k – lý thuyết của các không gian có độ cong hằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ BẢO TRÂM K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ BẢO TRÂM K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 1.1 Độ cong tiết diện đa tạp Rieman .5 1.2 Không gian có độ cong 1.3 Một vài ví dụ đa tạp Riemann có độ cong CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT 14 2.1 Phức Stiefel đa tạp Grassman 14 2.2 Phạm trù Bund  15 2.3 Việc xây dựng phân thớ vectơ 18 2.4 Các hàm tử liên tục phép toán Bund  ( B ) 19 2.5 Nửa vành Vect ( B ) .23 2.6 Nhóm thứ K – lý thuyết tôpô, K ( X ) 26 2.6.1 Định lý phân loại 26 2.6.2 Hàm tử K ( X ) .26 ~ 2.6.3 Hàm tử K ( X ) 27 2.6.4 Mô tả K ( X ) 29 CHƯƠNG 3: K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG 33 3.1 Tôpô tổng quát việc xây dựng phân thớ vectơ 33 3.2 Phương pháp sử dụng định lý tích để tính K – nhóm .36 3.2.1 Tích cho K ( X ) 36 3.2.2 Ứng dụng tính K ( S ) ; K ( CP1 ) ; K ( S ) ; K ( CP1 ) 38 ~ ~ 3.3 Phương pháp sử dụng dãy khớp, tích rút gọn tuần hoàn Bott 39 3.3.1 Các dãy khớp K – nhóm 39 3.3.2 Tích rút gọn 42 3.3.3 Định lý tuần hoàn Bott 42 3.3.4 Tính K – nhóm số không gian 43 3.4 Phương pháp sử dụng đối đồng điều .45 3.4.1 Đối đồng điều 45 3.4.2 Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều .47 3.5 Một số phương pháp khác .48 3.5.1 K – lý thuyết cho không gian compact địa phương .48 3.5.2 Lũy linh K ( X ) 48 3.5.3 Sử dụng nhóm K ( X , Y ) 49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Trần Thị Bảo Trâm K- lý thuyết không gian có độ cong LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thái Sơn, người thầy tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn nà Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể Thầy cô giảng viên khoa Toán – Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 10 năm 2011 Học viên Trần Thị Bảo Trâm LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học tôpô, kiến thức hình học vi phân, hình học Rieman, lý thuyết liên thông, nhóm Lie, đại số Lie, K – lý thuyết, K – hàm tử đóng vai trò quan trọng Từ kiến thức biệt lập từ môn học nói trên, lý thuyết không gian có độ cong K – lý thuyết không gian có độ cong sợi dây nối xâu chuỗi chúng thành thể thống Do để củng cố kiến thức phát triển khả nghiên cứu, chọn đề tài K – lý thuyết số không gian có độ cong Mục đích nghiên cứu Như trình bày muốn hệ thống hóa kiến thức chương trình thạc sĩ như: hình học Rieman, lý thuyết liên thông, nhóm Lie đại số Lie, K – lý thuyết, K – hàm tử; sử dụng chúng cách hiệu quả, đặc biệt phương pháp K – hàm tử nhằm tính K – nhóm không gian có độ cong Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn không gian có độ cong 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu luận văn hình học Rieman, hình học vi phân, độ cong Rieman Ngoài sử dụng kiến thức hình học vi phân đại, lý thuyết liên thông, kiến thức K – lý thuyết, K – hàm tử Phương pháp nghiên cứu Từ kiến thức có sẵn chương trình đào tạo thạc sĩ, tìm hiểu kiến thức nâng cao chương trình đào tạo, liên hệ kết với kiến thức chương trình để tính K – nhóm không gian có độ cong phương pháp K – hàm tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Sơ lược không gian có độ cong Chương 2: Tìm hiểu K – lý thuyết Chương 3: K – lý thuyết không gian có độ cong DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU BẢNG KÝ HIỆU Các ký hiệu sau sử dụng suốt luận văn: Set: Phạm trù tập hợp Top: Phạm trù không gian tôpô CW: Phạm trù phức CW Grp: Phạm trù nhóm TopGrp: Phạm trù nhóm tôpô Ab: Phạm trù nhóm aben SemiRng: Phạm trù nửa vành Rng: Phạm trù vành Bund n : Phạm trù phân thớ vec tơ phức n – chiều Bund n ( B ) Phạm trù phân thớ vec tơ phức n – chiều B Vect ( B ) : Nửa nhóm lớp tương đương phân thớ vectơ B Vectk ( B ) : Nửa nhóm lớp tương đương phân thớ vectơ k - chiều B [ f ]: Lớp đồng luân ánh xạ f νΚ : Phạm trù không gian vectơ n chiều trường Κ n Trần Thị Bảo Trâm K- lý