Bài tập đại số tuyến tính 2011

Trang 1

Nguyễn Huy Hoàng - Giảng viên Bộ môn Đại số và Xác suất Thống kê

Yêu cầu đối với sinh viên

1 Các bài tập được soạn trong tài liệu này được dùng cho các

sinh viên học môn ĐSTT với thời lượng 2 tín chỉ

2 Các sinh viên tham gia học tại lớp MT2 khóa 51 trong học

kỳ I, năm học 2011-2012 phải thực hiện việc nộp bài tập bốn

lần:

- Lần 1 thực hiện 6 bài: 1, 2, 5, 6, 9, 10 Nộp bài tiết 1 ngày

17/9/2011

- Lần 2 thực hiện 10 bài: 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29,

30 Nộp bài tiết 9 ngày 30/9/2011

- Lần 3 thực hiện 10 bài: 32, 33, 39, 40, 44, 47, 48, 52, 55,

- Lần 4 thực hiện 10 bài: 60, 63, 65, 67, 69, 83, 85, 88, 94,

3 Kiểm tra hai lần:

- Lần 1: Ngày tiết 9 ngày 30/10/2011

- Lần 2: Ngày tiết 9 ngày 14/10/2011

4 Các bài tập được yêu cầu sẽ được sử dụng để tính điểm

chuyên cần cùng với bài kiểm tra

1 Ma trận và định thức

Bài 1 Cho ma trận vuông cấp hai A =2 5

6 15

Hãy tính lũy thừa A100

Bài 2 Cho ma trận vuông cấp hai A = 3 −5

2 −3

Hãy tính lũy thừa A2011

Bài 3 Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai X sao cho

X2= I (I là ma trận đơn vị)

Bài 4 Hãy tìm ma trận vuông cấp hai X sao cho

X2=10 −6

Bài 5 Cho ma trận vuông cấp hai A =2 −1

Hãy tìm tất

cả các ma trận vuông cấp hai X sao cho AX = XA

Bài 6 Tính giá trị của định thức

D =

Bài 9 Cho ma trận vuông cấp ba A =







 Hãy tìm giá trị của x để ma trận B = A4+ 2A3là một ma trận suy biến

Bài 10 Cho các ma trận vuông cấp ba

A =







, B =









Hãy xác định giá trị của det(A2B − 3AB2)

Bài 11 Cho các ma trận vuông cấp ba

A =







, B =









Hãy chứng minh rằng det(A2011B2012− A2012B2011) > 0

Bài 12 Tính nghịch đảo của ma trận

A =









Bài 13 Giải phương trình ma trận







X =









X







=









4 3

3 2

X7 5

3 2

= 1 2

−1 0

Bài 16 Tính hạng của ma trận

A =









Trang 2

Bài 17 Tính hạng của ma trận

A =













Bài 18 Tính hạng của ma trận sau theo x

A =









A =













A =













2 Hệ phương trình

Bài 21 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer





2x1+ 2x2+ 5x3= 21 2x1+ 3x2+ 6x3= 26

x1− 6x2− 9x3= −37

Bài 22 Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss











x1+ 2x2− 2x3+ x4= 3

2x1+ 3x2+ x3− 2x4= 4

3x1+ 5x2− 2x3+ 2x4= 6

6x1+ 10x2− 3x3+ x4= 13

Bài 23 Cho hệ phương trình





2x1+ 3x2− x3= 6 3x1+ x2+ 4x3= 0

λx1+ 4x2+ 3x3= 2 a) Tìm giá trị của λ để hệ có nghiệm duy nhất

b) Giải hệ khi λ = 2

Bài 24 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ











x1+ 2x2− 2x3+ 2x4= 5

2x1+ 3x2+ 3x3− x4= 4

3x1+ 5x2+ 2x3+ x4= 9

6x1+ 10x2+ λx3+ 2x4= 18











x1+ x2+ 2x3= 4 3x1+ x2+ 4x3= 8 5x1− 4x2+ x3= 2 4x1− x2+ 5x3= λ

Xác định λ để hệ trên có nghiệm Giải hệ với λ tìm được











x1+ x2+ x3− x4− x5= 3 2x1+ 3x2− 2x3+ 4x4+ x5= 7 3x1+ 4x2− 2x3+ x4− 2x5= 4 6x1+ 8x2− 3x3+ 4x4− 2x5= λ

