Về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ luận văn thạc sỹ toán học

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH Lê Đăng Bản Về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng NGH AN - 2011 1 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu .2 2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R R : R - môđun trái R. R R : R - môđun phải R. R A R< : A là iđêan trái của vành R. ⊕ : Tổng trực tiếp.  : Kết thúc một chứng minh. 3 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết vành là một trong những lý thuyết phát triển mạnh mẽ trong giai đoạn hiện nay. Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc trưng các lớp vành được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả sâu sắc. Chúng ta biết rằng đối với một vành R bất kỳ, theo định lý về đồng cấu vành chúng ta có R  l(a) @ Ra,∀a ∈ R (trong đó l(a) là linh hóa tử trái của phần tử a). Tuy nhiên tính đối ngẫu R  Ra @ l(a) không phải bao giờ cũng đúng. Năm 1976, G.Erlich đã đưa ra một số lớp vành thỏa mãn điều kiện R  Ra @ l(a), lớp vành đó được gọi là vành cấu xạ. Năm 2004, Nicholson và Campos đã đưa ra các điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hóa tử của các phần tử [8]. Nhờ sử dụng điều kiện mới này việc nghiên cứu vành tựa cấu xạ tỏ ra hiệu quả và đạt được nhiều kết quả. Vào năm 2007, V.Camillo và Nicholson đã mở rộng điều kiện trên và đưa ra lớp vành tựa cấu xạ [3]. Mục đích của luận văn này là dựa trên hai bài báo [3], [8] hệ thống lại một số tính chất của vành cấu xạ và tựa cấu xạ và tính chất về các phần tử của hai lớp vành này. Luận văn được chia thành 2 chương: Chương I: Trình bày một số khái niệm cơ sở. Chương II: Trình bày về phần tử cấu xạ, vành cấu xạ; phần tử tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ; một số đặc trưng QF – vành bởi các lớp vành cấu xạ và tựa cấu xạ. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã nhận được sự động viên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình của các cấp lãnh đạo, của các thầy giáo, cô giáo, anh chị em, bạn bè đồng nghiệp và gia đình. 4 Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: - Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Thường Xuân 2. - Các thầy, cô giáo Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh. Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS Ngô Sỹ Tùng và nhiều thầy cô, giáo đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ, góp ý để Luận văn này được hoàn thành. Mặc dù đã cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp nhưng luận văn khó tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong được sự góp ý của thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Nghệ An, tháng 10 năm 2011 Tác giả 5 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi trình bày các định nghĩa, các tính chất liên quan đến luận văn. Các vành được giả thiết là vành có đơn vị và các môđun trên một vành được hiểu là môđun trái unita. 1.1. Các phần tử đặc biệt trong vành 1.1.1. Phần tử lũy đẳng Cho vành R và các phần tử e, f trong R. Phần tử e được gọi là lũy đẳng trong R nếu e 2 = e. Hai phần tử e, f được gọi là lũy đẳng trực giao nếu e 2 = e; f 2 = f; ef = fe = 0. 1.1.2. Phần tử chính quy Cho vành R, phần tử a trong R được gọi là phần tử chính nếu tồn tại phần tử b trong R sao cho aba = a. 1.1.3. Phần tử chính quy khả nghịch Cho vành R, phần tử a trong vành R được gọi là phần tử chính quy khả nghịch nếu tồn tại phần tử khả nghịch b trong R sao cho aba = a. 1.1.4. Nhận xét: Phần tử chính quy khả nghịch là phần tử chính quy nhưng điều ngược lại không đúng (đã có ví dụ trong [4]). 1.2. Định lý cơ bản về sự phân tích vành. Giả sử R là một vành có đơn vị 1. (i) Nếu R có sự phân tích trái = ⊕ R i I R A ( ) < i R A R thì: + Tập I hữu hạn (tức là { } 0 1= =I I , ,n ) 6 + Tồn tại 1 2 ∈ k e ,e , .,e R là các luỹ đẳng mà: 1 2 i 1 1 0 , 1 i i n j A Re , i ,n e e . e e e i j ,n  = ∀ =  + + + =   = ∀ ≠ =  (ii) Ngược lại, nếu tồn tại các luỹ đẳng 1 2 ∈ n e ,e , .,e R mà: 1 1+ + = n e . e , 0 1= ∀ ≠ = i j e e , i j ,n thì 1 = ⊕ ⊕ R n R Re . Re . 1.3. Một số định nghĩa và tính chất. 1.3.1. Vành Bun. Vành R được gọi là vành Bun (Boolean ring) nếu mọi phần tử của R là lũy đẳng. 1.3.2. Vành chính quy. Vành R được gọi là vành chính quy (regular ring) quy nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy. 1.3.3. Định lý (Đặc trưng của vành chính quy). Cho vành R, các khẳng định sau đây là tương đương: (i) R là vành chính quy (ii) Mọi iđêan chính trái sinh bởi phần tử lũy đẳng. (iii) Mọi iđêan chính trái là hạng tử trực tiếp trong R. (iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp trong R. 1.3.4. Vành chính quy khả nghịch. Vành R được gọi là vành chính quy khả nghịch (unit regular ring) nếu mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy khả nghịch. Nhận xét: Vành chính quy khả nghịch là vành chính quy nhưng điều ngược lại không đúng. 1.3.5. Vành nửa đơn. Vành R được gọi là vành nửa đơn (semisimple ring) nếu ∈ = ⊕ i i I R R với R i là iđêan trái tối tiểu của R. 7 1.3.6. Định lý (Đặc trưng của vành nửa đơn). Cho vành R, các khẳng định sau đây là tương đương: (i) R là vành nửa đơn. (ii) R là tổng hữu hạn các iđêan trái tối tiểu. (iii) Mọi iđêan trái là hạng tử trực tiếp của R. (iv) Mọi iđêan trái của R sinh bởi phần tử lũy đẳng. 1.4. Linh hóa tử 1.4.1. Định nghĩa. Cho vành R và ∅ ≠ ⊆A R . Khi đó: a) ( ) { } 0l A r R ra , a A= ∈ = ∀ ∈ được gọi là linh hóa tử trái (left annihilator) của A trong vành R. b) ( ) { } 0r A r R ar , a A= ∈ = ∀ ∈ được gọi là linh hóa tử phải (right annihilator) của A trong vành R. c) Nếu { } =A a thì chúng ta viết l(a) hoặc r(a) tương ứng. 1.4.2. Tính chất. Cho vành R và ∅ ≠ ⊆A,B R . Khi đó: (i) ( ) ( ) < < R R l A R; r A R (ii) a) Nếu < R A R thì ( ) l A R< . b) Nếu < R A R thì ( ) r A R< . (iii) ( ) ( ) A l l A⊆ và ( ) ( ) A r r A⊆ . (iv) Nếu ⊆A B thì ( ) ( ) ⊆l B l A và ( ) ( ) ⊆r B r A . 8 1.4.3. Nhận xét. Cho vành R và a ∈ R. Xét toàn cấu →f : R Ra xác định bởi: f(x) = xa, ∀x ∈ R. Khi đó theo định lý đồng cấu ta có: Ra ≅ R/Kerf. Ta có: Kerf = { } ( ) 0x R xa l a∈ = = . Dẫn đến: Ra ≅ R/l(a). Tuy nhiên R/Ra ≅ l(a) không phải bao giờ cũng đúng. Chẳng hạn: Xét vành số nguyên Z và iđêan chính Z .2 của nó. Ta có: 2 2 =.Z Z Z/ . và ( ) { } 2 2 0 0l x x.= ∈ = =Z . Chúng ta nhận thấy 0 2≅Z Z/ . nhưng ( ) 2 2 0 2/ . l .= ≅ =Z Z Z Trong chương sau chúng ta sẽ xét đến lớp vành có tính chất R/Ra ≅ l(a) và lớp vành mở rộng lớp vành này. Các lớp vành đó được gọi là vành cấu xạ (morphic ring) và tựa cấu xạ (quasi – morphic ring). 1.5. Vành P – nội xạ 1.5.1. Môđun nội xạ. Cho vành R và A, M là các R – môđun phải. Môđun M được gọi là A - nội xạ (A-injective) nếu với mọi môđun X của A, mỗi đồng cấu ϕ →: X M đều có thể mở rộng tới đồng cấu →ψ : A M . Môđun M được gọi là nội xạ (injective) nếu M là A – nội xạ với mọi môđun A. 1.5.2. Định lý (Tiêu chuẩn Baer). Môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M là R – nội xạ. 1.5.3. Môđun P – nội xạ. Cho vành R và M là một R – môđun phải. Môđun M được gọi là nội xạ chính phải (viết tắt P-nội xạ phải) nếu mọi R- đồng cấu ϕ : Ra M→ với bất kỳ a ∈ R đều có thể mở rộng tới đồng cấu →ψ : R M . 9 1.5.4. Nhận xét: Từ định nghĩa của môđun P – nội xạ và tiêu chuẩn Baer chúng ta thấy mọi môđun nội xạ là môđun P – nội xạ. Trong đề tài này chúng tôi còn sử dụng định nghĩa tương đương định nghĩa trên như sau: Cho vành R và M là một R- môđun phải. Môđun M được gọi là nội xạ chính phải (viết tắt P – nội xạ phải) nếu mọi R – đồng cấu ϕ →: aR M là phép nhân với một phần tử m ∈ M (kí hiệu ϕ = m). 1.5.5. Vành P – nội xạ. Vành R được gọi là nội xạ chính phải (P – nội xạ phải) nếu R R là môđun P – nội xạ, nghĩa là mọi iđêan chính phải aR đều mở rộng được. 1.5.6. Định lý (đặc trưng vành P – nội xạ). Cho vành R. Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành P – nội xạ phải. (ii) l(r(a)) = Ra, ∀a ∈ R. (iii) Nếu r(a) ⊆ r(b) với a, b ∈ R thì Rb ⊆ Ra. (iv) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra, ∀a, b ∈ R. (v) Nếu ϕ →: aR R trong đó a ∈ R là R – tuyến tính thì ϕ (a) ∈ Ra. 1.6. Điều kiện chuỗi trên vành 1.6.1. Định nghĩa: Xét tập hợp (X, ≤) với quan hệ ≤ . * Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng nếu với mọi xích (chuỗi) 1 2 . . n x x x≤ ≤ ≤ ≤ đều tồn tại * n∈ ¥ sao cho 1 . n n x x + = = . Ta kí hiệu chuỗi tăng là ACC. * Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm nếu với mọi xích (chuỗi) 1 2 . . n x x x≥ ≥ ≥ ≥ đều tồn tại * n∈ ¥ sao cho 1 . n n x x + = = . Ta kí hiệu chuỗi tăng là DCC. 10 . Trình bày về phần tử cấu xạ, vành cấu xạ; phần tử tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ; một số đặc trưng QF – vành bởi các lớp vành cấu xạ và tựa cấu xạ. Trong. Bản Về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Ngô Sỹ