng đ c dùng đ gi i các bài toán trong nhi u lĩnh v c khác nhau. Thíồ ị ượ ể ả ề ự d , dùng đ th đ xác đ nh xem có th c hi n m t m ch đi n trên m t b ng đi nụ ồ ị ể ị ự ệ ộ ạ ệ ộ ả ệ ph ng đ c không. Chúng ta cũng có th phân bi t hai h p ch t hóa h c có cùng côngẳ ượ ể ệ ợ ấ ọ th c phân t nh ng có c u trúc khác nhau nh đ th . Chúng ta cũng có th xác đ nhứ ử ư ấ ờ ồ ị ể ị xem hai máy tính có đ c n i v i nhau b ng m t đ ng truy n thông hay không n uượ ố ớ ằ ộ ườ ề ế dùng mô hình đ th m ng máy tính. Đ th v i các tr ng s đ c gán cho các c nhồ ị ạ ồ ị ớ ọ ố ượ ạ c a nó có th dùng đ gi i các bài toán nh bài toán tìm đ ng đi ng n nh t gi a haiủ ể ể ả ư ườ ắ ấ ữ thành ph trong m t m ng giao thông. Chúng ta cũng có th dùng đ th đ l p l ch thiố ộ ạ ể ồ ị ể ậ ị và phân chia kênh cho các đài truy n hình.ề 3.1. Đ NH NGHĨA VÀ THÍ D .Ị Ụ Đ th là m t c u trúc r i r c g m các đ nh và các c nh (vô h ng ho c cóồ ị ộ ấ ờ ạ ồ ỉ ạ ướ ặ h ng) n i các đ nh đó. Ng i ta phân lo i đ th tùy theo đ c tính và s các c nh n iướ ố ỉ ườ ạ ồ ị ặ ố ạ ố các c p đ nh c a đ th . Nhi u bài toán thu c nh ng lĩnh v c r t khác nhau có th gi iặ ỉ ủ ồ ị ề ộ ữ ự ấ ể ả đ c b ng mô hình đ th . Ch ng h n ng i ta có th dùng đ th đ bi u di n sượ ằ ồ ị ẳ ạ ườ ể ồ ị ể ể ễ ự c nh tranh các loài trong m t môi tr ng sinh thái, dùng đ th đ bi u di n ai có nhạ ộ ườ ồ ị ể ể ễ ả h ng lên ai trong m t t ch c nào đó, và cũng có th dùng đ th đ bi u di n cácưở ộ ổ ứ ể ồ ị ể ể ễ k t c c c a cu c thi đ u th thao. Chúng ta cũng có th dùng đ th đ gi i các bàiế ụ ủ ộ ấ ể ể ồ ị ể ả toán nh bài toán tính s các t h p khác nhau c a các chuy n bay gi a hai thành phư ố ổ ợ ủ ế ữ ố trong m t m ng hàng không, hay đ gi i bài toán đi tham quan t t c các đ ng phộ ạ ể ả ấ ả ườ ố c a m t thành ph sao cho m i đ ng ph đi qua đúng m t l n, ho c bài toán tìm sủ ộ ố ỗ ườ ố ộ ầ ặ ố các màu c n thi t đ tô các vùng khác nhau c a m t b n đ .ầ ế ể ủ ộ ả ồ Trong đ i s ng, chúng ta th ng g p nh ng s đ , nh s đ t ch c b máy,ờ ố ườ ặ ữ ơ ồ ư ơ ồ ổ ứ ộ s đ giao thông, s đ h ng d n th t đ c các ch ng trong m t cu n sách, ,ơ ồ ơ ồ ướ ẫ ứ ự ọ ươ ộ ố g m nh ng đi m bi u th các đ i t ng đ c xem xét (ng i, t ch c, đ a danh,ồ ữ ể ể ị ố ượ ượ ườ ổ ứ ị ch ng m c sách, ) và n i m t s đi m v i nhau b ng nh ng đo n th ng (ho cươ ụ ố ộ ố ể ớ ằ ữ ạ ẳ ặ cong) hay nh ng mũi tên, t ng tr ng cho m t quan h nào đó gi a các đ i t ng. Đóữ ượ ư ộ ệ ữ ố ượ là nh ng thí d v đ th .ữ ụ ề ồ ị 3.1.1. Đ nh nghĩa:ị M t đ n đ th G = (V, E) g m m t t p khác r ng V mà các ph nộ ơ ồ ị ồ ộ ậ ỗ ầ t c a nó g i là các đ nh và m t t p E mà các ph n t c a nó g i là các c nh, đó là cácử ủ ọ ỉ ộ ậ ầ ử ủ ọ ạ c p không có th t c a các đ nh phân bi t.ặ ứ ự ủ ỉ ệ 37 3.1.2. Đ nh nghĩa:ị M t đa đ th G = (V, E) g m m t t p khác r ng V mà các ph nộ ồ ị ồ ộ ậ ỗ ầ t c a nó g i là các đ nh và m t h E mà các ph n t c a nó g i là các c nh, đó là cácử ủ ọ ỉ ộ ọ ầ ử ủ ọ ạ c p không có th t c a các đ nh phân bi t. Hai c nh đ c g i là c nh b i hay songặ ứ ự ủ ỉ ệ ạ ượ ọ ạ ộ song n u chúng cùng t ng ng v i m t c p đ nh.ế ươ ứ ớ ộ ặ ỉ Rõ ràng m i đ n đ th là đa đ th , nh ng không ph i đa đ th nào cũng là đ nỗ ơ ồ ị ồ ị ư ả ồ ị ơ đ th .