Lớp CS môđun và chiều đều của môđun luận văn thạc sỹ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH THIỀU THỊ QUỲNH LÊ LỚP CS- MÔĐUN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 2011 2 MỤC LỤC Mục lục Danh mục các ký hiệu Trang 1 2 Mở đầu 3 Chương I: Kiến thức cơ sở 5 1.1. Môđun, vành noether. 5 1.2. Môđun con cốt yếu, môđun con đều. 6 1.3. Môđun hữu hạn sinh, CS – môđun. 10 Chương II : Chiều đều của môđun và CS- môđun. 14 2.1. Xây dựng chiều đều của môđun. 14 2.2. Một số tính chất của chiều đều hữu hạn. 18 2.3. CS - môđun và chiều đều hữu hạn. 22 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU. N ⊆ M: N là môđun con của M. N ⊂ * M: N là môđun con cốt yếu của môđun M. N ⊆ ⊕ M: N là hạng tử trực tiếp của môđun M. A ⊕ B: Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B. ∑ ∈ Ii M i : Tổng các môđun con M i , i ∈ I. ⊕ ∈ Ii M i : Tổng trực tiếp các môđun M i , i ∈ I. ⊕ = n i 1 M i : Tổng trực tiếp các môđun M i , 1 ≤ i ≤ n. dimM: Số chiều đều của môđun M. r(x): Linh hóa tử phải cuả x. Soc(M): Đế của môđun M. Z: Vành các số nguyên (là Z - môđun). Z(M): Môđun con suy biến của M. □ : Kết thúc một chứng minh. 4 MỞ ĐẦU Khi lớp các CS - môđun ra đời vào năm 1977 và cho đến nay, lý thuyết môđun được phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Những năm gần đây số lượng các bài báo về CS - môđun rất lớn. Đặc biệt N.V. Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer là những người nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về CS - môđun và họ đã viết thành quyển sách bổ ích cho những người nghiên cứu về vành và môđun có tên gọi là “Extending Modules” (xem [ ] 5 ). Chiều đều của môđun là một hướng mở rộng chiều của không gian vectơ. Xuất phát từ ý tưởng trên và dựa chủ yếu tài liệu [ ] 5 luận văn của chúng tôi trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số vấn đề về lớp CS - môđun và chiều đều của môđun. Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh mục các ký hiệu và tài liệu tham khảo. Cụ thể: Chương 1: Kiến thức cơ sở. Trình bày các định nghĩa về môđun, noether, môđun con cốt yếu, môđun con đều, môđun hữu hạn sinh, CS - môđun, và các tính chất cơ bản có liên quan đến luận văn. Chương 2: Chiều đều của môđun và CS - môđun. Chương này được chia làm hai phần: Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm về chiều đều của môđun. Cụ thể trong phần này chúng tôi đưa ra điều kiện của một môđun chứa các môđun con đều và điều kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun. Phần thứ hai : CS -môđun và một số tính chất của chiều đều hữu hạn. 5 Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin được trình bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh. Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy, cô giáo trong khoa Toán, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh và các bạn lớp cao học khoá 17 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Cuối cùng, khả năng còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý của quý thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả 6 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong toàn bộ luận văn vành luôn hiểu là vành có đơn vị, không nhất thiết giao hoán, môđun là môđun phải unita (nếu không nói gì thêm). 1.1. Môđun noether. 1.1.1 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R có đơn vị là 1: i) Mọi dãy tăng các ideal phải đều dừng. ii) Mọi tập hợp khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh. iv) Đối với A là ideal của R thì A và R/A có tính chất i). 1.1.2 Định nghĩa. Vành R thoả mãn một trong các điều kiện của Mệnh đề 1.1.1 được gọi là vành noether phải. 1.1.3 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với R – môđun M: i) Mọi dãy tăng của môđun con của M đều dừng. ii) Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh. iv) Đối với môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i). 1.1.4 Định nghĩa. Mọi R - môđun phải M thoả mãn một trong các điều kiện của Mệnh đề 1.1.2 được gọi là R - môđun noether phải. 1.1.5 Ví dụ. i) Z - môđun Z là noether. ii) Không gian vectơ hữu hạn chiều là môđun noether, không gian vectơ vô hạn chiều không là môđun noether. 7 1.1.6 Hệ quả. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun noether thì M là noether. Chứng minh. Giả sử M = 1 i i n i A = = ∑ , ta biến thành qui nạp theo n. Với n = 1 mệnh đề là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với n - 1. Khi đó môđun con N = ∑ −= = 1 1 ni i A i noether. Ta có M/A n = (N + A n )/A n ≅ N/(N∩ A n ). Nếu N noether thì N/ (N ∩ A n ) noether và do đó M/A n cũng . Khi đó M là noether. □ 1.1.7 Hệ quả. Nếu vành R là noether phải và M là R-môđun hữu hạn sinh thì M là noether. Chứng minh. Với mỗi a ∈ M xét ánh xạ Ψ a : R→ M R  ar Rõ ràng Ψ a là một đồng cấu trúc R - môđun. Theo định lí về đồng cấu môđun ta có: R/ker Ψ a ≅ aR. Do R là noether nên R/ker Ψ a là noether và do đó aR cũng noether. Bây giờ giả sử { a 1 , a 2 , ., a n } là hệ sinh của M, khi đó M = 1 i n i = = ∑ a 1 R. Theo Hệ quả 1.1.6 ta suy ra M là noether. □ 1.2 Môđun con cốt yếu, môđun con đều. 1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R môđun và N là môđun con của M. * Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và kí hiệu là N⊂ * M, nếu với mọi môđun K ⊂ M, K ≠ 0 thì N∩ K ≠ 0. * Nếu N ⊂ * M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N. 8 * Nếu ⊂ * M thì M = 0 (quy ước). 1.2.2 Định nghĩa. Cho R là vành, một R – môđun U được gọi là đều (hay uniform) nếu U ≠ 0và A ∩ B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác không A,B của U. Hay nói cách khác U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U. 1.2.3 Ví dụ. * Z - môđun Z là môđun đều vì: Lấy A = mZ ⊆ Z, m ≠0 và B = kZ ⊆Z, k ≠ 0. Khi đó: 0 ≠ m.k ∈ mZ ∩ kZ. Z - môđun Q là môđun đều vì: Lấy 0 ≠ A,B ⊆ Z Q => ∃ A, n m ∈ B (a, b, m, n ∈ Z * ). Ta có: am = bm. b a ∈ A. am = an. n m ∈ B. Khi đó: 0 ≠ am ∈ A ∩ B. * Mọi môđun con khác không của môđun đều là đều. 1.2.4 Mệnh đề. Cho M là R môđun. Khi đó ta có: i) A ⊂ * M khi và chỉ khi ∀ x ∈ M, x ≠ 0, xR ∩ A ≠ 0. ii) Cho A ⊂ B, B ⊂ M thì A ⊂ * M khi và chỉ khi A ⊂ *B và B ⊂ * M. iii) Nếu A i ⊂ * B i ( ∀ i 1,2, .,n), A i , B i ⊂ M thì  ni i = = 1 A i ⊂  ni i = = 1 B i . Đặc biệt nếu A i ⊂ * M thì  ni i = = 1 A i ⊂ * M. 9 iv) Cho A ⊂ B, B ⊂ M. Nếu B/ A ⊂ * M/ A thì B ⊂ * M. v) Nếu f: M  → N là đồng cấu môđun và A ⊂ * N thì f -1 (A) ⊂ * M. vi)Cho M = M i , A = ⊕ ∈ Ii A i và M i là môđun con của M, ∀ i ∈ I, trong đó A i ⊂ * M i . Khi đó tồn tại ⊕ ∈ Ii M i và A i ⊂ * ⊕ ∈ Ii M i. . Chứng minh. i) Giả sử A ⊂ * M, với 0 ≠ x ∈ M ⇒ xR ≠ 0, xR ≠ M, hiển nhiên xR∩A ≠ 0 (theo định nghĩa). Ngược lại, nếu xR ∩ A ≠ 0, ∀0 ≠ x ∈ M. Khi đó giả sử 0 ≠ X ⊂ M. Mà X ∩ A = 0. Do X ≠ 0 ⇒ ∃x ∈ X, X ≠ 0 ta có: 0 = (X∩ A) ⊃ xR ∩ A ≠ 0.Vô lý. Vậy X ∩ A ≠ 0 hay A ⊂ * M. □ ii) Giả sử A ⊂ * M. Lấy 0 ≠ X ⊂ B ⇒ X ⊂ M ⇒ X ∩ A ≠ 0 (do A ⊂ * M) suy ra A ⊂ * B. Lấy 0 ≠ X ⊂ M=> X ∩ A ≠ 0 => X ∩ B (vì A ⊂ B) => B ⊂* M. Ngược lại, giả sử A ⊂ * M. Lấy 0 ≠ X ⊂ M và B ⊂*M ⇒ X ∩ B ≠ 0. Mà (X ∩ B) ⊂ B và A ⊂* B (X ∩ B) ∩ A ≠ 0 ⇒ A ⊂* M. □ iii) Lấy 0 ≠ X ⊂  ni i = = 1 B i ⇒ X⊂ B i mà A 1 ⊂ * B i ⇒ X ∩ A i ≠ 0 Do đó X ∩  ni i = = 1 A i ≠ 0. Hay  ni i = = 1 A i ⊂*  ni i = = 1 B i . □ iv) Lấy 0 ≠ X ⊂ M. Giả sử X ∩ B = 0 suy ra tồn tại X B. 10 Ta có (X A)/A ⊂ M/A. Do B/A ⊂* M/A nên ((X A)/A) ∩ (B/A) ≠ 0. Suy ra tồn tại x +a + A = b + A ⇒ b+ a’ ∈ X ∩ B (a’ ∈ A) . Vô lý. Vậy X ∩ B ≠0 ⇒ B ⊂ * M. v) Lấy 0 ≠ X ⊂ M. - Nếu f(X) = 0 ⇒ X ⊂ f 1 (A) ⇒ (X ∩ f 1 (A)) = X ≠ 0. - Nếu f(X) ≠ 0. Vì A ⊂ * N ⇒ A ∩ f(X) ≠ 0. Do đó tồn tại a ≠ 0, a ∈ A, và a ∈ f(X) ⇒ a = f(x) và x ∈ X, x ≠ 0. Suy ra x = f 1 (a). ⇒ x ∈ f 1 (A) ⇒ X ∩ f 1 (A) ≠ 0. Vậy f 1 (A) ⊂ * M. □ vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn. Dùng quy nạp ta chỉ xét với n = 2. Ta có M = M 1 + M 2 , A 1 ⊂ * M 1 , A 2 ⊂ * M 2 , tồn tại A 1 ⊕ A 2 . Theo iii) ta có (A 1 ∩ A 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) hay 0 ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) ⇒ M 1 ∩ M 2 = 0 Do đó tồn tại tổng M 1 ⊕ M 2 . Tiếp theo ta xét phép chiếu : ∏ 1 : M 1 ⊕ M 2 → M 1 ∏ 2 : M 1 ⊕ M 2 → M 2 Do A 1 ⊂ * M 1 ⇒ ∏ 1 -1 (A 1 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ) ( theo V). Nhưng ⇒ ∏ 1 -1 (A 1 ) = A 1 ⊕ M 2 ⇒ (A 1 ⊕ M 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 ). (1) Do A 2 ⊂ * M 2 ⇒ ∏ 2 -1 (A 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 )⇒ (A 2 ⊕ M 2 )⊂ * (M 1 ∩ M 2 ). (2) Lấy giao từng vế cuả (1) và (2) ta có: ⇒ (A 1 ⊕ M 2 ) ∩ (A 2 ⊕ M 2 ) ⊂ (M 1 ∩ M 2 ) ⇒ (A 1 ⊕ A 2 ) ⊂ * (M 1 ∩ M 2 )