Slide 2 Đại số Tuyến Tính – Ma Trận nghịch đảo và phân tích LU – Lê Xuân Thanh – UET – Tài liệu VNU

Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính. 2 Ma trận cơ bản[r]

(1)

Ma trận nghịch đảo phân tích LU

(2)

Nội dung

1 Nghịch đảo ma trận

Ma trận khả nghịch

Tính chất ma trận khả nghịch

Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính

2 Ma trận bản

Khái niệm Tính chất

(3)

Nghịch đảo ma trận Ma trận khả nghịch Nội dung

2 Ma trận bản

(4)

Nghịch đảo ma trận Ma trận khả nghịch Đại số số thực vs Đại số ma trận

Đại số số thực Đại số ma trận

Phép cộng

a + b = b + a A + B = B + A

(a + b) + c = a + (b + c) (A + B) + C = A + (B + C)

a + = a A + 0m×n= A

a + (−a) = 0 A + (−A) = 0m×n

Phép trừ a− b = a + (−b) A− B = A + (−B)

Phép nhân

ab = ba AB̸= BA

(ab)c = a(bc) (AB)C = A(BC) 1.a = a.1 = a ImA = AIn= A

a(b + c) = ab + ac A(B + C) = AB + AC

(a + b)c = ac + bc (A + B)C = AC + BC

(5)

Nghịch đảo ma trận Ma trận khả nghịch Ma trận khả nghịch

Một ma trận A cỡ n× n gọi khả nghịch tồn tại một ma trận B cỡ n× n cho

AB = BA = In,

với In là ma trận đơn vị cấp n.

Ghi chú:

Ma trận khả nghịch ma trận vng

Ma trận khả nghịch cịn gọi ma trận không suy biến Thế ma trận không khả nghịch (ma trận suy biến)? Ma trận B gọi nghịch đảo (nhân tính) ma trận A.

Ví dụ 1: Nghịch đảo [ −1 2 −1 1 ] [ −2 −1 ]

Ví dụ 2: Nếu ad− bc ̸= 0, nghịch đảo của [ a b c d ] ad− bc

[

d −b

−c a

(6)

Nghịch đảo ma trận Tính chất ma trận khả nghịch Nội dung

2 Ma trận bản

(7)

Nghịch đảo ma trận Tính chất ma trận khả nghịch Tính chất ma trận khả nghịch

Nếu A ma trận khả nghịch, nghịch đảo A nhất. Chứng minh Giả sử B C nghịch đảo A Ta có

AB = In

=⇒ C(AB) = CIn

=⇒ (CA)B = C

=⇒ InB = C

=⇒ B = C.

Ghi chú:

(8)

Nghịch đảo ma trận Tính chất ma trận khả nghịch Tính chất ma trận khả nghịch (tiếp theo)

Nếu A, B ma trận khả nghịch ta có:

(A−1)−1= A. (AT)−1= (A−1)T

(cA)−1= 1cA−1, với c̸= 0.

(Ak)−1= (A−1)k= A−1A−1 A−1 (AB)−1= B−1A−1

(9)

Nghịch đảo ma trận Tính chất ma trận khả nghịch Tính chất ma trận khả nghịch (tiếp theo)

Nếu C ma trận khả nghịch, ta có:

AC = BC =⇒ A = B (tính giản lược phải). CA = CB =⇒ A = B (tính giản lược trái).

Chứng minh: Tính giản lược phải:

AC = BC

=⇒ (AC)C−1= (BC)C−1 =⇒ A(CC−1) = B(CC−1)

=⇒ AIn= BIn

=⇒ A = B.

(10)

Nghịch đảo ma trận Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Nội dung

2 Ma trận bản

(11)

Nghịch đảo ma trận Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Ví dụ

Bài tốn: Tìm nghịch đảo A = [

1

−1 −3 ]

Lời giải: Giải phương trình ma trận AX = I2với ẩn X = [

x11 x12 x21 x22 ] [ −1 −3 ] [

x11 x12 x21 x22 ] = [ 0 ] ⇔ [

x11+ 4x21 x12+ 4x22 −x11− 3x21 −x12− 3x22

] = [ 0 ] ⇔ {

x11+ 4x21 = −x11− 3x21 =

và {

x12+ 4x22 = −x12− 3x22 = .

