Bài tập đại số tuyến tính 2011
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Nguyễn Huy Hoàng - Giảng viên Bộ môn Đại số và Xác suất Thống kê Yêu cầu đối với sinh viên 1. Các bài tập được soạn trong tài liệu này được dùng cho các sinh viên học môn ĐSTT với thời lượng 2 tín chỉ. 2. Các sinh viên tham gia học tại lớp MT2 khóa 51 trong học kỳ I, năm học 2011-2012 phải thực hiện việc nộp bài tập bốn lần: - Lần 1 thực hiện 6 bài: 1, 2, 5, 6, 9, 10. Nộp bài tiết 1 ngày 17/9/2011. - Lần 2 thực hiện 10 bài: 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30. Nộp bài tiết 9 ngày 30/9/2011. - Lần 3 thực hiện 10 bài: 32, 33, 39, 40, 44, 47, 48, 52, 55, 56. Nộp bài tiết 9 ngày 14/10/2011. - Lần 4 thực hiện 10 bài: 60, 63, 65, 67, 69, 83, 85, 88, 94, 98. Nộp bài tiết 1 ngày 22/10/2011. 3. Kiểm tra hai lần: - Lần 1: Ngày tiết 9 ngày 30/10/2011 - Lần 2: Ngày tiết 9 ngày 14/10/2011 4. Các bài tập được yêu cầu sẽ được sử dụng để tính điểm chuyên cần cùng với bài kiểm tra. 1. Ma trận và định thức Bài 1. Cho ma trận vuông cấp hai A = 2 5 6 15 . Hãy tính lũy thừa A 100 . Bài 2. Cho ma trận vuông cấp hai A = 3 −5 2 −3 . Hãy tính lũy thừa A 2011 . Bài 3. Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai X sao cho X 2 = I (I là ma trận đơn vị). Bài 4. Hãy tìm ma trận vuông cấp hai X sao cho X 2 = 10 −6 9 −5 . Bài 5. Cho ma trận vuông cấp hai A = 2 −1 1 2 . Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai X sao cho AX = XA. Bài 6. Tính giá trị của định thức D = x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x Bài 7. Tính giá trị của định thức D = x 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x x 1 1 1 x Bài 8. Tính giá trị của định thức D = x 1 x 2 1 x x x 1 1 x 2 x x 2 x Bài 9. Cho ma trận vuông cấp ba A = x 0 0 2 x 2 1 2 x . Hãy tìm giá trị của x để ma trận B = A 4 +2A 3 là một ma trận suy biến. Bài 10. Cho các ma trận vuông cấp ba A = 3 5 7 2 3 −2 2 −2 3 , B = 1 4 −5 −2 2 3 4 −1 2 Hãy xác định giá trị của det(A 2 B − 3AB 2 ). Bài 11. Cho các ma trận vuông cấp ba A = −2 4 3 3 1 2 1 2 3 , B = 1 3 −4 1 1 5 2 −3 1 Hãy chứng minh rằng det(A 2011 B 2012 − A 2012 B 2011 ) > 0. Bài 12. Tính nghịch đảo của ma trận A = 2 1 −3 1 3 −2 −1 −2 1 Bài 13. Giải phương trình ma trận 1 −1 4 2 1 −1 1 −2 1 X = 5 1 3 2 2 −2 4 −2 1 Bài 14. Giải phương trình ma trận X 2 1 −2 0 2 1 3 −1 3 = 2 1 0 −2 1 3 1 −2 5 Bài 15. Giải phương trình ma trận 4 3 3 2 X 7 5 3 2 = 1 2 −1 0 Bài 16. Tính hạng của ma trận A = 1 1 2 1 2 1 4 3 3 2 6 4 1 2 Bài tập Đại số tuyến tính - 2 Tín chỉ Bài 17. Tính hạng của ma trận A = 1 −1 3 2 −1 2 2 −1 2 3 1 −2 −2 2 −4 4 −1 0 6 −2 Bài 18. Tính hạng của ma trận sau theo x A = x 2 1 1 x 3 3 3 4 Bài 19. Tính hạng của ma trận sau theo x A = x 1 1 x 1 x x x x x 1 1 x 1 x 1 Bài 20. Tính hạng của ma trận sau theo x A = x 1 x 3 1 x x 3 1 1 3 x x x x x 2. Hệ phương trình Bài 21. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Cramer 2x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 21 2x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 26 x 1 − 6x 2 − 9x 3 = −37 Bài 22. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss x 1 + 2x 2 − 2x 3 + x 4 = 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 − 2x 4 = 4 3x 1 + 5x 2 − 2x 3 + 2x 4 = 6 6x 1 + 10x 2 − 3x 3 + x 4 = 13 Bài 23. Cho hệ phương trình 2x 1 + 3x 2 − x 3 = 6 3x 1 + x 2 + 4x 3 = 0 λx 1 + 4x 2 + 3x 3 = 2 a) Tìm giá trị của λ để hệ có nghiệm duy nhất. b) Giải hệ khi λ = 2. Bài 24. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số λ x 1 + 2x 2 − 2x 3 + 2x 4 = 5 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 − x 4 = 4 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 + x 4 = 9 6x 1 + 10x 2 + λx 3 + 2x 4 = 18 Bài 25. Cho hệ phương trình x 1 + x 2 + 2x 3 = 4 3x 1 + x 2 + 4x 3 = 8 5x 1 − 4x 2 + x 3 = 2 4x 1 − x 2 + 5x 3 = λ Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm được. Bài 26. Cho hệ phương trình x 1 + x 2 + x 3 − x 4 − x 5 = 3 2x 1 + 3x 2 − 2x 3 + 4x 4 + x 5 = 7 3x 1 + 4x 2 − 2x 3 + x 4 − 2x 5 = 4 6x 1 + 8x 2 − 3x 3 + 4x 4 − 2x 5 = λ Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm được. Bài 27. Giải và biện luận hệ sau theo tham số λ λx 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + λx 2 + x 3 = λ x 1 + x 2 + λx 3 = λ Bài 28. Giải và biện luận hệ sau theo tham số λ λx 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + λx 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + λx 3 + x 4 = 1 Bài 29. Cho hệ phương trình thuần nhất λx 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + λx 2 − 3x 3 = 0 4x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 0 Hãy tìm λ để hệ có nghiệm không tầm thường. Giải hệ với λ tìm được. Bài 30. Giải và biện luận hệ sau theo tham số λ λx 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + λx 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + λx 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + λx 4 = 0 3. Không gian tuyến tính Bài 31. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 1, −1), a 2 = (3, 2, 1), a 3 = (−1, 1, 3). Chứng minh rằng phần tử x = (7, 7, 3) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 32. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 1, −2), a 2 = (3, −4, 1), a 3 = (−3, 2, 1). Chứng minh rằng phần tử x = (5, −6, 1) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 33. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 2, 3), a 2 = (3, 1, −1), a 3 = (5, 3, 1). Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính của phần tử x = (2, 3, 4) qua hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 34. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 3, −2), a 2 = (2, −1, 3), a 3 = (4, −2, 1). Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Nguyễn Huy Hoàng - Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 3 Chứng minh rằng mọi phần tử của không gian tuyến tính R 3 đều là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 35. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 } với a 1 = (1, 3, −2), a 2 = (2, −1, 3). Chứng minh rằng phần tử x = (x 1 , x 2 , x 3 ) trong không gian tuyến tính R 3 là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 } khi và chỉ khi các tọa độ x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn điều kiện x 1 − x 2 − x 3 = 0. Bài 36. Trong không gian R 4 cho các hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } và {b 1 , b 2 } trong đó a 1 = (1, 1, 1, 1), a 2 = (2, −1, 1, −1), a 3 = (1, 2, 1, −2), b 1 = (1, 4, 2, 4), b 2 = (4, 2, 3, −2). a) Chứng minh rằng hai phần tử b 1 , b 2 là các tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. b) Chứng minh rằng mọi tổ hợp tuyến tính của hệ {b 1 , b 2 } đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 37. Trong không gian tuyến tính R 3 cho M là không gian con sinh bởi các phần tử u 1 = (1, 2, −2), u 2 = (2, 2, −1). Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5). Hãy xác định số thực λ sao cho u − λv ∈ M. Bài 38. Trong không gian tuyến tính R 4 cho M là không gian con sinh bởi các phần tử u 1 = (2, 1, −1, 1), u 2 = (1, 2, 3, −1). Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1). Hãy xác định số thực λ sao cho u − λv ∈ M. Bài 39. Trong không gian tuyến tính R 3 cho M là không gian con sinh bởi các phần tử u 1 = (1, 1, −1), u 2 = (1, 2, 3). Cho các phần tử u = (−2, 2, 1), v = (3, 4, 1). Hãy chỉ ra rằng không thể có số thực λ sao cho u − λv ∈ M. Bài 40. Trong không gian tuyến tính R 3 cho M là không gian con sinh bởi các phần tử u 1 = (1, 2, 1), u 2 = (3, 2, −1). Cho các phần tử u = (1, 1, 0), v = (5, 2, −3). Hãy chỉ ra rằng với mọi số thực λ ta có u − λv ∈ M. Bài 41. Trong không gian tuyến tính R 4 cho M là không gian con sinh bởi các phần tử u 1 = (1, 2, −1, 1), u 2 = (2, 1, 3, 2), u 3 = (−1, 2, 1, 2). Hãy xác định số thực λ biết rằng phần tử x = (2, 5, 3, λ) nằm trong M. Bài 42. Trong không gian R 3 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (−2, 1, 1), a 2 = (1, −2, 1), a 3 = (1, 1, 2). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là hệ độc lập tuyến tính. b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (1, 3, −2) qua hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 43.Trong không gian R 4 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 2, −1, 1), a 2 = (1, −2, 2, 1), a 3 = (1, 1, −1, 1) a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là hệ độc lập tuyến tính. b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 44. Trong không gian R 3 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 1, 1), a 2 = (2, −2, 1), a 3 = (1, 5, 2). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là hệ phụ thuộc tuyến tính. b) Chứng minh rằng mọi tổ hợp tuyến tính của hai phần tử {a 1 , a 2 } cũng là tổ hợp tuyến tính của hai phần tử {a 2 , a 3 }. Bài 45. Trong không gian R 4 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, −1, 2, 1), a 2 = (2, 1, 1, 2), a 3 = (1, 1, 0, 1). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là hệ phụ thuộc tuyến tính. b) Chứng minh rằng mọi tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 } đều có vô số biểu diễn tuyến tính qua {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 46. Trong không gian R 3 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, −1, −1), a 2 = (1, 2, 3), a 3 = (2, 1, λ), trong đó λ là tham số. a) Tìm các giá trị của λ để hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là một hệ độc lập tuyến tính. b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 47. Trong không gian R 4 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (2, 1, 1, 2), a 2 = (1, −2, 1, 1), a 3 = (5, 5, 2, λ), trong đó λ là tham số. a) Tìm các giá trị của λ để hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là một hệ phụ thuộc tuyến tính. b) Với λ tìm được hãy tìm biểu diễn tuyến tính của phần tử a 3 qua hệ hai phần tử {a 1 , a 2 }. Bài 48. Trong không gian R 4 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 2, 1, 1), a 2 = (2, 3, 2, 1), a 3 = (1, 4, −1, 2) a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy tìm số thực λ biết rằng phần tử x = (6, 15, 2, λ) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 49. Trong không gian R 3 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 } với a 1 = (1, 1, 3), a 2 = (3, −2, −1). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 } là hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy tìm số thực λ, µ biết rằng phần tử u = (λ, −1, µ), v = (1, µ, λ) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 }. Bài 50. Trong không gian R 4 cho hệ véc tơ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 1, 1, λ), a 2 = (2, −2, 1, 3), a 3 = (−1, 2, 1, −2), trong đó λ là tham số. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 4 Bài tập Đại số tuyến tính - 2 Tín chỉ a) Hãy chỉ ra rằng với mọi giá trị của λ, hệ {a 1 , a 2 , a 3 } luôn luôn là một hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy tìm số thực λ biết rằng phần tử x = (2, 3, 6, 1) là một tổ hợp tuyến tính của hệ {a 1 , a 2 , a 3 }. Bài 51. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 2, 3), a 2 = (−2, 3, 2), a 3 = (2, 1, −1). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là một cơ sở của không gian tuyến tính R 3 . b) Tìm tọa độ của phần tử x = (5, 0, 0) trong hệ cơ sở {a 1 , a 2 , a 3 } nói trên. Bài 52. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, −1, 2), a 2 = (2, 1, −2), a 3 = (1, 2, λ), trong đó λ là tham số. a) Chứng minh rằng với mọi λ = −4 hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là một cơ sở của không gian tuyến tính R 3 . b) Cho λ = −4. Hãy chứng minh rằng tọa độ của phần tử x = (1, −4, 8) trong hệ cơ sở {a 1 , a 2 , a 3 } nói trên không phụ thuộc vào giá trị được cho của λ. Bài 53. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (2, 1, 2), a 2 = (1, −1, 3), a 3 = (1, 2, λ), trong đó λ là tham số. a) Hãy tìm điều kiện đối với λ sao cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là một cơ sở của không gian tuyến tính R 3 . b) Cho λ thỏa mãn điều kiện tìm được của câu a. Hãy xác định tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trong hệ cơ sở {a 1 , a 2 , a 3 } nói trên theo giá trị được cho của λ. Bài 54. Trong không gian R 4 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 } với a 1 = (1, 1, −2, 1), a 2 = (2, −1, 1, 1), a 3 = (1, 2, 2, 1). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } là một hệ độc lập tuyến tính. b) Hãy chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 } không phải là một cơ sở của không gian R 4 . Bài 55. Trong không gian R 3 cho hệ {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } với a 1 = (−1, 1, 2), a 2 = (1, 2, 1), a 3 = (3, 2, 1), a 4 = (2, 1, 4). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } là một hệ sinh của không gian R 3 . b) Hãy chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } không phải là một cơ sở của không gian R 3 . Bài 56. Trong không gian R 3 cho các tập con M và N như sau M = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 + x 2 − x 3 = 0}, N = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | x 1 + x 2 − x 3 ≥ 0}. Hãy cho biết trong các tập con trên, tập con nào là một không gian con của R 3 . Ứng với mỗi tập con là không gian con của R 3 , hãy xác định một cơ sở và số chiều của nó. Bài 57. Trong không gian tuyến tính R 4 , không gian con M được xác định bởi M = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0} Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M. Bài 58. Trong không gian tuyến tính R 3 , không gian con M sinh bởi các phần tử a 1 = (1, 3, 2), a 2 = (3, −1, 1), a 3 = (1, 1, 1) Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M. Bài 59. Trong không gian tuyến tính R 4 , không gian con M sinh bởi các phần tử a 1 = (1, −1, 2, −2), a 2 = (2, −3, 1, 0), a 3 = (−1, 2, 3, −4), a 4 = (2, 2, −3, −1). Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M. Bài 60. Trong không gian tuyến tính R 3 cho hệ cơ sở (a) = {a 1 , a 2 , a 3 } và véc tơ x có tọa độ trong cơ sở (a) là x = (1, 2, −3). Hãy tìm tọa độ của véc tơ x trong cơ sở mới (b) = {b 1 , b 2 , b 3 }, biết ma trận chuyển từ cơ sở (a) sang cơ sở (b) là T = 1 −1 2 2 3 1 3 4 −1 4. Ánh xạ tuyến tính Bài 61. Cho ánh xạ f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + 2x 2 − x 3 , x 1 − x 2 + 2x 3 , 2x 1 − x 2 − x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . Bài 62. Cho ánh xạ f : R 4 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (2x 1 −x 2 −x 3 +x 4 , x 1 +x 2 −2x 3 +x 4 , x 1 −x 3 +x 4 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 . a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên các cơ sở chính tắc của R 3 và R 4 . Bài 63. Cho ánh xạ f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (3x 1 − 2x 2 + x 3 , x 1 + x 2 + x 3 , x 1 − x 3 + α) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 (α là tham số). a) Hãy xác định α để ánh xạ f là một ánh xạ tuyến tính. b) Với α tìm được hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . Bài 64. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (2x 1 − x 2 + 2x 3 , x 1 + 2x 2 − x 3 , 3x 1 + 4x 2 − x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở mới {a 1 , a 2 , a 3 } của R 3 với a 1 = (2, 1, −1), a 2 = (1, −2, 3), a 3 = (3, 2, 1) Bài 65. Cho ánh xạ f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (2x 1 + x 2 − 3x 3 , 3x 1 − 2x 2 − x 3 , x 1 + 3x 2 − αx 3 ) Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Nguyễn Huy Hoàng - Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 5 với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 (α là tham số). a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Xác định Kerf tùy theo giá trị của α. Bài 66. Cho ánh xạ f : R 4 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + x 2 − x 4 , 3x 1 − 2x 2 + x 3 , x 1 + x 3 − 2x 4 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 . a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Xác định Kerf . Bài 67. Cho ánh xạ f : R 4 −→ R 2 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + x 2 + x 3 − x 4 , 2x 1 + x 2 − x 3 − 2x 4 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 . a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính. b) Xác định một cơ sở và số chiều của Kerf. Bài 68. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + 2x 2 − x 3 , 2x 1 + x 2 + x 3 , 4x 1 + 5x 2 − x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy chứng minh rằng phần tử u = (α, β, γ) ∈ R 3 là một phần tử của Imf khi và chỉ khi α − β − γ = 0. Bài 69. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (2x 1 − 2x 2 + αx 3 , x 1 − x 2 + 3x 3 , 4x 1 − 4x 2 − 2x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy chỉ ra rằng tập Kerf không bị phụ thuộc vào giá trị của α. Bài 70. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (3x 1 + x 2 + 2x 3 , x 1 + 3x 2 + 2x 3 , 3x 1 + 3x 2 + 5x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới {a 1 , a 2 , a 3 } của R 3 với a 1 = (1, 1, 2), a 2 = (2, 2, −3), a 3 = (1, −1, 0) là một ma trận đường chéo Bài 71. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (−3x 1 + x 2 + 2x 3 , x 1 − 3x 2 + 2x 3 , 3x 1 + 3x 2 − 6x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy xác định số chiều của các không gian con Kerf và Imf. Bài 72. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + x 2 + αx 3 , x 1 − x 2 + 2x 3 , 3x 1 − 3x 2 + 6x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy chỉ ra rằng số chiều của các không gian con Kerf và Imf của R 3 không phụ thuộc vào giá trị của α. c) Hãy xác định Kerf tùy theo giá trị của α. Bài 73. Trong không gian R 3 cho hai hệ véc tơ {a 1 , a 2 .a 3 } và {b 1 , b 2 , b 3 } với a 1 = (1, 1, 3), a 2 = (2, 1, 1), a 3 = (1, 2, 3), b 1 = (1, −1, 2), b 2 = (−1, 2, 4), b 3 = (−2, 3, 2). a) Chứng minh rằng hệ {a 1 , a 2 .a 3 } là một cơ sở của không gian R 3 . b) Chứng minh rằng nếu f : R 3 −→ R 3 là một ánh xạ tuyến tính nào đấy thì với mọi x ∈ R 3 , phần tử f(x) có biểu diễn qua hệ {f(a 1 ), f (a 2 ), f (a 3 )}. c) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 sao cho f(a 1 ) = b 1 , f (a 2 ) = b 2 , f (a 3 ) = b 