tài liệu toán rời rạc phần không gian véctơ

Vectơ n chiều sau đây được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ai với các hệ số αi i=1,m.. aTìm điều kiện cho các thành phần của u1,u2,u3 của vectơ u để u có thể biểu thị tuyến tính t

Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1 KHÔNG GIAN VECTƠ n CHIỀU :

2.1.1 Vectơ n chiều :

1.Định nghĩa :Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x1,x2,…,xn)

• xj : tọa độ thứ j của vectơ x (j = n1 ) ,

• vectơ không : 0 = (0,0,…,0)

• vectơ đơn vị : e1 = (1,0,…,0) , e2 = (0,1,0,…,0) ,…, en = (0,0,…0,1)

• Dạng ma trận cột : X = [x] =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

n

x

x x

2 1

2.Phép toán trên các vectơ n chiều:

a Phép cộng 2 vectơ n chiều :

Cho x = (x1,x2,…,xn) và y = (y1,y2,…,yn) Tổng của 2 vectơ x và y là vectơ n

chiều :

x + y = (x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 ,…,x n +y n )

b Phép nhân một số thực với một vectơ n chiều :

Cho x = (x1,x2,…,xn) và α∈R Tích của số α với vectơ x là vectơ n chiều :

α x = (α x1, α x2,…, α xn)

Ghi chú :

• Vectơ (-1)x = (-x1,-x2,…,-xn) gọi là vectơ đối của vectơ x ,

ký hiệu : -x

• Vectơ x + (-1)y được ký hiệu x – y và gọi là hiệu của vectơ x và y

3.Tính chất các phép tóan :

Cho x,y,z là các vectơ n chiều và α ,β ∈R

1) x + y = y + x 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 3) x + 0 = x

4) x + (-x) = 0 5) α ( x + y ) = α x + α y 6) (α +β)x = α x + βx 7) (α β)x = α (βx) = β(α x) 8) 1.x = x

2.1.2 Hệ vectơ n chiều :

1.Tổ hợp tuyến tính :

a Định nghĩa :

Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều và αi∈R (i=1,m) Vectơ n chiều sau đây được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ai với các hệ số αi (i=1,m)

m

m a a

a

a=α1 1+α2 2 + +α

Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ ai với các hệ số αi

b Ví dụ :

VD1: Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,0,1) , a2=(1,2,0) và a3=(0,-1,1)

a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 với các hệ số là 2,-1,3

b)Cho vectơ v=(5,3,4) Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ

a1,a2,a3 hay không ?

VD2: Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u1,u2,u3)

a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u1,u2,u3 của vectơ u để u có thể biểu thị tuyến tính theo a và b

b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) Vectơ nào biểu thị tuyến tính được theo 2 vectơ a và b ?

2.Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính :

a Định nghĩa :

Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều

• Hệ vectơ {ai } (i=1,m) độc lập tuyến tính nếu :

m

m a a

α1 1+ 2 2+ + = 0 ⇒ αi= 0 (i=1,m)

• Hệ vectơ {ai } (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính ,nghĩa là tồn tại αi ≠0 sao cho α1a1+α2a2+ +αm a m= 0

VD 1: Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e1,e2,e3} độc lập tuyến tính

VD 2: Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : {u1,u2,u3}

với u1 = (1,1,1) , u2 = (0,1,1) và u3 = (1,2,3)

b Định lý : Cho n vectơ n chiều :

a 1 = (a11,a12, ,a1n)

a 2 = (a21,a22, ,a2n)

a n = (a n1,a n2, ,a nn)

Đặt : A =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

Hệ vectơ {ai } (i=1,n) độc lập tuyến tính ⇔ A ≠0

Hệ vectơ {ai } (i=1,n) phụ thuộc tuyến tính ⇔ A= 0

VD 1: Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :

a1=(2,1,1) , a2=(-1,1,4) và a3=(1, 1,-2)

VD 2: Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :

a1=(1,0,1) , a2=(2,m,-1) và a3=(0, 2, 2)

Ghi chú : Hệ n vectơ đơn vị n chiều {ei } (i=1,n) độc lập tuyến tính

3.Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính :

a Định lý 1: {a} độc lập tuyến tính ⇔ a≠0

b Định lý 2: Nếu {ai } độc lập tuyến tính thì ai≠0 , ∀ i=1,m

Hệ quả : Nếu ∃ ai = 0 thì {ai } phụ thuộc tuyến tính

c Định lý 3:

* Nếu {ai } (i=1,m) độc lập tuyến tính thì mọi hệ vectơ con của

{ai } đều độc lập tuyến tính

* Nếu {ai } (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ

{ai } đều phụ thuộc tuyến tính

d Định lý 4: Hệ vectơ {ai } (i=1,m)phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ ai , ai biểu thị

tuyến tính theo các vectơ còn lại

4.Hạng của một hệ vectơ n chiều :

a Định nghĩa : Cho hệ m vectơ n chiều {ai } (i=1,m) Số vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ ,ký hiệu : r(a 1 ,a 2 ,…,a m )

b Cách tìm hạng của một hệ vectơ n chiều :

