tài liệu toán 2 phần số phức

Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 1 TOÁN 2 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 2 CHƯƠNG 1: CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 3 i : được gọi là đơn vị ảo với b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Ở đây : a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa: • Dạng đại số của số phức là: i baz += ( ) zRe ( ) zIm 1 2 −=i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 4 Ở đây : Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: • Tập hợp số phức ta ký hiệu là C C hay còn gọi là mặt phẳng phức. z ( ) zmod x y a b O z Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 5 • được gọi là số phức liên hợp của z 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:    += += 222 111 i baz i baz 21 zz = i baz −= ( ) ( ) 212121 bbi aazz +++=+ ( ) ( ) 221121 i ba i bazz x x ++= ( ) ( ) 12212121 ba bai bb aa ++−=    = = ⇔ 21 21 bb aa b/ Các phép toán: Cho hai số phức ∗ ∗ ∗ Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 6 Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số phức với chú ý Dễ nhận thấy thì và 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1 2 −= i i baz += 22 . bazz += ( ) ( ) biabia bia biaz 1 1 −+ − = + =       + −+ + = 2222 ba b i ba a Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 7 ( ĐK: ) 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 0 2 ≠z ∗       + + +       + + = 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 ba ba ba i ba bb aa ( ) ( ) ( ) ( ) 2211 2211 22 11 2 1 i ba i ba i ba i ba i ba i ba z z −+ −+ = + + = Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau: ( ) ( ) ( ) z a i ba i bazz Re22 ==−++=+ ( ) ( ) ( ) z i i b i ba i bazz Im22 ==−−+=− 2121 zz zz +=+ 2121 zz zz −=− 2121 zz . zz . = 2 1 2 1 z z z z =       ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 9 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: i i z + + = 1 31 Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta được i − 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii ii z += + = −+ −+ = 1 2 24 1 1 1 31 VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 10 là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được Giải: a/ Dễ dàng tính được VD2: VD2: Cho a/ Tính b/ Giải phương trình 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: ( ) if ( ) ( ) ( ) iiizzf 2z 2z 2 23 −+++−= ( ) 0=zf ( ) 0=if iz = ( ) ( ) ( ) 022z 2 =+−−= zizzf b/ [...]... i) z2 + ( 3 − i) z − 4 + 6 i = 0 c/ 4 z 4 − 24 z 3 + 57 z 2 + 18 z − 45 = 0 6 biết z = 3 + i là 1 nghiệm của phương trình này Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 27 BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 5: 5 2 + 3 i Tính z1998 Cho số phức z = 3− 2 i BÀI 6: 6 Cho số phức z = e i π 3 Tìm dạng lượng giác của số phức z + 1 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 28 PHẦN HƯỚNG DẪN VÀ KẾT QUẢ BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương... ĐẠI SỐ: Chia đa thức ta được z 4 + 4 z 3 + 11z 2 + 14 z + 10 = ( z 2 + 2 z + 2 ) ( z 2 + 2 z + 5) Ta đi giải phương trình z2 + 2z + 5 = 0 ∆' = 1 − 5 = −4 = 4 i 2 vậy phương trình này có 2 nghiệm là − 1 ± 2 i Kết luận : z 4 + 4 z 3 + 11z 2 + 14 z + 10 = 0 Phương trình  z1 = −1 ± i có 4 nghiệm là   z3 = −1 ± 2 i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 24 PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC... Slide 25 BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số 1 5 2+ i 1 + i  z= a/ b/ z =   4−3 i 1 − i  BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác 2 a/ z = −1 b/ z = 2 + 2 i c/ Toán 2 z=− 3−i Chương 1: SỐ PHỨC Slide 26 BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: Tính căn bậc 2 của số phức sau : 3 8 + 16 i ( kết quả biểu diễn z= i 2 dưới dạng đại số) BÀI 4: Giải phương trình 4 a/ z 2 = z... PHỨC: VD : Số phức z = −1 − i Ta có: z = r = ( − 1) + ( − 1) = 2 2 2 −1 tgϕ = =1 ⇒ ϕ = π −1 4 5π Ta chọn ϕ = 4 Vậy Toán 2 5π hoặc ϕ = 4  cos 5π + i sin 5π  z = −1 − i = 2   4 4   Chương 1: SỐ PHỨC Slide 14 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: b/ Các phép toán: Cho hai số phức z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z2 = r2 ( cos 2 + i sin ϕ 2 ) r1 = r2 , k ∈Z ∗ z1 = z2 ⇔  ϕ1 = ϕ 2 + k 2 ∗ z1 z2 = r1.r2 [ cos... − i  2 HD: z = 3 8 + 16 i = 3 − 8 i = 2 i 2 ⇒ z =2 Toán 2 3 3 −i  − π  + i sin  − π  cos      2  2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 33 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 4: 4 a/ z 2 = z z = 0 , z = 1  Phương trình này có 4 nghiệm là  1 3 z = − 2 ± 2 i  HD: Đặt z = a + i b a = a2 − b2 z2 = z ⇒  − b = 2ab Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 34 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC ( 1 + i ) z2 + (... b/ z = 2 + 2 i = 2 2   4 4   HD: a = 2 , b = 2 3π Ta có r = 2 2 , tgϕ = −1 Chọn ϕ = 4 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 31 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC c/ HD: z=−  cos 7π + i sin 7π  3−i = 2   6 6   a = − 3 , b = −1 Ta có r = 2 , tgϕ = 1 3 7π Chọn ϕ = 6 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 32 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: 3  ε0 = 3 − i 8 + 16 i  có 3 giá trị là ε1 = 2 i i 2 ε =... số phức α Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 19 3 KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: VD: Tìm 3 1 Ta có : 1 = cos 0 + i sin 0 vậy Vậy 3 3  cos k 2 + i sin k 2  1 = cos 0 + i sin 0 =   3 3   với k = 0 , 1 , 2 1 là ε0 = cos 0 + i sin 0 = 1 2 ε1 = cos + i sin 3 4π 2 = cos + i sin 3 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC 2 1 =− + 3 2 4π 1 =− − 3 2 Slide 20 3 i 2 3 i 2 4 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ: 4 Định lý cơ bản của đại số: ... gọi là công thức Euler Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 16 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Vậy số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) = r eiϕ Biểu thức z = r eiϕ được gọi là dạng mũ của số phức z VD : Tính ( 1 + i) 8  cos π + i sin π  Ta có : ( 1 + i ) = 2  4 4  ⇒ ( 1 + i ) 8 = 24 ( cos 2 + i sin 2 ) = 24 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 17 3 KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: 3 Khai căn của số phức: n Ta giải phương... ϕ ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 12 x 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: • Biểu thức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z Ở đây : chính r = z = a 2 + b 2 là mođun của số phức ϕ z được gọi là acgumen của số phức Ta có : b tgϕ = a , ký hiệu b ⇒ ϕ = arctg a Chú ý : chọn ϕ sao cho b và sin ϕ Toán 2 z arg ( z ) Chương 1: SỐ PHỨC cùng dấu Slide 13 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:... TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 29 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: 1 a/ 2+ i 11 2 z= =− − i 4−3 i 25 25 HD: Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ( 4 + 3 i ) 5 b/  1 + i  = i5 = i z=   1− i  HD: Trong dấu ngoặc nhân tử và mẫu với số phức liên hợp ( 1 + i ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 30 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 2: 2 a/ z = − 1 = 1 ( cos π + i sin π ) . 1 −+ − = + =       + −+ + = 22 22 ba b i ba a Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 7 ( ĐK: ) 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 0 2 ≠z ∗       + + +       + + = 2 2 2 2 21 12 2 2 2 2 2 121 ba . ) ( ) 21 2 121 bbi aazz +++=+ ( ) ( ) 22 1 121 i ba i bazz x x ++= ( ) ( ) 122 121 21 ba bai bb aa ++−=    = = ⇔ 21 21 bb aa b/ Các phép toán: Cho hai số phức ∗ ∗ ∗ Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide. ) 22 11 22 11 22 11 2 1 i ba i ba i ba i ba i ba i ba z z −+ −+ = + + = Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ định nghĩa của các phép toán,