Đặc trưng Chern của các không gian đối xứng Compact

Bộ Giáo Dục và Đào tạo Trờng Đại Học Vinh Nguyễn Văn Việt Đặc trng Chern của các không gian đối xứng compact Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2014 Bộ Giáo Dục và Đào tạo Trờng Đại Học Vinh Nguyễn Văn Việt Đặc trng Chern của các không gian đối xứng compact Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học TS. Nguyễn Quốc Thơ Nghệ An - 2014 Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 3 1 Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact 5 1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng compact . . . . . . . . 11 1.4 K - nhóm của các không gian đối xứng compact . . . . . . . . . . 19 2 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact 23 2.1 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) . 23 2.2 Đặc trng Chern của không gian SU(2n)/Sp(n) với n = 2,3,4 . . 25 2.3 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n+1)/SO(2n+1) 27 2.4 Đặc trng Chern của SU(2n + 1)/SO (2n + 1) với n = 1,2,3 . . . 29 Kết luận của luận văn 32 Tài liệu tham khảo 33 1 Lời cảm ơn Luận văn đợc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của Thầy giáo TS. Nguyễn Quốc Thơ. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới Thầy, Ngời đã đặt bài toán, định hớng nghiên cứu, dạy bảo và giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt thời gian qua. Tác giả xin đợc cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo trong Chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số; các Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa S phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu và các Phòng ban chức năng của Trờng ĐH Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một học viên cao học. Cảm ơn Trờng ĐH Đồng Tháp đã tổ chức và tạo điều kiện học tập tốt cho tác giả. Cuối cùng tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp. Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu của mình món quà tinh thần này với tấm lòng biết ơn chân thành nhất. Do năng lực còn nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những sự góp ý của các nhà khoa học và đồng nghiệp để luận văn có thể đợc hoàn thiện tốt hơn. Nghệ An, ngày 19 tháng 9 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Việt 2 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Bài toán nghiên cứu cấu trúc của các nhóm Lie và đại số Lie là một bài toán khá quan trọng trong Đại số, Hình học nói riêng và trong Toán học nói chung. Trong các bài toán đó, bài toán mô tả đặc trng Chern của các nhóm Lie compact và các không gian đối xứng compact đã và đang đợc nhiều nhà toán học trong và ngoài nớc quan tâm nghiên cứu, Cho X là một không gian tôpô, H (X) và K (X) tơng ứng là nhóm đồng điều với hệ số hữu tỷ và K nhóm của không gian tôpô của X. Khi đó đặc trng Chern của X là đồng cấu ch : K (X) H (X). Trong trờng hợp G là nhóm Lie compact, ký hiệu H D R (G; Q) là nhóm đồng điều de Rham Z/(2) phân bậc với hệ số hữu tỷ, K (G) là K nhóm của G. Khi đó đặc trng Chern của G là đồng cấu ch : K (G) Q H D R (G; Q). Bằng phơng pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhóm Lie compact, năm 1994 T. Watanabe, L. Hodgkin, R. Held, U. Stuter và H. Minamin lần đầu tiên đã tính đợc đặc trng Chern cho nhóm Lie compact và gần đây, năm 2012 Đỗ Ngọc Diệp và các cộng sự đã mô tả đợc đặc trng Chern không giao hoán cho các C đại số của các nhóm Lie compact. Qua đây ta thấy việc tính đặc trng Chern của nhóm Lie compact vẫn là bài toán mở và có tính thời sự của Toán học. 3 Với những gì đã nêu ở trên, chúng tôi nhận thấy việc tính đặc trng Chern cho các trờng hợp cụ thể là một việc làm hết sức thiết thực. Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu và giải quyết một số vấn đề nêu trên chúng tôi chọn đề tài Đặc trng Chern của các không gian đối xứng compact để làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. Bản luận văn của chúng tôi dựa vào các kết quả đã biết về đặc trng Chern và đặc biệt là bài báo On the Chern characters of symmetric spaces related to SU(n), J. Math. Kyoto Univ. (JMKYAZ), Volume 34 - 1,(2004), 149 - 169 của tác giả T. Watanabe để đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về việc tính đặc trng Chern của hai không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1). 2. Nội dung nghiên cứu của luận văn Luận văn tập trung trình bày lại một cách có hệ thống cách tính đặc trng Chern ch : K (G) Q H D R (G; Q) cho hai trờng hợp: i) G là không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) ii) G là không gian đối xứng compact SU(2n + 1)/SO(2n + 1) 3. Tổng quan và cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trình liên quan đến luận văn, nội dung luận văn đợc trình bày trong hai chơng. Chơng 1: Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact. Trong chơng này, chúng tôi hệ thống các kiến thức liên quan nh: Khái niệm về nhóm Lie, đại số Lie, cấu trúc của nhóm Lie compact, không gian đối xứng compact, đồng điều và K nhóm của nhóm Lie compact, không gian đối xứng compact, đặc trng Chern. Chơng 2: Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact. Đây là nội dung chính của Luận văn. Trớc hết chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng điều và K nhóm của không gian đối xứng compact. Cuối cùng sử dụng các kết quả trên để trình bày cách tính đặc trng Chern của hai không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1). 4 Chơng 1 Cấu trúc của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact Trong Chơng này, trớc hết chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie, lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact, xây dựng đối đồng điều và K nhóm của không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) và SU(2n + 1)/SO(2n + 1). 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. (xem [2]) Một không gian véctơ L trên trờng F cùng với ánh xạ : G ì G G, đợc xác định bởi (x, y) = [x, y ](đợc gọi là tích Lie hoặc là hoán tử của x, y) đợc gọi là đại số Lie trên trờng F nếu các tiên đề sau đợc thỏa mãn: i) là ánh xạ song tuyến tính ii) [x, x] = 0, x L(phản giao hoán) iii) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0, x, y, z L(đồng nhất thức Jacobi) Nhận xét. Điều kiện ii) suy ra từ điều kiện iv): [x, y] = [y, x] và khi charF = 2 thì điều kiện ii) và iv) tơng đơng. Với K là không gian véctơ con của L. Khi đó, K đợc gọi là đại số Lie con của L nếu K đóng với tích Lie, tức là: x, y L : [x, y] K. Với mọi phần tử 5 0 = x L, ta luôn có K = Fx là đại số con một chiều của L với tích Lie tầm thờng: [y, y ] = 0, y, y K. 1.1.2. Ví dụ. Cho (A, .) là đại số kết hợp trên F, ta định nghĩa một phép toán mới [, ] : A ì A A, (x, y) [x, y] = x.y y.x. Khi đó (A, [, ]) là một đại số Lie. Đặc biệt, khi A = End(V ), với V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F và phép nhân là phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V. Khi đó (End(V ), [, ]) là một đại số Lie. Ta viết gl(V ) thay cho End(V ) khi hiểu A là một đại số Lie. Nếu ta cố định một cơ sở của V, khi đó ta có thể đồng nhất gl(V ) với đại số các ma trận n ì n trên F, ký hiệu là gl(n, F), với dim(gl(V )) = dim(gl(n, F)) = n 2 . Phép hợp thành hai tự đồng cấu trên V là phép nhân hai ma trận tơng ứng. Ta xác định tích Lie trên gl(n, F) nh sau: [e ij , e kl ] = e ij e kl e kl e ij = jk e il li e kj , trong đó cơ sở {e ij } của gl(n, F), với {e ij } là ma trận xác định nh sau: phần tử ở vị trí (i, j) bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 và jk là ký hiệu Kronecke. 