ồ ị 3.1.3. Đ nh nghĩa:ị M t gi đ th G = (V, E) g m m t t p khác r ng V mà các ph nộ ả ồ ị ồ ộ ậ ỗ ầ t c a nó g i là các đ nh và m t h E mà các ph n t c a nó g i là các c nh, đó là cácử ủ ọ ỉ ộ ọ ầ ử ủ ọ ạ c p không có th t c a các đ nh (không nh t thi t là phân bi t).ặ ứ ự ủ ỉ ấ ế ệ V i vớ ∈V, n u (v,v)ế ∈E thì ta nói có m t khuyên t i đ nh v.ộ ạ ỉ Tóm l i, gi đ th là lo i đ th vô h ng t ng quát nh t vì nó có th ch a cácạ ả ồ ị ạ ồ ị ướ ổ ấ ể ứ khuyên và các c nh b i. Đa đ th là lo i đ th vô h ng có th ch a c nh b i nh ngạ ộ ồ ị ạ ồ ị ướ ể ứ ạ ộ ư không th có các khuyên, còn đ n đ th là lo i đ th vô h ng không ch a c nh b iể ơ ồ ị ạ ồ ị ướ ứ ạ ộ ho c các khuyên.ặ Thí d 1:ụ Đ n đ th ơ ồ ị Gi đ thả ồ ị 3.1.4. Đ nh nghĩa:ị M t đ th có h ng G = (V, E) g m m t t p khác r ng V mà cácộ ồ ị ướ ồ ộ ậ ỗ ph n t c a nó g i là các đ nh và m t t p E mà các ph n t c a nó g i là các cung, đóầ ử ủ ọ ỉ ộ ậ ầ ử ủ ọ là các c p có th t c a các ph n t thu c V.ặ ứ ự ủ ầ ử ộ 3.1.5. Đ nh nghĩa:ị M t đa đ th có h ng G = (V, E) g m m t t p khác r ng V màộ ồ ị ướ ồ ộ ậ ỗ các ph n t c a nó g i là các đ nh và m t h E mà các ph n t c a nó g i là các cung,ầ ử ủ ọ ỉ ộ ọ ầ ử ủ ọ đó là các c p có th t c a các ph n t thu c V.ặ ứ ự ủ ầ ử ộ Đ th vô h ng nh n đ c t đ th có h ng G b ng cách xoá b các chi uồ ị ướ ậ ượ ừ ồ ị ướ ằ ỏ ề mũi tên trên các cung đ c g i là đ th vô h ng n n c a G.ượ ọ ồ ị ướ ề ủ Thí d 2:ụ Đ th có h ng Đa đ th có h ng ồ ị ướ ồ ị ướ 38 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 6 v 7 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 v 3 v 5 V 5 v 1 v 2 Thí d 3: 1) Đ thụ ồ ị “l n t ” trong sinh thái h cấ ổ ọ . Đ th đ c dùng trong nhi u môồ ị ượ ề hình có tính đ n s t ng tác c a các loài v t. Ch ng h n s c nh tranh c a các loàiế ự ươ ủ ậ ẳ ạ ự ạ ủ trong m t h sinh thái có th mô hình hóa b ng đ th “l n t ”. M i loài đ c bi uộ ệ ể ằ ồ ị ấ ổ ỗ ượ ể di n b ng m t đ nh. M t c nh vô h ng n i hai đ nh n u hai loài đ c bi u di nễ ằ ộ ỉ ộ ạ ướ ố ỉ ế ượ ể ễ b ng các đ nh này là c nh tranh v i nhau.ằ ỉ ạ ớ 2) Đ th nh h ngồ ị ả ưở . Khi nghiên c u tính cách c a m t nhóm ngu i, ta th y m t sứ ủ ộ ờ ấ ộ ố ng i có th có nh h ng lên suy nghĩ c a nh ng ng i khác. Đ th có h ng đ cườ ể ả ưở ủ ữ ườ ồ ị ướ ượ g i là đ th nh h ngọ ồ ị ả ưở có th dùng đ mô hình bài toán này. M i ng i c a nhómể ể ỗ ườ ủ đ c bi u di n b ng m t đ nh. Khi m t ng i đ c bi u di n b ng đ nh a có nhượ ể ễ ằ ộ ỉ ộ ườ ượ ể ễ ằ ỉ ả h ng lên ng i đ c bi u di n b ng đ nh b thì có m t cung n i t đ nh a đ n đ nh b.ưở ườ ượ ể ễ ằ ỉ ộ ố ừ ỉ ế ỉ 3) Thi đ u vòng tròn.ấ M t cu c thi đ u th thao trong đó m i đ i đ u v i m i đ iộ ộ ấ ể ỗ ộ ấ ớ ỗ ộ khác đúng m t l n g i là đ u vòng tròn. Cu c thi đ u nh th có th đ c mô hìnhộ ầ ọ ấ ộ ấ ư ế ể ượ b ng m t đ th có h ng trong đó m i đ i là m t đ nh. M t cung đi t đ nh a đ nằ ộ ồ ị ướ ỗ ộ ộ ỉ ộ ừ ỉ ế đ nh b n u đ i a th ng đ i b.