Luận văn đường trắc địa và tập lồi trong không gian metric luận văn thạc sỹ toán học

- 1 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ MINH ®êng tr¾c ®Þa vµ tËp låi trong kh«ng gian metric LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH - 2011 - 2 - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ MINH ®êng tr¾c ®Þa vµ tËp låi trong kh«ng gian metric LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học - Tôpô Mã số: 60.46.10 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH VINH - 2011 - 3 - MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU . 2 Chương 1.Đường trắc địa trong không gian metric 4 1.1. Cung trắc địa, đường trắc địa 4 1.2. Độ dài cung . 10 1.3. Đường trắc địa trên mặt cầu 13 Chương 2. Tập lồi trong không gian metric………………………… . 22 2.1. Tập lồi trong không gian vectơ……… …………………………. 22 2.2. Tập lồi trắc địa và bao lồi trắc địa …… ………………………. 30 2.3. Hàm lồi trong không gian metric . 35 KẾT LUẬN……………………………………………………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………… 41 LỜI NÓI ĐẦU - 4 - Nghiên cứu các tập lồi là một nhánh của hình học có nhiều mối quan hệ với các lĩnh vực khác của Toán học như: giải tích, lý thuyết tối ưu, xác suất thống kê Tầm quan trọng của lí thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế là các tập lồi phát sinh thường xuyên trong nhiều lĩnh vực Toán học cũng như trong các bộ môn khoa học khác, đặc biệt là Vật lí học và khoa học về vũ trụ. Do đó tập lồi cùng các tính chất của nó không chỉ được nghiên cứu trong Hình học Ơclit mà còn là đối tượng nghiên cứu của Hình học phi Ơclit. Mục tiêu của luận văn này là dựa vào các tài liệu tham khảo có thể có được cùng với sự hướng dẫn của TS Nguyễn Duy Bình để tìm hiểu về tập lồi trong không gian mêtric tổng quát. Chúng tôi trình bày khái niệm về tập lồi trắc địa trong không gian mêtric và khảo sát xem các tính chất của tập lồi trong không gian Ơclit còn đúng nữa không trong không gian mêtric nói chung. Luận văn gồm 2 chương: Chương I: Đường trắc địa trong không gian mêtric Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm liên quan đến đường trắc địa với ví dụ lấy trong không gian Ơclit và đường trắc địa trên mặt cầu như là ví dụ minh họa trên một không gian metric khác. Chương II: Tập lồi trong không gian metric. Trong chương này chúng tôi trình bày về tập lồi trong không gian vectơ như một trường hợp riêng của tập lồi trắc địa. Từ đó chúng tôi nêu định nghĩa và khảo sát các tính chất của tập lồi trong không gian mêtric nói chung. Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn TS. NGUYỄN DUY BÌNH đã đặt bài toán và chỉ dẫn đề cương nghiên cứu. Tác giả xin cảm on các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và hướng dẫn tận tình cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này. - 5 - Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG 1 ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA TRONG KHÔNG GIAN METRIC - 6 - 1.1.Cung trắc địa, đường trắc địa 1.1.1. Định nghĩa: Đường cong trong không gian metric X là một hàm liên tục [ ] : ;a b X γ → với [ ] ; ,a b a b⊂ <¡ . ( ) a γ gọi là điểm đầu, ( ) b γ gọi là điểm cuối. Ta nói γ là đường cong trong X đi từ ( ) a γ đến ( ) b γ . Ví dụ: Hàm số [ ] 2 : 1;1 γ − → ¡ ( ) 2 ;t t ta là một hàm liên tục trong 2 ¡ , ( ) ( ) 1 1;1A γ − = − , ( ) ( ) 1 1;1B γ = . Do đó γ là một đường cong trong 2 ¡ đi từ A đến B . 