1. Trang chủ
  2. » Văn bán pháp quy

Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ - Lê Xuân Thanh

20 18 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 287,94 KB

Nội dung

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [ x 1 ,.[r]

(1)

Không gian vec-tơ

(2)

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ

2 Mô tả khơng gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều

Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

(3)

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều

Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

(4)

Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông

Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ

một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích

Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:

u= (u1,u2).

0

y

x

1

1

u= (2,3)

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v= (u1,u2) + (v1,v2) := (u1+v1,u2+v2). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:

(5)

Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ

một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích

Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:

u= (u1,u2).

0 y

x

2

1

u= (2,3)

v= (3,1)

u+v= (5,4)

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v= (u1,u2) + (v1,v2) := (u1+v1,u2+v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:

(6)

Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông

Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ

một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích

Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:

u= (u1,u2).

0

y

x

1

1

u= (2,3) 2u= (4,6)

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v= (u1,u2) + (v1,v2) := (u1+v1,u2+v2). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:

(7)

Tính chất

Cho0= (0,0),u,v,wR2,c,d∈R Ta có u+vR2

u+v=v+u

(u+v) +w=u+ (v+w) u+0=u

∃ −uR2: u+ (u) =0 uR2

(8)

Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông

Vec-tơ không gian tọa độ Descartes R3

Một vec-tơ

một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích

Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:

u= (u1,u2,u3).

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v= (u1,u2,u3)+(v1,v2,v3) := (u1+v1,u2+v2,u3+v3). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:

(9)

Tính chất

Cho0= (0,0,0),u,v,wR3,c,d∈R Ta có u+vR3

u+v=v+u

(u+v) +w=u+ (v+w) u+0=u

∃ −uR3: u+ (u) =0 uR3

(10)

Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều

Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

(11)

Định nghĩa không gian vec-tơ

Tập hợp=không gian vec-tơ trênRnếuVđược trang bị

Phép cộng vec-tơ:

+:V×V→V

(u,v)7→u+v,

Phép nhân vec-tơ với vơ hướng:

:R×V→V

(c,u)7→c◦u,

thỏa mãn tiên đề sau:

1 u+v=v+u u,v∈V,

2 (u+v)+w=u+(v+w) u,v,w∈V, 0∈V: u+0=u u∈V, u∈V∃u′∈V: u+u=0,

5 c◦(u+v) =c◦u+c◦v ∀c∈R,u,v∈V, (c+d)u=c◦u+d◦u c,d∈R,u∈V, c◦(d◦u) = (cd)u ∀c,d∈R,u∈V,

(12)

Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Ví dụ

Tập hợp số thực Rlà không gian vec-tơ với phép cộng phép nhân thông thường

Tập hợpRn hàngn-thành phần thực[x1, ,xn] không gian vec-tơ với phép toán

[x1, ,xn]+[y1, ,yn] = [x1+y1, ,xn+yn],

c◦[x1, ,xn] = [cx1, ,cxn] (vớic∈R).

Tập hợpRn cột n-thành phần thực

   x1 xn   

là khơng gian vec-tơ với phép tốn

   x1 xn   +   .y1

yn  =   

x1+y1

xn+yn

 

, c◦    x1 xn   =    cx1 cxn  

(13)

Ví dụ

Tập hợp số thực Rlà không gian vec-tơ với phép cộng phép nhân thông thường

Tập hợpRn hàngn-thành phần thực[x1, ,xn]

là không gian vec-tơ với phép toán

[x1, ,xn]+[y1, ,yn] = [x1+y1, ,xn+yn],

c◦[x1, ,xn] = [cx1, ,cxn] (vớic∈R).

Tập hợpRn cột n-thành phần thực

   x1 xn   

là không gian vec-tơ với phép toán

   x1 xn   +   .y1

yn  =   

x1+y1

xn+yn

 

, c◦    x1 xn   =    cx1 cxn  

(14)

Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Ví dụ

Tập hợp số thực Rlà không gian vec-tơ với phép cộng phép nhân thông thường

Tập hợpRn hàngn-thành phần thực[x1, ,xn]

là không gian vec-tơ với phép toán

[x1, ,xn]+[y1, ,yn] = [x1+y1, ,xn+yn],

c◦[x1, ,xn] = [cx1, ,cxn] (vớic∈R).

Tập hợpRn cột n-thành phần thực

   x1 xn   

là khơng gian vec-tơ với phép tốn

   x1 xn   +   .y1

yn  =   

x1+y1 xn+yn

 

, c◦

   x1 xn   =    cx1 cxn  

(15)

Ví dụ

Tập hợpMm,n ma trận thựcm hàng,n cột

là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (aij)m×n +(bij)m×n= (aij+bij)m×n,

c◦(aij)m×n= (caij)m×n (vớic∈R).

Tập hợpC[a,b]các hàm thực liên tục [a, b]

là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:

(f+g)(x) =f(x) +g(x),

(16)

Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa khơng gian vec-tơ tổng qt

Ví dụ

Tập hợpMm,n ma trận thựcm hàng,n cột

là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (aij)m×n +(bij)m×n= (aij+bij)m×n,

c◦(aij)m×n= (caij)m×n (vớic∈R).

Tập hợpC[a,b]các hàm thực liên tục [a, b]

là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (f+g)(x) =f(x) +g(x),

(17)

Ví dụ

Tập hợpPn(x) đa thức

theo ẩnx,

với hệ số thực,

có bậc KHƠNG Qn

là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (anxn+ .+a0)+(bnxn+ .+b0) = (an+bn)xn+ .+ (a0+b0),

c◦(anxn+ .+a0) =canxn+ .+ca0 (vớic∈R).

Chú ý:

Khẳng định không đặt điều kiện

“đa thức có bậc xác bằngn

Khẳng định bỏ điều kiện

“đa thức có bậc≤n

(18)

Khái niệm khơng gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Ví dụ

Cho (V,+),(W,+) khơng gian vec-tơ Tập hợp V×W:={(v,w) |v∈V,w∈W}

là khơng gian vec-tơ với phép toán (v,w)+(v′,w′) = (v+v′,w+w′),

(19)

Một số tính chất

Cho(V,+,)là khơng gian vec-tơ Ta có:

Phần tử0∈V

Với u∈V, tồn phần tửu′∈Vthỏa mãn

u+u =0.

Phần tửu ký hiệu làu

0u=0với mọiu∈V

c◦0=0 với mọic∈R

c◦u=0 = c=0 u=0

(−c)u=c◦(u) =(c◦u)với mọic∈R,u∈V

( m

i=1 ci

)

 ∑n

j=1

uj  =

m

i=1

n

j=1

(20)

Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính hệ sinh

Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều

Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

Ngày đăng: 08/03/2021, 17:36

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w