Về ảnh phủ compact của các không gian mêtric

Trờng đại học vinh Khoa toán đỗ thị thủy về ảnh phủ-compact của các không gian mêtric khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán vinh 2005 trờng đại học vinh khoa toán về ảnh phủ-compact của các không gian mêtric khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán cán bộ hớng dẫn khoa học pgs.ts. trần văn ân sinh viên thực hiện đỗ thị thủy lớp 42A 2 khoa toán 2 vinh 2005 mục lục Trang lời mở đầu 3 Chơng I một Số kiến THứC CHUẩN Bị 5 Đ1 Một số khái niệm cơ bản về tôpô 5 Đ2 Các loại ánh xạ 10 Chơng II ảnh phủ - compact của một không gian mêtric 14 Đ1 Đặc trng của ảnh phủ - compact 14 Đ2 Đặc trng của ảnh mở phủ - compact 17 kết luận 26 tài liệu tham khảo 27 3 lời mở đầu Vấn đề liên quan đến không gian đợc xác định bởi phủ đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ những năm 70 của thế kỷ XX. Từ đó đến nay các nhà tôpô đa ra nhiều tính chất, nhiều kết quả quan trọng đối với các không gian tôpô khác nhau và mối quan hệ giữa các không gian tôpô đó. Một trong số các công trình nghiên cứu này phải kể đến là các nhà toán học E. Michael, ShouLin, K. Nagami, Y. Tanaka, . Mục đích của luận văn là tác giả muốn đề cập và tập trung nghiên cứu về một loại ánh xạ, đó là ánh xạ phủ-compact của một không gian mêtric. Luận văn đã chứng minh chi tiết một số kết quả của bài báo [5], nghiên cứu các tính chất của ánh xạ phủ-compac và mối quan hệ giữa ánh xạ này với các loại ánh xạ khác đã nêu trong luận văn. Cuối luận văn, do điều kiện thời gian cũng nh những hạn chế về năng lực, tác giả có nêu lên một vài vấn đề mở để nghiên cứu tiếp và cho những ai có quan tâm tới vấn đề này. Khóa luận gồm các nội dung chính sau: chơng I một số kiến thức chuẩn bị Chơng này tác giả trình bày hai nội dung chính. Đầu tiên là những khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng chuẩn bị cho phần sau. Sau đó tác giả trình bày các loại ánh xạ: ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng (mở), ánh xạ hoàn chỉnh, ánh xạ thơng, ánh xạ song thơng, ánh xạ phủ-compact, các tính chất và sự liên quan giữa chúng. chơng II ảnh phủ-compact của các không gian mêtric Đây là nội dung chính của luận văn. Tác giả cũng trình bày thành hai phần: 4 Đ1. Đặc trng của ảnh phủ-compact. Phần này tác giả đa ra khái niệm phân hoạch liên tục trên X và điều kiện để không gian Y là ảnh phủ-compact của không gian mêtric X, nội dung chính là định lý 2.1.5. Đ2. Đặc trng của ảnh mở phủ-compact. Phần này tác giả đa ra khái niệm Y- cơ sở của một tập A Y; tập có đặc trng đếm đợc; các tính chất tơng đơng giữa chúng; điều kiện để không gian Y là ảnh mở phủ-compact, là s-ảnh mở phủ-compact của một không gian mêtric X và mối quan hệ giữa s-ảnh mở phủ-compact, s-ảnh mở và s-ảnh song thơng của một không gian mêtric. Cùng một số bổ đề chuẩn bị cho chứng minh nội dung chính của phần này là các định lý 2.2.13, 2.2.14, 2.2.15. Trong luận văn chúng tôi quy ớc tất cả các ánh xạ đều liên tục, tất cả các không gian đều là Hausdorff (T 2 -không gian). Những kết quả của luận văn là sự tổng kết, chứng minh chi tiết các tính chất trong bài báo cùng những nhận xét đợc đa ra. Cuối cùng, tác giả xinh chân thành cảm ơn PGS.TS. TRần văn ân, ngời trực tiếp hớng dẫn tận tình trong quá trình làm khoá luận. Nhân đây, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán trờng Đại học Vinh đã nhiệt tình quan tâm giảng dạy, tất cả các bạn bè, ngời thân đã động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu tại trờng. Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả 5 chơng I một số kiến thức chuẩn bị Đ1 một số khái niệm cơ bản về tôpô 1.1.1. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X, ) và b . b đợc gọi là cơ sở của tôpô nếu với mọi tập V và mọi x V tồn tại U b sao cho x U V. 1.1.2. Mệnh đề ([2]). Giả sử X là một tập hợp bất kì. Khi đó (X, 2 X ) là một không gian tôpô. Nếu x X thì tập hợp { } x tạo thành một cơ sở của không gian tại điểm x. Không gian (X, 2 X ) đợc gọi là một không gian tôpô rời rạc. 1.1.3. Định nghĩa. a. Cho không gian tôpô (X, ). x X, tập U X đợc gọi là lân cận của điểm x, nếu tồn tại V sao cho x U V. b. Gọi u(x) là họ tất cả các lân cận của x. Khi đó, họ con b(x) của u(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x, nếu với mọi V u(x), tồn tại U b(x) sao cho x U V. 1.1.4. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và A X. Giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập A. Kí hiệu hay clA. 1.1.5. Nhận xét. Từ định nghĩa ta có: (i) X là một tập hợp đóng chứa A. (ii) A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A. (iii) Tập A X là đóng khi và chỉ khi A = A. (iv) Nếu A B X thì A B . 1.1.6. Mệnh đề ([2]). Giả sử A là tập hợp con của không gian tôpô (X, ) và x X. Khi đó x A khi và chỉ khi mọi lân cận U của x đều giao với A tức là U A . 6 1.1.7. Mệnh đề ([2]). Cho không gian tôpô X. A và B là những tập hợp con của X. Khi đó: (i) = . (ii) A A . (iii) BA = A B . 1.1.8. Hệ quả. Cho không gian tôpô X và họ { } niA i , ,2,1: = là họ hữu hạn các tập con của X. Khi đó: n i i n i i AA 11 == = 1.1.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X gọi là khả li nếu nó có một tập con đếm đợc trù mật. 1.1.10. Mệnh đề ([1]). Không gian tôpô X có một cơ sở đếm đợc b thì khả li. 1.1.11. Nhận xét ([2]). Đối với không gian mêtric X thì mệnh đề đảo cũng đúng. '' Nếu X là không gian mêtric khả li thì X có một cơ sở đếm đợc ''. 1.1.12. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X. (i) Không gian X đợc gọi là T 1 -không gian, nếu mỗi phần tử xX thì { } x là tập đóng. (ii) Không gian X đợc gọi là T 2 -không gian (Hausdoff) nếu mỗi cặp điểm khác nhau x 1 , x 2 X, tồn tại một lân cận U của x 1 và một lân cận V của x 2 sao cho U V=. (iii) Không gian X đợc gọi là không gian chính quy nếu với mỗi điểm x X, mỗi tập đóng F sao cho x F, tồn tại các tập mở U và V sao cho x U, F V và U V=. (iv) Không gian X đợc gọi là T 3 -không gian nếu X là T 1 -không gian và chính quy. 7 (v) Không gian X đợc gọi là không gian chuẩn tắc nếu với hai tập đóng rời nhau bất kỳ A, B trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho U A; V B và U V = . 1.1.13. Nhận xét (i) Không gian rời rạc là không gian chuẩn tắc. (ii) Không gian mêtric là một không gian chuẩn tắc. 1.1.14. Mệnh đề ([2]). Không gian chính quy X có một cơ sở đếm đợc là một không gian chuẩn tắc. 1.1.15. Mệnh đề ([2]). Không gian tôpô X là không gian chính quy khi và chỉ khi với mọi x X và U là tập mở chứa x, tồn tại tập mở V X sao cho: x V U. 1.1.16. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô và u là một phủ của X. Phủ b của X đợc gọi là cái mịn của u nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử nào đó của phủ u. 1.1.17. Định nghĩa. Không gian tôpô X là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một phủ con hữu hạn. 1.1.18. Nhận xét. Không gian rời rạc là không gian compact khi và chỉ khi nó hữu hạn. Vậy khoảng đóng hữu hạn [ ] ba, là một tập hợp compact trong không gian R. 1.1.19. Mệnh đề ([1]). Nếu A là một tập compact của không gian Hausdoff X và x X\A thì tồn tại các tập mở U và V sao cho x U, V A và U V= . 1.1.20. Nhận xét. Mỗi tập hợp compact trong không gian Hausdoff X đều là một tập hợp đóng trong X. 1.1.21. Mệnh đề ([2]). Không gian compact Hausdoff là một không gian chuẩn tắc. 8 1.1.22. Định nghĩa. Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một họ hữu han địa phơng nếu với mỗi điểm x X tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao với hữu hạn phần tử của p. 1.1.23. Định nghĩa. Họ p các tập con của không gain tôpô X đợc gọi là một họ rời rạc nếu với mỗi điểm x X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất một phần tử của p. 1.1.24. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là paracompact nếu nó là không gian Hausdoff và mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phơng mở. 1.1.25. Nhận xét ([3]). Không gian mêtric là không gian tôpô paracompact. 1.1.26. Nhận xét ([3]). Mọi không gian compact đều là không gian paracompact. 1.1.27. Mệnh đề. Tập con đóng của không gian paracompact là không gian paracompact. Chứng minh. Giả sử A là tập con đóng bất kỳ của không gian paracompact X. Gọi u là một phủ mở bất kỳ của A. Vì X\A mở nên V = U X\ A là mở và V phủ X. Do X là không gian paracompact nên phủ V có cái mịn hữu hạn địa phơng mở B, tức là b = {B mở: B U u hoặc B X\A}. Khi đó họ A ={B b: B U u} là cái mịn mở hữu hạn địa phơng của u. Vậy mọi phủ mở u của A đều có cái mịn hữu hạn địa phơng mở. Mặt khác A là tập con đóng của không gian Hausdoff X nên A cũng là không gian Hausdoff. Vậy A là không gian paracompact. 1.1.28. Định nghĩa. Không gian tôpô (X, ) gọi là không gian khả mêtric nếu tồn tại một mêtric : X ì X R, sao cho tôpô sinh bởi trùng vói tôpô . 1.1.29. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu với mọi x X, tồn tại cơ sở đếm đợc tại x. 9 1.1.30. Nhận xét. Không gian mêtric là một không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. 1.1.31. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai nếu X có một cơ sở đếm đợc. 1.1.32. Nhận xét. Không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. Điều ngợc lại không đúng, nhng nếu có thêm điều kiện thì ta có: 1.1.33. Mệnh đề ([3]). Nếu X là không gian tôpô thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất và X có đếm đợc phần tử thì X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai. 1.1.34. Mệnh đề ([2]). Mọi không gian compact khả mêtric là khả ly. 1.1.35. Bổ đề (Urxơn) ([2]). Không gian chính quy (X, ) có một cơ sở đếm đợc là khả mêtric. 1.1.36. Định lý. Không gian X là khả mêtric compact thì X thoả mãn tiên đề đếm đ- ợc thứ hai. Chứng minh. Giả sử X là không gian compact và khả mêtric. Theo Mệnh đề 1.34 thì X là khả ly. Kết hợp với Nhận xét 1.11 ta có X có một cơ sở đếm đợc. Vậy X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai. 10