Các không gian mêtric tuyến tính và một số tính chất của chúng

Mở đầu Trong khuôn khổ hạn hữu của luận văn này, chúng tôi có tham vọng trình bày lại một cách chi tiết về các không gian không hẳn là quen thuộc đối với các bạn đọc nh: không gian mêtríc tuyến tính , không gian modular, không gian mêtríc tuyến tính đầy đủ, không gian khả li cùng một số tính chất quan trọng của chúng. Các tính chất đó cùng với một số bài tập phát biểu dới dạng mệnh đề hay ví dụ đều đợc chứng minh một cách chi tiết, cụ thể nhằm giúp bạn đọc dễ hiểu, dễ theo dõi. Trên cơ sở đó, nội dung của luận văn đợc trình bày một cách có hệ thống và đợc tổ chức nh sau: Chơng 1. Đa ra định nghĩa về không gian mêtric tuyến tính, các khái niệm F * - không gian, F- chuẩn. Phần chủ yếu của chơng này là nếu lên mối quan hệ giữa mêtric bất biến và F- chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính cùng với bài toán chứng tỏ rằng một không gian mêtric tuyến tính không hẳn là một không gian định chuẩn. Chơng 2. Đa ra định nghĩa về một không gian khá mới mẻ, đó là không gian modular cùng các khái niệm về không gian mêtric tuyến tính đầy đủ, không gian khả li, độ đo khả li. Đi sâu vào nghiên cứu các tính chất của chúng, mối liên hệ giữa F- chuẩn và modular, các điều kiện cần và đủ để một không gian mêtric là đầy đủ, khả li và không khả li. Bên cạnh đó đã xây dựng đợc một hệ thống ví dụ về các không gian đợc đề cập đến. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Tạ Khắc C, ngời đã đặt vấn đề và dẫn dắt, chỉ ra những sai sót cùng những góp ý chân thành giúp chúng tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, 24/4/2003 Tác giả 3 Chơng 1 Không gian mêtric tuyến tính Đ1. Không gian mêtric tuyến tính 1.1. Không gian mêtric tuyến tính. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên 3 (hoặc ) với hai phép toán: Phép cộng: (+) : X ì X X (x, y) x + y Phép nhân: (.) : X ì X X (t, x) tx Đa vào không gian X một hàm hai biến (x, y) nhận các giá trị thực, dơng thoả mãn các điều kiện sau: (1) (x, y) = 0 x = y. (2) (x, y) = (y, x). (3) (x, y) (x, z) + (z, y). Hàm (x, y) đợc xác định nh trên gọi là một mêtric. Điều kiện (3) đợc gọi là bất đẳng thức tam giác. Không gian X cùng với mêtric (x,y) đợc gọi là không gian mêtric. Không gian X đợc gọi là không gian mêtric tuyến tính nếu phép cộng và phép nhân là liên tục theo mêtric (x,y). 1.1.2. Định nghĩa. Hai mêtric (x,y) và (x,y) đợc gọi là tơng đơng nếu tôpô sinh bởi chúng là tơng đơng. Nghĩa là với mọi > 0, tồn tại , > 0 sao cho (1.1) {y : (x,y) < } {y : (x,y) < } (1.2) {y : (x,y) < } {y : (x,y) < }. Một dãy {x n } các phần tử của không gian X đợc gọi là hội tụ đến x X theo mêtric (x,y) nếu: 4 n lim (x n , x) = 0 viết là x n x. Khi đó ta nói hai mêtric (x,y) và (x,y) là tơng đơng khi và chỉ khi x n ' x kéo theo x n x và ngợc lại x n x kéo theo x n ' x. Mêtric (x,y) đợc gọi là bất biến nếu: (x + z, y + z) = (x,y), x,y,z X. 1.2. Định nghĩa. Không gian mêtric tuyến tính cùng với mêtric bất biến đ- ợc gọi là F * - không gian. Đ2. F- chuẩn 2.1. F- chuẩn. 