Xác định λ để hệ trên có nghiệm Giải hệ với λ tìm được

Bài 27 Giải và biện luận hệ sau theo tham số λ





λx1+ x2+ x3= 1

x1+ λx2+ x3= λ

x1+ x2+ λx3= λ





λx1+ x2+ x3+ x4= 1

x1+ λx2+ x3+ x4= 1

x1+ x2+ λx3+ x4= 1

Bài 29 Cho hệ phương trình thuần nhất





λx1+ 2x2+ 3x3= 0 2x1+ λx2− 3x3= 0 4x1+ 5x2+ 3x3= 0

Hãy tìm λ để hệ có nghiệm không tầm thường Giải hệ với λ tìm được











λx1+ x2+ x3+ x4= 0

x1+ λx2+ x3+ x4= 0

x1+ x2+ λx3+ x4= 0

x1+ x2+ x3+ λx4= 0

3 Không gian tuyến tính Bài 31 Trong không gian tuyến tính R3cho hệ {a1, a2, a3} với

a1= (1, 1, −1), a2= (3, 2, 1), a3= (−1, 1, 3) Chứng minh rằng phần tử x = (7, 7, 3) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}

Bài 32 Trong không gian tuyến tính R3cho hệ {a1, a2, a3} với

a1= (1, 1, −2), a2= (3, −4, 1), a3= (−3, 2, 1) Chứng minh rằng phần tử x = (5, −6, 1) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}

a1= (1, 2, 3), a2= (3, 1, −1), a3= (5, 3, 1) Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính của phần tử x = (2, 3, 4) qua hệ {a1, a2, a3}

a1= (1, 3, −2), a2= (2, −1, 3), a3= (4, −2, 1)

Trang 3

Chứng minh rằng mọi phần tử của không gian tuyến tính R3

đều là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}

Bài 35 Trong không gian tuyến tính R3cho hệ {a1, a2} với

a1= (1, 3, −2), a2= (2, −1, 3)

Chứng minh rằng phần tử x = (x1, x2, x3) trong không gian

tuyến tính R3là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2} khi và

chỉ khi các tọa độ x1, x2, x3thỏa mãn điều kiện

x1− x2− x3= 0

Bài 36 Trong không gian R4cho các hệ véc tơ {a1, a2, a3} và

{b1, b2} trong đó

a1= (1, 1, 1, 1), a2= (2, −1, 1, −1), a3= (1, 2, 1, −2),

b1= (1, 4, 2, 4), b2= (4, 2, 3, −2)

a) Chứng minh rằng hai phần tử b1, b2là các tổ hợp tuyến tính

của hệ {a1, a2, a3}

b) Chứng minh rằng mọi tổ hợp tuyến tính của hệ {b1, b2} đều

là tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}

Bài 37 Trong không gian tuyến tính R3cho M là không gian

con sinh bởi các phần tử

u1= (1, 2, −2), u2= (2, 2, −1)

Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5) Hãy xác định số

thực λ sao cho u − λv ∈ M

u1= (2, 1, −1, 1), u2= (1, 2, 3, −1)

Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1) Hãy xác

định số thực λ sao cho u − λv ∈ M

u1= (1, 1, −1), u2= (1, 2, 3)

Cho các phần tử u = (−2, 2, 1), v = (3, 4, 1) Hãy chỉ ra rằng

không thể có số thực λ sao cho u − λv ∈ M

u1= (1, 2, 1), u2= (3, 2, −1)

Cho các phần tử u = (1, 1, 0), v = (5, 2, −3) Hãy chỉ ra rằng

với mọi số thực λ ta có u − λv ∈ M

u1= (1, 2, −1, 1), u2= (2, 1, 3, 2), u3= (−1, 2, 1, 2)