ỉ ế ộ ắ ộ 4) Các ch ng trình máy tính có th thi hành nhanh h n b ng cách thi hành đ ng th iươ ể ơ ằ ồ ờ m t s câu l nh nào đó. Đi u quan tr ng là không đ c th c hi n m t câu l nh đòiộ ố ệ ề ọ ượ ự ệ ộ ệ h i k t qu c a câu l nh khác ch a đ c th c hi n. S ph thu c c a các câu l nhỏ ế ả ủ ệ ư ượ ự ệ ự ụ ộ ủ ệ vào các câu l nh tr c có th bi u di n b ng m t đ th có h ng. M i câu l nhệ ướ ể ể ễ ằ ộ ồ ị ướ ỗ ệ đ c bi u di n b ng m t đ nh và có m t cung t m t đ nh t i m t đ nh khác n u câuượ ể ễ ằ ộ ỉ ộ ừ ộ ỉ ớ ộ ỉ ế l nh đ c bi u di n b ng đ nh th hai không th th c hi n đ c tr c khi câu l nhệ ượ ể ễ ằ ỉ ứ ể ự ệ ượ ướ ệ đ c bi u di n b ng đ nh th nh t đ c th c hi n. Đ th này đ c g i làượ ể ễ ằ ỉ ứ ấ ượ ự ệ ồ ị ượ ọ đ th cóồ ị u tiên tr c sauư ướ . 3.2. B C C A Đ NH.Ậ Ủ Ỉ 3.2.1. Đ nh nghĩa: ị Hai đ nh u và v trong đ th (vô h ng) G=(V,E) đ c g i là li nỉ ồ ị ướ ượ ọ ề k n u (u,v)ề ế ∈E. N u e = (u,v) thì e g i là c nh liên thu c v i các đ nh u và v. C nh eế ọ ạ ộ ớ ỉ ạ cũng đ c g i là c nh n i các đ nh u và v. Các đ nh u và v g i là các đi m đ u mútượ ọ ạ ố ỉ ỉ ọ ể ầ c a c nh e.ủ ạ 3.2.2. Đ nh nghĩa:ị B c c a đ nh v trong đ th G=(V,E), ký hi u deg(v), là s cácậ ủ ỉ ồ ị ệ ố c nh liên thu c v i nó, riêng khuyên t i m t đ nh đ c tính hai l n cho b c c a nó.ạ ộ ớ ạ ộ ỉ ượ ầ ậ ủ Đ nh v g i là đ nh treo n u deg(v)=1 và g i là đ nh cô l p n u deg(v)=0.ỉ ọ ỉ ế ọ ỉ ậ ế Thí d 4: ụ 39 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 Ta có deg(v 1 )=7, deg(v 2 )=5, deg(v 3 )=3, deg(v 4 )=0, deg(v 5 )=4, deg(v 6 )=1, deg(v 7 )=2. Đ nhỉ v 4 là đ nh cô l p và đ nh vỉ ậ ỉ 6 là đ nh treo.ỉ 3.2.3. M nh đ :ệ ề Cho đ th G = (V, E). Khi đó ồ ị 2|E| = ∑ ∈Vv v)deg( . Ch ng minh:ứ Rõ ràng m i c nh e = (u,v) đ c tính m t l n trong deg(u) và m t l nỗ ạ ượ ộ ầ ộ ầ trong deg(v). T đó suy ra t ng t t c các b c c a các đ nh b ng hai l n s c nh.ừ ổ ấ ả ậ ủ ỉ ằ ầ ố ạ 3.2.4. H qu :ệ ả S đ nh b c l c a m t đ th là m t s ch n.ố ỉ ậ ẻ ủ ộ ồ ị ộ ố ẵ Ch ng minh:ứ G i Vọ 1 và V 2 t ng ng là t p các đ nh b c ch n và t p các đ nh b c lươ ứ ậ ỉ ậ ẵ ậ ỉ ậ ẻ c a đ th G = (V, E). Khi đóủ ồ ị 2|E| = ∑ ∈ 1 )deg( Vv v + ∑ ∈ 2 )deg( Vv v V trái là m t s ch n và t ng th nh t cũng là m t s ch n nên t ng th hai là m tế ộ ố ẵ ổ ứ ấ ộ ố ẵ ổ ứ ộ s ch n. Vì deg(v) là l v i m i v ố ẵ ẻ ớ ọ ∈ V 2 nên |V 2 | là m t s ch n.ộ ố ẵ 3.2.5. M nh đ : ệ ề Trong m t đ n đ th , luôn t n t i hai đ nh có cùng b c.ộ ơ ồ ị ồ ạ ỉ ậ Ch ng minh: ứ Xét đ n đ th G=(V,E) có |V|=n. Khi đó phát bi u trên đ c đ a v bàiơ ồ ị ể ượ ư ề toán: trong m t phòng h p có n ng i, bao gi cũng tìm đ c 2 ng i có s ng iộ ọ ườ ờ ượ ườ ố ườ quen trong s nh ng ng i d h p là nh nhau (xem Thí d 6 c a 2.2.3).ố ữ ườ ự ọ ư ụ ủ 3.2.6. Đ nh nghĩa:ị Đ nh u đ c g i là n i t i v hay v đ c g i là đ c n i t uỉ ượ ọ ố ớ ượ ọ ượ ố ừ trong đ th có h ng G n u (u,v) là m t cung c a G. Đ nh u g i là đ nh đ u và đ nh vồ ị ướ ế ộ ủ ỉ ọ ỉ ầ ỉ g i là đ nh cu i c a cung này.ọ ỉ ố ủ 3.2.7. Đ nh nghĩa:ị B c vào (t. . b c ra) c a đ nh v trong đ th có h ng G, ký hi uậ ư ậ ủ ỉ ồ ị ướ ệ deg t (v) (t. . degư o (v)), là s các cung có đ nh cu i là v.ố ỉ ố Thí d 5:ụ deg t (v 1 ) = 2, deg o (v 1 ) = 3, deg t (v 2 ) = 5, deg o (v 2 ) = 1, deg t (v 3 ) = 2, deg o (v 3 ) = 4, deg t (v 4 ) = 1, deg 0 (v 4 ) = 3, deg t (v 5 ) = 1, deg o (v 5 ) = 0, deg t (v 6 ) = 0, deg o (v 6 ) = 0. Đ nh có b c vào và b c ra cùng b ng 0 g i là đ nh cô l p. Đ nh có b c vào b ngỉ ậ ậ ằ ọ ỉ ậ ỉ ậ ằ 1 và b c ra b ng 0 g i là đ nh treo, cung có đ nh cu i là đ nh treo g i là cung treo.