2.1.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian tuyến tính. Hàm ||.|| : X 3 thoả mãn các điều kiện: (1) ||x|| = 0 x = 0, x X. (2) ||ax|| = ||x||, với a, |a| = 1, x X. (3) ||x + y|| ||x|| + ||y||, x,y X. đợc gọi là một F- chuẩn. Điều kiện (3) đợc gọi là bất đẳng thức tam giác. Do phép nhân với lợng vô hớng là liên tục nên kéo theo: (4) ||a n x|| 0 nếu a n 0. Mệnh đề sau chứng tỏ rằng có sự tơng ứng 1-1 giữa mêtric bất biến và F- chuẩn trên cùng một không gian tuyến tính X. 2.1.2. Mệnh đề. Cho X là không gian mêtric tuyến tính với (x,y) là mêtric bất biến trên X. Đặt (x, 0) = ||x||. Khi đó ||x|| là một F- chuẩn trên X. Chứng minh. i) Vì (x,y) là mêtric nên (x, 0) = 0 x = 0. Suy ra ||x|| = 0 x = 0 ii) Ta chứng minh ||ax|| = ||x||, với |a| = 1. 5 Thật vậy, nếu a = 1 thì ||ax|| = (ax, 0) = (x, 0) = ||x||. nếu a = -1 thì ||ax|| = (ax, 0) = (-x, 0) = (-x +x, 0 +x) = (0, x) = (x, 0) = ||x||. Suy ra ||ax|| = ||x||, với mọi a sao cho |a| = 1. iii) Ta cần chứng minh ||x + y|| ||x|| + ||y|| Ta có ||x +y|| = (x +y, 0) = (x + y +(-y), 0 + (-y)) = (x, -y) (x, 0) + (0, -y) = (x, 0) + (-y, 0) = ||x|| + ||-y|| = ||x|| + ||y||. Vậy ||x|| là một F- chuẩn. Nhận xét: Nếu ||x|| là một F- chuẩn trên không gian tuyến tính X thì (x,y) = ||x - y|| là một mêtric bất biến trên X. 2.1.3. Định nghĩa. Hai F- chuẩn đợc gọi là tơng đơng nếu hai mêtric bất biến tơng ứng với chúng là tơng đơng. 2.1.4. Định nghĩa. Cho X là một không gian tuyến tính. Hàm ||.||: X 3 đợc gọi là một chuẩn nếu thoả mãn các điều kiện: (1) ||x|| 0 , x X ; ||x|| = 0 x = 0. (2) ||ax|| = |a|.||x||, x X, a K. (3) ||x +y|| ||x|| + ||y|| , x,y K. Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn ||.|| đợc gọi là không gian định chuẩn. Mệnh đề sau sẽ trả lời câu hỏi F- chuẩn có phải là chuẩn hay không? 2.1.5.Mệnh đề. F- chuẩn cha hẳn là chuẩn. Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra một ví dụ chứng tỏ F- chuẩn không phải là chuẩn. Đặt ||t|| = |t| p , t 3 , 0 < p < 1. Khi đó ||.|| là một F- chuẩn. Thật vậy: i) ||t|| = |t| p = 0 t = 0. ii) Với mọi a thoả mãn |a| = 1, ta có ||at|| = |at| p = |t| p = ||t|| 6 iii) Ta chứng minh ||t 1 + t 2 || ||t 1 || + ||t 2 || Điều đó tơng đơng với |t 1 + t 2 | p |t 1 | p + |t 2 | p Ta có |t 1 + t 2 | |t 1 | + |t 2 | |t 1 + t 2 | p (|t 1 | + |t 2 |) p Vì 0 < p < 1 nên (|t 1 | + |t 2 |) p |t 1 | p + |t 2 | p |t 1 + t 2 | p |t 1 | p + |t 2 | p Từ ii) suy ra nếu |a| 1 thì ||at|| |a|.||t||. Vậy ||.