Đang tải... (xem toàn văn)
Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [ x 1 ,.[r]
(1)Không gian vec-tơ
(2)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả khơng gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(3)Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(4)Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông
Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u= (u1,u2).
0
y
x
1
1
u= (2,3)
Phép cộng hai vec-tơ:
u+v= (u1,u2) + (v1,v2) := (u1+v1,u2+v2). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:
(5)Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u= (u1,u2).
0 y
x
2
1
u= (2,3)
v= (3,1)
u+v= (5,4)
Phép cộng hai vec-tơ:
u+v= (u1,u2) + (v1,v2) := (u1+v1,u2+v2).
Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:
(6)Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông
Vec-tơ mặt phẳng tọa độ Descartes R2
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u= (u1,u2).
0
y
x
1
1
u= (2,3) 2u= (4,6)
Phép cộng hai vec-tơ:
u+v= (u1,u2) + (v1,v2) := (u1+v1,u2+v2). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:
(7)Tính chất
Cho0= (0,0),u,v,w∈R2,c,d∈R Ta có u+v∈R2
u+v=v+u
(u+v) +w=u+ (v+w) u+0=u
∃ −u∈R2: u+ (−u) =0 c·u∈R2
(8)Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông
Vec-tơ không gian tọa độ Descartes R3
Một vec-tơ
một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới điểm đích
Mỗi vec-tơ biểu diễn tọa độ điểm đích:
u= (u1,u2,u3).
Phép cộng hai vec-tơ:
u+v= (u1,u2,u3)+(v1,v2,v3) := (u1+v1,u2+v2,u3+v3). Phép nhân vec-tơ với vô hướng c∈R:
(9)Tính chất
Cho0= (0,0,0),u,v,w∈R3,c,d∈R Ta có u+v∈R3
u+v=v+u
(u+v) +w=u+ (v+w) u+0=u
∃ −u∈R3: u+ (−u) =0 c·u∈R3
(10)Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết
(11)Định nghĩa không gian vec-tơ
Tập hợpV̸=∅ làkhông gian vec-tơ trênRnếuVđược trang bị
Phép cộng vec-tơ:
+:V×V→V
(u,v)7→u+v,
Phép nhân vec-tơ với vơ hướng:
◦:R×V→V
(c,u)7→c◦u,
thỏa mãn tiên đề sau:
1 u+v=v+u ∀ u,v∈V,
2 (u+v)+w=u+(v+w) ∀ u,v,w∈V, ∃0∈V: u+0=u ∀ u∈V, ∀u∈V∃u′∈V: u+u′=0,
5 c◦(u+v) =c◦u+c◦v ∀c∈R,u,v∈V, (c+d)◦u=c◦u+d◦u ∀ c,d∈R,u∈V, c◦(d◦u) = (cd)◦u ∀c,d∈R,u∈V,
(12)Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Ví dụ
Tập hợp số thực Rlà không gian vec-tơ với phép cộng phép nhân thông thường
Tập hợpRn hàngn-thành phần thực[x1, ,xn] không gian vec-tơ với phép toán
[x1, ,xn]+[y1, ,yn] = [x1+y1, ,xn+yn],
c◦[x1, ,xn] = [cx1, ,cxn] (vớic∈R).
Tập hợpRn cột n-thành phần thực
x1 xn
là khơng gian vec-tơ với phép tốn
x1 xn + .y1
yn =
x1+y1
xn+yn
, c◦ x1 xn = cx1 cxn
(13)Ví dụ
Tập hợp số thực Rlà không gian vec-tơ với phép cộng phép nhân thông thường
Tập hợpRn hàngn-thành phần thực[x1, ,xn]
là không gian vec-tơ với phép toán
[x1, ,xn]+[y1, ,yn] = [x1+y1, ,xn+yn],
c◦[x1, ,xn] = [cx1, ,cxn] (vớic∈R).
Tập hợpRn cột n-thành phần thực
x1 xn
là không gian vec-tơ với phép toán
x1 xn + .y1
yn =
x1+y1
xn+yn
, c◦ x1 xn = cx1 cxn
(14)Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Ví dụ
Tập hợp số thực Rlà không gian vec-tơ với phép cộng phép nhân thông thường
Tập hợpRn hàngn-thành phần thực[x1, ,xn]
là không gian vec-tơ với phép toán
[x1, ,xn]+[y1, ,yn] = [x1+y1, ,xn+yn],
c◦[x1, ,xn] = [cx1, ,cxn] (vớic∈R).
Tập hợpRn cột n-thành phần thực
x1 xn
là khơng gian vec-tơ với phép tốn
x1 xn + .y1
yn =
x1+y1 xn+yn
, c◦
x1 xn = cx1 cxn
(15)Ví dụ
Tập hợpMm,n ma trận thựcm hàng,n cột
là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (aij)m×n +(bij)m×n= (aij+bij)m×n,
c◦(aij)m×n= (caij)m×n (vớic∈R).
Tập hợpC[a,b]các hàm thực liên tục [a, b]
là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường:
(f+g)(x) =f(x) +g(x),
(16)Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa khơng gian vec-tơ tổng qt
Ví dụ
Tập hợpMm,n ma trận thựcm hàng,n cột
là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (aij)m×n +(bij)m×n= (aij+bij)m×n,
c◦(aij)m×n= (caij)m×n (vớic∈R).
Tập hợpC[a,b]các hàm thực liên tục [a, b]
là không gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (f+g)(x) =f(x) +g(x),
(17)Ví dụ
Tập hợpPn(x) đa thức
theo ẩnx,
với hệ số thực,
có bậc KHƠNG Qn
là khơng gian vec-tơ với phép tốn thơng thường: (anxn+ .+a0)+(bnxn+ .+b0) = (an+bn)xn+ .+ (a0+b0),
c◦(anxn+ .+a0) =canxn+ .+ca0 (vớic∈R).
Chú ý:
Khẳng định không đặt điều kiện
“đa thức có bậc xác bằngn”
Khẳng định bỏ điều kiện
“đa thức có bậc≤n”
(18)Khái niệm khơng gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Ví dụ
Cho (V,+,·),(W,+,·) khơng gian vec-tơ Tập hợp V×W:={(v,w) |v∈V,w∈W}
là khơng gian vec-tơ với phép toán (v,w)+(v′,w′) = (v+v′,w+w′),
(19)Một số tính chất
Cho(V,+,◦)là khơng gian vec-tơ Ta có:
Phần tử0∈Vlà
Với u∈V, tồn phần tửu′∈Vthỏa mãn
u+u′ =0.
Phần tửu′ ký hiệu là−u
0◦u=0với mọiu∈V
c◦0=0 với mọic∈R
c◦u=0 =⇒ c=0 u=0
(−c)◦u=c◦(−u) =−(c◦u)với mọic∈R,u∈V
( m ∑
i=1 ci
) ◦
∑n
j=1
uj =
m ∑
i=1
n ∑
j=1
(20)Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ
Nội dung
1 Khái niệm không gian vec-tơ
Không gian vec-tơ phổ thông
Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát
Không gian vec-tơ
2 Mô tả không gian vec-tơ
Tổ hợp tuyến tính hệ sinh
Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều
Tọa độ vec-tơ ma trận chuyển sở
3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận
Không gian hàng, không gian cột, hạng ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết