Slide 6 Đại số Tuyến Tính – Ánh xạ tuyến tính – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU

Giới thiệu về ánh xạ tuyến tính Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính[r]

(1)

Ánh xạ tuyến tính

(2)

Nội dung

1 Ánh xạ tuyến tính không gian vec-tơ

Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

2 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tắc Ma trận theo sở tổng quát Ma trận đồng dạng

(3)

Ánh xạ tuyến tính không gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Nội dung

Giới thiệu ánh xạ tuyến tính

Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

2 Ma trận ánh xạ tuyến tính

Ma trận theo sở tắc Ma trận theo sở tổng quát Ma trận đồng dạng

(4)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Ánh xạ khơng gian vec-tơ

Cho V, W hai không gian vec-tơ.

Cho T : V→ W ánh xạ Khi ta nói: V miền xác định T,

W miền ảnh T, ảnh T tập hợp

{w ∈ W | ∃ v ∈ V cho T(v) = w}.

Nếu T(v) = w với v∈ V, w ∈ W, ta nói w ảnh v (qua ánh xạ T),

v nghịch ảnh w (qua ánh xạ T), nghịch ảnh w (qua ánh xạ T) tập hợp

(5)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Chú ý ký hiệu

Ký hiệu:

Trong trường hợp v = (v1, , vn)∈ Rn,

(6)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ T : V→ W gọi ánh xạ tuyến tính nếu T(u + v) = T(u) + T(v) ∀ u, v ∈ V, và

T(cu) = cT(u) ∀ u ∈ V, c ∈ R.

Ví dụ:

Ánh xạ

T : R2→ R2

(v1, v2)7→ (v1− v2, v1+ 2v2)

là ánh xạ tuyến tính.

(7)

Ánh xạ tuyến tính không gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Một số ví dụ ánh xạ tuyến tính

Cho A∈ M(m, n) Ánh xạ

T :Rn→ Rm v7→ Av

là ánh xạ tuyến tính

(Phép quay góc θ

ngược chiều kim đồng hồ mặt phẳng) Ánh xạ T :R2→ R2 xác định bởi

T(v) = Av với

A = [

cos θ −sin θ sin θ cos θ

]

(8)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Một số ví dụ ánh xạ tuyến tính

Cho A∈ M(m, n) Ánh xạ

(Phép quay góc θ

ngược chiều kim đồng hồ mặt phẳng)

Ánh xạ T :R2→ R2 xác định bởi

T(v) = Av với

A =

[

cos θ −sin θ

sin θ cos θ ]

(9)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Một số ví dụ ánh xạ tuyến tính

Cho A∈ Mm,n Ánh xạ

(Phép chiếu vng góc lên mặt phẳng Oxy không gian)

Ánh xạ T :R3→ R3 xác định bởi

T(v) = Av với

A =



1 00 0 0  

(10)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Một số tính chất bản

Cho T : V→ W ánh xạ tuyến tính Cho v ∈ V Khi đó T(0) = 0.

T(−v) = −T(v).

Nếu v = c1v1+ c2v2+ + cnvn,

T(v) = T(c1v1+c2v2+ .+cnvn) = c1T(v1)+c2T(v2)+ .+cnT(vn).

Áp dụng:

Cho T :R3→ R3là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn

T(1, 0, 0) = (2,−1, 4), T(0, 1, 0) = (1, 5, −2), T(0, 0, 1) = (0, 3, 1).

Vì

(2, 3,−2) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) − 2(0, 0, 1), nên ta có

T(2, 3,−2) = 2T(1, 0, 0) + 3T(0, 1, 0) − 2T(0, 0, 1)

= 2(2,−1, 4) + 3(1, 5, −2) − 2(0, 3, 1)

(11)

Ánh xạ tuyến tính không gian vec-tơ Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Nội dung

Giới thiệu ánh xạ tuyến tính

Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng

Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

(12)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Hạt nhân ảnh

Cho V, W hai không gian vec-tơ. Cho T : V→ W ánh xạ tuyến tính.