Hãy xác định số thực λ biết rằng phần tử x = (2, 5, 3, λ) nằm

trong M

Bài 42 Trong không gian R3cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với

a1= (−2, 1, 1), a2= (1, −2, 1), a3= (1, 1, 2)

a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến tính

b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (1, 3, −2) qua hệ {a1, a2, a3}

Bài 43.Trong không gian R4cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} với

a1= (1, 2, −1, 1), a2= (1, −2, 2, 1), a3= (1, 1, −1, 1) a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến tính b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1, a2, a3}

a1= (1, 1, 1), a2= (2, −2, 1), a3= (1, 5, 2) a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ phụ thuộc tuyến tính b) Chứng minh rằng mọi tổ hợp tuyến tính của hai phần tử {a1, a2} cũng là tổ hợp tuyến tính của hai phần tử {a2, a3}

a1= (1, −1, 2, 1), a2= (2, 1, 1, 2), a3= (1, 1, 0, 1) a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ phụ thuộc tuyến tính b) Chứng minh rằng mọi tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3} đều có vô số biểu diễn tuyến tính qua {a1, a2, a3}

a1= (1, −1, −1), a2= (1, 2, 3), a3= (2, 1, λ), trong đó λ là tham số

a) Tìm các giá trị của λ để hệ {a1, a2, a3} là một hệ độc lập tuyến tính

b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần

tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1, a2, a3}

a1= (2, 1, 1, 2), a2= (1, −2, 1, 1), a3= (5, 5, 2, λ), trong đó λ là tham số

a) Tìm các giá trị của λ để hệ {a1, a2, a3} là một hệ phụ thuộc tuyến tính

b) Với λ tìm được hãy tìm biểu diễn tuyến tính của phần tử a3

qua hệ hai phần tử {a1, a2}

a1= (1, 2, 1, 1), a2= (2, 3, 2, 1), a3= (1, 4, −1, 2) a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến tính b) Hãy tìm số thực λ biết rằng phần tử x = (6, 15, 2, λ) là một

tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}

Bài 49 Trong không gian R3

cho hệ véc tơ {a1, a2} với

a1= (1, 1, 3), a2= (3, −2, −1)

a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2} là hệ độc lập tuyến tính b) Hãy tìm số thực λ, µ biết rằng phần tử

u = (λ, −1, µ), v = (1, µ, λ) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {a1, a2}

a1= (1, 1, 1, λ), a2= (2, −2, 1, 3), a3= (−1, 2, 1, −2), trong đó λ là tham số

Trang 4

a) Hãy chỉ ra rằng với mọi giá trị của λ, hệ {a1, a2, a3} luôn

luôn là một hệ độc lập tuyến tính

b) Hãy tìm số thực λ biết rằng phần tử x = (2, 3, 6, 1) là một tổ

hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}

a1= (1, 2, 3), a2= (−2, 3, 2), a3= (2, 1, −1)

a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là một cơ sở của không

gian tuyến tính R3

b) Tìm tọa độ của phần tử x = (5, 0, 0) trong hệ cơ sở

{a1, a2, a3} nói trên

a1= (1, −1, 2), a2= (2, 1, −2), a3= (1, 2, λ),

trong đó λ là tham số

a) Chứng minh rằng với mọi λ 6= −4 hệ {a1, a2, a3} là một cơ

sở của không gian tuyến tính R3

b) Cho λ 6= −4 Hãy chứng minh rằng tọa độ của phần tử

x = (1, −4, 8) trong hệ cơ sở {a1, a2, a3} nói trên không phụ

thuộc vào giá trị được cho của λ

a1= (2, 1, 2), a2= (1, −1, 3), a3= (1, 2, λ),

trong đó λ là tham số

a) Hãy tìm điều kiện đối với λ sao cho hệ {a1, a2, a3} là một

cơ sở của không gian tuyến tính R3

b) Cho λ thỏa mãn điều kiện tìm được của câu a Hãy xác định

tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trong hệ cơ sở {a1, a2, a3} nói

trên theo giá trị được cho của λ

Bài 54 Trong không gian R4cho hệ {a1, a2, a3} với

a1= (1, 1, −2, 1), a2= (2, −1, 1, 1), a3= (1, 2, 2, 1)

a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là một hệ độc lập tuyến

tính

b) Hãy chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} không phải là một cơ

sở của không gian R4

Bài 55 Trong không gian R3cho hệ {a1, a2, a3, a4} với

a1= (−1, 1, 2), a2= (1, 2, 1), a3= (3, 2, 1), a4= (2, 1, 4)

a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3, a4} là một hệ sinh của

không gian R3

b) Hãy chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3, a4} không phải là một

cơ sở của không gian R3

Bài 56 Trong không gian R3cho các tập con M và N như sau

M = {(x1, x2, x3) | x1+ x2− x3= 0},

N = {(x1, x2, x3) | x1+ x2− x3≥ 0}

Hãy cho biết trong các tập con trên, tập con nào là một không

gian con của R3 Ứng với mỗi tập con là không gian con của

R3, hãy xác định một cơ sở và số chiều của nó

Bài 57 Trong không gian tuyến tính R4, không gian con M

được xác định bởi

M = {(x1, x2, x3, x4) | x1− x2− x3+ x4= 0}

Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M

Bài 58 Trong không gian tuyến tính R3, không gian con M sinh bởi các phần tử

a1= (1, 3, 2), a2= (3, −1, 1), a3= (1, 1, 1) Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M

Bài 59 Trong không gian tuyến tính R4, không gian con M sinh bởi các phần tử

a1= (1, −1, 2, −2), a2= (2, −3, 1, 0),

a3= (−1, 2, 3, −4), a4= (2, 2, −3, −1)

Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M

Bài 60 Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và véc tơ x có tọa độ trong cơ sở (a) là x = (1, 2, −3) Hãy tìm tọa độ của véc tơ x trong cơ sở mới (b) = {b1, b2, b3}, biết ma trận chuyển từ cơ sở (a) sang cơ sở (b) là

T =









4 Ánh xạ tuyến tính Bài 61 Cho ánh xạ f : R3−→ R3xác định bởi công thức

f (x) = (x1+ 2x2− x3, x1− x2+ 2x3, 2x1− x2− x3) với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính

b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3

Bài 62 Cho ánh xạ f : R4−→ R3

xác định bởi công thức

f (x) = (2x1− x2− x3+ x4, x1+ x2− 2x3+ x4, x1− x3+ x4) với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên các cơ sở chính tắc của R3

và R4

Bài 63 Cho ánh xạ f : R3−→ R3xác định bởi công thức

f (x) = (3x1− 2x2+ x3, x1+ x2+ x3, x1− x3+ α) với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3(α là tham số)

a) Hãy xác định α để ánh xạ f là một ánh xạ tuyến tính b) Với α tìm được hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3

Bài 64 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3

−→ R3xác định bởi công thức

f (x) = (2x1− x2+ 2x3, x1+ 2x2− x3, 3x1+ 4x2− x3) với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 b) Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở mới {a1, a2, a3} của R3

với

a1= (2, 1, −1), a2= (1, −2, 3), a3= (3, 2, 1)

f (x) = (2x1+ x2− 3x3, 3x1− 2x2− x3, x1+ 3x2− αx3)

Trang 5

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3(α là tham số).

b) Xác định Kerf tùy theo giá trị của α

f (x) = (x1+ x2− x4, 3x1− 2x2+ x3, x1+ x3− 2x4)

với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

b) Xác định Kerf

Bài 67 Cho ánh xạ f : R4−→ R2

f (x) = (x1+ x2+ x3− x4, 2x1+ x2− x3− 2x4)

với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4

b) Xác định một cơ sở và số chiều của Kerf

Bài 68 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3

f (x) = (x1+ 2x2− x3, 2x1+ x2+ x3, 4x1+ 5x2− x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3

b) Hãy chứng minh rằng phần tử u = (α, β, γ) ∈ R3 là một

phần tử của Imf khi và chỉ khi

α − β − γ = 0

Bài 69 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3xác định bởi công

thức

f (x) = (2x1− 2x2+ αx3, x1− x2+ 3x3, 4x1− 4x2− 2x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy chỉ ra rằng tập Kerf không bị phụ thuộc vào giá trị của