1.1.2. Định nghĩa : Cung trắc địa trong không gian metric X là hàm bảo toàn khoảng cách [ ] : ;a b X α → với , ,a b a b< ∈ ¡ . Nhận xét : Cung trắc địa [ ] : ;a b X α → là đơn ánh, liên tục nên nó cũng là đường cong trong X . Ví dụ : 1) Đường cong [ ] 2 : 1;1 γ − → ¡ ( ) 2 ;t t ta không là cung trắc địa vì nó không bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. 2) Cho ,x y là 2 điểm phân biệt trong không gian Ơclit n E . Hàm : 0; n x y E α  − →   cho bởi ( ) ( ) s s x y x y x α = + − − là cung trắc địa của n E đi từ x đến y . Thật vậy, , 0;s t x y ∀ ∈ −   ta có: ( ) ( ) ( ) s t s t s t y x y x s t y x y x α α − − − = − = − = − − − - 7 - Suy ra α là hàm bảo toàn khoảng cách và ( ) ( ) 0 ,x x y y α α α = − = ⇒ là cung trắc địa đi từ x đến y . W 1.1.3. Định lí: Cho ,x y là 2 điểm phân biệt trong n E và [ ] : ; n a b E α → là đường cong trong n E đi từ x đến y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: 1) Đường cong α là cung trắc địa. 2) Đường cong α thỏa mãn phương trình ( ) ( ) ( ) y x t x t a y x α − = + − − 3) Đường cong α có đạo hàm không đổi [ ] ': ; n a b E α → với chuẩn bằng 1. Chứng minh: Từ 1) suy ra 2): Giả sử α là cung trắc địa, đặt l b a= − . Xét đường cong [ ] : 0; n l E β → cho bởi ( ) ( ) s a s x β α = + − . Ta có [ ] , 0; :s t l ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) s t a s a t a s a t s t β β α α − = + − + = + − − = − Suy ra β là cung trắc địa và ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,a x x x l b x y x β α β α = − = − = = − = − Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 0 ; 0;s s s s s s l β β β β = − = − = − = ∀ ∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . .s l s l s l s l s l s β β β β β β β − = − ⇔ = = ⇒ và ( ) l β phụ thuộc tuyến tính. Do đó tồn tại số 0k ≥ sao cho : ( ) ( ) ( ) ( ) s k l s k l β β β β = ⇔ = ( ) ( ) [ ] ( ) . ; 0; . l s y x k s s s l a s x s l l b a β β α − ⇔ = ⇒ = ∀ ∈ ⇔ + − = − ( ) . y x a s x s y x α − ⇔ + = + − . Đặt ( ) ( ) y x t a s t x t a y x α − = + ⇒ = + − − . - 8 - Từ 2) suy ra 3): Có ( ) ( ) ( ) ( ) ' y x y x t x t a t y x y x α α − − = + − ⇒ = − − không đổi và ( ) ' 1 y x t y x α − = = − . Từ 3) suy ra 1): Giả sử ( ) ' t α không đổi với mọi [ ] ( ) ( ) ; ' 't a b t a α α ∈ ⇒ = . Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 't a a t a t a t a a α α α α α α − = − ⇔ = + − . Khi đó [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; : ' ' 's t a b s t s a a t a a s t a α α α α α ∀ ∈ − = − − − = − ( ) ( ) ( ) 's t s t a s t α α α ⇔ − = − = − Vậy α là cung trắc địa. W 1.1.4. Định nghĩa : Đoạn trắc địa nối từ x đến y trong không gian metric X là ảnh của một cung trắc địa [ ] : ;a b X α → mà điểm đầu là x , điểm cuối là y . Kí hiệu là [ ] ,x y . Ví dụ: Trong n E , đoạn trắc địa nối 2 điểm x , y chính là đoạn thẳng với 2 đầu mút là x , y .Thật vậy, ta đã biết đoạn thẳng trong n E có các mút là x , y được định nghĩa là tập ( ) { } ;0 1 n z E z x y x λ λ ∈ = + − ≤ ≤ . Xét hàm : 0; n y x E α  − →   cho bởi ( ) ( ) t t x y x y x α = + − − . Đặt t y x λ = − thì [ ] 0; : 0;1t y x λ  ∀ ∈ − ∈ ⇒   ảnh của α chính là đoạn thẳng với các mút x , y . Ta có: , 0;s t y x ∀ ∈ −   : ( ) ( ) ( ) ( ) s t s t y x s t y x α α − − = − = − − . Vậy α là cung trắc địa. W - 9 - 