Hạt nhân T tập hợp

ker(T) :={v ∈ V | T(v) = 0}.

Ảnh T tập hợp

range(T) :={w ∈ W | w = T(v) với v ∈ V}.

Ví dụ:

Xét ánh xạ tuyến tính T :Rn→ Rm, v7→ Av, với A ∈ M m,n.

(13)

Ánh xạ tuyến tính không gian vec-tơ Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Số khuyết hạng

Cho V, W hai không gian vec-tơ. Cho T : V→ W ánh xạ tuyến tính.

Tính chất:

ker(T) không gian vec-tơ V.

range(T) không gian vec-tơ W.

Định nghĩa:

Số chiều ker(T) gọi số khuyết T, ký hiệu là nullity(T).

Số chiều range(T) gọi hạng T, ký hiệu rank(T).

Ví dụ:

Xét ánh xạ tuyến tính T :Rn→ Rm, v7→ Av, với A ∈ M

m,n Khi

(14)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng Tính chất

Cho V, W hai không gian vec-tơ, với dim(V) = n <∞. Cho T : V→ W ánh xạ tuyến tính.

Ta ln có

(15)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Nội dung

1 Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ

Giới thiệu ánh xạ tuyến tính Hạt nhân, ảnh, số khuyết, hạng

Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

(16)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Đơn cấu

Mỗi ánh xạ tuyến tính T : V→ W cịn gọi là

một đồng cấu từ V vào W.

Đồng cấu T : V→ W gọi đơn cấu

nếu T ánh xạ một-một, tức là

với w∈ W, tồn v ∈ V cho T(v) = w,

hay nói cách khác

(17)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Đơn cấu

Ví dụ:

Đồng cấu T : Mm,n→ Mn,m xác định T(A) = AT đơn cấu

Đồng cấu T :R3→ R3, (x, y, z)7→ (x, y, 0) khơng đơn cấu.

Tính chất:

(18)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Tồn cấu

Đồng cấu T : V→ W gọi toàn cấu

nếu W ảnh T, tức là

∀ w ∈ W ∃ v ∈ V : T(v) = w.

Ví dụ:

Đồng cấu T : Mm,n→ Mn,m xác định T(A) = AT toàn cấu

Đồng cấu T :R2→ R3, (x, y)7→ (x, y, 0) khơng tồn cấu.

Tính chất:

Nếu dim(W) = n <∞, T toàn cấu ⇔ rank(T) = dim(W).

(19)

Ánh xạ tuyến tính khơng gian vec-tơ Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Đẳng cấu

Đồng cấu T : V→ W gọi đẳng cấu

nếu T vừa đơn cấu vừa toàn cấu.

Nếu tồn đẳng cấu T : V→ W, ta nói V đẳng cấu với W,

hoặc V W đẳng cấu với nhau, ký hiệu V ∼= W.

Ví dụ: R4∼= M

4,1∼= M1,4∼= M2,2∼= P3

Tính chất:

(20)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Nội dung

(21)

Ma trận ánh xạ tuyến tính

Biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Ví dụ biểu diễn ánh xạ tuyến tính:

Ánh xạ tuyến tính T :R3→ R3xác định bởi

T(x1, x2, x3) = (2x1+ x2− x3,−x1+ 3x2− 2x3, 3x2+ 4x3)

có thể viết dạng

T(x) = Ax =



−1 −22 −1

0

 

 xx12

x3

 

Câu hỏi: Tìm ma trận A nào?

(22)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tắc Nội dung

2 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tắc

Ma trận theo sở tổng quát Ma trận đồng dạng

(23)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tắc Ma trận tắc ánh xạ tuyến tính

Cơ sở tắc củaRnlà

B ={e1, e2, , en} =                   ,          , ,      0               .

Giả sử T :Rn→ Rmlà ánh xạ tuyến tính, và

T(e1) =

     a11 a21 am1    

, T(e2) =

     a12 a22 am2    

, , T(en) =      a1n a2n amn     .