thuyết không gian có độ cong CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Do đối tượng luận văn không gian có độ cong nên chương 1, nhắc lại kiến thức không gian có độ cong số ví dụ số không gian có độ cong đề cập chương 1.1 Độ cong tiết diện đa tạp Rieman Cho đa tạp Rieman ( M , g ) Với p ∈ M X , Y , Z ∈ x ( M ) xét ánh xạ: = G ( X , Y , Z ,U ) g ( X , Z ) g ( Y ,U ) − g ( X ,U ) g ( Y , Z ) (1.1.1) Ta có G  - đa tuyến tính và:  G ( X , Y , Z ,U ) = −G (Y , X , Z ,U ) = −G ( X , Y ,U , Z ) = G ( Z ,U , X , Y )  G ( X , Y , Z ,U ) + G ( Y , Z , X ,U ) + G ( Z , X , Y ,U ) =  ( ∇ X G )(Y , Z ,U ,V ) + ( ∇Y G )( Z , X ,U ,V ) + ( ∇ Z G )( X , Y ,U ,V ) =0 Nếu X , Y ∈ Tp M thì: = G ( X , Y , X , Y ) g ( X , X ) g (Y , Y ) − g ( X , Y ) g ( X , Y ) = X Y − ( X Y ) = X Y − sin ( X , Y ) 2 2 (1.1.2) Như X , Y độc lập tuyến tính G ( X , Y , Z ,U ) diện tích hình bình hành tạo X Y Vậy G ( X , Y , X , Y ) ≠ Giả sử X ', Y ' ∈ Tp M cho không gian hai chiều π sinh X , Y X ', Y ' trùng Khi đó: X '= α X + βY ,Y ' = γ X + δY Vì X ', Y ' độc lập tuyến tính nên chúng không tỷ lệ, tức αδ − βγ ≠ Dễ thấy rằng: ' R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y = ) (αδ − βγ ) ' G ( X ' ,Y ' , X ' ,Y = ) (αδ − βγ ) ' ' R ( X ,Y , X ,Y ) G ( X ,Y , X ,Y ) Suy ra: ' R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' ) G ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' ) = R ( X ,Y , X ,Y ) G ( X ,Y , X ,Y ) ' Đẳng thức cho thấy: R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' ) G ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' ) hàm số theo không gian hai chiều π ⊂ Tp M độc lập X , Y Ta gọi π mặt phẳng tiếp xúc với M p hay π mặt phẳng tiết diện Tp M p Định nghĩa 1.1.1 Cho đa tạp Riemann ( M , g ) Với p ∈ M , ta gọi π mặt phẳng tiết diện Tp M p X , Y ∈ π hai vectơ độc lập tuyến tính Khi ' R ( X ' ,Y ' , X ' ,Y ' ) R ( X ,Y , X ,Y ) (1.1.3) K p (π ) = − = − ' ' ' ' G ( X ,Y , X ,Y ) G ( X ,Y , X ,Y ) ' gọi độ cong tiết diện M ( p, π ) Đôi ta gọi K p (π ) độ cong tiết diện mặt phẳng π ⊂ Tp M p độ cong tiết diện M p ứng với mặt phẳng tiếp xúc không suy biến π Định lý 1.1.1 Cho đa tạp Riemann ( M , g ) p ∈ M Khi đó, tenxơ cong M p xác định cách độ cong tiết diện tất không gian tiếp xúc Tp M p Chứng minh Giả sử R ( X , Y , Z ,U ) ánh xạ  - đa tuyến tính thỏa mãn tính chất tenxơ cong ' R ( X ' , Y ' , X ' , Y ' ) với X , Y ∈ Tp M độc lập tuyến tính ta có: R ( X ,Y , X ,Y ) 'R ( X ,Y , X ,Y ) = G ( X ,Y , X ,Y ) G ( X ,Y , X ,Y ) Ta cần chứng minh R ( X , Y , Z ,U ) = ' R ( X , Y , Z ,U ) với X , Y , Z ,U ∈ Tp M Đặt: H= ( X , Y , Z ,U ) R ( X , Y , Z ,U ) − ' R ( X , Y , Z ,U ) (1.1.4) H ánh xạ  - đa tuyến tính và: H ( X , Y , Z ,U ) = − H ( Y , X , Z ,U ) = − H ( X , Y ,U , Z ) = H ( Z ,U , X , Y ) H ( X , Y , Z ,U ) + H ( Y , Z , X ,U ) + H ( Z , X , Y ,U ) = (1.1.5) Ta chứng minh H ( X , Y , Z ,U ) = Thật vậy, từ cách đặt H ( X , Y , X , Y ) = Do đó: H ( X + Z ,Y , X + Z ,Y ) = ⇔ H ( X ,Y , Z ,Y ) = Tương tự: H ( X , Y + U , Z , Y + U ) =0 ⇔ H ( X , Y , Z ,U ) + H ( X ,U , Z , Y ) =0 Suy ra: H ( X , Y , Z ,U ) = − H ( X ,U , Z , Y ) = H ( X ,U , Y , Z ) =H (Y , Z , X ,U ) (1.1.6 ) = − H (Y ,U , X , Z ) = H (Y ,U , Z ,U ) =H ( Z , X , Y ,U ) (1.1.7) Thay vào ta có: 3H ( X , Y , Z ,U ) = ⇔ H ( X , Y , Z ,U ) = Ta có điều phải chứng minh  Vì độ cong tiết diện K p (π ) xác định hoàn toàn tenxơ cong R nên K p (π ) = với π ⊂ Tp M p ∈ M ta phải có R ( X , Y ) Z = với X , Y , Z ∈ χ ( M ) , tức là, đa tạp phẳng Trong định nghĩa K p (π ) , ta chọn { X , Y } sở trực chuẩn π ⊂ Tp M thì: g (= X , X ) g= (Y , Y ) 1, g= ( X ,Y ) Do (1.1.3) trở thành: K p (π ) = − ' R ( X , Y , X , Y ) (1.1.8) Định nghĩa 1.1.2 Cho đa tạp Rieman ( M , g ) p ∈ M Nếu độ cong tiết diện K p (π ) p không phụ thuộc vào π ta nói M di động p ∈ M Khi M di động p, ta ký hiệu độ cong tiết diện M ( p, π ) K ( p ) , tức với X , Y ∈ Tp M độc lập tuyến tính thì: ' R ( X , Y , X , Y ) = − K ( p ) G ( X , Y , X , Y ) (1.1.9) Bằng cách tương tự chứng minh định lý 1.1.1, ta chứng minh với X , Y , Z ,U ∈ Tp M thì: ' R ( X , Y , Z ,U ) = − K ( p ) G ( X , Y , Z ,U ) = − K ( p )  g ( X , Z ) g (Y ,U ) − g ( X ,U ) g (Y , Z )  1.2 Không gian có độ cong Định nghĩa 1.2.1 Cho đa tạp Rieman (M n , g ) Nếu M di động điểm p ∈ M K ( p= ) K= const M gọi đa tạp có độ cong đẳng cấu (1) suy từ tính chất kéo lại mà ta phần cuối mục trước Để có (2) ta cần tìm đẳng cấu phân thớ f phân thớ { p ( C ) ⊕ p ( B ) , π , X × Y } { p ( B ) ⊕ p ( C ) , π , Y × X } , tức ta có biểu đồ sau giao hoán * X * Y * Y * X ' Đẳng cấu rõ ràng ta có đẳng cấu suy từ tính giao hoán phép nhân bình phép toán thường Thật vậy, định nghĩa tổng trực tiếp tích tensor phần tử K ( X × Y ) thực thớ, ⊕ ⊗ giao hoán ta thấy chương Định lý 3.2.1 [Định lý tích bản] Đồng cấu vành ≅ µ : K ( X ) ⊗ K ( S )  → K ( X × S2 ) đẳng cấu Ta ký kiệu H phân thớ đường tắc G1 (  ) ≅ P ≅ S , tức = H : γ 1,2 : E1,2  → G1 (  ) Bổ đề 3.2.1 Cho H phân thớ tầm thường tắc Khi tồn đẳng cấu phân thớ vectơ phức ( H ⊗ H ) ⊕1 ≅ H ⊕ H Xét đồng cấu vành  k  =  [ H ] : ∑ H i | ∈ , k ≥   i =0  iđêan sinh ( H − 1) Thương  [ H ] / ( H − 1) Chú ý K ( X ) bổ đề 3.2.1.4 cho ta công thức sau: H + 1= H ⇔ ( H − 1) = Vì ta có đồng cấu vành tự nhiên có sở {1, H } [H ] / ( H − 1)  → K (S2 ) xác định ( H − 1) = K ( X ) ~ Tiếp tục ta định nghĩa đồng cấu µ thông qua ánh xạ hợp µ → K ( X ) ⊗ K ( S )  → K ( X × S2 ) µ : K ( X ) ⊗  [ H ] / ( H − 1)  ~ Khi ta có định lý tương đương với định lý tích bản: Định lý 3.2.2 (FPT2) Đồng cấu vành ≅ → K ( X × S , ∗) µ : K ( X , s0 ) ⊗  [ H ] / ( H − 1)  ~ đẳng cấu Hệ 3.2.1 Ánh xạ [H ] / ( H − 1) ≅  → K ( S , s0 ) đẳng cấu vành Chú ý 3.2.2 Theo hệ trên, dãy khớp ngắn i  → K ( S , ∗) → K ( S , s0 )  → K ( S )  → 0, ~ * K ( S , ∗) =Ker i* , tương đương với dãy khớp ngắn ~  → ( H − 1) →  [ H ] / ( H − 1) i  →   →0 * Vì K ( S ) sinh ( H − 1) nhóm aben ~ 3.2.2 Ứng dụng tính K ( S ) ; K ( CP1 ) ; K ( S ) ; K ( CP1 ) ~ ~ Lấy X = pt , ta suy cấu trúc nhóm K – lý thuyết mặt cầu S CP1 Áp dụng định lý 3.2.2, ta có K ( S ) ≈  [ H ] / ( H − 1) đẳng cấu vành K ( S ) ≈  ⊕  đẳng cấu nhóm Nó sinh H sinh ( H − 1) Khi ta viết n + mH =( n + m ) + m ( H − 1) Vì K ( S ) hạt nhân ánh xạ thu hẹp ~ K ( S ) → K ( pt ) K ( pt ) rõ ràng sinh phân thớ tầm thường Ta có kết luận K ( S ) =  với phần tử sinh ( H − 1) phép nhân tầm thường ~ Mặt khác ta xem CP1 S Thật vậy, lấy S ⊂  , S thỏa mãn phương trình s + t + w = Ta định nghĩa ánh xạ S  → CP1 ( s, t , u )  [ s + it :1 − u ] Khi ánh xạ ngược cho bởi: ( ) ( )  Re x y Im x y x − y  [ x : y]   2 , 2 , 2   x + y x + y x + y    Điều chứng tỏ S đồng phôi với CP1 Do ta có K ( CP1 ) ≈  [ H ] / ( H − 1) ; K ( CP1 ) ≈  ⊕  ; K ( CP1 ) =   ~ 3.3 Phương pháp sử dụng dãy khớp, tích rút gọn tuần hoàn Bott 3.3.1 Các dãy khớp K – nhóm Xét dãy gồm nhóm đồng cấu f1 f2 p −1 G1  → G2  →   → Gp f dãy khớp với i thỏa < i < p , tức Ker fi = Im fi −1 Nếu dãy f1  → G1  → G2 dãy khớp f1 đơn ánh ngược lại Nếu dãy f1 G1  → G2  →0 dãy khớp f1 toàn ánh ngược lại Và dãy f1 f2  → G1  → G2  → G3  →0 dãy khớp tồn đồng cấu g : G3 → G2 cho = f  g Id : G3 → G3 dãy gọi dãy khớp ngắn ta có G2 ≅ G1 ⊕ G3 Mệnh đề 3.3.1 Nếu X không gian compact Hausdorff A ⊂ X không gian đóng, ánh xạ bao hàm i : A → X ánh xạ chiếu q : X → X / A cảm sinh dãy khớp: ~ ~ ~ q i K ( X / A )  → K ( X )  → K ( A) * * Mệnh đề 3.3.2 Nếu A co rút ánh xạ chiếu q : X → X / A cảm sinh song ánh lớp đồng phôi phân thớ n chiều X / A lớp đồng phôi phân thớ X Hai mệnh đề cho phép ta xây dựng dãy khớp dài K - nhóm Ta bắt đầu với ánh xạ bao hàm i : A → X thêm vào không gian cách bước tạo hợp không gian trước với nón không gian tạo thành hai bước trước Ta chia thương cho nón gần nhất, theo cách ta có dãy khớp ánh xạ bao hàm (các ánh xạ đứng) ánh xạ chiếu (ánh xạ ngang): A → X → X  CA → ( X  CA )  CX → ( ( X  CA )  CX )  ( X  CA ) → ↓ ↓ ↓ X/A