Về tích tenxơ của các không gian babach

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN ĐINH BÍCH HẢO VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC VINH - 2010 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN BANACH TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN Cán bộ hướng dẫn: Ths. Kiều Phương Chi Sinh viên thực hiện: Đinh Bích Hảo Lớp: 47A – Toán VINH - 2010 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Tích tenxơ của các không gian véctơ là phép toán quan trọng của toán học. Các kết quả của phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành toán học khác nhau như giải tích, đại số và hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong một số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết, hoá học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa là công cụ, vừa là một đối tượng nghiên cứu của một số chuyên ngành toán học. Trong Toán giải tích, các vấn đề về trang bị 1 tôpô đối với không gian tích tenxơ, và nghiên cứu cấu trúc giải tích của chúng đã được thực hiện trên không gian tuyến tính tôpô, không gian lồi địa phương (xem[1], [3]). Từ đó, người ta thu được các ứng dụng trong Lý thuyết toán tử, Giải tích phức,… Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp đại học, chúng tôi lựa chọn trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về tích tenxơ của hai không gian Banach thông qua đề tài: Về tích tenxơ của các không gian Banach. Dựa vào tài liệu [4], chúng tôi trình bày 2 phương pháp trang bị chuẩn đối với tích tenxơ của hai không gian Banach và nghiên cứu một số ví dụ, tính chất của các không gian đó. Với nội dung đó khoá luận được viết thành 2 chương: Chương 1. Tích tenxơ của các không gian vectơ. Chương 2. Tích tenxơ của các không gian Banach. Khóa luận được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn chu đáo và nhiệt tình của Ths. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Kiều Phương Chi, các thầy cô giáo trong khoa Toán, tập thể lớp 47A, bạn bè và người thân, đặc biệt là gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa luận. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót về nội dung và hình thức. Tác giả rất mong sẽ nhận được những lời chỉ bảo quý báu của thầy cô giáo và sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận hoàn thiện hơn. 2 Vinh, ngày 08 tháng 05 năm 2010 Đinh Bích Hảo Chương 1: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ Chương này trình bày một số kết quả về không gian véctơ, không gian Banach cần dùng về sau và tích tenxơ của các không gian véctơ. 1.1. Không gian véctơ 1.1.1. Định nghĩa. Tập hợp V ≠ ∅ cùng với phép cộng véctơ: V V V× → ( ) ;x y x y+a và phép nhân vô hướng: V V× →K ( ) ; x x α α a 3 được gọi là không gian véctơ trên trường K nếu với mọi , ,x y z V∈ và , α β ∈K các điều kiện sau đây thỏa mãn: ( ) ( ) ) ) i x y z x y z ii x y y x + + = + + + = + )iii Tồn tại véctơ không, có tính chất 0 0x x x+ = + = iv) Tồn tại vectơ x− , gọi là véctơ đối của x , sao cho ( ) ( ) 0x x x x− + = + − = ( ) ( ) )v x x αβ α β = ( ) )vi x x x α β α β + = + ( ) )vii x y x y α α α + = + ) 1.viii x x= Ta gọi phần tử của V là véctơ, phần tử của K là phần tử vô hướng. 1.1.2. Ví dụ. 1) Cho K là một trường. Khi đó { } n 1 ( , ., ) : n i x x x x= = ∈K K là không gian véctơ với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thông thường. 2) Tập tất cả các đa thức một biến [ ] xK với phép cộng đa thức thông thường và phép nhân đa thức với phần tử của trường là một không gian véctơ. 3) Không gian 1 1 ( ) : n n n l x x x +∞ =   = = ⊂ < +∞     ∑ K với phép toán cộng ( ) ( ) ( ) , , n n n n x y x y x x y y+ = + ∀ = = và phép nhân với vô hướng ( ) ( ) , , n n x x x x λ λ λ = ∀ ∈ ∀ =K là một không gian véctơ. 1.1.3. Định nghĩa. Cho X là không gian véctơ trên trường K . Một tập con hữu hạn { } 1 2 , , ., n M x x x X= ⊂ gọi là độc lập tuyến tính nếu 1 2 , , ., n α α α ∈K mà 4 1 0 n i i i x α = = ∑ thì 1 2 . 0 n α α α = = = = . Một tập tùy ý M X⊂ gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập tuyến tính. Cho { } 1 2 , , ., n M x x x= là một họ véctơ của X. Ta gọi tập tất cả những tổ hợp tuyến tính của các véctơ của M là bao tuyến tính của M, kí hiệu span(M). 1.1.4. Định nghĩa. Cho ,X Y là các không gian véctơ trên trường K . Ánh xạ : f X Y→ là ánh xạ tuyến tính nếu ( ) ( ) ( ) f x y f x f y α β α β + = + , , ; ,x y X α β ∀ ∈ ∀ ∈K . Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là toán tử tuyến tính. Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì ( ) 0 0f = . Kí hiệu ( ) ,L X Y là không gian véctơ của các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y. Ánh xạ tuyến tính : Kf X → gọi là dạng tuyến tính. Không gian vectơ ( ) # ,X L X K= gọi là đối ngẫu đại số của X. Nếu : f X Y→ là ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ # # :f Y X ∗ → xác định bởi ( ) * # ,f y y f y Y= ∀ ∈o gọi là ánh xạ đối ngẫu của f. Ánh xạ tuyến tính : f X Y→ là song ánh được gọi là một phép đẳng cấu đại số, các không gian X, Y gọi là đẳng cấu đại số với nhau. 1.2. Không gian định chuẩn 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian véctơ trên trường K và :p E → ¡ : x xa là một hàm, hàm p được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều kiện sau: ) 0, ; 0 0i x x E x x≥ ∀ ∈ = ⇔ = ; 5 ) , ;ii x x x E K λ λ λ = ∀ ∈ ∀ ∈ ; ) , , .iii x y x y x y E+ ≤ + ∀ ∈ 1.2.2. Định nghĩa. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E không gian mêtric đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn. Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.2.3. Ví dụ. 1) Xét n K là không gian tuyến tính trên K . Với mỗi ( ) 1 2 , , ., n x x x x= ta xác định hàm: 1 . : n →K ¡ với 1 1 2 2 : 1 n x x i i    ÷  ÷   = ∑ = ; 2 . : n →K ¡ với 2 : 1 n x x i i = ∑ = ; 3 . : n →K ¡ với 3 : ax 1 x M x i i n = ≤ ≤ . Khi đó 1 2 3 . ; . ; . là 3 chuẩn trên n K và n K là không gian Banach với các chuẩn trên. 2) Cho K là không gian tôpô Hausdorff compact, ( )C K là không gian các hàm liên tục trên K . Khi đó ( )C K là không gian Banach với chuẩn ( ) : sup f f x x K = ∈ . Hơn nữa, nếu X là một không gian Banach thì ( , )C K X là không gian các hàm liên tục trên K nhận giá trị trong X cũng là không gian Banach với chuẩn ( ) : sup f f x x K = ∈ . 6 3) 1 1 ( ) : n n n l x x x +∞ =   = = ⊂ < +∞     ∑ K là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi 1 1 , ( ) . n n n x x x x l +∞ = = = ∈ ∑ 1.2.4. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K. Ánh xạ tuyến tính : f X Y→ được gọi là liên tục tại a X∈ khi và chỉ khi với mọi 0 ε > , tồn tại 0 δ > sao cho mà x X x a δ ∀ ∈ − < thì ( ) ( ) f x f a ε − < . Kí hiệu L ( ) X,Y là không các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y. Không gian L ( ) X, X ∗ =K được gọi là không gian liên hợp ( hay đối ngẫu) thứ nhất của X. Không gian L ( ) ,X X ∗ ∗∗ =K được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X. 1.2.5. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ : f X Y→ được gọi là một đẳng cự nếu ( ) ( ) , ,f x f y x y x y X − = − ∀ ∈ . 1.2.6. Định lý. Cho E là không gian Banach. Khi đó n E là không gian Banach với chuẩn 1 ( ) , ( ) . n n i i i p x x x x E = = = ∈ ∑ Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được 1 ( ) , ( ) n n i i i p x x x x E = = = ∈ ∑ là một chuẩn trên . n E Ta chứng minh tính Banach của . n E Thật vậy, giả sử 1 1 1 ( ) ( , ., ) k k k n k n k x x x E ∞ ∞ = = = ⊂ là một dãy Cauchy. Khi đó, với mọi 0, ε > tồn tại 0 k sao cho 0 1 ( ) , , . (1.1) n k l k l i i i p x x x x k l k ε = − = − < ∀ ≥ ∑ 7 Từ đây suy ra 0 , , , 1, ., . k l i i x x k l k i n ε − < ∀ ≥ ∀ = Do đó, với mỗi 1, .,i n= , 1 ( ) k i k x ∞ = là dãy Cauchy trong .E Vì E là không gian Banach nên k i i x x E→ ∈ khi .k → ∞ Đặt 1 ( , ., ) . n n x x x E= ∈ Khi đó, trong (1.1) ta cố định 0 k k≥ và cho l → ∞ ta nhận được 0 1 ( ) , . n k k i i i p x x x x k k ε = − = − < ∀ ≥ ∑ Vì vậy p k x x→ khi .k → ∞ Điều phải chứng minh. Chứng minh tương tự ta nhận được các kết quả sau. 1.2.7. Định lý. Cho E là không gian Banach. Khi đó 1 1 ( ) ( ) : n n n l E x x E x +∞ =   = = ⊂ < +∞     ∑ là không gian Banach với chuẩn 1 1 ( ) , ( ) ( ). n n n p x x x x l E +∞ = = = ∈ ∑ 1.2.8. Định lý. Cho E là không gian Banach. Khi đó { } 0 ( ) ( ) : 0 n n c E x x E x= = ⊂ → là không gian Banach với chuẩn ( ) ( ) sup n n n p x x x= = . 1.3. Tích tenxơ của các không gian vectơ 1.3.1. Định nghĩa. Cho , ,X Y Z là các không gian vectơ trên trường .K Ánh xạ :A X Y Z× → được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu 1) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , ,A x x y A x y A x y α α α α + = + 2) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , ,A x y y A x y A x y β β β β + = + 8 . trình bày một số kết quả về không gian véctơ, không gian Banach cần dùng về sau và tích tenxơ của các không gian véctơ. 1.1. Không gian véctơ 1.1.1. Định. trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về tích tenxơ của hai không gian Banach thông qua đề tài: Về tích tenxơ của các không gian Banach. Dựa vào tài liệu [4],