nhập môn k – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T 3T DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU T T MỞ ĐẦU T 3T Chương - NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT 3T T 1.1 Sơ lược không gian phân thớ T 3T 3T T 1.1.1 Ví dụ mở đầu T 3T 3T 3T 1.1.2 Không gian phân thớ 10 T 3T 3T T 1.1.3 Đồng cấu đẳng cấu phân thớ; phạm trù phân thớ 11 T 3T 3T T 1.2 Đa tạp phức Stiefel đa tạp phức Grassman 12 T 3T 3T T 1.3 Phạm trù T 3T 3T 3T Bund 13 1.4 Xây dựng phép toán phân thớ vec-tơ 16 T 3T 3T T 1.5 Các hàm tử liên tục phép toán Bund (B) 18 T 3T 3T T 1.6 Nửa vành Vect (B) 23 T 3T 3T 3T 1.7 Nhóm thứ T 3T 3T 3T K - lý thuyết tôpô, K ( X ) 26 T T 1.7.1 Định lý phân loại 26 T 3T 3T T 1.7.2 Hàm tử K ( X ) 27 T 3T 3T 3T  X 27 1.7.3 Hàm tử K ( ) T 3T 3T 3T 1.7.4 Mô tả K ( X ) 31 T 3T 3T 3T Chương - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC T KHÔNG GIAN TÔPÔ 35 2.1 Sử dụng định lý tích để tính K - nhóm 35 T 3T 3T T T T 2.1.1 Tích cho K ( X ) 35 T 3T 3T 3T  S2 ; K 2.1.2 Ứng dụng tính K (S ) ; K (P ) ; K ( )  (P ) 38 T 3T 3T 3T 2.2 Sử dụng dãy khớp, tích rút gọn tuần hoàn Bott 40 T 3T 3T T 2.2.1 Một số khái niệm 40 T 3T 3T T 2.2.2 Các dãy khớp K - nhóm 43 T 3T 3T T T T 2.2.3 Tích rút gọn 46 T 3T 3T T 2.2.4 Tuần hoàn Bott 47 T 3T 3T 3T 2.3 Sử dụng đối đồng điều 51 T 3T 3T T 2.3.1 Đối đồng điều 51 T 3T 3T 3T 2.3.2 Tính K - nhóm thông qua đối đồng điều 53 T 3T 3T 3T 3T T Chương - LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU 55 T 3.1 T 3T K  lý thuyết lý thuyết đồng điều C*-đại số 55 3T T 3.1.1 Đại số Banach C*-đại số 55 T 3T 3T T 3.1.2 Hàm tử K 58 T 3T 3T 3T 3.1.3 Hàm tử K 60 T 3T 3T 3T 3.1.4 Lý thuyết đồng điều 61 T 3T 3T T 3.1.5 Lý thuyết đối đồng điều 62 T 3T 3T T 3.1.6 Liên hệ K − lý thuyết tôpô với K − lý thuyết C*-đại số 66 T 3T 3T 3T T T T T 3 3.2 Mối liên hệ tuần hoàn Bott K  lý thuyết 72 T 3T 3T T T T 3.2.1 Tuần hoàn Bott 72 T 3T 3T 3T 3.2.2 Nhóm đồng luân p n 72 T 3T 3T T 3.2.3 Liên hệ nhóm đồng luân K  lý thuyết 74 T 3T 3T T T T KẾT LUẬN 76 T 3T TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 T 3T LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thái Sơn Trước trình bày nội dung luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi chân thành cảm ơn quý thầy tổ Hình học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp học tập suốt trình học Cao học Chân thành cảm ơn phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn động viên bạn bè, gia đình bên tôi, động viên giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp TP Hồ Chí Minh, ngày 05 tháng 12 năm 2013 Học viên: Trần Phong DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Set Phạm trù tập hợp Top Phạm trù không gian tôpô CW Phạm trù phức CW Grp Phạm trù nhóm Ab Phạm trù nhóm Aben SemiRng Phạm trù nửa vành Bundn Phạm trù phân thớ vec-tơ n chiều Bundn  B Phạm trù phân thớ vec-tơ n chiều có đáy B Vect  B Nửa nhóm lớp tương đương phân thớ vec-tơ B Vectk  B Nửa nhóm lớp tương đương phân thớ vec-tơ k chiều trên B f   Lớp đồng luân ánh xạ f n n Phạm trù không gian vec-tơ n chiều trường  MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài K  lý thuyết tôpô (còn gọi K  lý thuyết hình học) lý thuyết đối đồng điều suy rộng công cụ mạnh Tôpô đại số Công cụ cho phép giải nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực Hình học – Tôpô nhiều lĩnh vực khác toán học Năm 1958, Grothendieck nghiên cứu định lý Riemann – Roch Hình học đại số khởi xướng ý tưởng K  lý thuyết tôpô Đến năm 1961, K  lý thuyết tôpô thức hình thành công trình nghiên cứu độc lập Atiyah Hirzebruch K  lý thuyết tôpô xây dựng nhờ không gian phân thớ, cho phép chuyển loạt toán giải tích tôpô thành toán đại số K  lý thuyết tôpô nảy sinh cách tự nhiên K  lý thuyết đại số K  lý thuyết tôpô xuất trước liên quan tới phân thớ vec-tơ phức đáy không gian tôpô Đối tượng K  lý thuyết tôpô lớp tương đương ổn định phân thớ vec-tơ (phức) Bằng phép toán tổng Whitney phân thớ vec-tơ, ta xây dựng vị nhóm Abel, thông qua nhóm Grothendieck, ta xây dựng nhóm K K không gian tôpô K  lý thuyết đại số liên quan đến nhiều đối tượng Năm 1962, Swan để ý thấy có tương ứng phạm trù không gian tôpô (như không gian compắc, Hausdorff) với phạm trù đại số Banach C   đại số Ý tưởng chỗ tập nhát cắt liên tục phân thớ vec-tơ không gian tôpô X C X   môđun Điều dẫn tới việc nghiên cứu môđun xạ ảnh, K  nhóm đại số xuất phát điểm K  lý thuyết đại số Điều đặc biệt K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số có mối liên hệ mật thiết với thông qua định lý kinh điển Từ mối liên hệ ta chuyển từ việc tính toán K  nhóm từ bên (tôpô) sang bên (đại số) việc tính toán bên khó bên kia, ngược lại Thông qua việc tìm hiểu sơ vấn đề trên, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu K  lý thuyết mà cụ thể K  lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ mật thiết K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số Tuy nhiên, việc nghiên cứu K  lý thuyết tầm tổng quát khó khăn phải dùng đến nhiều kiến thức Đại số Giải tích Vì vậy, giới hạn việc tìm hiểu phạm vi nhỏ đề tài mang tên : “Nhập môn K  lý thuyết liên quan tới lý thuyết đồng điều” Nội dung phương pháp nghiên cứu Luận văn tìm hiểu hai vấn đề chính: Mối liên hệ tuần hoàn Bott với K  lý thuyết K  lý thuyết lý thuyết đồng điều Đại số Banach Phương pháp nghiên cứu: Luận văn sử dụng công cụ mạnh Đại số đồng điều Giải tích hàm, chừng mực có thể, cách trình bày theo tinh thần Toán học đại – ngôn ngữ Phạm trù Hàm tử Cấu trúc luận văn Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị K  lý thuyết như: mô tả không gian phân thớ - tảng xây dựng K  lý thuyết, phân loại đẳng cấu vec-tơ, phép toán phân thớ vec-tơ tổng Whitney tích ten-xơ, sau xây dựng K  lý thuyết Chương 2: Trình bày số phương pháp tính K  nhóm số không gian tôpô như: Sử dụng định lý tích bản; Sử dụng dãy khớp, tích rút gọn tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K  nhóm Chương 3: Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể mối liên hệ K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số, nội dung chương trình bày hai vấn đề sau: K  lý thuyết lý thuyết đồng điều đại số Banach mối liên hệ tuần hoàn Bott với K  lý thuyết Nhờ định lý kinh điển nói mối liên hệ mật thiết K  lý thuyết tô pô K  lý thuyết đại số, ta chuyển từ việc tính toán K  nhóm từ bên (tôpô) sang bên (đại số) việc tính toán bên khó bên kia, ngược lại Ký hiệu luận văn Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng giải thích dùng lần đầu (xem Danh mục ký hiệu) Để trích dẫn kết quả, tác giả dùng ký hiệu quan thuộc Chẳng hạn, ghi “1.2.1” có nghĩa xin xem mục 1.2.1 Chương 1; ghi “2.1.2” có nghĩa xin xem mục 2.1.2 Chương 2; ghi “[10, tr.110]” có nghĩa xin xem trang 110 Tài liệu tham khảo số 10 63 • Phạm trù PCS không gian chấm điểm compắc với vật cặp ( X , x0 ) bao gồm không gian compắc X x0 ∈ X Cấu xạ phần tử f : X → Y mà f ( x0 ) = y0 f : ( X , x0 ) → (Y , y0 ) ánh xạ liên tục • Phạm trù CP cặp không gian compắc với vật cặp ( X , Y ) bao gồm không gian compắc X không gian Y ⊂ X compắc Cấu xạ f : X → Y mà f (Y ) ⊂ Y ' f : ( X , Y ) → ( X ', Y ') ánh xạ liên tục • Phạm trù PCP cặp không gian chấm điểm compắc với vật cặp ( ( X , x ) , (Y , y ) ) 0 Cấu xạ f : ( ( X , x0 ) , (Y , y0 ) ) → ( ( X ′, x0′ ) , (Y ′, y0′ ) ) ánh xạ liên tục f : X → X ' mà f ( x0 ) = x0′ f (Y ) ⊂ Y ′ Bây giờ, với X compắc địa phương, ta xét compắc hóa điểm (compắc hóa Alexandrov) X + X Xem X + không gian chấm điểm với điểm sở điểm vô ∞ Nếu f : X → Y cấu xạ (với miền xác định U ) ta có ánh xạ f + : X + → Y + định :  f ( x) , x ∈U f + ( x) =  , x ∈ X + \U  ∞ ta có hàm tử từ phạm trù LCS đến phạm trù PCS Ngược lại, ( X , x0 ) không gian chấm điểm compắc X \ { x0 } không gian compắc địa phương cấu xạ f : ( X , x0 ) → (Y , y0 ) hạn chế lên U = f −1 (Y \ { y0 } ) sinh cấu xạ X \ { x0 } → Y \ { y0 } không gian compắc địa phương Nếu ta lấy hợp thành ( X → X + → X + \ {∞} ( X , x0 ) → X \ { x0 } → X \ { x0 } ) + rõ ràng phép đồng phôi Lập luận hoàn toàn tương tự cấu xạ Như vậy, ta có: 64 Mệnh đề 3.1.13.(Sự tương đương LCS PCS) Cặp tương ứng X  X+ f  f + tương đương tự nhiên phạm trù LCS phạm trù PCS Định nghĩa 3.1.14.(Lý thuyết đối đồng điều tổng quát rút gọn) Một lý thuyết đối { } đồng điều tổng quát rút gọn dãy H n n∈ đối hàm tử từ phạm trù PCS đến phạm trù Ab thỏa mãn tiên đề sau: i Tiên đề liên tục Nếu { X α } không gian compắc không gian chấm điểm compắc; hệ nghịch theo quan hệ bao hàm (tức là, với α , β , tồn γ cho X γ ⊂ X α ∩ X β X = lim X α ← Xα = X )  α H n ( X ) ≅ lim H n ( X α ) → ii Tiên đề khớp Với cặp không gian chấm điểm compắc ( X , Y ) , tồn phép biến đổi tự nhiên hàm tử δ n : H n (Y ) → H n +1 ( X Y ) cho dãy sau khớp: δ n−1 p* i* δn p*   → H n ( X Y )  → H n ( X )  → H n (Y )  → H n +1 ( X Y )  → Định nghĩa 3.1.15.