Bài giảng Đại Số Tuyến Tính dạng không gian vecto

Bài giảng Đại Số Tuyến Tính dạng không gian vecto

¤i sè, gi£i t½ch v  ùng döng

Nguy¹n Thà Nhung

Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long

Ng y 15 th¡ng 12 n«m 2011

Ch֓ng II

Khæng gian v²c tì v  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh

Ch֓ng 2

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

H¤ng cõa h» v²c tì

Tåa ë cõa mët h» v²c tì

nh x¤ tuy¸n t½nh

Ch֓ng 2

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

Ch֓ng 2

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

H¤ng cõa h» v²c tì

Tåa ë cõa mët h» v²c tì

nh x¤ tuy¸n t½nh

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Nëi dung tr¼nh b y

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Cho V l  mët tªp hñp kh¡c réng vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l : α, β, γ

Ta x²t còng vîi V tªp hñp sè thüc R vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l 

a, b, c, x, y, z Tr¶n V ta câ hai ph²p to¡n sau:

Ph²p cëng hai ph¦n tû cõa V :

:V  V Ñ V

pα, βq ÞÑ α βPh²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Cho V l  mët tªp hñp kh¡c réng vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l : α, β, γ

Ta x²t còng vîi V tªp hñp sè thüc R vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l 

a, b, c, x, y, z Tr¶n V ta câ hai ph²p to¡n sau:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Cho V l  mët tªp hñp kh¡c réng vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l : α, β, γ

Ta x²t còng vîi V tªp hñp sè thüc R vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l 

a, b, c, x, y, z Tr¶n V ta câ hai ph²p to¡n sau:

Ph²p cëng hai ph¦n tû cõa V :

:V  V Ñ V

pα, βq ÞÑ α β

Ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

4 α β β α, @ α, β P V ,

5 x.pα βq  x.α x.β, @ α, β P V , @x P R ,

6 px yq.α  x.α y.α, @ α P V , @x, y P R ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

4 α β β α, @ α, β P V ,

5 x.pα βq  x.α x.β, @ α, β P V , @x P R ,

6 px yq.α  x.α y.α, @ α P V , @x, y P R ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

4 α β β α, @ α, β P V ,

5 x.pα βq  x.α x.β, @ α, β P V , @x P R ,

6 px yq.α  x.α y.α, @ α P V , @x, y P R ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

4 α β β α, @ α, β P V ,

5 x.pα βq  x.α x.β, @ α, β P V , @x P R ,

6 px yq.α  x.α y.α, @ α P V , @x, y P R ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì

ành ngh¾a

Khi â V ÷ñc gåi l  mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²pto¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:

1 pα βq γ  α pβ γq, @ α, β, γ P V ,

2 Tçn t¤i vectì θ sao cho θ α  α θ  α, @ α P V ,

3 Vîi méi α câ mët ph¦n tû α1 sao cho α α1  α1 α θ,

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Chó þ:

C¡c ph¦n tû cõa V ÷ñc gåi l  c¡c vectì, c¡c sè thüc trong R ÷ñcgåi l  c¡c væ h÷îng Ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc

÷ñc cán ÷ñc gåi l  ph²p nh¥n væ h÷îng

Ph¦n tû θ trong ti¶n · thù 2 ÷ñc gåi l  vectì khæng , α1 trong ti¶n

· thù 3 ÷ñc gåi l  ph¦n tû èi cõa α v  ÷ñc kþ hi»u l  p
αq Tas³ vi¸t α p
βq l  α
β v  gåi l  hi»u cõa hai vectì α, β

C¥u häi: N¶u c¡ch kiºm tra pV , , q l  mët khæng gian v²c tì v 

pV , , q khæng l  khæng gian v²c tì tr¶n R :

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Chó þ:

C¡c ph¦n tû cõa V ÷ñc gåi l  c¡c vectì, c¡c sè thüc trong R ÷ñcgåi l  c¡c væ h÷îng Ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc

÷ñc cán ÷ñc gåi l  ph²p nh¥n væ h÷îng

Ph¦n tû θ trong ti¶n · thù 2 ÷ñc gåi l  vectì khæng , α1 trong ti¶n

· thù 3 ÷ñc gåi l  ph¦n tû èi cõa α v  ÷ñc kþ hi»u l  p
αq Tas³ vi¸t α p
βq l  α
β v  gåi l  hi»u cõa hai vectì α, β

C¥u häi: N¶u c¡ch kiºm tra pV , , q l  mët khæng gian v²c tì v 

pV , , q khæng l  khæng gian v²c tì tr¶n R :

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Chó þ:

C¡c ph¦n tû cõa V ÷ñc gåi l  c¡c vectì, c¡c sè thüc trong R ÷ñcgåi l  c¡c væ h÷îng Ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc

÷ñc cán ÷ñc gåi l  ph²p nh¥n væ h÷îng

Ph¦n tû θ trong ti¶n · thù 2 ÷ñc gåi l  vectì khæng , α1 trong ti¶n

· thù 3 ÷ñc gåi l  ph¦n tû èi cõa α v  ÷ñc kþ hi»u l  p
αq Tas³ vi¸t α p
βq l  α
β v  gåi l  hi»u cõa hai vectì α, β

C¥u häi: N¶u c¡ch kiºm tra pV , , q l  mët khæng gian v²c tì v 

pV , , q khæng l  khæng gian v²c tì tr¶n R :

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

V½ dö v· khæng gian v²c tì

X²t tªp hñp sè thüc R Kþ hi»u Rn l  t½ch Descartes cõa n b£n R :

Rn tpa1,a2, ,anq | ai P R , i  1, nu

Vîi α  pa1,a2, ,anq, β  pb1,b2, ,bnq l  hai ph¦n tû tòy þ thuëc Rn

v  x l  mët ph¦n tû tòy þ thuëc R , ta ành ngh¾a ành ngh¾a ph²p cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n Rn nh÷ sau:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

V½ dö v· khæng gian v²c tì

X²t tªp hñp sè thüc R Kþ hi»u Rn l  t½ch Descartes cõa n b£n R :

Rn tpa1,a2, ,anq | ai P R , i  1, nu

Vîi α  pa1,a2, ,anq, β  pb1,b2, ,bnq l  hai ph¦n tû tòy þ thuëc Rn

v  x l  mët ph¦n tû tòy þ thuëc R , ta ành ngh¾a ành ngh¾a ph²p cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n Rn nh÷ sau:

α β pa1,a2, ,anq pb1,b2, ,bnq  pa1 b1,a2 b2, ,an bnq,

xα  xpa1,a2, ,anq  pxa1,xa2, ,xanq

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

V½ dö v· khæng gian v²c tì

X²t tªp hñp sè thüc R Kþ hi»u Rn l  t½ch Descartes cõa n b£n R :

Rn tpa1,a2, ,anq | ai P R , i  1, nu

Vîi α  pa1,a2, ,anq, β  pb1,b2, ,bnq l  hai ph¦n tû tòy þ thuëc Rn

v  x l  mët ph¦n tû tòy þ thuëc R , ta ành ngh¾a ành ngh¾a ph²p cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n Rn nh÷ sau:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

V½ dö v· khæng gian v²c tì

X²t tªp hñp sè thüc R Kþ hi»u Rn l  t½ch Descartes cõa n b£n R :

Rn tpa1,a2, ,anq | ai P R , i  1, nu

Vîi α  pa1,a2, ,anq, β  pb1,b2, ,bnq l  hai ph¦n tû tòy þ thuëc Rn

v  x l  mët ph¦n tû tòy þ thuëc R , ta ành ngh¾a ành ngh¾a ph²p cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n Rn nh÷ sau:

α β pa1,a2, ,anq pb1,b2, ,bnq  pa1 b1,a2 b2, ,an bnq,

xα  xpa1,a2, ,anq  pxa1,xa2, ,xanq

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

V½ dö v· khæng gian v²c tì

X²t tªp hñp sè thüc R Kþ hi»u Rn l  t½ch Descartes cõa n b£n R :

Rn tpa1,a2, ,anq | ai P R , i  1, nu

Vîi α  pa1,a2, ,anq, β  pb1,b2, ,bnq l  hai ph¦n tû tòy þ thuëc Rn

v  x l  mët ph¦n tû tòy þ thuëc R , ta ành ngh¾a ành ngh¾a ph²p cëng v nh¥n væ h÷îng tr¶n Rn nh÷ sau:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

V½ dö v· khæng gian v²c tì

X²t tªp hñp Mmn c¡c ma trªn c§p m  n tr¶n tªp sè thüc Khi â Mmn

còng vîi ph²p cëng hai ma trªn v  nh¥n ma trªn vîi mët sè l  mët khænggian v²c tì tr¶n tªp sè thüc

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Nëi dung tr¼nh b y

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

Nëi dung tr¼nh b y

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a

Gi£ sû V l  mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñcgåi l  khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì Vn¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tìthüc

ành l½

Gi£ sû V l  mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V l khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa V n¸u hai i·u ki»n sau

÷ñc thäa m¢n:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a

Gi£ sû V l  mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñcgåi l  khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì Vn¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tìthüc

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a

Gi£ sû V l  mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñcgåi l  khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì Vn¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tìthüc

ành l½

Gi£ sû V l  mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V l khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa V n¸u hai i·u ki»n sau

÷ñc thäa m¢n:

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a khæng gian v²c tì con

ành ngh¾a

Gi£ sû V l  mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñcgåi l  khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì Vn¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tìthüc

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

Kiºm tra mët tªp l  khæng gian v²c tì con

C¥u häi: N¶u c¡ch kiºm tra mët tªp con W l  khæng gian v²c tì con v khæng l  khæng gian v²c tì con cõa khæng gian v²c tì V :

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Tê hñp tuy¸n t½nh

Nëi dung tr¼nh b y

1 Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì

Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì

Khæng gian v²c tì con

2 Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Tê hñp tuy¸n t½nh

H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v  phö thuëc tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì

Mët sè ành l½ trong khæng gian v²c tì n-chi·u

H¤ng cõa h» v²c tì

Tåa ë cõa mët h» v²c tì

3 nh x¤ tuy¸n t½nh

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Tê hñp tuy¸n t½nh

Kh¡i ni»m v· biºu thà tuy¸n t½nh

V²c tì α ÷ñc gåi l  tê hñp tuy¸n t½nh hay α biºu di¹n tuy¸n t½nh cõa

m vectì α1, α2, , αm n¸u tçn t¤i nhúng sè thüc xi, i  1, m saocho

α x1α1 x2α2    xmαmhay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng h» ph÷ìng tr¼nh

α x1α1 x2α2 . xmαm câ nghi»m x1,x2, ,xm

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Tê hñp tuy¸n t½nh

Kh¡i ni»m v· biºu thà tuy¸n t½nh

V²c tì α ÷ñc gåi l  tê hñp tuy¸n t½nh hay α biºu di¹n tuy¸n t½nh cõa

m vectì α1, α2, , αm n¸u tçn t¤i nhúng sè thüc xi, i  1, m saocho

Cì sð v  sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Tê hñp tuy¸n t½nh

Kh¡i ni»m v· biºu thà tuy¸n t½nh

V²c tì α ÷ñc gåi l  tê hñp tuy¸n t½nh hay α biºu di¹n tuy¸n t½nh cõa

m vectì α1, α2, , αm n¸u tçn t¤i nhúng sè thüc xi, i  1, m saocho

α x1α1 x2α2    xmαm

hay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng h» ph÷ìng tr¼nh

α x1α1 x2α2 . xmαm câ nghi»m x1,x2, ,xm