Cho hệ m vectơ n chiều :

a 1 = (a11,a12, ,a1n)

a 2 = (a21,a22, ,a2n)

a m = (a m1,a m2, ,a mn)

Đặt : A =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

Ta có : r(a 1 ,a 2 ,…,a m ) = r(A)

Kết quả :

Hệ {ai } (i=1,m) độc lập tuyến tính ⇔ r(a1,a2,…,am) = m

Hệ {ai } (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính ⇔ r(a1,a2,…,am) < m

VD : Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của chúng :

a) a1=(1,-1,5,-1) , a2=(1,1,-2,3) và a3=(3, -1,8,1)

b) a1=(1,2,1, 1) , a2=(2,5,1,6) và a3=(-1,-4,2,2)

2.1.3 Không gian vectơ n chiều R n :

1.Định nghĩa :Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n

chiều “ và ký hiệu là Rn

2 Cơ sở của R n :

a Định nghĩa : Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong Rn được gọi là

một cơ sở của Rn

Ghi chú :

• Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { ei } ( i = n1 ) là một cơ sở của ,

Rn và được gọi là “ cơ sở chính tắc “ của Rn

• Hệ {ai } (i = n1 ) là cơ sở của R, n ⇔ r(a1,a2,…,an) = n

b Ví dụ :

• VD 1: Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R3 : a) a1 = (1,0,1) , a2 = (1,0,0)

b) b1 = (1,1,2) , b2 = (0,1,3) , b3 = (-1,1,4) , b4 = (1,0,1) c) c1 = (1,1,3) , c2 = (-1,1,-1) , c3 = (5,-2,8)

d) d1 = (1,1,0) , d2 = (2,2,1) , d3 = (1,0,1)

3 Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của R n :

a Định lý : Cho (u) ={ ui } (i= n1 ) là một cơ sở của R, n Mọi vectơ x của Rn đều biểu diễn tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số thực (x1,x2,…,xn) sao cho : x = x1u1 + x2u2 + …+ xnun

b Định nghĩa : Bộ n số thực (x1,x2,…,xn) trong định lý trên gọi là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở (u) và ký hiệu :

x/(u) = (x1,x2,…,xn)(u)

Ghi chú : Ta thấy đối với cơ sở chính tắc (e) = { ei } :

x = (x1,x2,…,xn) = x e1 1+x e2 2+ + x e n n

Vậy : x/(e) = x = (x1,x2,…,xn)

Do đó khi thấy x = (1,2,3) ta hiểu đó là tọa độ của x đối với cơ sở chính tắc

VD : Trong 3

R các vectơ : u1 = (1,1,0), u2 = (0,1,1), u3 = (1,0,1)

a)Chứng tỏ (u) = {u1,u2,u3} là một cơ sở của R3

b)Tìm toạ độ của vectơ x = (-2,5,-1) đối với cơ sở (u)

4 Ma trận đổi cơ sở :

a) Định nghĩa: Trong Rn có hai cơ sở : (u) = {u1,u2, ,u n} và (v) ={v1,v2, ,v n}

Ma trận sau đây gọi là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v) :

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

u

v u

v (u)

) (

) ( 2

Ghi chú :

* Nếu T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)thì − 1

T là ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (u)

VD : Trong 3

R cho 3 cơ sở : cơ sở chính tắc (e) ={e1,e2,e3}, (u)= {u1,u2,u3} và (v) = {v1,v2,v3} với : u1= (1,0,2) v1= (0,0,1)

u2= (0,1,1) v2= (1,-1,0)

u = (1,0,1) 3 v = (1,1,1) 3

Tìm các ma trận đổi cơ sở :

a) từ (e) sang (u) b) từ (u) sang (v) c) từ (v) sang (e)

5.Công thức đổi toạ độ : Trong n

R cho hai cơ sở (u) = { }u i , (v) = { }v i (i=1, n)

và T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)

Công thức đổi toạ độ từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) :

⎢⎣⎡x (u)⎥⎦⎤ = T.⎢⎣⎡x (v)⎥⎦⎤

VD1 : Trong 3

R cho cơ sở (u) = {u1,u2,u3} với u1= (1,0,2 ) ; u2= (0,1,1 ) ; u = (1,0,1 ) 3

a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u), từ đó suy ra công thức đổi toạ độ từ cơ sở chính tắc (e) sang (u)

b) Tìm toạ độ của vectơ x = (1,2,3) đối với cơ sở (u)