|| không phải là chuẩn. Sau đây là một ví dụ về không gian mêtric tuyến tính. 2.1.6. Ví dụ: Giả sử là hợp của các dãy tăng các tập hợp compact n sao cho n n +1 , = = 1n n Đặt C 0 () = {x | x liên tục trên } Dễ dàng chứng minh đợc C 0 () là không gian tuyến tính. (Nó là không gian con tuyến tính của không gian tất cả các hàm xác định trên ). Ta xác định một dãy F- chuẩn ||.|| n trên n (n = 1, 2, .) nh sau: ||x|| n = n t sup |x(t)| Khi đó ||x|| = = + 1 1 . 2 1 n n n n x x là một F- chuẩn trên C 0 (). Thật vậy: i) ||x|| = 0 = + 1 1 . 2 1 n n n n x x = 0 ||x|| n = 0, n = 1, 2, . x = 0. ii) Với |a| = 1, ta có: ||ax|| = = + 1 1 . 2 1 n n n n ax ax = = + 1 1 . 2 1 n n n n x x = ||x||. iii) Với mọi x,y C 0 () ta cần chứng minh: ||x + y|| ||x|| + ||y||. 7 Ta có ||x + y|| = = ++ + 1 1 . 2 1 n n n n yx yx = = ++ 1 1 1 1 2 1 n n n yx Mặt khác, ta lại có: ||x + y|| n ||x|| n + ||y|| n nên suy ra n yx ++ 1 1 nn yx ++ 1 1 = ++ 1 1 1 1 2 1 n n n yx = ++ 1 1 1 1 2 1 n nn n yx = = ++ + 1 1 2 1 n nn nn n yx yx = + 1 1 . 2 1 n n n n x x + = + 1 1 . 2 1 n n n n y y = ||x|| + ||y||. Vậy ||x + y|| ||x|| + ||y||, x,y C 0 (). ii) Giả sử {a m } K, a m m 0 Ta có ||a m x|| = = + 1 1 . 2 1 n n m n m n xa xa m 0 ( vì ||a m x|| n m 0 , n = 1, 2 ) Vậy ||x|| là một F- chuẩn. Vì có sự tơng ứng 1-1 giữa F- chuẩn ||x|| với mêtric bất biến (x,y) trên C 0 () nên ta suy ra (C 0 (), ) là không gian mêtric tuyến tính. Ví dụ sau sẽ chứng tỏ rằng một không gian mêtric tuyến tính không hẳn là một không gian định chuẩn. 2.1.7. Mệnh đề. Cho p = {x = (x n ) n , x n K, n: = 1n p n x <+} với 0<p< 1. Đặt (x,y) = = 1n p nn yx , x,y p . Khi đó p với mêtric (x,y) lập thành một không gian mêtric tuyến tính nhng không là không gian định chuẩn. 8 Chứng minh. Để chứng minh p (0 < p < 1) với (x,y) lập thành một không gian mêtric tuyến tính trớc hết ta chứng minh nó là không gian tuyến tính với hai phép toán cộng và nhân vô hớng với dãy đợc xác định nh sau: x + y = {x n + y n } , x,y p . x = { x n } , x p , K . Thật vậy, p là không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính K vì: i) Với mọi x p , mọi K ta cần chứng minh: = 1n p n x < +. Ta có = 1n p n x = = 1 . n p n p x = | | p = 1n p n x < + (do x p ) Suy ra x p . ii) Với mọi x,y p ta có: |x n + y n | |x n | + |y n | . |x n + y n | p (|x n | + |y n |) p |x n | p + |y n | p (do 0 < p < 1) = + 1n p nn yx = 1n p n x + = 1n p n y < + Suy ra x + y p . Tiếp theo ta chứng minh (x,y) là một mêtric bất biến trên p . Thật vậy, với mọi x,y,z p ta có: i) (x,y) = 0 = 1n p nn yx = 0 |x n - y n | = 0 , n = 1, 2, . x n = y n , n = 1, 2, . x = y. ii) (x,y) = = 1n p nn yx = = 1n p nn xy = (y,x). 