SA SX Cái nón co rút được, ánh xạ thẳng đứng cảm sinh đẳng cấu K nhóm rút gọn Vì ta có ánh xạ bao hàm A → X → X  CA ánh xạ chiếu ~ ~ X  CA → X / A cảm sinh đẳng cấu K ( X  CA ) K ( X / A ) Điều cho ta ~ ~ ~ q i dãy khớp K ( X / A )  → K ( X )  → K ( A ) Dãy sau mở rộng cách sử * * ~ ~ dụng ánh xạ bao hàm X  CA → ( X  CA )  CX , K ( X  CA ) ≈ K ( X / A ) ~ ~ K ( X  CA )  CX ≈ K ( SA ) , tiếp tục trình trên, cho ta dãy khớp dài: → K ( S ( X / A ) ) → K ( SX ) → K ( SA ) → K ( X / A ) → K ( X ) → K ( A ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ví dụ 3.3.1 Xét tích chêm X= A ∨ B dãy khớp dài: ~ ~ ~ ~ ~ ~ → K ( SB ) → K ( SX ) → K ( SA ) → K ( B ) → K ( X ) → K ( A ) Đặc biệt, ta xét ba hạng tử cuối cùng: ~ ~ ~ q i K ( B )  → K ( X )  → K ( A) * * i : A → A ∨ B ánh xạ bao hàm A X q : A ∨ B → B ánh xạ chiếu co rút A thành điểm Khi ánh xạ hợp q '  i ánh xạ đồng A cảm sinh ~ ánh xạ đồng i*  q '* K ( A ) , suy i* toàn ánh q '* đơn ánh Tương tự, cho j ánh xạ bao hàm B X, ánh xạ hợp q  j ánh xạ đồng B ~ cảm sinh ánh xạ đồng j *  q* K ( B ) , điều có nghĩa q* đơn ánh Do ta có dãy khớp ngắn và: ~ ~ ~ K ( A ∨ B ) ≅ K ( A) ⊕ K ( B ) Ví dụ 3.3.2 Xét tích smash X ∧ Y = X × Y / X ∨ Y dãy khớp dài cho X × Y X ∨ Y → K ( S ( X ∧ Y ) ) → K ( S ( X × Y ) ) → K ( S ( X ∨ Y ) ) → K ( X ∧ Y ) → K ( X × Y ) → K ( X ∨ Y ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ta biết treo tương đương (theo quan hệ đồng luân) với treo rút gọn Ta sử dụng kết vừa nêu ví dụ trước để có: K ( S ( X ∨ Y ) ) ≈ K ( ∑ X ∨ Y ) ≈ K ( ∑ X ∨ ∑ Y ) ≈ K ( ∑ X ) ⊕ K ( ∑ Y ) ≈ K ( SX ) ⊕ K ( SY ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ K ( X ∨ Y= ) K ( X ) ⊕ K (Y ) ~ ~ ~ ~ i Điều có nghĩa ta có K ( X × Y )  → K ( X ∨ Y ) ≈ K ( X ) ⊕ K (Y ) Ta ánh xạ * toàn ánh Thật vậy, cho q ' q ánh xạ chiếu từ X ∨ Y lên X Y Khi ta định nghĩa ánh xạ chiếu p1 , p2 từ X × Y lên X Y, ánh xạ bao hàm i : X ∨ Y → X × Y Ta thấy việc chiếu từ X ∨ Y lên X Y giống với việc nhúng X ∨ Y vào X × Y sau chiếu lên phần tử, tức là: q = p2  i q ' = p1  i ~ ~ ~ Thật ánh xạ cảm sinh q '* ⊕ q* : K ( X ) ⊕ K (Y ) → K ( X ∨ Y ) đẳng cấu ta viết sau: q '* ⊕ q* = i* p1* ⊕ i* p2* = i* ( p1* ⊕ p2* ) Vì i* toàn ánh p1* ⊕ p2* với ánh xạ treo Sp1* ⊕ Sp2* cho ta dãy khớp ngắn sau: ~ ~ ~ ~ → K ( X ∧ Y ) → K ( X × Y ) → K ( X ) ⊕ K (Y ) → Do ta có: ~ ~ ~ ~ K ( X × Y ) ≈ K ( X ∧ Y ) ⊕ K ( X ) ⊕ K (Y ) K ( S ( X × Y ) ) ≈ K ( S ( X ∧ Y ) ) ⊕ K ( SX ) ⊕ K ( SY ) ~ ~ ~ ~ 3.3.2 Tích rút gọn X ) Ker ( K ( X ) → K ( x0 ) ) ; b ∈ K (= Y ) Ker ( K (Y ) → K ( y0 ) ) Giả sử a ∈ K (= ~ ~ Khi tích chúng a ∗ b= µ ( a ⊗ b= ) p1* ( a ) p2* ( b ) ∈ K ( X × Y ) , với p1* ( a ) = thuộc K ( x0 × Y ) p2* ( a ) = thuộc K ( X × y0 ) , tức p1* ( a ) p2* ( b ) = K ( X ∨ Y ) ~ ~ a ∗ b ∈ K ( X × Y ) với K ( X × Y ) hạt nhân ánh xạ K ( X × Y ) → K ( x0 × y0 ) Từ dãy khớp ngắn ~ ~ ~ ~ → K ( X ∧ Y ) → K ( X × Y ) → K ( X ) ⊕ K (Y ) → , ta thấy a ∗ b thuộc hạt nhân ánh xạ ~ ~ ~ ~ K ( X × Y ) → K ( X ∨ Y ) ≈ K ( X ) ⊕ K (Y ) thuộc vào tập ảnh ánh xạ trước Từ ta suy tạo ảnh a ∗ b ~ có phần tử, phần tử thuộc K ( X ∧ Y ) Vì ta có tích rút gọn ~ ~ ~ K ( X ) ⊗ K (Y ) → K ( X ∧ Y ) Ta viết sau: ~ ~ K(X ) = K ( X ) ⊕ , K ( Y ) = K (Y ) ⊕  vậy, ta có: ~ ~ ~ ~ K ( X ) ⊗ K (Y ) ≈ K ( X ) ⊗ K (Y ) ⊕ K ( X ) ⊕ K (Y ) ⊕  ↓ ↓ K ( X ×Y ) ~ ~ ~ ≈ K ( X ∧ Y ) ⊕ K ( X ) ⊕ K (Y ) ⊕  Ta sử dụng G ⊗  ≅ G với nhóm aben G thấy cách hạn chế ~ ~ tích không rút gọn lên K ( X ) ⊗ K (Y ) ta có tích rút gọn 3.3.3 Định lý tuần hoàn Bott Ta có S n ∧ X ≈ ∑ X treo S n quan hệ với treo rút gọn ánh xạ n chiếu không gian co rút Ta có đẳng cấu K ( S n X ) ≈ K ( S n ∧ X ) Từ định ~ ~ lý tích ta biết K ( X ) ⊗ K ( S ) → K ( X × S ) đẳng cấu vành, thu hẹp ánh xạ đến nhóm rút gọn K ( X ) ⊗ K ( S ) → K ( X × S ) đẳng cấu Xét ánh xạ β : K ( X ) → K ( S X ) định nghĩa β ( a ) = ~ ~ ( H − 1) ∗ a ~ a ∈ K ( X ) ( H − 1) phân thớ đường thẳng tắc S ≈ CP1 Đây ánh xạ hợp K ( X ) → K ( S ) ⊗ K ( X ) → K ( S X ) Ánh xạ ánh xạ hợp xác định ~ ~ ~ ~ a  ( H − 1) ⊗ a đẳng cấu ( H − 1) phần tử sinh K ( S ) , ánh xạ thứ hai ~ đẳng cấu suy từ định lý tích ngoài, ta có tuần hoàn Bott: K ( X ) ≈ K (S2X ) ~ ~ 3.3.4 Tính K – nhóm số không gian Ví dụ 3.3.3 X điểm Một phân thớ vectơ điểm copy đơn lẻ C n K ( pt ) = { n −  p } ≡ {n − p} ≅  Phép nhân nhóm phép nhân thông thường m  m − 0 ,  (nếu ta biểu diễn lớp tương đương {n − p} cách đơn giản = r m= n − p tích tenxơ phân thớ m ⋅ r ≡  m ⊗ =  mr= mr ) Nhóm rút gọn hạt nhân ánh xạ K ( pt ) → K ( pt ) với K ( pt ) → K ( pt ) ánh xạ đồng nhất, ~ K ( pt ) = Ví dụ 3.3.4 X = S Một phân thớ vectơ S = { x0 , x1} gồm  m x0  n x1 (chú ý m ≠ n trường hợp tổng quát S không liên thông) Từ ta suy K ( S ) = {m − n, p − q} ≅  ⊕  m − n tượng trưng cho lớp tương đương  m −  n Cấu trúc vành phép nhân thông thường  nhân tử Nhóm rút gọn K ( S ) hạt nhân ánh xạ hạn chế K ( S ) → K ( x0 ) , tức hạt nhân ánh xạ biến ~ { m − n ,  p − q } { m −  n ,  p −  q } m = n Vì K ( S 0= ) thành { m −  n } Hạt nhân bao gồm phần tử có dạng vành phép nhân bình thường  Ví dụ 3.3.5 X = S ~ {0,  p −  q } ≡ { p − q} ≅ , cấu trúc Tất phân thớ phức S tầm thường, K ( S ) = { m −  n } ≅  với phép nhân thông thường K ( S ) = ~ Ví dụ 3.3.6 X = S Mặt cầu S đề cập phần trước, ta nhắc lại kết có Ta có K ( S ) ≈  ⊕  nhóm K ( S ) ≈  [ H ] / ( H − 1) vành Ta viết K ( S ) dạng sau: {n + m ( H − 1) : m, n ∈ } ≡ ( n, m ) cấu trúc vành cho ( n + m ( H − 1) ) ( p + q ( H − 1) ) = nm + ( mp + nq )( H − 1) , ta viết cách ngắn gọn sau: ( n, m= )( p, q ) ( n, m )  n ( nm, mp + nq ) Nhóm rút gọn K ( S ) hạt nhân ánh xạ hạn chế ~ K ( S ) =  , phần tử sinh ( H − 1) với phép nhân thông thường ~ Ví dụ 3.3.7 X = S n Từ tuần hoàn Bott ta suy K ( S n +1 ) = K ( S 2n ) =  (được sinh tích ~ ~ thu gọn cấp n ( H − 1) ∗ ∗ ( H − 1) , phép nhân tầm thường) Khi với mặt cầu có số chiều lẻ ta có K ( S n +1 ) =  với phép nhân thông thường, với mặt cầu có số chiều chẵn ta có K ( S 2n )=  ⊕  với cấu trúc vành giống S Ví dụ 3.3.8 Mặt xuyến Mặt xuyến T = S × S Xét dãy khớp dài với cặp không gian ( X × Y , X ∨ Y ) ta có ~ ~ ~ ~ K ( X × Y ) ≈ K ( X ∧ Y ) ⊕ K ( X ) ⊕ K (Y ) , với X= Y= S , ta có: S K ( S ) = K (T ) ≈ K ( S ) ⊕ K ( S ) ⊕ K ( S ) = K ( S ) =  S ∧ S = ~ ~ ~ ~ ~ ~ Thật đẳng cấu đẳng cấu vành, cấu trúc vành K (T ) giống ~ với K ( S ) , tức phép nhân tầm thường Khi ta có K (T ) = K (T ) ⊕  =  ⊕  ~ ~ với cấu trúc vành giống K ( S ) ~ Chú ý ví dụ mặt xuyến mặt cầu S có K K nhóm Để phân biệt mặt xuyến mặt cầu S ta cần xét thêm K – nhóm khác Ví dụ 3.3.9 Cái chêm mặt cầu Xét chêm mặt cầu S n ∨ S m Ta có K (Sn ∨ Sm= ) K (Sn ) ⊕ K (Sm ) ~ ~ ~ Vì với cấu trúc vành tầm thường tất trường hợp Ta có Nếu m, n lẻ cấu trúc vành phép nhân thông thường  , số chẵn số lẻ cấu trúc vành giống S , hai số chẵn cấu trúc vành cho  [α , β ] / (α , β ) α , β phần tử sinh K ( S n ) ~ K (Sm ) ~ 3.4 Phương pháp sử dụng đối đồng điều 3.4.1 Đối đồng điều Nếu ta định nghĩa K ( X ) ≡ K ( X ) , K −1 ( X ) ≡ K ( SX ) ,…, K − p ( X ) ≡ K ( S p X ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ta xem K – lý thuyết lý thuyết đối đồng điều Ta giới thiệu nhóm có mối liên hệ với cách đặt K − p ( X , A ) ≡ K ( S p ( X / A ) ) Từ định lý tuần ~ ~ ~ ~ hoàn Bott ta có K −2 ( X ) = K ( X ) từ dãy khớp dài có ta có dãy khớp thành phần sau: Ta có ~ ~ ~ * K= ( X ) K ( X ) ⊕ K −1 ( X ) ~ ~ ~ Từ tích ta có phép nhân cảm sinh K * ( X ) ⊗ K * (Y ) → K * ( X ∧ Y ) ta dùng ~ phép nhân để xây dựng tích K * ( X ) cách kết hợp tích với ánh xạ cảm sinh ánh xạ tam giác ∆ : X → X ∧ X , x  ( x, x ) Vì ta có: ~ ~ ~ ~ ∆ K * ( X ) ⊗ K * ( X )  → K * ( X ∧ X )  → K* ( X ) * Đồng cấu đồng cấu vành ~ ~ Ví dụ 3.4.1 Phép nhân thu hẹp thành phần K ( X ) K * ( X ) trở thành ~ phép nhân thông thường K ( X ) Để thấy điều này, ta ý phép nhân ~ ~ ~ ~ µ ∆ K ( X ) ⊗ K ( X )  → K ( X ∧ X )  → K ( X ) ánh xạ xác định * ( a, b )  p1* ( a ) p2* ( b ) với