ậ ằ ọ ỉ ỉ ố ỉ ọ 40 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 3.2.8. M nh đ : ệ ề Cho G =(V, E) là m t đ th có h ng. Khi đó ộ ồ ị ướ ∑ ∑ ∈ ∈ = Vv Vv ot vv )(deg)(deg = |E|. Ch ng minh:ứ K t qu có ngay là vì m i cung đ c tính m t l n cho đ nh đ u và m tế ả ỗ ượ ộ ầ ỉ ầ ộ l n cho đ nh cu i.ầ ỉ ố 3.3. NH NG Đ N Đ TH Đ C BI T.Ữ Ơ Ồ Ị Ặ Ệ 3.3.1. Đ th đ y đ :ồ ị ầ ủ Đ th đ y đ n đ nh, ký hi u là Kồ ị ầ ủ ỉ ệ n , là đ n đ th mà hai đ nhơ ồ ị ỉ phân bi t b t kỳ c a nó luôn li n k . Nh v y, Kệ ấ ủ ề ề ư ậ n có 2 )1( −nn c nh và m i đ nh c aạ ỗ ỉ ủ K n có b c là nậ −1. Thí d 6:ụ K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 3.3.2. Đ th vòng:ồ ị Đ n đ th n đ nh vơ ồ ị ỉ 1 , v 2 , , v n (n≥ 3) và n c nh (vạ 1 ,v 2 ), (v 2 ,v 3 ), , (v n-1 ,v n ), (v n ,v 1 ) đ c g i là đ th vòng, ký hi u là Cượ ọ ồ ị ệ n . Nh v y, m i đ nh c a Cư ậ ỗ ỉ ủ n có b c là 2.ậ Thí d 7:ụ C 3 C 4 C 5 C 6 3.3.3. Đ th bánh xe:ồ ị T đ th vòng Cừ ồ ị n , thêm vào đ nh vỉ n+1 và các c nh (vạ n+1 ,v 1 ), (v n+1 ,v 2 ), , (v n+1 ,v n ), ta nh n đ c đ n đ th g i là đ th bánh xe, ký hi u là Wậ ượ ơ ồ ị ọ ồ ị ệ n . Như v y, đ th Wậ ồ ị n có n+1 đ nh, 2n c nh, m t đ nh b c n và n đ nh b c 3.ỉ ạ ộ ỉ ậ ỉ ậ Thí d 8:ụ W 3 W 4 W 5 W 6 3.3.4. Đ th l p ph ng:ồ ị ậ ươ Đ n đ th 2ơ ồ ị n đ nh, t ng ng v i 2ỉ ươ ứ ớ n xâu nh phân đị ộ dài n và hai đ nh k nhau khi và ch khi 2 xâu nh phân t ng ng v i hai đ nh này chỉ ề ỉ ị ươ ứ ớ ỉ ỉ 41 v 1 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 2 v 1 v 3 V 4 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 4 v 3 v 1 v 5 v 2 v 4 v 3 v 1 v 6 v 5 v 2 v 3 v 4 v 2 v 3 v 1 v 2 v 4 v 3 v 1 v 5 v 2 v 4 v 3 v 6 v 5 v 2 v 3 v 4 v 1 v 4 v 5 v 6 v 7 v 1 khác nhau đúng m t bit đ c g i là đ th l p ph ng, ký hi u là Qộ ượ ọ ồ ị ậ ươ ệ n . Nh v y, m iư ậ ỗ đ nh c a Qỉ ủ n có b c là n và s c nh c a Qậ ố ạ ủ n là n.2 n-1 (t công th c 2|E| = ừ ứ ∑ ∈Vv v)deg( ). Thí d 9:ụ Q 1 Q 2 Q 3 3.3.5. Đ th phân đôi (đ th hai phe):ồ ị ồ ị Đ n đ th G=(V,E) sao cho V=Vơ ồ ị 1 ∪V 2 , V 1 ∩V 2 =∅, V 1 ≠∅ , V 2 ≠∅ và m i c nh c a G đ c n i m t đ nh trong Vỗ ạ ủ ượ ố ộ ỉ 1 và m t đ nhộ ỉ trong V 2 đ c g i là đ th phân đôi.ượ ọ ồ ị N u đ th phân đôi G=(Vế ồ ị 1 ∪V 2 ,E) sao cho v i m i vớ ọ 1 ∈V 1 , v 2 ∈V 2 , (v 1 ,v 2 )∈E thì G đ c g i là đ th phân đôi đ y đ . N u |Vượ ọ ồ ị ầ ủ ế 1 |=m, |V 2 |=n thì đ th phân đôi đ y đ Gồ ị ầ ủ ký hi u là Kệ m,n . Nh v y Kư ậ m,n có m.n c nh, các đ nh c a Vạ ỉ ủ 1 có b c n và các đ nh c a Vậ ỉ ủ 2 có b c m.ậ Thí d 10:ụ K 2,4 K 3,3 3.3.6. M t vài ng d ng c a các đ th đ c bi t:ộ ứ ụ ủ ồ ị ặ ệ 1) Các m ng c c b (LAN):ạ ụ ộ M t s m ng c c b dùng c u trúc hình sao, trong đó t tộ ố ạ ụ ộ ấ ấ c các thi t b đ c n i v i thi t b đi u khi n trung tâm. M ng c c b ki u này cóả ế ị ượ ố ớ ế ị ề ể ạ ụ ộ ể th bi u di n b ng m t đ th phân đôi đ y đ Kể ể ễ ằ ộ ồ ị ầ ủ 1,n . Các thông báo g i t thi t b nàyử ừ ế ị t i thi t b khác đ u ph i qua thi t b đi u khi n trung tâm.