Hai hệ phương trình có chung ma trận hệ số: 

 −1 −3  



 −1 −3  

(12)

Nghịch đảo ma trận Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Ví dụ (tiếp theo)

Bước 1: Viết gộp ma trận hệ số ma trận đơn vị: 

 −1 −3  

Bước 2: Dùng phép khử Gauss-Jordan

đưa ma trận hệ số (vế trái) ma trận đơn vị: 

1 −3 −4 1

 

Bước 3: Ma trận hệ số tự (vế phải) ma trận X cần tìm.

X = [

x11 x12 x21 x22 ]

= [

−3 −4

1

] .

(13)

Nghịch đảo ma trận Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Thuật tốn tìm ma trận nghịch đảo

Input: Ma trận A vuông, cấp n.

Output: Ma trận A khả nghịch hay khơng? Nếu có, tính A−1.

Thuật tốn:

Bước 1: Viết ma trận đơn vị In kề bên phải ma trận A.

[A In].

Bước 2: Dùng phép khử Gauss-Jordan

đưa ma trận [A In] dạng [In X].

Bước 3: Kết luận:

- Nếu Bước không khả thi, kết luận A suy biến.

(14)

Nghịch đảo ma trận Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Ví dụ 1

Bài tốn: Tìm nghịch đảo ma trận A = 

 11 −10 −10

−6

 

Lời giải: Xuất phát từ ma trận

[A I3] =     

1 −1 0

1 −1

−6 0

    ,

lần lượt thực phép biến đổi

d2+ (−1)d1→ d2, d3+ 6d1→ d3, d3+ 4d2→ d3, (−1)d3→ d3, d2+ d3→ d2, d1+ d2→ d1,

kết     

1 0 −2 −3 −1

0 −3 −3 −1

0 −2 −4 −1    

(15)

Nghịch đảo ma trận Phương pháp khử Gauss-Jordan tính ma trận nghịch đảo Ví dụ 2

Bài toán: Chỉ ma trận A = 

13 −12 02

−2 −2



 suy biến

Lời giải: Xuất phát từ ma trận

[A I3] =     

1 0

3 −1

−2 −2 0

    ,

lần lượt thực phép biến đổi

d2+ (−3)d1→ d2, d3+ 2d1→ d3

ta     

1 0

0 −7 2 −3 0

0 0 −1 1

    .

(16)

Nghịch đảo ma trận Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính Nội dung

2 Ma trận bản

(17)

Nghịch đảo ma trận Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp ma trận nghịch đảo

giải hệ phương trình tuyến tính

Nếu A ma trận khả nghịch, hệ phương trình tuyến tính

Ax = b

có nghiệm

x = A−1b.

Chứng minh: Vì ma trận A−1 tồn tại, nên ta có

Ax = b

⇒ A−1Ax = A−1b

⇔ Inx = A−1b

⇔ x = A−1b.

Ghi chú:

Chỉ áp dụng cho trường hợp số phương trình số ẩn Sử dụng nhiều phép tính phương pháp khử Gauss, Gauss-Jordan

(18)

Nghịch đảo ma trận Áp dụng giải hệ phương trình tuyến tính Ví dụ

Bài tốn: Giải hệ phương trình

2x1+ 3x2+ x3=−1 3x1+ 3x2+ x3= 2x1+ 4x2+ x3=−2

Lời giải: Hệ cho có dạng Ax = b, với

A = 

2 33 11   , x =

 xx12

x3   , b =

 −11

−2  

Do A−1= 

−1−1 10 01

6 −2 −3



, nghiệm hệ

x = A−1b =



−1−1 10 01

6 −2 −3

   −11

−2   =

 −12

(19)

Ma trận Khái niệm Nội dung

2 Ma trận bản

(20)

Ma trận Khái niệm Khái niệm ma trận bản

Các phép biến đổi theo dòng ma trận:

Đổi chỗ hai dòng

Nhân dòng với số c̸= 0. Cộng bội dòng vào dòng khác

Ma trận E cỡ n× n gọi ma trận nếu In→ E bởi một phép biến đổi theo dịng.

Ví dụ: Các ma trận sau bản. 