α

thức

f (x) = (3x1+ x2+ 2x3, x1+ 3x2+ 2x3, 3x1+ 3x2+ 5x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới {a1, a2, a3}

của R3với

a1= (1, 1, 2), a2= (2, 2, −3), a3= (1, −1, 0)

là một ma trận đường chéo

−→ R3xác định bởi công thức

f (x) = (−3x1+ x2+ 2x3, x1− 3x2+ 2x3, 3x1+ 3x2− 6x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy xác định số chiều của các không gian con Kerf và

Imf

thức

f (x) = (x1+ x2+ αx3, x1− x2+ 2x3, 3x1− 3x2+ 6x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R3 b) Hãy chỉ ra rằng số chiều của các không gian con Kerf và Imf của R3không phụ thuộc vào giá trị của α

c) Hãy xác định Kerf tùy theo giá trị của α

Bài 73 Trong không gian R3cho hai hệ véc tơ {a1, a2.a3} và {b1, b2, b3} với

a1= (1, 1, 3), a2= (2, 1, 1), a3= (1, 2, 3),

b1= (1, −1, 2), b2= (−1, 2, 4), b3= (−2, 3, 2) a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2.a3} là một cơ sở của không gian

R3 b) Chứng minh rằng nếu f : R3 −→ R3là một ánh xạ tuyến tính nào đấy thì với mọi x ∈ R3, phần tử f (x) có biểu diễn qua

hệ {f (a1), f (a2), f (a3)}

c) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

f : R3−→ R3sao cho f (a1) = b1, f (a2) = b2, f (a3) = b3

a1= (2, −1, 3), a2= (−2, 1, 1), a3= (1, 2, −1),

b1= (2, −1, 2), b2= (1, −2, 3), b3= (3, 3, 1) Hãy lập ma trận của ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3trên cơ

sở chính tắc của không gian này biết rằng f là ánh xạ thỏa mãn điều kiện f (a1) = b1, f (a2) = b2, f (a3) = b3

a1= (2, −1, 1), a2= (3, 1, 2), a3= (1, 2, 1),

b1= (1, 1, 2), b2= (1, 2, 1), b3= (2, 1, 1)

Hãy chỉ ra rằng không thể tồn tại một ánh xạ tuyến tính f :

R3−→ R3

sao cho f (a1) = b1, f (a2) = b2, f (a3) = b3

Bài 76 Trong không gian R3 cho các phần tử u1, u2 và u, v như sau

u1= (1, −1, 2), u2= (3, 1, −1),

u = (1, 3, 7), v = (2, 2, 1)

Cho f : R3 −→ R3là một ánh xạ tuyến tính sao cho u1, u2∈ Kerf Hãy chứng minh rằng f (u) = 3f (v)

Bài 77 Trong không gian R3cho các phần tử u1, u2, u3và u như sau

u1= (2, −1, 1), u2= (1, 2, −1),

u3= (2, −1, −3), u = (1, 2, 3)

Cho f : R3−→ R3là một ánh xạ tuyến tính sao cho u ∈ Kerf

và f (u2) = 2f (u1) Hãy chứng minh rằng f (u3) = 3f (u1)

Bài 78 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3xác định bởi công thức

f (x) = (x1+ 2x2+ 2x3, −x1− 2x2+ αx3, 3x1+ 6x2− 4x3) với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Hãy chỉ ra rằng với mọi giá trị của α ta luôn có u = (1, 2, 3) 6∈ Imf

Bài 79 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3−→ R3

f (x) = (2x1− 2x2+ x3, −x1+ x2+ x3, 3x1− 3x2+ αx3)

Trang 6

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Hãy xác định giá trị của α để

u = (2, 4, 3) ∈ Imf

thức

f (x) = (x1+ 2x2+ 3x3, 2x1− x2+ x3, x1+ 3x2+ 4x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy xác định giá trị của α để u = (7, 4, α) ∈ Imf

Bài 81 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau

A =









A =









A =









A =









A =









thức

f (x) = (3x1+ x2+ x3, x1+ 3x2+ x3, −x1+ x2+ x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f