ớ ế ị ề ả ế ị ề ể M ng c c b cũng có th có c u trúc vòng tròn, trong đó m i thi t b n i v iạ ụ ộ ể ấ ỗ ế ị ố ớ đúng hai thi t b khác. M ng c c b ki u này có th bi u di n b ng m t đ th vòngế ị ạ ụ ộ ể ể ể ễ ằ ộ ồ ị C n . Thông báo g i t thi t b này t i thi t b khác đ c truy n đi theo vòng tròn cho t iử ừ ế ị ớ ế ị ượ ề ớ khi đ n n i nh n.ế ơ ậ 42 0 1 10 11 01 00 000 100 010 001 011 101 111 110 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 6 v 7 v 8 v 9 v 1 v 2 v 8 v 7 v 6 v 5 v 4 v 3 v 9 v 2 v 8 v 3 v 4 v 6 v 5 v 1 C u trúc hình sao C u trúc vòng tròn C u trúc h n h pấ ấ ấ ỗ ợ Cu i cùng, m t s m ng c c b dùng c u trúc h n h p c a hai c u trúc trên.ố ộ ố ạ ụ ộ ấ ỗ ợ ủ ấ Các thông báo đ c truy n vòng quanh theo vòng tròn ho c có th qua thi t b trungượ ề ặ ể ế ị tâm. S d th a này có th làm cho m ng đáng tin c y h n. M ng c c b ki u này cóự ư ừ ể ạ ậ ơ ạ ụ ộ ể th bi u di n b ng m t đ th bánh xe Wể ể ễ ằ ộ ồ ị n . 2) X lý song song:ử Các thu t toán đ gi i các bài toán đ c thi t k đ th c hi nậ ể ả ượ ế ế ể ự ệ m t phép toán t i m i th i đi m là thu t toán n i ti p. Tuy nhiên, nhi u bài toán v iộ ạ ỗ ờ ể ậ ố ế ề ớ s l ng tính toán r t l n nh bài toán mô ph ng th i ti t, t o hình trong y h c hayố ượ ấ ớ ư ỏ ờ ế ạ ọ phân tích m t mã không th gi i đ c trong m t kho ng th i gian h p lý n u dùngậ ể ả ượ ộ ả ờ ợ ế thu t toán n i ti p ngay c khi dùng các siêu máy tính. Ngoài ra, do nh ng gi i h n vậ ố ế ả ữ ớ ạ ề m t v t lý đ i v i t c đ th c hi n các phép toán c s , nên th ng g p các bài toánặ ậ ố ớ ố ộ ự ệ ơ ở ườ ặ không th gi i trong kho ng th i gian h p lý b ng các thao tác n i ti p. Vì v y, ng iể ả ả ờ ợ ằ ố ế ậ ườ ta ph i nghĩ đ n ki u x lý song song.ả ế ể ử Khi x lý song song, ng i ta dùng các máy tính có nhi u b x lý riêng bi t,ử ườ ề ộ ử ệ m i b x lý có b nh riêng, nh đó có th kh c ph c đ c nh ng h n ch c a cácỗ ộ ử ộ ớ ờ ể ắ ụ ượ ữ ạ ế ủ máy n i ti p. Các thu t toán song song phân chia bài toán chính thành m t s bài toánố ế ậ ộ ố con sao cho có th gi i đ ng th i đ c. Do v y, b ng các thu t toán song song và nhể ả ồ ờ ượ ậ ằ ậ ờ vi c s d ng các máy tính có b đa x lý, ng i ta hy v ng có th gi i nhanh các bàiệ ử ụ ộ ử ườ ọ ể ả toán ph c t p. Trong thu t toán song song có m t dãy các ch th theo dõi vi c th cứ ạ ậ ộ ỉ ị ệ ự hi n thu t toán, g i các bài toán con t i các b x lý khác nhau, chuy n các thông tinệ ậ ử ớ ộ ử ể vào, thông tin ra t i các b x lý thích h p.ớ ộ ử ợ Khi dùng cách x lý song song, m i b x lý có th c n các thông tin ra c a cácử ỗ ộ ử ể ầ ủ b x lý khác. Do đó chúng c n ph i đ c k t n i v i nhau. Ng i ta có th dùng lo iộ ử ầ ả ượ ế ố ớ ườ ể ạ đ th thích h p đ bi u di n m ng k t n i các b x lý trong m t máy tính có nhi uồ ị ợ ể ể ễ ạ ế ố ộ ử ộ ề b x lý. Ki u m ng k t n i dùng đ th c hi n m t thu t toán song song c th phộ ử ể ạ ế ố ể ự ệ ộ ậ ụ ể ụ thu c vào nh ng yêu c u v i vi c trao đ i d li u gi a các b x lý, ph thu c vàoộ ữ ầ ớ ệ ổ ữ ệ ữ ộ ử ụ ộ t c đ mong mu n và t t nhiên vào ph n c ng hi n có.