Không gian con của không gian vectơ Định nghĩa 2: Không gian vectơ con của không gian vectơ V trên trường R gọi tắt là không gian con là một tập hợp con W của V thỏa hai tính chất sau:
Trang 1Tóm tắt lý thuyết
CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTƠ
1 Không gian vectơ Không gian con của không gian vectơ
Định nghĩa 1:
Cho V là một tập không rỗng, trong đó xác định hai phép toán:
i) Phép tính cộng (ký hiệu +): ,u v∈V , u+ ∈v V
ii) Phép nhân vô hướng: u∈V k, ∈R,ku ∈V
Các phần tử của R gọi là các vô hướng (số thực) và các phần tử của V gọi là các vectơ
V được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Tính giao hoán của phép cộng:
ii) Tính kết hợp của phép cộng:
iii) Tồn tại một phần tử không, ký hiệu là 0, thỏa mãn:
iv) u∀ ∈V , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là u− , thỏa mãn:
( ) 0
v) ∀u v, ∈V,∀ ∈k R,k u( +v)=ku+kv
vi) ∀ ∈u V,∀k h, ∈R,(h+k u) =hu+ku
vii) ∀ ∈u V,∀k h, ∈R,h ku( )=(hk u)
viii) ∀ ∈u V,1.u = u
Phép tính trừ trong KGVT được định nghĩa như sau:
( )
u− =v u+ − v Tính chất:
i) Phần tử 0 trong (iii) và phần tử u− trong (iv) là duy nhất
ii) ∀ ∈u V, 0.u = 0 , trong đó 0 trong vế phải là vectơ không, còn 0 ở vế trái là số
thực 0
iii) ∀ ∈k R 0, ∈V , k0=0
iv) Nếu ku = 0 thì hoặc k = hoặc u0 = 0
v) − = −u ( 1)u
2 Không gian con của không gian vectơ
Định nghĩa 2:
Không gian vectơ con của không gian vectơ V trên trường R (gọi tắt là không gian con) là một tập hợp con W của V thỏa hai tính chất sau:
i) ∀u v, ∈W u, + ∈v W
ii) ∀ ∈u W,∀ ∈k R,ku∈W
Nhận xét:
Các tính chất (i) và (ii) có thể được thay thế bằng điều kiện dưới đây:
Trang 2, , ,
Định lý 1:
Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không gian con của V
3 Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính
Định nghĩa 3: (Tổ hợp tuyến tính)
V là KGVT trên R Cho v v1, 2, ,v m ∈V Vectơ u ∈V có dạng
trong đó α i ∈R,i =1,m, được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v v1, , ,2 v m
Định nghĩa 4: (Phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính)
Họ các vectơ v v1, , ,2 v của KGVT V được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nếu tồn tại các m
vô hướng α α1, 2, ,α m, không phải tất cả đều bằng 0, sao cho
1 1v 2 2v m m v
Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính
Nhận xét: Nếu các vectơ v v1, , ,2 v phụ thuộc tuyến tính thì có ít nhất một vectơ là tổ hợp m
tuyến tính của các vectơ còn lại
Chú ý:
i) Các vectơ v v1, , ,2 v độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu m
1
1
m
i
=
ii) Mọi họ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính
iii) v∀ ∈V , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu { }v độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
v ≠ 0
Bài tập: 3,6,8,11,12,14,17,18,20,21,26,27,29,31,35,39
4 Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn
Ta nói rằng họ n vectơ B={f f1, , ,2 f n} của KGVT R lập thành một hệ các phần tử n
sinh của Rn nếu mọi vectơ v ∈ R là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ n f f1, , ,2 f tức n
là có thể biểu diễn v dưới dạng:
1 1 2 2 n n
trong đó α α1, 2, ,α n là các vô hướng
Định nghĩa 5: (Cơ sở của KGVT)
Cơ sở B={f f1, , ,2 f n} của KGVT R là một hệ các phần tử sinh độc lập tuyến tính, tức n
là B thỏa hai điều kiện sau:
i) v ∈ R được biểu diễn dưới dạng n
1 1 2 2 n n
(công thức khai triển vectơ v thành các thành phần)
ii) Phương trình λ1 1f +λ2 2f + +λ n n f = chỉ thỏa mãn khi 0
Trang 3Các vô hướng α α1, 2, ,α n được gọi là các tọa độ của vectơ v trong cơ sở
{f f1, , ,2 f n}
=
Chú ý:
Mỗi vectơ v ∈ R được khai triển thành các thành phần một cách duy nhất n
Trong các cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành phần khác nhau (trừ
vectơ 0 , tất cả các tọa độ của vectơ 0 trong mọi cơ sở đều bằng 0)
Cơ sở chính tắc trong KGVT Rn: kí hiệu là B0 ={e e1, , ,2 e n}
1 2 3
1, 0, 0, , 0 0,1, 0, , 0
0, 0,1, , 0
e e e
=
=
=
[0, 0, 0, ,1]
n
⋮
Định nghĩa 6: (chiều của KGVT)
Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sở gồm n vectơ, số nguyên này
là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT V
Ký hiệu: n=dimV
Theo định nghĩa, chiều là số các vectơ của mọi cơ sở của V và cũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V
KGVT có số chiều hữu hạn gọi là KGVT hữu hạn chiều KGVT trong đó có thể tìm được
vô số vectơ độc lập tuyến tính được gọi là KGVT vô hạn chiều
Định lý 2:
Trong KGVT Rn, họ bất kỳ gồm n vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành cơ sở
Định lý 3:
Hệ n vectơ của KGVT Rn độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của các vectơ đó, khác không
Bài tập: 40,44,45,46,54, 55,57,58,60,61,63,65,66,68,72,73,74,75,77
5 Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi Ma trận chuyển
Cho B={e e1, , ,2 e n} và B′ ={f f1, , ,2 f n} là hai cơ sở của KGVT Rn Ta quy ước B
là cơ sở cũ, ′B là cơ sở mới Tọa độ của các vectơ cơ sở mới ′B được biểu diễn trong cơ
sở cũ B :
n n
n n
⋮
Ma trận vuông cấp n:
Trang 411 21 1
n
n
B B
P
′
→
được gọi là ma trận biến đổi từ cơ sở cũ B={ }e i đến cơ sở mới B′ ={ }f i hoặc ma trận chuyển
Định lý 4:
Giả sử P B→B′ là ma trận chuyển từ cơ sở B={ }e i sang cơ sở B′ ={ }f i và Q B′→B là ma trận chuyển từ cơ sở B′ ={ }f i sang cơ sở B={ }e i Khi đó P B→B′ khả nghịch và
1
B B B B
Định lý 5:
Giả sử P B→B′ là ma trận chuyển từ cơ sở B={ }e i sang cơ sở B′ ={ }f i trong KGVT V
Khi đó đối với vectơ bất kỳ v∈V
ii) [ ]B 1 [ ]B
B B
Bài tập: 78,81,82,83,85,88,89,92,97,100,101,102,108,109,111,114,115,116,117,119
6 Hạng của hệ các vectơ và sự liên hệ của nó với hạng của ma trận
(Mục 3.5 trang 145-146)