−→ R3

f (x) = (3x1− x2+ 2x3, −x1+ 3x2− 2x3, x1+ x2+ x3)

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f

c) Hãy xây dựng một cơ sở của R3bao gồm ba véc tơ riêng của

f

A =













Bài 89 Cho ma trận

A =









Chứng minh rằng ma trận A không chéo hóa được

A =









Chứng minh rằng ma trận A chéo hóa được

5 Dạng toàn phương Bài 91 Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính

tắc:

f (x, x) = x21+ 2x22− x23+ 2x1x2− 4x1x3+ 2x2x3 với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc

Bài 92 Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính

tắc:

f (x, x) = 3x21− 2x2

2− 4x2

3+ 4x1x2− 2x1x3+ 2x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc

tắc:

f (x, x) = x21+3x22−3x2

3+x24+2x1x2−4x1x3+4x1x4−2x2x3 với mỗi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 Nêu rõ phép biến đổi tọa

độ sang cơ sở mới chính tắc

tắc:

f (x, x) = 2(x1− x2)2− 3(x2− x3)2+ 4(x3− x1)2 với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc

tắc:

f (x, x) = 2x22− 3x2

3+ 2x1x2− 4x1x3

tắc:

f (x, x) = 2x1x2− 4x1x3+ 6x2x3

tắc:

f (x, x) = x1x2− 3x1x3+ 2x2x3+ 2x2x4 với mỗi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 Nêu rõ phép biến đổi tọa

độ sang cơ sở mới chính tắc

Trang 7

Bài 98 Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chuẩn

tắc:

f (x, x) = x21+ 5x22+ 13x23+ 4x1x2− 6x1x3+ 2x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Nêu rõ phép biến đổi tọa độ

sang cơ sở mới chuẩn tắc

Bài 99 Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chuẩn

tắc:

f (x, x) = 3x2− 2x2+ 2x2+ 4x1x2− 3x1x3− x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 Nêu rõ phép biến đổi tọa độ

sang cơ sở mới chuẩn tắc

Bài 100 Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng

chuẩn tắc:

f (x, x) = x21+ x22+ x23+ x24+ 2x1x2− 2x1x3+ 2x3x4

với mỗi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R3 Nêu rõ phép biến đổi tọa

độ sang cơ sở mới chuẩn tắc

Bài 101 Hãy xác định λ để dạng toàn phương được cho dưới

đây là dạng toàn phương xác định dương

f (x, x) = 2x2+ 8x2+ 7x2+ 2λx1x2+ 2x1x3− 4x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

f (x, x) = λx21+ λx22+ 8x23+ 6x1x2+ 2x1x3− 4x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

f (x, x) = λx21+ 6x22+ λx23+ 2x1x2− 4x1x3+ 4x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

f (x, x) = 4x21+ λx22+ λx23+ 2x1x2+ 8x1x3− 6x2x3

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

Bài 105 Trong không gian Euclide R4cho các véc tơ

u1= (1, −1, 1, 2), u2= (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ)

Hãy xác định giá trị của λ và µ để v⊥u1, v⊥u2

Bài 106 Trong không gian Euclide R4cho các véc tơ

u = (1, 3, −2, 2), v1= (1, 3, 2, −1), v2= (0, −1, 1, 1)

Hãy xác định λ, µ sao cho w = u + λv1+ µv2thỏa mãn điều

kiện w⊥v1, w⊥v2

Bài 107 Trong không gian R4hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị

trực giao đồng thời với véc tơ sau:

v1= (1, 2, −2, 0), v2= (3, 2, −1, −2), v3= (1, 1, 1, 1)

Bài 108 Cho M là không gian con của không gian Euclide R4

sinh bởi các véc tơ u = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1) Hãy

tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (1, −2, −2, 1)

Bài 109 Cho M là không gian con của không gian Euclide R5

sinh bởi các véc tơ

u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1)

Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3)

Bài 110 Trong một cơ sở trực chuẩn của R4cho các véc tơ

a1= (1, 1, −3, −1), a2= (2, 1, −1, 2) và b = (2, γ, 1, α) a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1và a2 b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}