p1 p2 ánh xạ chiếu lên thành phần thứ thành phần ~ thứ hai X ∧ X Phép nhân tích thông thường K ( X ∧ X ) thớ điểm ( x1 , x2 ) ∈ X ∧ X tích tensor thớ x1 ∈ X { x1} ∧ X tương tự ( x, x ) ∈ X ∧ X x1 ∈ X x2 ∈ X (vì p1* kéo lùi thớ p2* ) Cuối ánh xạ tam giác kéo lùi thớ x ∈ X ta có thớ x ∈ X gồm tích tensor thớ a x với thớ b x, tích tensor thông thường a b ~ ~ ~ Hình thức liên kết tích ánh xạ K * ( X , A ) ⊗ K * (Y , B ) → K * ( X / A ∧ Y / B ) Khi kết hợp với ánh xạ tam giác ~ ~ X / ( A ∪ B) → X / A ∧ X / B ta có tích ~ K * ( X , A) ≈ K * ( X , B ) → K * ( X , A ∪ B ) Ví dụ 3.4.2 Nếu X hợp hai không gian co rút được, X= A ∪ B , ta có ~ ~ ~ ~ ~ K ( X ) ≈ K ( X / A ) Vì ta có tích K * ( X ) ⊗ K * ( X ) → K * ( X ) viết kết hợp ~ ~ ~ ~ ~ K * ( X , A) ⊗ K * ( X , B ) → K * ( X , A ∪ B ) → K * ( X ) ~ ~ Mặt khác nhóm K* ( X , A ∪ B) ≈ K* ( X , X ) = phép nhân K * ( X ) tầm thường Ví dụ 3.4.3 Nhìn chung X viết dạng hợp cấp n không gian co rút ~ tất tích cấp n K * ( X ) tầm thường ~ Tiếp theo ta định nghĩa K − p ( X ) ≡ K − p ( X + ) X + X với điểm liên hợp Điều có nghĩa ~ K ( X ) = K ( X + ) = Ker ( K ( X + ) ) → K ( X + ) = K ( X ) ~ Vì định nghĩa phù hợp với định nghĩa trước K ( X ) K ( X ) 1 K −1 ( X= K ( SX= K ( ∑ X= K ( ∑ X ∨ S= ) K −1 ( X= ) K ( SX=) K −1 ( X ) ) K ( ∑ X ) ⊕ K ( S= +) +) +) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Với cặp ( X , A ) với A ≠ ∅ , ta định nghĩa K − p ( X , A ) = K − p ( X , A ) viết dãy khớp thành phần cho nhóm không rút gọn Ta có tích K ∗ ( X ) ⊗ K ∗ (Y ) → K ∗ ( X × Y ) cách kết hợp với ánh xạ tam giác ∆ : X → X × X ta thu cấu trúc vành K * ( X ) 3.4.2 Tính K – nhóm thông qua đối đồng điều Ví dụ 3.4.4 X = pt 1 Khi ta có K −= pt ) K −= SS ) K= ( pt ) K −1 ( pt |_|= ( S ) K (= ( S1 ) ~ ~ ~ ~ 2 Tương tự ta có K −= pt ) K −= S S ) K= ( pt ) K −2 ( pt |_|= ( S ) K (= (S2 )  ~ ~ ~ ~ Ví dụ 3.4.5 X = S n −1 Xét mặt cầu có số chiều chẵn, K= ( S 2n ) K= ( S 2n+1 ) , với mặt ~ ~ cầu có số chiều lẻ K −= ( S 2n+1 ) K= ( S 2n+2 )  Do với mặt cầu, ta có K * ( S n ) =  Ta ~ ~ ~ suy K −1 ( S n ) = K −1 ( S n +1 ) =  , K * ( S n )=  ⊕  với mặt cầu Ví dụ 3.4.6 Với mặt xuyến T , ta xét dãy khớp → K ( S ( X ∧ Y ) ) → K ( S ( X × Y ) ) → K ( SX ) ⊕ K ( SY ) → ~ ~ ~ ~ với X= Y= S , K −1 (T ) = K ( SS ) ⊕ K ( SS ) ⊕ K ( SS ) = K (S2 ) ⊕ K (S2 ) = ⊕ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Do K * (T ) =  ⊕  ⊕  K −1 (T )=  ⊕  Ta suy K * (T ) =  ⊕  ⊕  ⊕  Qua ~ ta thấy mặt xuyến mặt cầu S thật có K – nhóm phân biệt ta nhìn theo quan điểm 3.5 Một số phương pháp khác 3.5.1 K – lý thuyết cho không gian compact địa phương Cho X không gian compact địa phương, ta compact hóa điểm X, • ta ký hiệu lại X Tiếp theo ta định nghĩa K ( X ) K −1 ( X )   •      •  Ker  K  X  → K ({∞} )  Ker  K −1  X  → K −1 ({∞} )  Nếu X com pact X hợp rời         X {∞} , định nghĩa phù hợp với định nghĩa gốc K ( X ) K −1 ( X ) Ta định nghĩa đồng cấu hai không gian compact địa phương X Y Đó ánh xạ • • xác định sau: f : X → Y cho f ( ∞ ) =∞ Ta viết f dạng f : X → Y Hiển nhiên không gian compact địa phương vật phạm trù với xạ định nghĩa Hơn nữa, biểu đồ giao hoán nên hàm tử K K −1 xác định phạm trù Ví dụ 3.5.1 Ánh xạ bao hàm điểm {∞} S n cảm sinh đẳng cấu K ( S n ) ≈ K (  n ) ~ K −1 ( S n ) ≈ K −1 (  n ) Do ta có K (  n ) = n lẻ K (  n ) =  n chẵn; K −1 (  n ) = n ~ chẵn K (  n ) =  n lẻ 3.5.2 Lũy linh K ( X ) Định lý 3.5.1 Cho X không gian compact cho K ' ( X ) nhóm K ( X ) định nghĩa 1.1.29 Khi với cấu trúc vành định nghĩa 5.2, nhóm K ' ( X ) lũy linh K ( X ) (tức phần tử K ' ( X ) lũy linh) Đặc biệt, phần n ~ tử K ( X ) ≈ Ker  K ( X ) →   lũy linh X liên thông Hơn nữa, X =  X i X i i =1 tập đóng co rút được, ( K ' ( X ) ) = Ví dụ 3.5.2 Nếu X = CP n X = RP n , ta tìm (n+1) tập X i co rút cho n X =  X i Trong thành phần tọa độ với i, X i tập điểm ( x0 , , xn ) i =0 cho xi ≠ ∑ j ≠i xj xi n +1 n +1 ~  ~  ≤ Vì = K ( RP n )  = K ( CP n )       3.5.3 Sử