Khi ta có

T(v) = Av ∀ v ∈ Rn,

A = [

T(e1) T(e2) · · · T(en)

] =     

a11 a12 . a1n

a21 a22 . a2n

. am1 am2 . amn

    .

(24)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tắc Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính T :R3→ R2xác định bởi

T(x1, x2, x3) = (x1− 2x2, 2x1+ x3).

Xét sở tắc{e1, e2, e3} R3 Ta có

T(e1) = T(1, 0, 0) =

[ ]

,

T(e2) = T(0, 1, 0) =

[

−2

0 ]

,

T(e3) = T(0, 0, 1) =

[ ]

.

Ma trận tắc ánh xạ tuyến tính T là

A =

[

T(e1) T(e2) T(e3)

] =

[

1 −2 0

2

]

(25)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tổng quát Nội dung

Ma trận theo sở tắc

Ma trận theo sở tổng quát

Ma trận đồng dạng

(26)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tổng quát

Ma trận ánh xạ tuyến tính tương ứng với cặp sở

Cho V, W hai không gian vec-tơ hữu hạn chiều với sở là

BV={v1, v2, , vn}, BW={w1, w2, , wm}.

Giả sử T :Rn→ Rmlà ánh xạ tuyến tính, và

[T(v1)]BW=

     a11 a21 am1    

, [T(v2)]BW=

     a12 a22 am2    

, , [T(vn)]BW=

     a1n a2n amn     .

Khi ta có

[T(v)]BW= A[v]BV ∀ v ∈ V,

trong

A = [

[T(v1)]BW

.[T(v2)]BW

· · · [T(vn)]BW

] =     

a11 a12 . a1n

a21 a22 . a2n

. am1 am2 . amn

    .

Ma trận A gọi ma trận ánh xạ tuyến tính T tương ứng với sở BV, BW

(27)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận theo sở tổng quát Ví dụ

T(x1, x2) = (x1+ x2, 2x1− x2).

Câu hỏi: Tìm ma trận T tương ứng với cặp sở

B ={v1, v2} = {(1, 2), (−1, 1)}, B′ ={w1, w2} = {(1, 0), (0, 1)}.

Trả lời: Ta có

T(v1) = T(1, 2) = (3, 0) = 3w1+ 0w2,

T(v2) = T(1, 2) = (0,−3) = 0w1− 3w2.

Như

[T(v1)]B′ =

[ ]

, [T(v2)]B′ =

[

−3

]

.

Ma trận T tương ứng với cặp sở B, B′

A =

[

T(v1)]B′ [T(v2)]B′

(28)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận đồng dạng Nội dung

Ma trận theo sở tắc Ma trận theo sở tổng quát

Ma trận đồng dạng

(29)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận đồng dạng Đặt vấn đề

Cho V không gian vec-tơ hữu hạn chiều.

Một số thuật ngữ:

Mỗi ánh xạ tuyến tính T : V→ V gọi là

một tự đồng cấu V.

Xét B ={v1, v2, , vn} sở V.

Gọi A ma trận T tương ứng với cặp sở B, B, tức là

[T(v1) T(vn)] = [v1 vn]A.

Ma trận A gọi là

ma trận tự đồng cấu T sở B.

Vấn đề: Mối liên hệ ma trận tự đồng cấu T sở

(30)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận đồng dạng Ma trận tự đồng cấu sở

Cho B B′ là hai sở V, T : V→ V tự đồng cấu.

Gọi A A′ tương ứng ma trận T sở B B′ Khi ta có

A′= C−1AC,

với C ma trận chuyển từ sở B sang sở B′

Sơ lược chứng minh:

Ta có

B′ = BC (do định nghĩa C)

⇒ T(B′) = T(B)C (do tính tuyến tính T) ⇔ T(B′) = BAC (do định nghĩa A) ⇔ T(B′) = B′C−1AC. (do định nghĩa C)

Mặt khác, T(B′) = B′A′ theo định nghĩa A′, nên ta suy

(31)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận đồng dạng Ví dụ

Trong không gian vec-tơR2cho sở

B ={(−3, 2), (4, −2)}, B′ ={(−1, 2), (2, −2)}.

Cho T :R2→ R2là ánh xạ tuyến tính với ma trận sở B là

A = [ −2 7 −3 7 ] .

Câu hỏi: Tìm ma trận A′ của T sở B′

Trả lời: Gọi C ma trận chuyển từ sở B sang sở B′ Bằng cách biến đổi sơ cấp theo hàng

[B B′] −→ [I2 C],

ta thu

C =

[

3 −2

2 −1

]

, C−1= [

−1 2 −2 3

]

.

Ma trận T sở B′

A′ = C−1AC =

(32)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận đồng dạng Ma trận đồng dạng

Định nghĩa:

Ma trận A′ ∈ Mn,nđược gọi đồng dạng với ma trận A∈ Mn,n

tồn ma trận khả nghịch P∈ Mn,n sao cho A′= P−1AP.

Tính chất:

Ma trận A đồng dạng với nó.

Nếu ma trận A đồng dạng với ma trận B, ma trận B cũng đồng dạng với ma trận A.

(33)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính khả nghịch Nội dung

(34)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính khả nghịch Ánh xạ hợp ánh xạ tuyến tính

Cho U, V, W không gian vec-tơ.

Cho T1: U→ V T2: V→ W ánh xạ tuyến tính.

Ánh xạ T : U→ W xác định bởi

T(u) = T2(T1(u)) voi u∈ U

được gọi ánh xạ hợp T2 va T1, ký hiệu

T = T2◦ T1.

Tính chất:

Ánh xạ hợp T = T2◦ T1 ánh xạ tuyến tính

Nếu A1và A2 lần lượt ma trận tắc T1va T2,

(35)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính khả nghịch Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính T1:R3→ R3va T2:R3→ R3xác định

T1(x1, x2, x3) = (2x1+ x2, 0, x1+ x3), T2(x1, x2, x3) = (x1−x2, x3, x2).

Ma trận tắc ánh xạ T1và T2lần lượt

A1=



2 10 00

1



 , A2=



10 −1 00

0

 

Ma trận tắc ánh xạ hợp T = T2◦ T1là

A = A2A1=



10 −1 00

0

  

2 10 00

1

  =



21 10 01

0 0

 

Ma trận tắc ánh xạ hợp T′= T1◦ T2là

A′ = A1A2=



2 10 00

1

 



10 −1 00

0

  =



20 −2 10

1 0

(36)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính khả nghịch Ánh xạ tuyến tính khả nghịch

Nếu T1: V→ V T2: V→ V ánh xạ tuyến tính thỏa mãn

T2(T1(v)) = v ∀ v ∈ V,

T1(T2(v)) = v ∀ v ∈ V,

thì T2 được gọi ánh xạ ngược T1, T1được gọi khả nghịch.

Khi ta ký hiệu T2= T−11

Tính chất:

Tự đồng cấu tuyến tính T : V→ V khả nghịch

⇔ T đẳng cấu.

Nếu A ma trận tắc tự đồng cấu tuyến tính T : V→ V,

thì

T khả nghịch ⇔ A khả nghịch,

(37)

Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính khả nghịch Ví dụ

T(x1, x2, x3) = (2x1+ 3x2+ x3, 3x1+ 3x2+ x3, 2x1+ 4x2+ x3).

Câu hỏi: Chỉ T khả nghịch, tìm ánh xạ ngược T. Trả lời: Ma trận tắc T là

A =



23 33 11

2

 

Ma trận A khả nghịch, nghịch đảo A là

A−1= 

−1−1 10 01

6 −2 −3

 

Vậy T khả nghịch, ánh xạ ngược T xác định bởi

T−1(x) = A−1x.

Cụ thể

(38)

Thanks