VD2 : Trong 3

R cho các hệ vectơ (u) = {u1,u2,u3} và (v) = {v1,v2,v3}

Trong đó : u1= (1,1,2 ) ; u2= (-1,1,1 ) ; u = (2,-1,0 ) 3

v1= (1,0,2 ) ; v2= (0,1,1 ) ; v = (1,0,1 ) 3

a) Chứng tỏ rằng các hệ (u) và (v) là các cơ sở của 3

R

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)

c) Cho x (v)= ( 2,1,0 )(v) ,áp dụng công thức đổi tọa độ tìm x (u)

d) Cho y (u) = ( 4,2,5 )(u) tìm y (v)

VD3 : Trong 3

R cho hệ vectơ (u) = {u1,u2,u3} và u1= (1,1,1 ) ; u2= (1,1,0 ) ; u = (1,0,0 ) 3

a) Chứng tỏ (u) là cơ sở của 3

R

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u) c) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (e) d) Tìm toạ độ của vectơ x = ( 3,0,1) đối với cơ sở (u) e) Tìm toạ độ của vectơ y khi biết y (u)= (-2,1,0)(u)

2.2.1 Định nghĩa không gian vectơ :

Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các phần tử kí hiệu là α,β,γ …

Trên V cho hai phép toán :

• Phép cộng hai phần tử của V :

V×V → V

(a,b) a a + b

• Phép nhân một số thực với một phần tử của V :

R×V → V

(α ,a) a αa

Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một « Không gian vectơ » trên R

nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c ∈V và α ,β∈R

1) a + b = b + a

2) ( a + b) +c = a + (b + c)

3) Tồn tại phần tử không, kí hiệu 0 sao cho : a + 0 = a

4) Tồn tại phần tử đối của a, kí hiệu – a sao cho : a + (- a) = 0

5) α(a + b ) = αa +αb

6) (α + β) a = αa +βb

7) (α β )a =α(βa )

8) 1.a = a

Khi đó các phần tử của V gọi là các « vectơ », còn các phần tử của R gọi là các « vô hướng »

VD :

• Không gian Rn các vectơ n chiều là một không gian vectơ

• Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực

• Tập hợp các ma trận cấp m×n với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một

số thực

2.2.2 Không gian vectơ con :

1) Định nghĩa :

Cho V là không gian vectơ và W⊂V, W≠∅ Nếu W cùng với 2 phép toán của V cũng tạo thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con của V

2) Định lý :

Cho V là không gian vectơ và W⊂V, W≠∅

W là không gian vectơ con của V ⇔

⎩

⎨

⎧

∈

⇒

∈

∀

∈

∀

∈ +

⇒

∈

∀

W a R W,

a

W b a W

¦ ,

α α

b a

VD: Cho V=R3 và W={ x∈R3/ x=(t,0,0) với t∈R }

CMR W là không gian con của V

2.2.3 Không gian con W = <u 1 ,u 2 ,…,u m > :

1) Định nghĩa :

Cho V là không gian vectơ và u1,u2,…,um ∈V Tập hợp W gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1,u2,…,um được gọi là bao tuyến tính của các vectơ u1,u2,…,um và ký hiệu : W = <u1,u2,…,um>

Vậy : W = <u1,u2,…,um> = {α1u1+α2u2+…+αmum / αi ∈R}

2) Định lý :

Cho u1,u2,…,um là các vectơ của không gian vectơ V Bao tuyến tính W = <u1,u2,…,um> của các vectơ u1,u2,…,um là một không gian con của V

Ghi chú :

• Ta còn nói : W là không gian con sinh bởi hệ vectơ {ui} (i=1,m) hay {ui} là hệ sinh của không gian vectơ W

3) Định lý :

• Nếu hệ sinh {ui} (i=1,m) độc lập tuyến tính trong V thì hệ này là cơ sở của không gian con W Lúc đó ta nói không gian con W có số chiều là m và ký hiệu : dimW=m

• Nếu hệ sinh {ui} (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn từ hệ {ui} là cơ sở của W và hạng của hệ vectơ này là số chiều của W

VD1: Trong R4 cho các vectơ : u=(1,1,0,1) và v=(0,1,0,1)

a) Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của W b) Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1) có thuộc không gian W hay không ?

VD2: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con W=<u1,u2,u3> trong các trường hợp : a) u1=(1,1,2), u2=(-1,1,1), u3=(2,-1,0)

b) u1=(1,1,0), u2=(1,2,1), u3=(-1,0,1)

Ghi chú :

Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian con của Rn ( Không gian con này sinh ra từ các vectơ hệ nghiệm cơ bản )

VD3 : Xác định số chiều và cơ sở của không gian con các nghiệm của hệ phương trình :

a)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

= +

= + +

0 0

0 2 3

3 2

2 1

3 2 1

x x

x x

x x x

b)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= + +

−

= +

−

−

= +

− +

0 2 2

0 2 4 6 3

0 2

3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x

x x x x

x x x x

c)

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

− +

= +

− +

= + +

−

0 3 3 3

0 5

2

0 4

2

0 2

4 3 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x

x x x x

x x x x

x x x x