dụng nhóm K ( X , Y ) Định lý 3.5.2 Cho X không gian compact Y tập đóng X Khi ta có dãy khớp j ∂ i j K −1 ( X )  → K −1 (Y )  → K ( X , Y )  → K ( X )  → K (Y ) * * * Ví dụ 3.5.3 Cho CP n không gian xạ ảnh phức  n+1 Khi CP1 ≈ S K ( CP1 ) ≈ K ( S ) ≈  ⊕  Hơn nữa, phần tử sinh không tầm thường K ( S ) cho ~ phân thớ đường tắc CP1 Tiếp theo cho X CP Y CP1 Vì vậy, phân thớ đường tắc CP1 thu hẹp phân thớ đường tắc CP Ánh xạ K ( X ) → K (Y )   toàn ánh Cuối cùng, K −1 ( S ) = K ( X , Y ) ≈ K   X / Y   ≈ K ( S ) ≈  Từ nhận xét hệ •  ~  ta thu dãy khớp  → K ( S )  → K ( CP )  → K ( CP1 )  →0 ~ ≈  Vì K ( CP ) ≈  ⊕  ⊕  Từ ta có K ( CP n ) ≈  n +1 ≈ ⊕ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Chúng ta biết để thu thông tin cách trực tiếp đa tạp nói chung không gian có độ cong nói riêng lúc dễ dàng Để khắc phục, nhà Toán học xưa không ngừng tìm tòi phát triển cách giải vấn đề Kết có công cụ mạnh giúp khảo sát không gian Trong tất công cụ phát hiện, quan tâm đến việc áp dụng K – lý thuyết vào lĩnh vực nghiên cứu không gian Mô hình phương pháp mô tả cách hình ảnh sau: ta dùng máy ảnh đại số chụp không gian X để có hình ảnh đại số Khi công cụ đại số ta thu thông tin không gian X Từ thông tin này, ta trả lại tính chất hình học tương ứng X Do ta thấy việc tính K – lý thuyết không gian đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu hình học không gian Vì nội dung luận văn tính K – nhóm số không gian có độ cong quen thuộc từ cung cấp cho độc giả số phương pháp công cụ sử dụng để tính K – nhóm không gian X đặc biệt không gian có độ cong Các kết luận văn sau:  Tính K – nhóm không gian: S n ; CP1 ;  n ; không gian điểm  Một số phương pháp tính K – nhóm không gian Sau hoàn thành luận văn, nhận thấy luận văn mở rộng theo hướng sau:  Tìm thuật toán tổng quát tính K – nhóm không gian có độ cong  Đặc trưng K – nhóm không gian có độ cong Hi vọng vấn đề giải thời gian tới Như vậy, với nội dung gồm ba Chương, luận văn trình bày sơ lược K – lý thuyết tôpô, không gian có độ cong để từ có kiến thức tảng tính K – nhóm số không gian có độ cong Tuy vấn đề đề tài thú vị có ý nghĩa sâu sắc thân tôi, giúp trưởng thành tư Toán học, tính nhẫn nại tự tin trình nghiên cứu Nếu có điều kiện muốn tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề đưa Do thời gian lực hạn hẹp nên luận văn chắn nhiều thiếu sót Tôi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ quí Thầy cô bạn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Hatcher, K – Theory and Vector Bundles, PDF version 2.0, January 2003 [2] Chris Blair, Some K – theory examples, May 2009 [3] Francis Clarke, An Introdution to K – theory, January 2003 [4] M.F Atiyah, K – theory, Lecture notes, Harvard University, 1964; W A Benjamin, Inc, New York, 1967 [5] M Karoubi, K – theory, An Introdution, Springer – Verlag, 1978 [6] R Bott, Lectures on K(X), Harvard University, Cambridge, Mass., 1963 [7] TS Nguyễn Hà Thanh, Bài giảng nhập môn đa tạp Rieman, Thành phố Hồ Chí Minh, 2008 [8] Varvara Karopa, Complex Topological K – Theory, Semester Project, EPFL, Spring 2009 [9] Wikipedia, the free enyclopedia, http://www.wikipedia.org [...]... cấu cần có là ≅ Φ : f * ( E1 ⊗ E2 )  → f * ( E1 ) ⊗ f * ( E2 ) ( e1 ⊗ e2 , y )  ( e1 , y ) ⊗ ( e2 , y ) được suy ra từ tính phổ dụng của cái k o lại CHƯƠNG 3: K – LÝ THUYẾT CỦA CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Mục đích của chương này là tính toán các K – nhóm của các không gian có độ cong hằng Để đạt được mục đích đó chúng tôi sẽ trình bày cách tính K – nhóm của một số không gian có độ cong hằng quen... gọi là đa tạp có độ cong hằng nếu độ cong tiết diện K ( p ) = const với mọi π ⊂ Tp M và với mọi p ∈ M Đa tạp Rieman có độ cong hằng thường được gọi là dạng không gian Thông thường, trong văn nói, một dạng không gian được hiểu là một đa tạp Rieman đơn liên, đầy đủ, có độ cong tiết diện hằng Ví dụ, mặt cầu, mặt phẳng là những mặt trong không gian Euclide E 3 