1.1.3. Ví dụ. Xét sl(n, F) = {x gl(n, F) \T r(x) = 0}, trong đó T r(x) là vết của x Khi đó sl(n, F) là không gian véctơ con của g l(n, F), vì: Tr(ax + by) = aT r(x) + bT r(y) = 0, a, b F; x, y sl(n, F). Hơn nữa sl(n, F) là đại số con của gl(n, F) vì: T r([x, y]) = T r(xy) T r(yx) = 0, x, y sl(n, F). Đại số sl(n, F) đợc gọi là đại số tuyến tính đặc biệt. 1.1.4. Ví dụ. Đại số đối xứng sp(2l, F) = {x gl(2l , F) \sx = x t s} = x = m n p q \ m, n, p, q gl(l, F) thỏa mãn: n t = n, p t = t, m t = q trong đó x t là chuyển vị của x, s = 0 I l I l 0 , I l là đơn vị của gl(l, F). Khi đó sp(2l, F) là đại số Lie con của gl(2l, F). Hơn nũa sp(2l, F) là đại số Lie con của sl(2l, F), có số chiều dim(sp(2l, F)) = 2l 2 + l. 6 1.1.5. Định nghĩa. (xem [2]) Nhóm G đợc gọi là nhóm Lie nếu: i) G là một đa tạp khả vi ii) Các ánh xạ :G ì G G (x, y) xy và :G G x x 1 là các ánh xạ trơn 1.1.6. Ví dụTập hợp G = R các số thực với phép cộng các số thực là một nhóm Lie, gọi là nhóm cộng tính và đợc ký hiệu là G a . Tập hợp G = R các số thực khác không với phép nhân các số thực là một nhóm Lie, gọi là nhóm nhân và đợc ký hiệu là G m . Tập hợp G = R + các số thực dơng với phép nhân các số thực dơng là một nhóm Lie, gọi là nhóm nhân và đợc ký hiệu là G + m . Tồn tại ánh xạ đẳng cấu G a = G + m . 1.1.7. Ví dụ. Cho K = R (hoặc K = C) là trờng số thực (hoặc trờng số phức). Khi đó nhóm tuyến tính tổng quát GL n (K) = {A Mat n (K) \ det(A) = 0} là một nhóm Lie. 1.1.8. Ví dụ. K là một trờng. Xét nhóm biến đổi Affine G = ax + b = Aff(K) = { : K K \ (x) = ax + b} với a, b K; a = 0. Khi đó Aff(K) là một nhóm Lie, đẳng cấu với nhóm nhân ma trận tam giác dạng a b 0 1 \a, b K, a = 0 1.1.9. Định nghĩa. (xem [2]) Cho G là nhóm Lie, khi đó thành phần liên thông của đơn vị e G đợc ký hiệu là G 0 đợc định nghĩa nh sau: G 0 = {g G \ g(t) sao cho g (0) = e, g(1) = g} Từ định nghĩa, ta có: +) G 0 vừa đóng, vừa mở trong G. +) G 0 là nhóm con của nhóm Lie G. 7 1.2 Cấu trúc đại số của các nhóm Lie compact Trong tiết này chúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống các khái niệm về hệ nghiệm, trọng trội, xuyến cực đại của các nhóm Lie compact để nhằm phục vụ cho việc tính toán sau này. Những khái niệm trên chúng tôi trình bày dới dạng các định nghĩa, hệ thống lại các tính chất của nó dới dạng các Định lý, Mệnh đề, Hệ quả và đa ra Ví dụ minh họa. Các kết quả này đợc trình bày chi tiết trong [4]. 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử V là K không gian véctơ và là tập con của V. Tập gọi là hệ nghiệm trong không gian véc tơ V, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) là tập hữu hạn, sinh ra không gian V và không chứa véctơ không. ii) Đối với mỗi véc tơ tồn tại phép đối xứng S qua mặt phẳng, qua gốc và vuông góc với chuyển tập vào chính nó. iii) Đối với , , ta có: S () = n, với n Z. Khi đó chiều của không gian véc tơ V gọi là hạng của hệ nghiệm , còn phần tử gọi là nghiệm của không gian V. Hệ nghiệm đợc gọi là hệ rút gọn, nếu đối với mỗi , thì là nghiệm duy nhất cộng tuyến với . Ngợc lại nếu không phải là hệ rút gọn, khi đó nó chứa hai nghiệm có dạng và t trong đó 0 < t < 1. Khi đó theo tính chất iii), trong Định nghĩa 1.2.1, ta có nghiệm t = , do đó nghiệm cộng tuyến với có dạng: , /2, /2, 1.2.2. Sự sắp xếp tơng đối giữa hai nghiệm. Giả sử x, y là hai nghiệm tùy ý. Đặt n(x, y) := 2y x cos trong đó là góc giữa x và y, còn (x, y) = n k=1 x k y k . Do đó n(y, x) := 2x y cos n(x, y).n(y, x) = 2y x cos . 2x y cos = 4 cos 2 . Sau đây ta đa ra bảng cho biết vị trí tơng đối giữa hai nghiệm bất kỳ: 1. n(x, y) = 0, n(y, x) = 0, = /2 8 [...]... Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact Trong Chơng này, chúng tôi trình bày lại cách tính đặc trng Chern của các không gian đối xứng compact SU (2n)/Sp(n) và SU (2n + 1)/SO(2n + 1) Trớc khi đi vào nội dung chính chúng tôi nhắc lại một số kết quả của T Watanabe về cách tính đặc trng Chern cho các nhóm Lie compact và sử dụng kết quả đó và việc tính đặc trng Chern cho các không gian đối xứng compact. .. đợc chứng minh 2.2 Đặc trng Chern của không gian SU (2n)/Sp(n) với n = 2,3,4 Trên đây ta đã xây dựng đợc công thức tổng quát để tính đặc trng Chern của không gian SU (2n)/Sp(n) Khi n = 2, 3, 4 ta có các không gian đối xứng compact tơng ứng SU (4)/Sp(2), SU (6)/Sp(3) và SU (8)/Sp(4) 25 2.2.1 Đặc trng Chern của SU (4)/Sp(2) Theo chứng minh trên ta có đặc trng của không gian đối xứng compact SU (4)/Sp(2)... của Gf Khi đó M = G/F đợc gọi là không gian đối xứng compact 1.3.2 Định lý.