Bài 111 Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram-Smide hãy

xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R3từ cơ sở đã cho sau đây:

a1= (2, −1, 2); a2= (4, 1, 1); a3= (−2, 6, −3)

Bài 112 Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram-Smide hãy

xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R4từ cơ sở được cho sau đây:

a1= (1, 0, 1, −1); a2= (0, 2, 2, 2);

a3= (5, −2, 3, 2); a4= (3, 1, 1, 1)

Bài 113 Trong không gian Euclide R3 cho hệ véc tơ {u1, u2, u3} với

u1= (2

7,

3

7,

6

7), u2= (

6

7,

2

7, −

3

7), u3= (

3

7, −

6

7,

2

7) a) Hãy chỉ ra rằng hệ {u1, u2, u3} là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R3

b) Hãy tìm tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trên cơ sở {u1, u2, u3}

Q =







1

3 −2 3

−2

3 −2 3

1 3







Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao

Bài 115 Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q được cho sau đây là ma

trận trực giao:

Q = 1 2













Bài 116 Trong không gian Euclide R4cho các phần tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2= (1, 0, −1, 1) và không gian con

L = {x ∈ R4| < x, a1>= 0, < x, a2>= 0}

a) Tìm một cơ sở của L

Trang 8

b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2và các véc tơ trong

cơ sở của L đã tìm được ở câu a)

Bài 117 Trong không gian Euclide R4 cho M là không gian

con sinh bởi các véc tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5)

Hãy phân tích phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v trong

đó u ∈ M và v = M⊥

Bài 118 Xác định cơ sở trực chuẩn bao gồm các véc tơ riêng

của của các biến đổi tự liên hợp f : R3 −→ R3được cho sau

đây

f (x) = (−x1+ 4x2+ 2x3, 4x1+ 5x2+ 4x3, 2x1+ 4x2− x3)

với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3

Bài 119 Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây bằng ma trận

trực giao

A =









Bài 120 Hãy đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng

phép biến đổi trực giao Tìm phép biến đổi trực giao đó

f (x, x) = 3x21+ 6x22+ 3x23− 4x1x2− 8x1x3− 4x2x3

trong đó x = (x1, x2, x3) ∈ R3

6 Một số bài tập nâng cao

Bài 121 Cho A = (aij)n×n ma trận vuông cấp n Cho biết

rằng nếu thay phần tử a11bởi a11+ 1 thì det(A) được tăng lên

5 đơn vị Chứng minh rằng nếu thay phần tử a11bởi a11+ 3 thì

det(A) được tăng lên 15 đơn vị

Bài 122 Cho A là ma trận vuông thực cấp hai sao cho

det(A + I) > 0 > det(A − I)

Hãy chỉ ra rằng det(A + 5I) > 0

Bài 123 Trong không gian tuyến tính E cho hệ véc tơ độc lập

tuyến tính {u1, u2, u3, u4} M là không gian con sinh bởi hệ

{u1, u2, u3, u4} Lấy u ∈ E sao cho u 6∈ M Hãy chứng minh

rằng hệ {u1, u2, u3, u4, u} cũng là hệ độc lập tuyến tính

Bài 124 Trong không gian tuyến tính E cho hệ {u1, u2, u3}

độc lập tuyến tính Từ hệ được cho ta xây dựng hệ {v1, v2, v3}

như sau

v1= 2u1+3u2−u3, v2= 3u1−u2+u3, v3= u1+4u2−3u3

Hãy chứng minh rằng hệ {v1, v2, v3} cũng là hệ độc lập tuyến

tính

b) Hãy tìm số thực λ biết phần tử x = (2, 3, 6, 1) tổ

hợp tuyến tính hệ {a1, a2, a3}

Bài 51 Trong không gian tuyến tính. .. hệ phụ thuộc tuyến tính b) Chứng minh tổ hợp tuyến tính hai phần tử {a1, a2} tổ hợp tuyến tính hai phần tử {a2, a3}

Bài 45 Trong... a3} hệ phụ thuộc tuyến tính b) Chứng minh tổ hợp tuyến tính hệ {a1, a2, a3} có vơ số biểu diễn tuyến tính qua {a1, a2,

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	174,36 KB