có các độ cong toàn thể là hằng, do đó chúng... nó là một không gian compact, như một không gian con đóng của tích trực tiếp của n bản copy của mặt cầu S k −1 Định nghĩa 2.1.2 Ta định nghĩa đa tạp phức Grassman như sau: Gn (  k ) = { không gian vec tơ con n - chiều của  k , n ≤ k }, tức là tập tất cả các mặt phẳng n - chiều trong  k cùng qua gốc tọa độ Ví dụ: Ma trận G1 (  k ) là tập tất cả các đường thẳng trong  k đi qua gốc tọa độ Để hiểu... Mặt khác ta có: Rijij = −4 R 2 ( R 2 + | u |2 ) 2 , ) ' Rijij = − 4R2 4R4 ( R 2 + | u |2 ) 2 R 2 + | u |2 ( ) 2 − ' Rijij 16 R 6 ( R 2 + | u |2 ) 4 1 Do đó độ cong của quả cầu mở Ta tính được = K ( p) = = 2 2 4 8 gii g jj ( R + | u | ) R2 16 R S Rn là K = 1 R2 Như vậy, các không gian  n , BRn , S Rn là các không gian có độ cong hằng tương ứng là 1 1 và thường được gọi là các mô hình không gian có. .. đa tạp Rieman hai chiều có độ cong hằng Bất k hai đa tạp Rieman có độ cong hằng đều đẳng cự địa phương Định lý 1.2.1 (Định lý F Schur) Cho ( M n , g ) là đa tạp Rieman liên thông với n ≥ 3 Nếu độ cong tiết diện K p (π ) độc lập với π ⊂ Tp M thì M là đa tạp có độ cong hằng Chứng minh Theo giả thiết thì M di động tại p, tức là K p (π ) = K ( p ) và: ' R ( X , Y , Z ,V ) = − K ( p )  g ( X , Z ) g... nhất của K – lý thuyết tôpô, K ( X ) 2.6.1 Định lý phân loại Chú ý 2.6.1 Để thuận tiện, từ phần này trở đi ta sẽ làm việc với các phân thớ vectơ mà không gian đáy là X (không phải B) Hơn nữa, X được giả sử là không gian compact Hausdorff ( ) Ở ví dụ 2.2.2, phân thớ tổng thể γ n ,k = En (  k ) , π , Gn (  k ) đã được định nghĩa Dưới đây ta sẽ phát biểu Định lý phân loại có liên quan đến γ n ,k Trong... hưởng một cách tự nhiên từ tích trực tiếp và tích tensor của các không gian vectơ) • Các định nghĩa về các nhóm thứ nhất không rút gọn được K ( X ) và nhóm thứ nhất rút ~ gọn được K ( X ) của K – lý thuyết tôpô Chúng tôi sẽ cung cấp các mô tả bình thường và mô tả hình học của mỗi nhóm đồng thời chỉ ra rằng K ( X ) được trang bị cấu trúc vành Các định nghĩa trình bày sau đây chủ yếu được tham khảo từ... k = 1, n Do đó Rijkh = 0, tức là, R ( X , Y ) Z = 0 với mọi X , Y , Z ∈ Tp M Từ đó K = 0 Vậy  n là đa tạp Riemann có độ cong hằng K = 0, hay  n là phẳng Ví dụ 1.3.2 Quả cầu mở M == BRn {u ∈  n : u < R} với mêtric: ( du ) 1 2 ds = 4 R 2 4 (R + + ( du n ) 2 2 ) 2 2 −u chính là mô hình Poincaré của không gian Lobachevski n chiều Khi n ≥ 2 thì không gian Lobachevki BRn là một đa tạp Rieman có độ cong. .. không gian có độ cong hằng K= 0, K = − 2 ,K = R R2 CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT Nội dung chủ yếu của phần này là trình bày các nét cơ bản về K – lý thuyết tôpô phức Do đó ở đây chúng tôi trình bày sơ lược về các nội dung sau: • Đa tạp Grassman vì cần dùng nó cho việc phân loại các đẳng cấu vectơ • Các phân thớ vectơ phức cùng với các phép toán tổng trực tiếp và tích tensor trên các phân thớ này... có độ cong hằng quen thuộc như mặt cầu S n , không gian  n , CP1 , CP 2 , , thông qua đó cho độc giả nắm được một số phương pháp giúp tính được K – nhóm và hiểu hơn về K – lý thuyết 3.1 Tôpô tổng quát và việc xây dựng các phân thớ vectơ Định nghĩa 3.1.1 (Tích chêm) Tích chêm X ∨ Y của hai không gian X và Y là không gian được tạo ra bằng cách lấy hợp rời của X và Y đồng thời đồng nhất 1 điểm trên X ... tính K – nhóm không gian có độ cong phương pháp K – hàm tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Sơ lược không gian có độ cong Chương 2: Tìm hiểu K – lý thuyết Chương 3: K – lý thuyết không gian có độ cong. .. : Phạm trù không gian vectơ n chiều trường Κ n Trần Thị Bảo Trâm K- lý thuyết không gian có độ cong CHƯƠNG 1: CÁC KHÔNG GIAN CÓ ĐỘ CONG HẰNG Do đối tượng luận văn không gian có độ cong nên chương... 16 R S Rn K = R2 Như vậy, không gian  n , BRn , S Rn không gian có độ cong tương ứng 1 thường gọi mô hình không gian có độ cong K= 0, K = − ,K = R R2 CHƯƠNG 2: TÌM HIỂU VỀ K – LÝ THUYẾT Nội