ố ộ ố ấ ầ ứ ệ M ng k t n i các b x lý đ n gi n nh t và cũng đ t nh t là có các liên k t haiạ ế ố ộ ử ơ ả ấ ắ ấ ế chi u gi a m i c p b x lý. Các m ng này có th mô hình b ng đ th đ y đ Kề ữ ỗ ặ ộ ử ạ ể ằ ồ ị ầ ủ n , trong đó n là s b x lý. Tuy nhiên, các m ng liên k t ki u này có s k t n i quáố ộ ử ạ ế ể ố ế ố nhi u mà trong th c t s k t n i c n ph i có gi i h n.ề ự ế ố ế ố ầ ả ớ ạ Các b x lý có th k t n i đ n gi n là s p x p chúng theo m t m ng m tộ ử ể ế ố ơ ả ắ ế ộ ả ộ chi u. u đi m c a m ng m t chi u là m i b x lý có nhi u nh t 2 đ ng n i tr cề Ư ể ủ ả ộ ề ỗ ộ ử ề ấ ườ ố ự ti p v i các b x lý khác. Nh c đi m là nhi u khi c n có r t nhi u các k t n iế ớ ộ ử ượ ể ề ầ ấ ề ế ố trung gian đ các b x lý trao đ i thông tin v i nhau.ể ộ ử ổ ớ 43 v 7 P 1 P 3 M ng ki u l i (ho c m ng hai chi u) r t hay đ c dùng cho các m ng liênạ ể ướ ặ ả ề ấ ượ ạ k t. Trong m t m ng nh th , s các b x lý là m t s chính ph ng, n=mế ộ ạ ư ế ố ộ ử ộ ố ươ 2 . Các bộ x lý đ c gán nhãn P(i,j), 0 ử ượ ≤ i, j ≤ m−1. Các k t n i hai chi u s n i b x lý P(i,j)ế ố ề ẽ ố ộ ử v i b n b x lý bên c nh, t c là v i P(i,jớ ố ộ ử ạ ứ ớ ± 1) và P(i± 1,j) ch ng nào các b x lý cònừ ộ ử trong l i.ở ướ M ng k t n i quan tr ng nh t là m ng ki u siêu kh i. V i các m ng lo i nàyạ ế ố ọ ấ ạ ể ố ớ ạ ạ s các b x lý là lu th a c a 2, n=2ố ộ ử ỹ ừ ủ m . Các b x lý đ c gán nhãn là Pộ ử ượ 0 , P 1 , , P n-1 . M i b x lý có liên k t hai chi u v i m b x lý khác. B x lý Pỗ ộ ử ế ề ớ ộ ử ộ ử i n i v i b x lýố ớ ộ ử có ch s bi u di n b ng dãy nh phân khác v i dãy nh phân bi u di n i t i đúng m tỉ ố ể ễ ằ ị ớ ị ể ễ ạ ộ bit. M ng ki u siêu kh i cân b ng s các k t n i tr c ti p c a m i b x lý và s cácạ ể ố ằ ố ế ố ự ế ủ ỗ ộ ử ố k t n i gián ti p sao cho các b x lý có th truy n thông đ c. Nhi u máy tính đãế ố ế ộ ử ể ề ượ ề ch t o theo m ng ki u siêu kh i và nhi u thu t toán đã đ c thi t k đ s d ngế ạ ạ ể ố ề ậ ượ ế ế ể ử ụ m ng ki u siêu kh i. Đ th l p ph ng Qạ ể ố ồ ị ậ ươ m bi u di n m ng ki u siêu kh i có 2ể ễ ạ ể ố m bộ x lý.ử 3.4. BI U DI N Đ TH B NG MA TR N VÀ S Đ NG C U Đ TH :Ể Ễ Ồ Ị Ằ Ậ Ự Ẳ Ấ Ồ Ị 3.4.1. Đ nh nghĩa:ị Cho đ th G=(V,E) (vô h ng ho c có h ng), v i V={vồ ị ướ ặ ướ ớ 1 ,v 2 , , v n }. Ma tr n li n k c a G ng v i th t các đ nh vậ ề ề ủ ứ ớ ứ ự ỉ 1 ,v 2 , , v n là ma tr nậ A= ),()( ,1 ZnMa njiij ∈ ≤≤ , trong đó a ij là s c nh ho c cung n i t vố ạ ặ ố ừ i t i vớ j . Nh v y, ma tr n li n k c a m t đ th vô h ng là ma tr n đ i x ng, nghĩaư ậ ậ ề ề ủ ộ ồ ị ướ ậ ố ứ là jiij aa = , trong khi ma tr n li n k c a m t đ th có h ng không có tính đ iậ ề ề ủ ộ ồ ị ướ ố x ng.ứ Thí d 11:ụ Ma tr n li n k v i th t các đ nh vậ ề ề ớ ứ ự ỉ 1 , v 2 , v 3 , v 4 là: 44 P 2 P 4 P 5 P 6 P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 0 P 7 v 1 v 2 v 3 v 4               0212 2110 1103 2030 Ma tr n li n k v i th t các đ nh vậ ề ề ớ ứ ự ỉ 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 là:                 01011 10200 01001 01210 11011 3.4.2. Đ nh nghĩa:ị Cho đ th vô h ng G=(V,E), vồ ị ướ 1 , v 2 , , v n là các đ nh và eỉ 1 , e 2 , , e m là các c nh c a G. Ma tr n liên thu c c a G theo th t trên c a V và E là ma tr nạ ủ ậ ộ ủ ứ ự ủ ậ M= ),()( 1 1 ZmnMm mj niij ×∈ ≤≤ ≤≤ , ij m b ng 1 n u c nh eằ ế ạ j