xiclic hoặc là CS - môđun hoặc là tổng trực tiếp của một môđun noether và một môđun xạ ảnh. Khi đó mọi R - môđun phải xiclic có chiều đều hữu hạn. Đặc biệt RR có chiều đều hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử L là R - môđun phải xiclic bất kỳ, gọi E là môđun con cốt yếu trong L, ta có L/E là một môđun phải xiclic. Ta sẽ chứng minh L/E là CS - môđun. Giả sử L/E chứa môđun con xạ ảnh P.
Khi đó P = L’/E trong đó E ⊂ L’ ⊂ L.
Vì E ⊂* L suy ra E ⊂ * L’. Do L’/E xạ ảnh nên dãy khớp: 0 → E → L’ → L’/E → 0 chẻ ra,
nên L’ ≅ E ⊕( L’/E) ⇒ E ⊆ ⊕ L’, do E ⊂ * L’⇒ E = L’ (bởi vì giả sử L’ = E ⊕ E’, do E ⊂* L’ nếu E’ ≠ 0 ⇒ E ∩ E’≠ 0. Vô lý. Vậy E’ = 0 ⇒ E = L’). Từ đó P = L’/E = 0, suy ra L/E không thể là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun noether. Theo tính chất (P’) thì L/E là
CS - môđun, ∀E ⊂ *L.
Áp dụng Bổ đề 2.3.4 với M = L/E là môđun xiclic và với chú ý mỗi môđun thương con của L/E có dạng N/T với E ⊂* T ⊂* L.
Vì vậy T ⊂ * N nên như đã chứng minh ở trên thì N/T là CS - môđun và vì vậy L/E có chiều đều hữu hạn. Theo Mệnh đề 2.2.7 ta có L/Soc(L) có chiều đều hữu hạn. (1)
Theo Bổ đề 2.2.3 để chứng minh L có chiều đều hữu hạn ta sẽ chứng minh Soc(L) có chiều đều hữu hạn. Giả sử Soc(L) không có chiều đều hữu hạn. Bởi vì Soc(L) là tổng trực tiếp các môđun con đơn nên tồn tại các môđun con W và V là tổng trực tiếp vô hạn các môđun con đơn sao cho Soc(L) = W ⊕ V.
Ta xét môđun thương L/W.
* Nếu L/W là CS - Môđun và xiclic, ta có V ≅ Soc(L)/W, nên L/W thỏa mãn điều kiện của Mệnh đề 2.3.3 suy ra ( L/W)/(Soc(L)/W) không có chiều đều hữu hạn. Mặt khác L/Soc(L)/W) ≅ (L/W)/(Soc(L)/W) suy ra L/Soc(L) không có chiều đều hữu hạn. Mâu thuẫn với (1).
* Điều này chứng tỏ L/W không là CS - môđun, theo tính chất (P’) ta có L/W = P ⊕ N, trong đó P là xạ ảnh và N là noether.
Khi đó tồn tại U mà W ⊂ U để N = U/W là noether và ( L/W)/(U/W) ≅ P, (L/W)/(U/W) ≅ L/U ⇒ (L/W)/(U/W) ≅ L/U≅ L/U≅ P xạ ảnh.
Do đó có dãy khớp 0 → U → L → L/U → 0 chẻ ra nên L ≅ U ⊕( L/U) ⇒ U ⊆⊕ L và vì vậy L = U ⊕ P’. Trong đó P’ ≅ L/U ≅ P. (2)
Vì W ⊂ U ⇒ Soc(U) bằng tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con đơn. Mặt khác bởi Bổ đề 2.2.6, U ≅ L/P’ xiclic và P’ ≅ L/U xiclic nên
U ≠ Soc(U) (vì nếu U = Soc(U), U xiclic ⇒ U bằng tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con đơn. Mâu thuẫn với W ⊂ U).
Hơn nữa với phép nhúng:
(U/Soc(U)) ⊕(P/Soc(P’)) → (U ⊕P’)/ (Soc(U) ⊕Soc(P’)). (x + Soc(U), y + Soc(P’) ) x + y + ( Soc(U) ⊕ Soc(P’)) Nên ta có (U/Soc(U)) ⊕ (P’.Soc(P’)) ⊂ (U ⊕ P’/Soc(U)) ⊕ Soc (P’). Ta thấy U/ Soc(U) ≠ 0 (bởi vì U ≠ Soc(U)), P’/Soc(P’) ≠ 0 vì nếu Soc(P’) = P’, khi đó:
* Hoặc Soc(P’) vô hạn ⇒ mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.8, vì P’ xiclic.
* Hoặc Soc(P’) hữu hạn ⇒ P’ noether ⇒ L/U noether ⇒ P noether (do (2)) suy ra L/W = P ⊕ N noether. Vô lý vì V ≅ Soc(L)/W, mà V là tổng trực tiếp vô hạn các môđun con đơn ⇒ L/W chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con đơn ⇒ L/W không noether.
Vậy Soc(P’) ≠ P ⇒ P’/Soc(P’) ≠ 0 .
Áp dụng lập luận trên cho Soc(U) như Soc(L) ta thấy L/ Soc(L) chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không :
Điều này mâu thuẫn với L/Soc(L) có chiều đều hữu hạn ⇒ Soc(L) có chiều đều hữu hạn và vì vậy L có chiều đều hữu hạn. Định lý được chứng minh. □
KẾT LUẬN
1.Trình bày khái niệm về môđun con cốt yếu, môđun con đều và một số tính chất của chúng.
2. Trình bày chi tiết tính bất biến của số hạng tử tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều mà cốt yếu trong M để từ đó trình bày định nghĩa chiều đều của môđun.
3. Trình bày một số tính chất của chiều đều.
4. Trình bày chi tiết một số kết quả của CS - môđun với chiều đều hữu hạn.