Về phép tính tựa vi phân trên các không gian p định chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - VÕ TUYẾT XUÂN VỀ PHÉP TÍNH TỰA VI PHÂN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN P − ĐỊNH CHUẨN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. KIỀU PHƯƠNG CHI Nghệ An - 2014 2 MỤC LỤC Mục lục 2 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Mở đầu về không gian p-định chuẩn 5 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian p- định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Phép tính tựa vi phân trên không gian p -định chuẩn 26 2.1. Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn . . . . . 26 2.2. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng . . . . . . . . . . 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 MỞ ĐẦU Phép tính vi phân trên không gian định chuẩn và rộng hơn là không gian lồi địa phương là sự mở rộng tự nhiên của phép tính vi phân cổ điển trên không gian hữu hạn chiều R n . Tuy nhiên, việc nghiên cứu các phép tính vi phân trên không gian định chuẩn hay không gian địa phương về mặt kỹ thuật là phức tạp hơn nhiều. Chẳng hạn, đơn giả n nhất là các đa thức trong không gian định chuẩn hay lồi địa phương không thể cho được tường minh như trong R. Nghiên cứu giải tích thực và phức trong không gian định chuẩn và không gian lồi địa phương được thực hiện bởi một số chuyên gia nổi tiếng trong lĩnh vực giải tích hàm như Kothe, Meise, Vogt, (xem [7]) vào giữa thế kỷ trước. Đối với giải tích thực và phức trong không gian không lồi địa phương (nhưng bị chặn địa phương) được thực hiện vào những năm 90 của thế kỷ trước bởi chùm các công trình của Bayoumi (xem [4], [5], [6]). Không gian bị chặn địa phương là không gian mêtric tuyến tính, với mêtric được xác định bởi một p-chuẩn, do đó người ta còn gọi không gian bị chặn địa phương là không gian p-định chuẩn. Với mục đích tìm hiểu các kết quả mở đầu về phép tính tựa vi phân trên không gian bị chặn địa phương (hay không gian p-định chuẩn), chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là: Về phép tính tựa vi phân trên các không gian p−định chuẩn Nội dung của luận văn nhằm nghiên cứu có hệ thống các khái niệm, ví dụ và tính chất về không gian p−định chuẩn; toán tử tuyến tính liên tục trên không gian p-định chuẩn; khái niệm và các tính chất mở đầu 4 của phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn; một số định lý giá trị trung bình cho hàm tựa khả vi trên không gian p-định chuẩn. Các nội dung trên được viết thành hai chương Chương 1: Mở đầu về không gian p-định chuẩn Chương này nghiên cứu các kết quả căn bản về không gian tuyến tính p−định chuẩn, không gian p−Banach và toán tử tuyến tính bị chặn giữa các không gian p-định chuẩn. Chương 2: Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn Chương này nghiên cứu về mở đầu phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn, một số định lý giá trị trung bình cho hàm tựa khả vi và ứng dụng. Luận văn đượ c thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, Khoa Sư phạm Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 20 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 6 năm 2014 Võ Tuyết Xuân 5 CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN P -ĐỊNH CHUẨN Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần dùng về sau và mở đầu về không gian tuyến tính p-định chuẩn hay viết gọn là không gian p-định chuẩn. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Mục này nhắc lại một số kết quả về tô pô và giải tích hàm cần dùng về sau. Các kết quả này có thể tìm thấy trong [1]. 1.1.1 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùng với một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng là liên tục. Tập co n U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U với mọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ. Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận U của 0 gồm các tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U. 1.1.2 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ U, với mọi 0  λ  1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U. Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương nếu nó cơ sở lân cận U của 0 gồm các tập lồi. 1.1.3 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 sao cho U ⊂ tV với 6 mọi t > s. Không gian véctơ tôpô được gọi là bị chặn địa phương nếu nó tồn tại lận cận của 0 là tập bị chặn. Mỗi không gian bị chặn địa phương luôn có cơ sở đếm được các lân cận của 0. Mặt khác, nếu không gian véctơ tôpô có cơ sở lân cận của 0 là đếm được thì nó khả mêtric. Vì vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương là khả mêtric. 1.1.4 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô E được gọi là F -không gian nếu tồn tại mêtric d bất biến trên E (tức là d(x, y) = d(x + z, y + z) với mọi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) đầy đủ và mêtric d sinh ra tôpô của E. Như vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương là F -không gian. 1.1.5 Định nghĩa. Mỗi F -không gian và lồi địa phương được gọi là không gian Frechet 1.1.6 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường R. Hàm . : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) x  0, với mọi x ∈ E và x = 0 khi và chỉ khi x = 0; 2) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E; 3) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E. Khi đó (E, .) được gọi là một không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn d(x, y) = x−y, ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi metric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên tục. Rõ ràng mỗi không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương và bị chặn địa phương. Bởi vì B n = {x ∈ E : x < 1 n }, n = 1, 2, là cơ sở lân cận gồm các tập lồi, bị chặn của E. Hơn nữa, người ta chứng minh được kết quả quan trọng sau: 7 1.1.7 Định lý. Không gian véctơ tôpô là khả định chuẩn khi và chỉ khi nó lồi địa phương và bị chặn địa phương. Ví dụ sau cho thấy mỗi không gian bị chặn địa phương có thể không lồi địa phương. 1.1.8 Ví dụ. ([3]) Xét không gian l p = {x = {x n } ⊂ R :  ∞ n=1 |x n | p < +∞} với 0 < p < 1. Khi đó, l p là không gian véctơ với các phép toán cộng và nhân vô hướng theo số hạng tương ứng của dãy. Hơn nữa, l p là F −không gian với mêtric bất biến xác định bởi d(x, y) = ∞  n=1 |x n − y n | p với mọi x, y ∈ l p . Tuy nhiên l p không phải là không gian lồi địa phương. Ví dụ sau lại chứng tỏ mỗi không gian lồi địa phương có thể không bị chặn địa phương. 1.1.9 Ví dụ. ([3]) Giả sử R ∞ = {x = {x n } : x n ∈ R} là không gian véctơ các dãy số thực với các phép toán cộng và nhân vô hướng theo số hạng tương ứng của dãy. Khi đó, R ∞ là F −không gian với khoảng cách xác định bởi d(x, y) = ∞  n=1 1 2 n |x n − y n | 1 + |x n − y n | với mọi x, y ∈ R ∞ . Hơn nữa, R ∞ là không gian lồi địa phương với tôpô lồi địa phương xác định bởi họ đếm đượ c các nửa chuẩn {p n } trên R ∞ như sau p n (x) = |x n | với mọi x ∈ R ∞ . Nói cách khác R ∞ là không gian Frechet. 8 1.2. Không gian p- định chuẩn Trong mục này chúng tôi trình bày những kết quả cơ sở về không gian tuyến tính p-định chuẩn hay viết gọn là không gian p-chuẩn. Các kết quả chính của mục này cơ bản được trích ra từ [4] và đã được chứng minh chi tiết trong ([3]). Trong mục này, các không gian véc tơ được xét trên trường K = R, C. 1.2.1 Định nghĩa. Một p−chuẩn trên không g ian véctơ E là ánh xạ . : E → R + thoả mãn các tính chất sau: i) x = 0 khi và chỉ khi x = 0; ii) λx = |λ| p x, với mọi λ ∈ K, x ∈ E; iii) x + y  x + y, với mọi x, y ∈ E. (E, .) được gọi là không gian tuyến tính p-chuẩn, hay viết gọn là không gian p-chuẩn. 