3 . Bài 74. Trong không gian R 3 cho hai hệ véc tơ {a 1 , a 2 .a 3 } và {b 1 , b 2 , b 3 } với a 1 = (2, −1, 3), a 2 = (−2, 1, 1), a 3 = (1, 2, −1), b 1 = (2, −1, 2), b 2 = (1, −2, 3), b 3 = (3, 3, 1). Hãy lập ma trận của ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 trên cơ sở chính tắc của không gian này biết rằng f là ánh xạ thỏa mãn điều kiện f (a 1 ) = b 1 , f (a 2 ) = b 2 , f (a 3 ) = b 3 . Bài 75. Trong không gian R 3 cho hai hệ véc tơ {a 1 , a 2 .a 3 } và {b 1 , b 2 , b 3 } với a 1 = (2, −1, 1), a 2 = (3, 1, 2), a 3 = (1, 2, 1), b 1 = (1, 1, 2), b 2 = (1, 2, 1), b 3 = (2, 1, 1). Hãy chỉ ra rằng không thể tồn tại một ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 sao cho f(a 1 ) = b 1 , f (a 2 ) = b 2 , f (a 3 ) = b 3 . Bài 76. Trong không gian R 3 cho các phần tử u 1 , u 2 và u, v như sau u 1 = (1, −1, 2), u 2 = (3, 1, −1), u = (1, 3, 7), v = (2, 2, 1). Cho f : R 3 −→ R 3 là một ánh xạ tuyến tính sao cho u 1 , u 2 ∈ Kerf. Hãy chứng minh rằng f(u) = 3f(v). Bài 77. Trong không gian R 3 cho các phần tử u 1 , u 2 , u 3 và u như sau u 1 = (2, −1, 1), u 2 = (1, 2, −1), u 3 = (2, −1, −3), u = (1, 2, 3). Cho f : R 3 −→ R 3 là một ánh xạ tuyến tính sao cho u ∈ Kerf và f(u 2 ) = 2f (u 1 ). Hãy chứng minh rằng f (u 3 ) = 3f (u 1 ). Bài 78. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + 2x 2 + 2x 3 , −x 1 − 2x 2 + αx 3 , 3x 1 + 6x 2 − 4x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Hãy chỉ ra rằng với mọi giá trị của α ta luôn có u = (1, 2, 3) ∈ Imf . Bài 79. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (2x 1 − 2x 2 + x 3 , −x 1 + x 2 + x 3 , 3x 1 − 3x 2 + αx 3 ) Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 6 Bài tập Đại số tuyến tính - 2 Tín chỉ với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Hãy xác định giá trị của α để u = (2, 4, 3) ∈ Imf. Bài 80. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (x 1 + 2x 2 + 3x 3 , 2x 1 − x 2 + x 3 , x 1 + 3x 2 + 4x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy xác định giá trị của α để u = (7, 4, α) ∈ Imf. Bài 81. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 2 1 2 1 2 2 3 3 7 Bài 82. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 2 −1 1 1 0 1 3 −1 2 Bài 83. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 3 1 2 1 3 2 1 1 0 Bài 84. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 1 2 2 2 1 2 2 2 1 Bài 85. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 3 1 2 1 3 2 1 2 3 Bài 86. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (3x 1 + x 2 + x 3 , x 1 + 3x 2 + x 3 , −x 1 + x 2 + x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f. Bài 87. Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 −→ R 3 xác định bởi công thức f(x) = (3x 1 − x 2 + 2x 3 , −x 1 + 3x 2 − 2x 3 , x 1 + x 2 + x 3 ) với mọi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc của R 3 . b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ f. c) Hãy xây dựng một cơ sở của R 3 bao gồm ba véc tơ riêng của f. Bài 88. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận sau A = 2 1 2 4 0 −2 2 3 0 0 3 1 0 0 0 −3 Bài 89. Cho ma trận A = 2 2 3 1 3 3 −1 1 1 Chứng minh rằng ma trận A không chéo hóa được Bài 90. Cho ma trận A = 3 −1 2 −2 2 −2 2 −1 3 Chứng minh rằng ma trận A chéo hóa được. 5. Dạng toàn phương Bài 91. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = x 2 1 + 2x 2 2 − x 2 3 + 2x 1 x 2 − 4x 1 x 3 + 2x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Bài 92. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = 3x 2 1 − 2x 2 2 − 4x 2 3 + 4x 1 x 2 − 2x 1 x 3 + 2x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Bài 93. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = x 2 1 +3x 2 2 −3x 2 3 +x 2 4 +2x 1 x 2 −4x 1 x 3 +4x 1 x 4 −2x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Bài 94. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = 2(x 1 − x 2 ) 2 − 3(x 2 − x 3 ) 2 + 4(x 3 − x 1 ) 2 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Bài 95. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = 2x 2 2 − 3x 2 3 + 2x 1 x 2 − 4x 1 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Bài 96. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = 2x 1 x 2 − 4x 1 x 3 + 6x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Bài 97. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chính tắc: f(x, x) = x 1 x 2 − 3x 1 x 3 + 2x 2 x 3 + 2x 2 x 4 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 4 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chính tắc. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 Nguyễn Huy Hoàng - Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7 Bài 98. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chuẩn tắc: f(x, x) = x 2 1 + 5x 2 2 + 13x 2 3 + 4x 1 x 2 − 6x 1 x 3 + 2x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chuẩn tắc. Bài 99. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chuẩn tắc: f(x, x) = 3x 2 1 − 2x 2 2 + 2x 2 3 + 4x 1 x 2 − 3x 1 x 3 − x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chuẩn tắc. Bài 100. Đưa dạng toàn phương được cho sau đây về dạng chuẩn tắc: f(x, x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 + 2x 1 x 2 − 2x 1 x 3 + 2x 3 x 4 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ R 3 . Nêu rõ phép biến đổi tọa độ sang cơ sở mới chuẩn tắc. Bài 101. Hãy xác định λ để dạng toàn phương được cho dưới đây là dạng toàn phương xác định dương f(x, x) = 2x 2 1 + 8x 2 2 + 7x 2 3 + 2λx 1 x 2 + 2x 1 x 3 − 4x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Bài 102. Hãy xác định λ để dạng toàn phương được cho dưới đây là dạng toàn phương xác định dương f(x, x) = λx 2 1 + λx 2 2 + 8x 2 3 + 6x 1 x 2 + 2x 1 x 3 − 4x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Bài 103. Hãy xác định λ để dạng toàn phương được cho dưới đây là dạng toàn phương xác định dương f(x, x) = λx 2 1 + 6x 2 2 + λx 2 3 + 2x 1 x 2 − 4x 1 x 3 + 4x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Bài 104. Hãy xác định λ để dạng toàn phương được cho dưới đây là dạng toàn phương xác định dương f(x, x) = 4x 2 1 + λx 2 2 + λx 2 3 + 2x 1 x 2 + 8x 1 x 3 − 6x 2 x 3 với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Bài 105. Trong không gian Euclide R 4 cho các véc tơ u 1 = (1, −1, 1, 2), u 2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ) Hãy xác định giá trị của λ và µ để v⊥u 1 , v⊥u 2 . Bài 106. Trong không gian Euclide R 4 cho các véc tơ u = (1, 3, −2, 2), v 1 = (1, 3, 2, −1), v 2 = (0, −1, 1, 1). Hãy xác định λ, µ sao cho w = u + λv 1 + µv 2 thỏa mãn điều kiện w⊥v 1 , w⊥v 2 . Bài 107. Trong không gian R 4 hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: v 1 = (1, 2, −2, 0), v 2 = (3, 2, −1, −2), v 3 = (1, 1, 1, 1). Bài 108. Cho M là không gian con của không gian Euclide R 4 sinh bởi các véc tơ u = (1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1). Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (1, −2, −2, 1). Bài 109. Cho M là không gian con của không gian Euclide R 5 sinh bởi các véc tơ u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1). Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3). Bài 110. Trong một cơ sở trực chuẩn của R 4 cho các véc tơ a 1 = (1, 1, −3, −1), a 2 = (2, 1, −1, 2) và b = (2, γ, 1, α) a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a 1 và a 2 . b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a 1 , a 2 , b}. Bài 111. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá Gram-Smide hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R 3 từ cơ sở đã cho sau đây: a 1 = (2, −1, 2); a 2 = (4, 1, 1); a 3 = (−2, 6, −3). Bài 112. Bằng phương pháp trực chuẩn hóa Gram-Smide hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của không gian R 4 từ cơ sở được cho sau đây: a 1 = (1, 0, 1, −1); a 2 = (0, 2, 2, 2); a 3 = (5, −2, 3, 2); a 4 = (3, 1, 1, 1). Bài 113. Trong không gian Euclide R 3 cho hệ véc tơ {u 1 , u 2 , u 3 } với u 1 = ( 2 7 , 3 7 , 6 7 ), u 2 = ( 6 7 , 2 7 , − 3 7 ), u 3 = ( 3 7 , − 6 7 , 2 7 ) a) Hãy chỉ ra rằng hệ {u 1 , u 2 , u 3 } là một cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide R 3 . b) Hãy tìm tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trên cơ sở {u 1 , u 2 , u 3 }. Bài 114. Cho ma trận Q = 1 3 − 2 3 − 2 3 − 2 3 − 2 3 1 3 x y z . Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao. Bài 115. Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q được cho sau đây là ma trận trực giao: Q = 1 2 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 x y z t Bài 116. Trong không gian Euclide R 4 cho các phần tử a 1 = (1, 1, 0, 1); a 2 = (1, 0, −1, 1) và không gian con L = {x ∈ R 4 | < x, a 1 >= 0, < x, a 2 >= 0} a) Tìm một cơ sở của L. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011 8 Bài tập Đại số tuyến tính - 2 Tín chỉ b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a 1 , a 2 và các véc tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu a). Bài 117. Trong không gian Euclide R 4 cho M là không gian con sinh bởi các véc tơ u 1 = (1, 2, −3, 3); u 2 = (2, 1, −1, 5). Hãy phân tích phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v trong đó u ∈ M và v = M ⊥ . Bài 118. Xác định cơ sở tr ực chuẩn bao gồm các véc tơ riêng của của các biến đổi tự liên hợp f : R 3 −→ R 3 được cho sau đây. f(x) = (−x 1 + 4x 2 + 2x 3 , 4x 1 + 5x 2 + 4x 3 , 2x 1 + 4x 2 − x 3 ) với mỗi x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . Bài 119. Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây bằng ma trận trực giao A = 3 2 4 2 3 4 4 4 9 Bài 120. Hãy đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao. Tìm phép biến đổi trực giao đó. f(x, x) = 3x 2 1 + 6x 2 2 + 3x 2 3 − 4x 1 x 2 − 8x 1 x 3 − 4x 2 x 3 trong đó x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 . 6. Một số bài tập nâng cao Bài 121. Cho A = (a ij ) n×n ma trận vuông cấp n. Cho biết rằng nếu thay phần tử a 11 bởi a 11 + 1 thì det(A) được tăng lên 5 đơn vị. Chứng minh rằng nếu thay phần tử a 11 bởi a 11 + 3 thì det(A) được tăng lên 15 đơn vị. Bài 122. Cho A là ma trận vuông thực cấp hai sao cho det(A + I) > 0 > det(A − I). Hãy chỉ ra rằng det(A + 5I) > 0. Bài 123. Trong không gian tuyến tính E cho hệ véc tơ độc lập tuyến tính {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 }. M là không gian con sinh bởi hệ {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 }. Lấy u ∈ E sao cho u ∈ M. Hãy chứng minh rằng hệ {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u} cũng là hệ độc lập tuyến tính. Bài 124. Trong không gian tuyến tính E cho hệ {u 1 , u 2 , u 3 } độc lập tuyến tính. Từ hệ được cho ta xây dựng hệ {v 1 , v 2 , v 3 } như sau v 1 = 2u 1 +3u 2 −u 3 , v 2 = 3u 1 −u 2 +u 3 , v 3 = u 1 +4u 2 −3u 3 Hãy chứng minh rằng hệ {v 1 , v 2 , v 3 } cũng là hệ độc lập tuyến tính. Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011Đại học Giao thông Vận tải Tháng 8 năm 2011