n i v i đ nh vố ớ ỉ i và b ng 0 n u c nh eằ ế ạ j không n i v i đ nh vố ớ ỉ i . Thí d 12:ụ Ma tr n liên thu c theo th t các đ nh vậ ộ ứ ự ỉ 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 và các c nh eạ 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 là:                 011010 000101 110000 101100 000011 3.4.3. Đ nh nghĩa:ị Các đ n đ th Gơ ồ ị 1 =(V 1 ,E 1 ) và G 2 =(V 2 ,E 2 ) đ c g i là đ ng c uượ ọ ẳ ấ n u t n t i m t song ánh f t Vế ồ ạ ộ ừ 1 lên V 2 sao cho các đ nh u và v là li n k trong Gỉ ề ề 1 khi và ch khi f(u) và f(v) là li n k trong Gỉ ề ề 2 v i m i u và v trong Vớ ọ 1 . Ánh x f nh th g iạ ư ế ọ là m t phép đ ng c u.ộ ẳ ấ Thông th ng, đ ch ng t hai đ n đ th là không đ ng c u, ng i ta ch raườ ể ứ ỏ ơ ồ ị ẳ ấ ườ ỉ chúng không có chung m t tính ch t mà các đ n đ th đ ng c u c n ph i có. Tínhộ ấ ơ ồ ị ẳ ấ ầ ả ch t nh th g i là m t b t bi n đ i v i phép đ ng c u c a các đ n đ th .ấ ư ế ọ ộ ấ ế ố ớ ẳ ấ ủ ơ ồ ị Thí d 13:ụ 1) Hai đ n đ th Gơ ồ ị 1 và G 2 sau là đ ng c u qua phép đ ng c u f: aẳ ấ ẳ ấ ấ x, b x u, c u z, d z v, e v y: 45 v 1 v 2 v 5 v 4 v 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 a b c e d u v z G 1 G 2 2) Hai đ th Gồ ị 1 và G 2 sau đ u có 5 đ nh và 6 c nh nh ng không đ ng c u vì trong Gề ỉ ạ ư ẳ ấ 1 có m t đ nh b c 4 mà trong Gộ ỉ ậ 2 không có đ nh b c 4 nào.ỉ ậ 3) Hai đ th Gồ ị 1 và G 2 sau đ u có 7 đ nh, 10 c nh, cùng có m t đ nh b c 4, b n đ nhề ỉ ạ ộ ỉ ậ ố ỉ b c 3 và hai đ nh b c 2. Tuy nhiên Gậ ỉ ậ 1 và G 2 là không đ ng c u vì hai đ nh b c 2 c a Gẳ ấ ỉ ậ ủ 1 (a và d) là không k nhau, trong khi hai đ nh b c 2 c a Gề ỉ ậ ủ 2 (y và z) là k nhau.ề G 1 G 2 4) Hãy xác đ nh xem hai đ th sau có đ ng c u hay không?ị ồ ị ẳ ấ G 1 G 2 Hai đ th Gồ ị 1 và G 2 là đ ng c u vì hai ma tr n li n k c a Gẳ ấ ậ ề ề ủ 1 theo th t cácứ ự đ nh uỉ 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 và c a Gủ 2 theo th t các đ nh vứ ự ỉ 6 , v 3 , v 4 , v 5 , v 1 , v 2 là nh nhau vàư b ng:ằ                     010010 101000 010101 001010 100101 001010 46 x y a d c b g e h u v x y w t z u 1 v 3 v 1 u 2 u 4 u 6 u 5 u 3 v 6 v 2 v 4 v 5 [...]... của đồ thị Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên thông, mỗi cặp các đồ thị con này không có đỉnh chung Các đồ thị con liên thông rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang xét Như vậy, một đồ thị là liên thông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần liên thông Thí dụ 18: y x z a b g v w d c h k u t i l G G’ Đồ thị G là liên thông, nhưng đồ thị. .. thành phần liên thông 3.6.3 Định nghĩa: Một đỉnh trong đồ thị G mà khi xoá đi nó và tất cả các cạnh liên thuộc với nó ta nhận được đồ thị con mới có nhiều thành phần liên thông hơn đồ thị G được gọi là đỉnh cắt hay điểm khớp Việc xoá đỉnh cắt khỏi một đồ thị liên thông sẽ tạo ra một đồ thị con không liên thông Hoàn toàn tương tự, một cạnh mà khi ta bỏ nó 48 đi sẽ tạo ra một đồ thị có nhiều thành phần. ..3.5 CÁC ĐỒ THỊ MỚI TỪ ĐỒ THỊ CŨ 3.5.1 Định nghĩa: Cho hai đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2) Ta nói G2 là đồ thị con của G1 nếu V2 ⊂ V1 và E2 ⊂ E1 Trong trường hợp