1.2.2 Ví dụ. Xét tập R với cấu trúc tuyến tính thực thông thường. Với 0 < p  1 cố định, xét hàm cho bởi: x = |x| p , ∀x ∈ R. Khi đó, công thức trên xác định một p-chuẩn trên R. 1.2.3 Định nghĩa. Một tựa chuẩn trên không gian véctơ E trên trường K là ánh xạ . : E → R + thoả mãn các tính chất sau: i) x = 0 khi và chỉ khi x = 0; ii) λx = |λ|x, với mọi λ ∈ K, x ∈ E; iii) x + y  σ(x + y), với mọi x, y ∈ E, trong đó σ  1 là hằng số độc lập với x, y. Số σ nhỏ nhất để iii) đúng được gọi là hằng số tựa chuẩn của không gian (E, .). 1.2.4 Nhận xét. 1) Giả sử (E, .) là không gian tựa chuẩn. Khi đó, họ B E (0, ε) = {x ∈ E : x < ε}, ε > 0 là cơ sở lân cận tại 0. Hơn nữa, E 9 là không gian mêtric tuyến tính, do cơ sở lân cận tại gốc có thể chọn là đếm được. 2)Nếu . là một p-chuẩn trên E với 0 < p  1 thì . 1 p xác định một tựa chuẩn. Hơn nữa, d p (x, y) = x − y 1 p là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính trên E. 3) Người ta còn chứng minh được rằng: nếu E là không gian bị chặn địa phương thì tồn tại một p-chuẩn . trên E sao cho d p (x, y) = x−y 1 p là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính trên E. Do đó, mỗi không gian bị chặn địa phương hoàn toàn xác định bởi một p-chuẩn nào đó, tức là nó được xem như một không gian p-định chuẩn. 1.2.5 Định nghĩa. Không gian p−định chuẩn E được gọi là p-Banach nếu nó đầy đủ với mêtric sinh bởi p-chuẩn. Như vậy, mỗi không gian p-Banach là F-không gian. 1.2.6 Ví dụ. Không gian bị chặn đia phương l p , 0 < p < 1, được xác định bởi p-chuẩn x = ∞  n=1 |x n | p với mọi x ∈ l p . 1.2.7 Mệnh đề. Mỗi p-chuẩn là một hàm thực liên tục. Chứng minh. Giả sử . là một p−chuẩn trên E. Ta chứng minh bất đẳng thức sau |x − y|  x − y với mọi x, y ∈ E. Thật vậy, với mọi x, y ∈ E x = x − y + y  x − y + y. Suy ra x − y  x − y. (1.1) 10 Mặt khác y = y−x+x  y −x+x = |−1| p x−y+x = x−y+x. Suy ra − x − y  x − y. (1.2) Từ (1.1) và (1.2) suy ra |x − y|  x − y. Bất đẳng thức này chứng tỏ p-chuẩn liên tục. 1.2.8 Định nghĩa. Cho E và F lần lượt là các không gian p-chuẩn, không gian q-chuẩn. ánh xạ A : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu A(tx + y) = tA(x) + A(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi t ∈ K. Ví dụ sau cho thấy ánh xạ tuyến tính giữa các không gian p-chuẩn có thể không liên tục. 1.2.9 Ví dụ. Cho E = C(I, K) là không gian p-chuẩn chứa tất cả các hàm liên tục trên đoạn I = [0, 1] nhận giá trị trong K, xác định bởi p-chuẩn (0 < p  1) f p = sup x∈I |f(x)| p . Cho F là không gian con của E chứa tất cả các hàm f ∈ E sao cho f có đạo hàm df liên tục trên I. Xét ánh xạ D : F → E xác định bởi D(f) = df với mọi f ∈ F . Khi đó, dễ thấy D là ánh xạ tuyến tính. Tuy nhiên, D không liên tục. Thật vậy, xét dãy {f n } ∈ F xác định bởi f n (x) = sin nx n , n = 1, 2, với mọi x ∈ I. Ta có f n  1 p =  sup x∈I    sin nx n    p  1 p  1 n . Suy ra f n  p → 0 khi n → ∞. Vì vậy {f n } hội tụ tới 0 trong F . Tuy nhiên Df n (x) = df n (x) = cos nx, [...]... t p p−lồi Lưu ý rằng B(0, r) không phải là t p lồi, bởi vì lp (0 < p < 1) không lồi địa phương 26 CHƯƠNG 2 PH P TÍNH TỰA VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN P -ĐỊNH CHUẨN Chương này nghiên cứu vi c xây dựng lý thuyết ph p tính vi phân trên không gian p định chuẩn và một số tính chất của chúng 2.1 Ph p tính tựa vi phân trên không gian p- định chuẩn Mục này nghiên cứu vi c xây dựng ph p tính vi phân trên không gian. .. p lồi trở thành t p lồi theo nghĩa thông thường Mọi t p p-tuyệt đối lồi là t p p-lồi 25 1.2.34 Ví dụ Xét lp (0 < p < 1) là không gian p định chuẩn với p chuẩn ∞ |xn |p x = n=1 với mọi x = (xn ) ∈ lp Khi đó, hình cầu B(0, r) = {x ∈ lp : x < r} là t p p−lồi Thật vậy, với mọi x, y ∈ B(0, r) với mọi s, t 0 và tp + sp = 1 ta có tx+sy−0 tx + sy = |t |p x +|s |p y < |t |p r+|s |p r = (tp +sp )r = r Do đó ts... yj với mọi x, y ∈ Kn Khi đó Pi × Pj là song tuyến tính Hơn nữa, mọi ánh xạ song tuyến tính f : Kn × Kn → K luôn có dạng aij (Pi × Pj )(x, y) f (x, y) = i,j với các aij ∈ K nào đó, hay nói cách khác {Pi × Pj } là cơ sở của không gian L(Kn , K) Định lý sau trình bày định lý ph p nhúng tự nhiên 1.2.30 Định lý ([4]) Cho E1 , E2 là các không gian p- chuẩn, F là không gian q -chuẩn và ánh xạ φ : L(E1 , E2... đúng thì A(x) − A(y) M x−y p q với mọi x, y ∈ E Bất đẳng thức này chứng tỏ A liên tục đều trên E 1.2.12 Nhận xét Nếu p = q thì (c) có dạng A(x) M x tương tự như trong không gian định chuẩn Cho E và F lần lượt các không gian p- chuẩn, không gian q -chuẩn (0 < p, q 1) và L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó, L(E, F ) là không tuyến tính với các ph p toán cộng và nhân vô... A(x) q p M x với mọi x ∈ E Theo Định lý 1.2.11, A hoàn toàn xác định và A(x) A x q p với mọi x ∈ E Bổ đề sau cho ta phương ph p xác định chuẩn của ánh xạ 1.2.13 Bổ đề Cho E và F lần lượt là các không gian p- chuẩn, không gian q -chuẩn (0 < p, q A = sup x∈E\{0} 1) Nếu A ∈ L(E, F ) thì A(x) x q p = sup x 1,x=0 A(x) x q p = sup x =1 A(x) 13 Chứng minh Từ định nghĩa của A , ta có ngay A = A(x) sup q p x x∈E\{0}... Do tính tuyến tính của A và tính chất của q chuẩn ta có A = A(x) sup x x∈E\{0} x Nếu ta đặt y = x = sup A q p x x x=0 1 p với x = 0 thì y = 1 Suy ra 1 p x A = sup A 1 p x x=0 = sup A(y) y =1 Cuối cùng, từ A(x) sup x∈E\{0} x A(x) sup q p x 1,x=0 x sup q p A(x) x =1 và đẳng thức trên ta nhận được A = sup x∈E\{0} A(x) x q p = sup x A(x) 1,x=0 x q p = sup A(x) x =1 1.2.14 Định lý ([4]) L(E, F ) là không. .. hàm khả vi trên U thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) = Df (c)(b − a) Ta ký hiệu đoạn Aa nối a, b ∈ E trong không gian p- định chuẩn E xác b định bởi Aa = {(1 − t)1 /p a + t1 /p b : 0 b t 1} 2.2.2 Định lý ([4]) Cho E là không gian p- định chuẩn và U là t p mở của E chứa đoạn Aa Nếu f : U → R khả vi trên U Khi đó, tồn tại b c ∈ Ab sao cho a λ1 /p 1 (1 − λ)1 /p 1 f (b) − f (a) = Df (c) b− a p p với... d1 /p (y0 , M ) Xét A : U → R xác định bởi A = ϕ ◦ f Khi đó A là tựa khả vi trên U và A(b) − A(a) = ϕ(y0 ) = d1 /p (y0 , M ), DA(x) = ϕD(f (x)) Vì vậy, p dụng Định lý 2.2.2 cho A ta nhận được c ∈ Ab sao cho a A(b) − A(a) = ϕ ◦ Df (c) (1 − λ)1 /p 1 λ1 /p 1 b− a p p Suy ra d1 /p (f (b) − f (a)), M ) = |A(b) − A(a)| λ1 /p 1 (1 − λ)1 /p 1 b− a p p λ1 /p 1 (1 − λ)1 /p 1 Df (c) b− a p p ϕF Df (c) 1 /p σn 1 /p 36... thể vi t lại dưới dạng tương đương q A(x) C1 x p , trong đó C1 = C q Định lý sau đây nói lên sự tương đương của ánh xạ tuyến tính liên tục và ánh xạ tuyến tính bị chặn trong không gian p- chuẩn 1.2.11 Định lý Cho E và F lần lượt các không gian p- chuẩn, không gian q -chuẩn (0 < p, q 1) và ánh xạ tuyến tính A : E → F Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (a) A liên tục; (b) A liên tục tại 0; q M x p. .. phân trên không gian p- định chuẩn 2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho E,F là các không gian p- định chuẩn, qđịnh chuẩn tương ứng và U là t p mở của E Giả sử f, g là các ánh xạ từ U vào F Ta gọi f và g là tựa ti p xúc hoặc pq-ti p xúc tại a nếu lim x→a f (x) − g(x) x−a 1 q = 0, 1 p (2.1) tức là, với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho 0 < x − a < δ th f (x) − g(x) 1/q ε x−a 1 /p , (2.2) hoặc một cách tương đương 0 . . 5 1.2. Không gian p- định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Ph p tính tựa vi phân trên không gian p -định chuẩn 26 2.1. Ph p tính tựa vi phân trên không gian p- định chuẩn . 2: Ph p tính tựa vi phân trên không gian p- định chuẩn Chương này nghiên cứu về mở đầu ph p tính tựa vi phân trên không gian p- định chuẩn, một số định lý giá trị trung bình cho hàm tựa khả vi và. đầu về ph p tính tựa vi phân trên không gian bị chặn địa phương (hay không gian p- định chuẩn) , chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là: Về ph p tính tựa vi phân trên các không gian