1.1.5. Định nghĩa: Không gian metric X là không gian lồi trắc địa khi và chỉ khi với mỗi cặp điểm phân biệt x , y của X có duy nhất một đoạn trắc địa trong X nối từ x đến y . Ví dụ: n E là không gian lồi trắc địa. 1.1.6. Định nghĩa: Không gian metric X là không gian liên thông trắc địa khi và chỉ khi mỗi cặp điểm phân biệt x , y của X được nối bởi 1 đoạn trắc địa trong X . Suy ra không gian metric lồi trắc địa là không gian liên thông trắc địa nhưng không gian liên thông trắc địa chưa chắc là không gian lồi trắc địa. Ta sẽ thấy ví dụ minh họa cho nhận xét này trong mục 1.3. 1.1.7. Định lí: Cho [ ] ,x y và [ ] ,y z là các đoạn trắc địa lần lượt nối từ x đến y và từ y đến z trong không gian metric X . Khi đó, tập [ ] ,x y ∪ [ ] ,y z là đoạn trắc địa nối từ x đến z trong X khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) , , ,d x z d x y d y z= + . Chứng minh: )• Điều kiện cần: Giả sử [ ] ,x y ∪ [ ] ,y z là đoạn trắc địa nối từ x đến z , tức là có 1 cung trắc địa [ ] : ;a c X γ → sao cho ( ) a x γ = , ( ) c z γ = . Vì [ ] ,y x y∈ ∪ [ ] ,y z nên tồn tại [ ] ;b a c∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,b y d x z c a c b b a d y z d x y γ = ⇒ = − = − + − = + . )• Điều kiện đủ: Giả sử có ( ) ( ) ( ) , , ,d x z d x y d y z= + . Gọi [ ] : ;a b X α → và [ ] : ;b c X β → lần lượt là các cung trắc địa đi từ x đến y và từ y đến z . Xét hàm [ ] : ;a c X γ → cho bởi ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ; ; ; ; t t a b t t t b c α γ β  ∀ ∈  =  ∀ ∈   . Khi đó với a s t c≤ < ≤ ta có các trường hợp sau: +) Nếu t b≤ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d s t d s t t s γ γ α α = = − - 10 - +) Nếu b s≤ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d s t d s t t s γ γ β β = = − +) Nếu s b t< < thì : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,d s t d s b d b t γ γ γ γ γ γ ≤ + ( ) ( ) ( ) ,d s t γ γ ⇔ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d s b d b t α α β β + ( ) ( ) ( ) ,d s t b s t b t s γ γ ⇔ ≤ − + − = − Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,d a c d a s d s t d t c γ γ γ γ γ γ γ γ ≤ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,d s t d a c d a s d t c γ γ γ γ γ γ γ γ ⇔ ≥ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d s t d x z s a c t γ γ ⇔ ≥ − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,d s t d x y d y z s a c t γ γ ⇔ ≥ + − − − − ( ) ( ) ( ) ,d s t b a c b s a c t t s γ γ ⇔ ≥ − + − − + − + = − Suy ra ( ) ( ) ( ) ,d s t t s γ γ = − γ ⇒ là hàm bảo toàn khoảng cách trên [ ] ;a c và ( ) ( ) ,a x c z γ γ γ = = ⇒ là cung trắc địa đi từ x đến z mà ảnh của γ là [ ] ,x y ∪ [ ] ,y z . Vậy [ ] ,x y ∪ [ ] ,y z là đoạn trắc địa nối từ x đến z . W 1.1.8.Mệnh đề: Đoạn trắc địa nối 2 điểm x , y trong không gian metric X là tập hợp [ ] ( ) ( ) ( ) { } , : , , ,x y z X d x y d x z d z y = ∈ = + . Chứng minh: Thật vậy, đặt ( ) ( ) ( ) { } : , , ,A z X d x y d x z d z y= ∈ = + ta có: +) [ ] ,z x y∀ ∈ theo định lí 1.1.7 thì ( ) ( ) ( ) [ ] , , , ,d x y d x z d z y z A x y A= + ⇒ ∈ ⇒ ⊂ . +) Giả sử ( ) ( ) ( ) , , ,z A d x y d x z d z y∈ ⇒ = + . Vì [ ] ,x y là đoạn trắc địa nối 2 điểm ,x y nên [ ] ,x y là ảnh của một cung trắc địa [ ] : ;a b X α → sao cho ( ) ( ) ,a x b y α α = = ( ) ( ) ( ) , , ,b a d x y d x z d z y⇒ − = = + ( ) ( ) , ,b d x z a d z y⇔ = + +