(xem [7]) M = SU (2n)/Sp(n) là không gian đối xứng compact 1.3.3 Định lý (xem [7]) M = SU (2n + 1)/SO(2n + 1) là không gian đối xứng compact 1.3.4 Đối đồng điều của các nhóm Lie compact SU(2n) Sự dụng cách xây dựng đồng điều của các nhóm Lie compact, đối với SU (2n), ta chọn xuyến cực đại T của SU (2n) sao cho s2 (T ) T, trong... luận của luận văn Luận văn đã hoàn thành những nội dung sau đây: 1 Trình bày lại các kết quả về lý thuyết biểu diễn, đồng điều, K- nhóm của các không gian đối xứng compact nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn 2 Hệ thống lại một cách có hệ thống khái niệm về đặc trng Chern của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact 3 Sử dụng các kết quả tổng quát về đặc trng Chern. .. 19 e9 + e13 12 72 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n+1)/SO(2n+1) Mục đích trong tiết này, chúng tôi trình bày lại cách tính đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n+1)/SO(2n+1) Nội dung chính đợc thể hiện trong Định lý 2.3.2, sau đó áp dụng cho một số trờng hợp cụ thể Nhng trớc hết chúng tôi trình bày lại Định lý về cách mô tả đặc trng Chern của nhóm Lie compact SO(2n +... compact Các kết quả đó đã đợc trình bày một cách chi tiết trong [6,7], nên chúng tôi không trình bày lại cách chứng minh 2.1 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) 2.1.1 Nhận xét Để tính đặc trng Chern của nhóm Lie compact, trớc hết ta định nghĩa hàm : N ì N ì N Z đợc xác định bởi k (n, k, q) = (1)i1 i=1 23 n iq1 ki 2.1.2 Định lý.(xem [7]) Đặc trng Chern của nhóm Lie compact. .. t = i=1 1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng compact Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại cách xây dựng các đối đồng điều của hai không gian đối xứng compact SU (2n)/Sp(n) và SU (2n + 1)/SO(2n + 1) 1.3.1 Định nghĩa Cho G là nhóm Lie compact, f : G G là tự đẳng cấu và F là nhóm con liên thông đóng của G sao cho Gf = {x G \ f (x) = x} F (Gf )e là cấu thành đồng nhất thức của Gf Khi đó... (1/(2i)!(2n + 1, k, 2i + 1)e4i+1 i=1 k = 1, n Định lý đợc chứng minh 2.4 Đặc trng Chern của SU (2n + 1)/SO(2n + 1) với n = 1,2,3 Khi n = 1, 2, 3 ta có các không gian đối xứng compact tơng ứng SU (3)/SO(3), SU (5)/SO(5) và SU (7)/SO(7) 29 2.4.1 Đặc trng Chern của SU (3)/SO(3) Theo chứng minh trên ta có đặc trng của không gian đối xứng compact SU (3)/SO(3) là đồng cấu ch : K (SU (3)/SO(3)) H (SU (3)/SO(3))... có đặc số p = 2, thì H (SU (2n + 1)/SO(2n + 1); K) = K (e2 , e3 , ã ã ã ã ã ã , e2n+1 ) 1.3.11 Định lý.(xem [7]) Cho K là một trờng Khi đó H (SU (2n)/Sp(n); K) = K (e5 , e9 , ã ã ã ã ã ã , e4n3 ) 1.4 K - nhóm của các không gian đối xứng compact Hoàn toàn tơng tự nh trên, nội dung chính của tiết này, chúng tôi trình bày lại một cách có hệ thống cách xây dựng K nhóm của các không gian đối xứng compact. .. không gian đối xứng compact 3 Sử dụng các kết quả tổng quát về đặc trng Chern của nhóm Lie compact và không gian đối xứng compact, trình bày cách tính đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU (2n)/Sp(n) (Định lý 2.1.3 ), áp dụng cho các trờng hợp n = 2, 3, 4 và SU (2n + 1)/SO(2n + 1)(Định lý 2.3.2), áp dụng cho các trờng hợp n = 1, 2, 3 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Đ N Diệp (2010), . 8 1.3 Đối đồng điều của các không gian đối xứng compact . . . . . . . . 11 1.4 K - nhóm của các không gian đối xứng compact . . . . . . . . . . 19 2 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact. 23 2.1 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact SU(2n)/Sp(n) . 23 2.2 Đặc trng Chern của không gian SU(2n)/Sp(n) với n = 2,3,4 . . 25 2.3 Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact. nhóm của nhóm Lie compact, không gian đối xứng compact, đặc trng Chern. Chơng 2: Đặc trng Chern của không gian đối xứng compact. Đây là nội dung chính của Luận văn. Trớc hết chúng tôi trình bày cách