V1=V2 thì G2 gọi là con bao trùm của G1 Thí dụ 14: a d a a d a b e b c e c b G1 d c b c G a d G2 a d b G3 c e b c G4 G5 G1, G2, G3 và G4 là các đồ thị con của G, trong đó G2 và G4 là đồ thị con bao trùm của G, còn G5 không phải là đồ thị con... đó ta nói hai đồ thị là bù nhau Thí dụ 16: x x G1 x y x y u v u v v y u z G’ G G1’ Hai đồ thị G’ và G là bù nhau và hai đồ thị G1 và G1’ là bù nhau 3.6 TÍNH LIÊN THÔNG 47 v y u z G1 3.6.1 Định nghĩa: Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dương, trong đồ thị (giả đồ thị vô hướng hoặc đa đồ thị có hướng) G=(V,E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2, , en của đồ thị sao cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2),... của G 3.5.2 Định nghĩa: Hợp của hai đơn đồ thị G1=(V1,E1) và G2=(V2,E2) là một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V1 ∪ V2 và tập các cạnh là E1 ∪ E2, ký hiệu là G1 ∪ G2 Thí dụ 15: x y u z v x y z y z w u x u v w G2 G1∪G2 3.5.3 Định nghĩa: Đơn đồ thị G’=(V,E’) được gọi là đồ thị bù của đơn đồ thị G=(V,E) nếu G và G’ không có cạnh chung nào (E ∩ E’=∅) và G ∪ G’là đồ thị đầy đủ Dễ thấy rằng nếu G’ là bù của... thành phần nào đó có số đỉnh thoả (*) Vì vậy m 1 là lớn nhất (n, k là cố định) khi đồ thị gồm k-1 đỉnh cô lập và một đồ thị đầy đủ với nk+1 đỉnh Từ đó suy ra bất đẳng thức cần tìm 3.6.10 Định nghĩa: Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ u và v của G đều có đường đi từ u tới v và đường đi từ v tới u Đồ thị có hướng G được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô... là đồ thị con bao trùm của G có số cạnh m0 là nhỏ nhất sao cho nó có k thành phần liên thông Do đó việc loại bỏ bất cứ cạnh nào trong G’ cũng tăng số thành phần liên thông lên 1 và khi đó đồ thị thu được sẽ có n đỉnh, k+1 thành phần liên thông và m0− cạnh Theo giả thiết quy nạp, ta có m0− ≥ n− 1 1 (k+1) hay m0 ≥ n− Vậy m ≥ n-k k Bổ sung cạnh vào G để nhận được đồ thị G’’ có m1 cạnh sao cho k thành phần. .. các đỉnh xi, , xj-1 3.6.5 Mệnh đề: Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) có tổng bậc của hai đỉnh tuỳ ý không nhỏ hơn n đều là đồ thị liên thông Chứng minh: Cho đơn đồ thị G=(V,E) có n đỉnh (n ≥ 2) và thoả mãn yêu cầu của bài toán Giả sử G không liên thông, tức là tồn tại hai đỉnh u và v sao cho không có đường đi nào nối u và v Khi đó trong đồ thị G tồn tại hai thành phần liên thông là G1 có n1 đỉnh và chứa... đỉnh v và có n2 đỉnh Vì G1, G2 là hai trong số các thành phần liên thông của G nên n1+n2 ≤ n ta có: deg(u)+deg(v) ≤ (n1 − 1)+(n2 − 1) = n1+n2− ≤ n− . t toán đ gi i các bài toán đ c thi t k đ th c hi nậ ể ả ượ ế ế ể ự ệ m t phép toán t i m i th i đi m là thu t toán n i ti p. Tuy nhiên, nhi u bài toán v iộ ạ ỗ ờ ể ậ ố ế ề ớ s l ng tính toán. ế ủ máy n i ti p. Các thu t toán song song phân chia bài toán chính thành m t s bài toán ế ậ ộ ố con sao cho có th gi i đ ng th i đ c. Do v y, b ng các thu t toán song song và nhể ả ồ ờ ượ. nhanh các bàiệ ử ụ ộ ử ườ ọ ể ả toán ph c t p. Trong thu t toán song song có m t dãy các ch th theo dõi vi c th cứ ạ ậ ộ ỉ ị ệ ự hi n thu t toán, g i các bài toán con t i các b x lý khác nhau,