tài liệu toán 2 phần ma trận

Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 1 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 2 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 3 NỘI DUNG : NỘI DUNG : I/ LÝ THUYẾT : 1. Một số định nghĩa. 2. Các phép toán trên ma trận. II/ BÀI TẬP : III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN : Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 4 I/ LÝ THUYẾT I/ LÝ THUYẾT Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 5 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1. Một số định nghĩa : a/ Một ma trận A cỡ trên trường K (K là thực hay phức) là một bảng chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng sau: xm n 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m x n m m m n a a a a a a A a a a    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   Người ta thường ký hiệu ( ) m x n i j A a= Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 6 b/ Tập hợp các ma trận A cỡ trên trường K được ký hiệu là Ở đây : Các số là các phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. c/ Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA ( ) 1, 2, , ; 1, 2 , , i j a i m j n= … = … xm n ( ) xm n M K Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 7 Ký hiệu : là tập hợp các ma trận vuông cỡ , gọi chung là tập hợp các ma trận vuông cấp n. d/ được gọi là ma trận cột. e/ được gọi là ma trận hàng. f/ Nếu thì A được gọi là ma trận vuông. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1 2 1n x n x x A x    ÷  ÷ =  ÷  ÷   M ( ) 1 1 2x n n A x x x= … m n= ( ) n M K x n n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 8 g/ Ma trận 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n x n n n a a A a …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   ( ) = ∀ ≠ = … 0 , 1, 2, , i j a i j i j n được gọi là ma trận chéo. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 9 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA h/ Ma trận 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n x n I …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   = ∀ = = ∀ ≠    ÷ = …   1 , 0 , 1, 2, , i j i j a i j a i j i j n được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 10 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 11 12 1 22 2 0 0 0 n n n x n n n a a a a a A a …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   i/ Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên. [...]... b k j , k =1 Toán 2 i = 1, 2, …, m   j = 1, 2, …, p CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 23 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 2 : Cho A 2 x 2 1 2  2 3 = ÷ , B 2 x 2 = 1 4÷ 3 4   Tính A.B và B.A Toán 2 A.B = C 2 x 2 B A = D 2 x 2 Ta có :  4 11  = ÷ 10 25   11 16  = 13 18 ÷   CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 24 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 3 : Cho A 2 x 2 1 2 1 2 3  = ÷ , B 2 x 3 = 1 4...   B 2 x3 1 4 3 = 0 1 6÷   Tính 3A + 2B Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 21 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ta có :  2 1 3 1 4 3 3 A + 2 B = 3. ÷ + 2.  0 1 6 ÷  4 6 1    6 3 9 2 8 6  =  ÷ +  0 2 12 ÷  12 18 3     8 11 15  =  12 20 15 ÷   Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 22 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN d/ Nhân hai ma trận : Cho 2 ma trận A m x n = ( ai j ) , B n x p = ( bi j... n = 2, 3, … Ta có :  a2 A2 = A A =  0 2a   a 3 3a 2  , A3 = A2 A =  ÷ 2 ÷ 0 a3  a    an An =  Dễ dàng quy nạp được 0 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN n.a n−1  n ÷ a  Slide 29 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 5 : Cho A 2 x 2  2 −1  = 3 2 ÷   Tính f ( A ) f ( x ) = x3 − 3x 2 + 4 x + 2 với Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 30 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN f ( A ) = A3 − 3 A2 + 4 A + 2 I Ta... NGHĨA Ma trận A n x n  a11 0 … 0  a a 22 … 0 ÷  21 ÷ = … ÷ a an 2 … an n ÷  n1  được gọi là ma trận tam giác dưới Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 11 1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA j/ Ma trận − A = ( − ai j ) được gọi là ma trận đối của A ( ) k/ Ma trận A = ai j được gọi là ma trận liên hợp của A Nếu A ∈ M m x n ( R ) thì A = A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 12 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2 Các phép toán. .. Ta có : A.B = C 2 x 3  3 10 15  = 7 22 33 ÷   B.A không tồn tại Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 25 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Nhận xét : ∗ Phép nhân ma trận không có tính giao hoán ∗ Nếu A.B = B.A ta nói tích hai ma trận có tính giao hoán ∗ Nếu A và I là hai ma trận vuông cấp n thì A.I = I.A = A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 26 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Phép nhân ma trận có tính chất... có cấp n x m Như vậy ma trận Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 14 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN … …  a11 a =  21 … a  m1 Nếu A m x n thì AT x m n a 12 a 22 a1n  a2 n ÷ ÷ ÷ ÷ … am n  am 2  a11 a =  12 … a  1n a21 … am1  a 22 … am 2 ÷ ÷ ÷ a2 n … am n ÷  Ta dễ dàng nhận thấy ( A Toán 2 ) T T CHƯƠNG 2 : MA TRẬN =A Slide 15 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Cho ma trận A ∈ M n ( K ) Khi đó : ∗ Nếu... BÀI 2 : Cho A =  Tính An 1 1÷    12 BÀI 3 : Cho A =  −1  2  1 ÷ 2  −1 2 Tính A2 , A3 , A2 n , A2 n+1 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 33 II/ BÀI TẬP MA TRẬN BÀI 4 : Cho A và B là hai ma trận đối xứng  1 0 2  A =  0 3 −1 ÷ ,  ÷  2 −1 2 ÷    3 −1 2  B =  −1 1 2 ÷  ÷  2 2 0 ÷   a/ A.B và B.A có phải là ma trận đối xứng b/ Có nhận xét gì về A.B và B.A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN... trên ma trận : a/ Ma trận bằng nhau : Cho hai ma trận cùng cỡ m x n là A m x n = ( ai j ) và B m x n = ( bi j ) Ta nói : A = B ⇔ ai j = bi j ∀i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 13 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN b/ Ma trận chuyển vị : Cho ma trận A m x n = ( ai j ) Ta gọi ma trận A T là ma trận chuyển vị T ( ) của ma trận A nếu như A = a j i A T có cấp n x m Như vậy ma trận Toán. .. ) = BT AT ∗ T Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 27 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Từ phép nhân ma trận ta có thể định nghĩa lũy thừa của một ma trận vuông như sau: Cho A ∈ M n ( K ) Ta định nghĩa : 0 nxn = Inxn ∗ ∗ Ak = 14 2 A A A 43 ∗ A p Aq = A p + q ∗ A k laàn (A Toán 2 ) p q , p, q ∈ N = A p q CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 28 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 4 : Cho ma trận A 2 x 2 a 1 = 0 a÷... = 1, 2,  , n) thì A được gọi là ma trận đối xứng ∗ AT = − A, tức là ai j = − a j i Nếu ( i, j = 1, 2,  , n) thì A được gọi là ma trận phản đối xứng Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 16 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN c/ Nhân ma trận với một số : ( ) Cho ma trận A m x n = ai j Ta có : α Am x n = Bm x n với bi j = α ai j ∀i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 17 2 CÁC PHÉP TOÁN . CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN T A ( ) j i T aA = b/ Ma trận chuyển vị : ( ) A m x n i j a= n x m T A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 15 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m. 2, , 1, 2, , i j i j A B a b i m j n = ⇔ = ∀ = … = … Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 14 Ta gọi ma trận là ma trận chuyển vị của ma trận A nếu như Cho ma trận Như vậy ma trận có cấp 2. . Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 1 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 2 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA