Sự phân lớp các không gian điểm

Mục lục Trang Lời nói đầu 3 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản .5 2. W - Shape điểm và S - Shape điểm .11 3. Các ánh xạ xấp xỉ của không gian compact điểm 14 4. Phép cộng của W - Shape điểm và S - Shape điểm 18 5. Phép nhân của W - Shape điểm .28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời nói đầu Lý thuyết Shape là một bộ phận của lý thuyết tôpô vô hạn chiều là một ngành toán học đợc giải tích hàm quan tâm khai thác; kết quả đã trở thành một trong những tiền đề để nghiên cứu và xây dựng ngành toán học hiện đại. Khái niệm đầu tiên của lý thuyết Shape xuất hiện vào năm 1968. Mục đích của lý thuyết Shape là phân lớp các không gian từ những quan điểm tôpô. Trong trờng hợp các không gian hoàn toàn chính quy địa phơng, nh không gian n - chiều hoặc ANR - không gian, một quan điểm tơng tự của dạng đợc công nhận trong lý thuyết đồng luân, dẫn đến sự phân lớp của các không gian trên các kiểu đồng luân. Vấn đề của luận văn là nghiên cứu những con đờng để phân lớp các không gian điểm đó chính là nghiên cứu khái niệm W Shape điểm, S Shape điểm và mối liên hệ giữa chúng, các phép toán của W Shape điểm, S Shape điểm, đồng thời xét các mối quan hệ giữa ánh xạ xấp xỉ và đồng luân. Với mục đích đó nên chúng tôi chon đề tài nghiên cứu là:Sự phân lớp các không gian điểm Luận văn đợc trình bày theo các phần sau: 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Chúng tôi hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản đợc sử dụng trong tài liệu [1] và [2] làm cơ sở cho các phần tiếp theo. 2. W Shape điểm và S Shape điểm Trình bày các khái niệm, tính chất và mối liên hệ giữa W Shape điểm và S - Shape điểm, chứng minh chi tiết Định lý 2.6 nhằm xét tính tầm thờng của W - Shape điểm, đa ra nhận xét 2.7. 3. Các ánh xạ xấp xỉ của không gian compact điểm Trình bày các khái niệm, tính chất ánh xạ xấp xỉ, mối liên hệ giữa ánh xạ 2 xấp xỉ và đồng luân, chứng minh chi tiết điều kiện cần để các ánh xạ xấp xỉ thì đồng luân với nhau đó là việc chứng minh Mệnh đề 3.4, 3.5, 3.6. 4. Phép cộng của W Shape điểm và S Shape điểm Trình bày các khái niệm và tính chất về phép cộng W Shape điểm S Shape điểm, làm sáng tỏ mối quan hệ giữa tổng của các W Shape , S Shape điểm với W Shape , S Shape điểm, chứng minh chi tiết các Định lí 4.2, 4.3, 4.4. 5. Phép nhân của W Shape điểm Hệ thống các khái niệm và tính chất của phép nhân W Shape điểm, chứng minh Định lí 5.3, Hệ quả 5.5. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của PGS. TS. Tạ Khắc C. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh cùng các giáo viên trờng THPT Hoàng Mai và các học viên cao học Giải Tích khoá 12 đã quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình nghiên cứu. Mặc dù rất cố gắng nhng thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Tác giả 3 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản Trong phần này chúng tôi hệ thống các khái niệm và tính chất của r - ánh xạ, ( )AR M - không gian, ANR ( M )- không gian, W - dãy, S - dãy, W - đồng luân, S - đồng luân, W trội, S - trội, W - tơng đơng, S - tơng đơng .để làm cơ sở cho phần sau. 1.1.Định nghĩa. Giả sử X và Y là các 2 T - không gian, ánh xạ :f X Y đợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại một ánh xạ :g Y X sao cho :fg Y Y là ánh xạ đồng nhất trên Y . Nếu :f X Y là r - ánh xạ thì Y đợc gọi là r - ảnh của X . 1.2. Định nghĩa. Giả sử X và Y là các 2 T - không gian, Y là tập con của X . Khi đó ánh xạ :f X Y đợc gọi là ánh xạ co rút (hay phép co rút) nếu ( )f x x= với mọi x Y . 1.3. Định nghĩa. Tập con 0 X của 2 T - không gian đợc gọi là cái co rút của X nếu tồn tại phép co rút từ X lên 0 X . 1.4. Định nghĩa. Một tập con đóng 0 X của không gian X đợc gọi là co rút lân cận của không gian X nếu 0 X là cái co rút của một tập mở nào đó chứa trong không gian X . 1.5. Định nghĩa. Giả sử X và Y là các không gian mêtríc i) Không gian X đợc gọi là co rút tuyệt đối đối với mọi không gian mêtríc, nếu với mỗi đồng phôi h từ X lên tập con đóng ( )h X của không gian mêtríc Y thì ( )h X là cái co rút của Y , kí hiệu X AR ( M ) hoặc là một ( )AR M - không gian. ii) Không gian X đợc gọi là co rút lân cận tuyệt đối đối với mọi không gian mêtríc, nếu với mỗi đồng phôi h từ X lên tập con đóng ( )h X của không 4 gian mêtríc Y thì ( )h X là cái co rút lân cận của Y , kí hiệu X ANR ( M ) hoặc là một ANR ( M )- không gian. 1.6. Định nghĩa. Cho hai không gian X , Y . Khi đó ta kí hiệu X Y là tập gồm mọi ánh xạ từ X vào Y . Trong không gian hàm X Y có thể trang bị tôpô bằng cách cho tiền cơ sở trong đó. Ta làm nh sau Đối với mỗi tập compact 0 X X và mỗi tập mở V Y , kí hiệu 0 ( , )G X V là tập tất cả các ánh xạ f X Y sao cho 0 ( )f X V . Họ tất cả các tập 0 ( , )G X V nh thế tạo nên tiền cơ sở của không gian X Y . Do đó, tôpô này đợc gọi là tôpô compact mở. Cặp không gian ( 0 ,X X ) gồm không gian X và tập con 0 X của nó. Cặp ( X , ) ta xem nh X . 1.7. Định nghĩa. Một không gian điểm ( X , 0 x ) là một không gian X với một điểm 0 x X đã đợc chọn và 0 x gọi là điểm cơ sở. Bao hàm ( X , 0 x ) 0 ( , )Y y đợc hiểu là X Y và 0 0 x y= . Một tập con 0 ( , )U u gọi là lân cận của ( X , 0 x ) trong không gian M nếu U là lân cận của X trong không gian M và 0 u = 0 x . 1.8. Định nghĩa. ánh xạ : 0 0 ( , ) ( , )X x Y y hiểu là ánh xạ : X Y thoả mãn 0 0 ( )x y = . ánh xạ đợc gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại ánh xạ : 0 0 ( , ) ( , )Y y X x sao cho là ánh xạ đồng nhất trên 0 ( , )Y y . Trờng hợp riêng, nếu Y X , 0 0 x y= thì ánh xạ : 0 0 ( , ) ( , )X x Y y đ- ợc gọi là ánh xạ co rút nếu ánh xạ lồng i : 0 0 ( , ) ( , )Y y X x là nghịch phải của và ta nói cặp 0 ( , )Y y là cái co rút của cặp 0 ( , )X x . 1.9. Định nghĩa. Các ánh xạ 0 ( , ) 0 1 0 , ( , ) X x f f Y y đợc gọi là đồng luân 5 nếu với mỗi [ ] 0,1t , tồn tại một ánh xạ 0 ( , ) 0 ( , ) X x t f Y y liên tục phụ thuộc t và thoả mãn 0 0t f f = = , 1 1t f f = = . Khi đó ta cũng nói họ { } t f là họ đồng luân hợp 0 f với 1 f và viết 0 f ; 1 f . Trờng hợp riêng, ánh xạ 0 ( , ) 0 0 ( , ) X x f Y y đợc gọi là đồng luân không nếu 0 f ; 1 f , trong đó 1 f là ánh xạ từ X lên một điểm 0 y Y . 1.10. Định nghĩa. Tập con A của 2 T - không gian X đợc gọi là co rút theo không gian X vào tập B X nếu ánh xạ lồng :i A X đồng luân với ánh xạ :f A X sao cho ( )f A B . Nếu :i X X đồng luân với ánh xạ :f X X mà ( )f x a= với x X , a là một điểm nào đó của X thì ta nói là X co rút điểm. 1.11. Định lí. Nếu X là co rút điểm thì r - ảnh của nó cũng co rút điểm. 1.12. Định nghĩa. Ta viết 0 0 : ( , ) ( , )f X x Y y nếu f là ánh xạ từ X vào Y sao cho 0 0 ( )f x y= . Ta kí hiệu 0 0 ( , ) ( , ) , , X X X X x i i i là các ánh xạ đồng nhất t- ơng ứng từ 0 0 ,( , ),( , )X X X X x vào chính nó. 1.13. Định nghĩa. Giả sử X , Y là hai tập tơng ứng nằm trong hai không gian ,M N AR ( M ), 0 x là một điểm của X và 0 y là một điểm của Y . Một W dãy từ 0 0 ( , ),( , )X x Y y trong ,M N chúng ta hiểu là bộ ba gồm cặp 0 0 ( , ),( , )X x Y y và một dãy ánh xạ 0 0 : ( , ) ( , ) k f M X N y , với 1, 2,3k = , ., sao cho với mỗi tập compact A X tồn tại một tập compact B Y chứa 0 y và với mọi lân cận V của B trong N tồn tại một lân cận U của A trong M thoả mãn điều kiện k f 0 /( , )U U x ; 1k f + 0 /( , )U U x trong ( V , 0 y ) với hầu hết k . Khi đó ta kí hiệu W dãy này là { } 0 0 , ,( , ),( , ) k M N f f X x Y y= . 6 1.14. Định nghĩa. Một W dãy { } 0 0 , ,( , ),( , ) k M N f f X x Y y= gọi là S dãy nếu với mọi lân cận V của Y trong N tồn tại một lân cận U của X trong M sao cho k f / 0 ( , )U x ; 1k f + / 0 ( , )U x trong ( V , 0 y ) với hầu hết k . 1.15. Định nghĩa. Giả sử hai W dãy { } 0 0 , ,( , ),( , ) k M N f f X x Y y= và { } 0 0 , ,( , ),( , ) k N M g g Y y X x= thoả mãn: Với mọi tập compact A X tồn tại một tập compact B Y chứa 0 y và với mọi lân cận V của B trong N tồn tại một lân cận U của A trong M thoả mãn k f 0 /( , )U U x k g; 0 /( , )U U x trong 0 ( , )V y với hầu hết k . Khi đó ta gọi f và g là đồng luân yếu (hay W - đồng luân), kí hiệu W f g; . 1.16. Định nghĩa. Giả sử hai W dãy { } 0 0 , ,( , ),( , ) k M N f f X x Y y= , { } 0 0 , : ( , ),( , ) k M N g g X x Y y= thoả mãn điều kiện: Với mọi lân cận V của Y trong N tồn tại một lân cận U của X trong M sao cho k f / 0 ( , )U x k g; / 0 ( , )U x trong ( 0 ,V y ) với hầu hết k . Khi đó f và g đợc gọi là đồng luân mạnh (hay S - đồng luân) và kí hiệu S f g; . 1.17. Định nghĩa. Tập tất cả các S - dãy (hoặc W - dãy) từ ( 0 ,X x ) tới ( 0 ,Y y ) đợc gọi là S - lớp (hoặc W - lớp) trong M , N . Một S - lớp (hoặc W - lớp) với đại diện f đợc kí hiệu [ ] S f ( hoặc [ ] W f ). 1.18.Mệnh đề. Nếu { } 0 0 , ,( , ),( , ) k M N f f X x Y y= và { } 0 0 , ,( , ),( , ) k N P g g Y y Z z= là các W - dãy (hoặc S - dãy) thì g f = { } 0 0 , ,( , ),( , ) k k M P g f X x Z z là W -dãy (hoặc S - dãy). Hơn nữa nếu f W ; 'f , g ' W g; thì ' ' W g f g f; và nếu f S ; 'f , với g ' S g; thì ' ' S g f g f; . 7 1.19. Định nghĩa. Một W dãy( S dãy) { } 0 0 , ,( , ),( , ) k M N f f X x Y y= đợc gọi là sinh bởi ánh xạ 0 0 : ( , ) ( , )f X x Y y nếu ( ) ( ) K f x f x= , x X , 1, 2,3k = , . Đặc biệt ánh xạ đồng nhất 0 0 : ( , ) ( , )i X x X x sinh ra S dãy đồng nhất 0 ( , ),X x M i = 0 0 , { ,( , ),( , )} M M i X x X x . 1.20. Định nghĩa. Giả sử ( 0 ,X x ), ( 0 ,Y y ) là các cặp tập đóng tơng ứng nằm trong không gian ,M N AR ( M ), ( 0 ,X x ) đợc gọi là W - trội đối với ( 0 ,Y y ) trong không gian M và N , kí hiệu 0 0 ( , ) ( , ) W X x Y y nếu tồn tại hai W dãy f : ( 0 ,X x ) ( 0 ,Y y ) trong M , N , g :( 0 ,Y y ) ( 0 ,X x ) trong N , M sao cho W f g ; 0 ( , ),Y y N i . 1.21. Định nghĩa. Giả sử ( 0 ,X x ), ( 0 ,Y y ) là các cặp tập đóng tơng ứng nằm trong không gian ,M N AR ( M ), ( 0 ,X x ) đợc gọi là S - trội đối với ( 0 ,Y y ) trong không gian M và N , kí hiệu 0 0 ( , ) ( , ) S X x Y y nếu tồn tại hai S dãy 0 0 : ( , ) ( , )f X x Y y trong M , N , 0 0 : ( , ) ( , )g Y y X x trong N , M sao cho S f g ; 0 ( , ),Y y N i . 1.22. Nhận xét. 1.22.1. Nếu 0 ( , )X x S 0 ( , )Y y thì 0 ( , )X x W 0 ( , )Y y . 1.22.2. Với mọi cặp điểm 0 ( , )X x ta luôn có 0 ( , )X x S 0 ( , )X x . 1.22.3. Nếu 0 ( , )X x W 0 ( , )Y y và 0 ( , )Y y W ( 0 ,Z z ) thì 0 ( , )X x W ( 0 ,Z z ). 1.22.4. Nếu 0 ( , )X x S 0 ( , )Y y và 0 ( , )Y y S ( 0 ,Z z ) thì 0 ( , )X x S ( 0 ,Z z ). 1.23. Định nghĩa. Một W dãy f : 0 ( , )X x 0 ( , )Y y trong M , N đợc gọi là W - dãy tơng đối tơng đơng trong M , N nếu tồn tại một W -dãy 8 0 0 : ( , ) ( , )g Y y X x trong N , M sao cho f g W ; 0 ( , ),Y y N i , g f W ; 0 ( , ),X x M i khi đó ta nói rằng 0 ( , )X x là W - tơng đối tơng đơng đối với 0 ( , )Y y trong M , N , và kí hiệu là 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N 1.24. Định nghĩa. Một S dãy f : 0 ( , )X x 0 ( , )Y y trong M , N đợc gọi là S - dãy tơng đối tơng đơng trong M , N nếu tồn tại một S - dãy 0 0 : ( , ) ( , )g Y y X x trong N , M sao cho f g S ; 0 ( , ),Y y N i , g f S ; 0 ( , ),X x M i và ta nói rằng 0 ( , )X x là S - tơng đối tơng đơng đối với 0 ( , )Y y trong M , N ,viết là 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N . 1.25. Nhận xét. 1.25.1. Nếu 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N thì 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N . 1.25.2 .Với mọi cặp điểm 0 ( , )X x ta luôn có 0 ( , )X x S ; 0 ( , )X x . . ,rel M M . 1.25.3. Nếu 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N và 0 ( , )Y y S ; ( 0 ,Z z ). . ,rel N P thì 0 ( , )X x S ; ( 0 ,Z z ). . ,rel M P . 1.25.4. Nếu 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N và 0 ( , )Y y W ; 0 ( , )Z z . . ,rel N P thì 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Z z . . ,rel M P . 1.26. Định nghĩa. Giả sử 0 ( , )X x , 0 ( , )Y y là các cặp tập đóng tơng ứng trong không gian M , N AR ( M ) và 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y . . ,rel M N thì 0 ( , )X x đợc gọi là W - tơng đơng với 0 ( , )Y y và kí hiệu 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y . 1.27. Định nghĩa. Giả sử 0 ( , )X x , 0 ( , )Y y là các cặp tập đóng tơng ứng trong không gian M , N AR ( M ) và 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y . ,rel M N thì 0 ( , )X x đợc gọi là S - tơng đơng với 0 ( , )Y y và kí hiệu 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y . 1.28. Nhận xét. 9 1.28.1. Nếu 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y thì 0 ( , )X x S 0 ( , )Y y . 1.28.2. Nếu 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y thì 0 ( , )X x W 0 ( , )Y y . 1.28.3. Nếu 0 ( , )X x S ; 0 ( , )Y y thì 0 ( , )X x W ; 0 ( , )Y y . 1.28.4. Nếu ( X , 0 x ) là r - ảnh của ( Y , 0 y ) thì ( X , 0 x ) S ( Y , 0 y ). 2. W shape điểm và S shape điểm Trong phần này chúng tôi giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản của W shape điểm , S shape điểm chứng minh chi tiết Định lí 2.6 mà trong tài liệu tham khảo [2] cha chứng minh đồng thời đa ra nhận xét 2.7. 2.1. định nghĩa. Tập hợp tất cả các không gian điểm ( 'X , ' 0 x ) là W - tơng đơng với không gian điểm ( X , 0 x ) cho trớc đợc gọi W - Shape của ( X , 0 x ) và ký hiệu 0 ( , ) W Sh X x . Tập các W - shape của các không gian điểm đợc gọi là W - Shape điểm. 2.2. Nhận xét. i) Nếu ( X , 0 x ) 0 ( , ) W Y y , thì 0 ( , ) W Sh Y y đợc gọi là bé hơn hoặc bằng 0 ( , ) W Sh X x và viết 0 ( , ) W Sh X x 0 ( , ) W Sh Y y . ii) Một 0 ( , ) W Sh X x , trong đó X chỉ chứa duy nhất một điểm 0 x thì đợc gọi W - Shape điểm tầm thờng . iii) Một W - Shape tầm thờng luôn bé hơn hoặc bằng mọi W - Shape bất kỳ . 2.3. Định nghĩa. Tập tất cả các không gian điểm , 0 ( ', )X x là S - tơng đơng với không gian điểm 0 ( , )X x cho trớc đợc gọi là S - Shape của 0 ( , )X x và ký hiệu là 0 ( , ) S Sh X x . 10