1 00 0 0 1   ,



1 00 1 0 0   ,



(21)

Ma trận Khái niệm Khái niệm ma trận bản

Các phép biến đổi theo dòng ma trận:

Đổi chỗ hai dòng

Nhân dòng với số c̸= 0. Cộng bội dòng vào dòng khác

Ma trận E cỡ n× n gọi ma trận nếu In→ E bởi một phép biến đổi theo dịng.

Ví dụ: Các ma trận sau KHÔNG bản.

[

1 0 0 0 ]

, 

1 00 0 0 0   ,



1 00 2 00 0 0 −1

(22)

Ma trận Tính chất Nội dung

2 Ma trận bản

(23)

Ma trận Tính chất Tính chất 1

Cho A ma trận cỡ m× n.

Với phép biến đổi theo dịng Im→ E ta có A → EA.

Minh họa:

(i) 

0 01 0 0 1  



01 −32 16

3 2 −1

  =



10 −32 61

3 2 −1

 

(ii) 

1 00 12 0 0 1  



01 −32 16

3 2 −1

  =



01 2 1 −32 3

3 2 −1

 

(iii) 

1 02 0 0 1  



01 −32 16

3 2 −1

  =



0 21 1 18 3 2 −1

(24)

Nếu E ma trận bản,

thì E khả nghịch E−1 cũng ma trận bản. Chứng minh:

Thực phép biến đổi ngược lại với In→ E ta có In→ E−1.

Minh họa: (i)

I3 → E =



0 01 0 0 1 

 d1↔ d2,

I3→ E−1 =



0 01 0 0 1 

(25)

Minh họa: (ii)

I3 → E =



1 00 0 0 0 12 

 1

2d3 → d3,

I3→ E−1 =



1 00 0 0 2 

(26)

Minh họa: (iii)

I3 → E =



 10 0 01 0 −2 1 

 d3+ (−2)d1→ d3,

I3 → E−1 =



1 00 0 2 1 

(27)

Ma trận vng A khả nghịch ⇔ A = E1E2 Ek,

(tích ma trận bản).

Chứng minh khẳng định ⇐:

A−1= E−1k E−12 E−11 .

Chứng minh khẳng định ⇒:

(28)

Ma trận Phân tích LU ma trận Nội dung

2 Ma trận bản

(29)

Ma trận Phân tích LU ma trận Ma trận tam giác ma trận tam giác trên

Ma trận vuông L ma trận tam giác (Lower triangular) nếu phần tử đường chéo 0.



∗ 0∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗  

Ma trận vuông U ma trận tam giác (Upper triangular) nếu phần tử đường chéo 0.



∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ 0 0 ∗  

Nhận xét:

(30)

Ma trận Phân tích LU ma trận Phân tích LU

(*) Cộng bội dòng vào dòng khác ma trận. Nếu A→ U (ma trận tam giác trên) biến đổi (*), thì ta có phân tích

Ek E2E1A = U

=⇒ A = E−11 E−12 E−1k U

=⇒ A = LU,

(31)

Ma trận Phân tích LU ma trận

Sử dụng phân tích LU giải hệ phương trình tuyến tính

Bài tốn: Giải hệ phương trình Ax = b. Dữ kiện: Phân tích LU A.

Cách giải: Lần lượt theo bước sau.

(32)

Ma trận Phân tích LU ma trận Ví dụ

Bài tốn: Giải hệ phương trình

x1− 3x2 = −5

x2+ 3x3= −1 2x1− 10x2+ 2x3=−20

Lời giải: Hệ cho có dạng Ax = b, với

A = 

10 −3 01

2 −10 2

  , x =

 xx12

x3   , b =

 −5−1

−20  

Ma trận A có phân tích A = LU = 

10 01 00 −4 1   

10 −3 01

0 14

(33)

Ma trận Phân tích LU ma trận Ví dụ

Ly = b⇔ 

10 01 00 −4 1    yy12

y3   =

 −5−1

−20   ⇔

 yy12

y3   =

 −5−1

−14  

Ux = y⇔ 

10 −3 01

0 14

 

 xx12

x3   =

 −5−1

−14   ⇔

 xx12

x3   =

 12

−1  

(34)

Thanks

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	80,61 KB