9 iii) Vì |x n - y n | = |(x n - z n ) + (z n -y n )| |x n - z n | + |z n - y n | nên |x n - y n | p (|z n - y n | p + |z n - y n | p ) |x n - z n | p + |z n - y n | p (do 0 < p < 1) Suy ra (x,y) = = 1n p nn yx = 1n p nn zx + = 1n p nn yz = (x,z) + (z,y). Vậy (x,y) (x,z) + (z,y). Suy ra (x,y) bất biến. i) Với mọi (x m ), (y m ) thuộc p , x = m x 1 , ., x m n , . (m = 1, 2, .) y = y m 1 , ., y m n , . (m = 1, 2, .) Mà x m x 0 trong p , tức là = 1 0 lim n p n m n m xx = 0 y m y 0 trong p , tức là = 1 0 lim n p n m n m yy = 0. Ta cần chứng minh x m + y m x 0 + y 0 . Điều đó tơng đơng với m lim ((x m + y m ), (x 0 + y 0 )) = 0 m lim = ++ 1 00 )()( n p nn m n m n yxyx = 0. Với mỗi m = 1, 2, . ta có |(x m n + y m n ) - (x 0 n - y 0 n )| |x m n - x 0 n | + |y m n - y 0 n | |(x m n + y m n ) - (x 0 n + y 0 n )| p (|x m n - x 0 n | + |y m n - y 0 n |) p |x m n - x 0 n | p + |y m n - y 0 n | p (do 0 < p < 1). 0 = ++ 1 00 )()( n p nn m n m n yxyx = 1 0 n p n m n xx + = 1 0 n p n m n yy 0. Vậy m lim ((x m + y m ), (x 0 + y 0 )) = 0 hay x m + y m x 0 + y 0 . Vậy phép cộng hội tụ theo . ii) Với mọi (x m ) p mà x m x 0 trong p và m lim m = 0 trong K , ta cần chứng minh m x m 0 x 0 . 10 Ta có m x m - 0 x 0 = 0 (x m - x 0 ) + ( m - 0 )x 0 + ( m - 0 )(x m - x 0 ). Vì x m x 0 nên x m - x 0 0. m 0 nên m - 0 0. Suy ra m x m - 0 x 0 0, hay m x m 0 x 0 . Vậy phép nhân với lợng vô hớng là liên tục theo . Tuy nhiên p (0 < p < 1) không phải là không gian định chuẩn vì nó không lồi địa phơng. Thật vậy: Giả sử ngợc lại, p là không gian lồi địa phơng. Khi đó tập {x p | (x,0) 1} sẽ chứa lân cận U lồi, cân và U lại chứa tập {x p | (x,0) }, (0 < < 1). Xét x (r) = (x )(r n ) với x )(r r = 1 khi n = r, x )(r n = 0 khi n r. Khi đó p 1 x (r) U với mọi r = 1, 2, . (1) vì ( p 1 x (r) , 0) = = 1n | p 1 .x )(r n - 0| p = = 1n | p 1 .x )(r n | p = . = 1n |x )(r n | p = . Và do đó p 1 x (r) {x p | (x, 0) } U. Ta sẽ chứng minh y = sr p s 1 1 1 x (r) U với s đủ lớn. Dùng quy nạp ta có Với r = 1 p 1 .x (1) U (theo (1)) đúng. Giả sử kết luận đúng tới r = k, tức là k 1 . p 1 . kr1 x (r) U. (2) Ta chứng minh kết luận đúng tới r = k+1. Thật vậy: Ta có p 1 .x (k+1) U (theo (1)). (3) 11 Từ (2) và (3) và do U là tập lồi suy ra: t k 1 . p 1 = k r 1 x (r) + (1 - t)( p 1 .x (k +1) ) | 0 t 1 U. Lấy t = k k + 1 ta có: k + 1 1 p 1 = k r 1 x (r) + k + 1 1 p 1 .x (k +1) U k + 1 1 p 1 + 11 kr x (r) U. Nhng (y, 0) = = = 1 1 )( 0. 1 1 n p s r r n x s p = = +++ 1 )()2()1( . 1 . 1 . 1 111 n p s nnn x s x s x s ppp = p p s 1 1 + p p s 1 1 + . + p p s 1 1 = +++ sốs ppp sss 1 . 11 = .s 1 -p > 1, khi s đủ lớn. Điều này mâu thuẫn vì U {x p | (x, 0) 1} Vì p (0 < p < 1) không lồi địa phơng nên nó không phải là không gian định chuẩn. *** Chơng 2 Không gian Modular Không gian mêtric tuyến tính đầy đủ Không gian khả li Đ1. Không gian Modular 12