(Lý thuyết đối đồng điều rút gọn với hệ số nguyên) Một lý thuyết đối đồng điều rút gọn (hệ số nguyên) lý thuyết đối đồng điều tổng quát rút { } gọn H n iii n∈ thỏa mãn thêm tiên đề sau: Tiên đề chiều 0 , n ≠ H n ( S ) =   , n = Chú ý Tiên đề chiều kéo theo tính chất bất biến đồng luân phạm trù PCS: f  g phạm trù PCS f * = g * Định nghĩa 3.1.16.(Lý thuyết đối đồng điều tổng quát) Một lý thuyết đối đồng điều tổng quát dãy {H n }n∈ đối hàm tử từ phạm trù CP đến phạm trù Ab thỏa mãn tiên đề sau: 65 Tiên đề liên tục Nếu { X α , Yα } hệ trực tiếp cặp mà X =  X α i α n n Y =  Yα lim H ( X α , Yα ) ≅ H ( X , Y ) → α ii Tiên đề khoét Nếu X= K ∪ L với K , L ⊂ X tập compắc i : ( K , K ∩ L ) → ( X , L ) cảm sinh đẳng cấu nhóm i* : H n ( X , L ) → H n ( K , K ∩ L ) với n∈ iii Tiên đề khớp Với X compắc n∈, n ta hiểu H= ( X ) H n ( X , ∅ ) Với cặp ( X , Y ) , tồn phép biến đổi tự nhiên δ n : H n (Y ) → H n+1 ( X , Y ) tạo thành dãy khớp: δ p i δ p   → H n ( X , Y )  → H n ( X )  → H n ( X Y )  → H n ( X , Y )  → n−1 * * n * Định nghĩa 3.1.17.(Lý thuyết đối đồng điều) Một lý thuyết đối đồng điều lý thuyết đối đồng điều tổng quát {H n }n∈ thỏa mãn thêm tiên đề sau: iv Tiên đề chiều 0 , n ≠ H n ( pt ) =   , n = Định lý 3.1.18.(Tính nhất) Mọi lý thuyết đối đồng điều rút gọn lý thuyết đối đồng điều (hệ số nguyên) sai tương đương tự nhiên Nói cách khác, lý thuyết đối đồng điều rút gọn lý thuyết đối đồng điều (hệ số nguyên) Khẳng định định lý lý thuyết đối đồng điều tổng quát rút gọn lý thuyết đối đồng điều rút gọn không Tuy nhiên, ta có mối liên hệ chúng sau: { } Định lý 3.1.19 Nếu H n n∈ lý thuyết đối đồng điều tổng quát rút gọn cách đặt: = H n ( X , Y ) : H n ( X + Y + ) , n ∈  66 ta nhận lý thuyết đối đồng điều tổng quát {H n }n∈ Ngược lại, {H n }n∈ lý thuyết đối đồng điều tổng quát cách đặt: H n ( X )=: H n ( X , ∗) , n ∈  { } ta nhận lý thuyết đối đồng điều tổng quát rút gọn H n n∈ Chú ý Trong ký hiệu nêu trên, ta có: n  H ( X ) H n= , ∅ ) H n ( X ) ⊕ H n = S ( X ) H n ( X= ( )  H n ( X ) ⊕   ( n ≠ 0) 0) (n = { } n Ví dụ Các đối hàm tử K lý thuyết đối đồng điều tổng quát đối hàm tử {K } lý thuyết đối đồng điều tổng quát rút gọn Nói cách khác, K-lý thuyết tôpô lý n thuyết đối đồng điều tổng quát rút gọn lý thuyết đối đồng điều tổng quát 3.1.6 Liên hệ K − lý thuyết tôpô với K − lý thuyết C*-đại số Trong mục này, ta trình bày mối liên hệ mật thiết K − lý thuyết tôpô (một lý thuyết đối đồng điều) K − lý thuyết đại số (một lý thuyết đồng điều) Định lý 3.1.20 (Định lý Serre – Swan) Cho X không gian compắc Hausdorff Đặt A  C X  đại số hàm liên tục X Ký hiệu Vec X  phạm trù phân thớ vec-tơ X P  A phạm trù môđun xạ ảnh hữu hạn sinh A Khi phạm trù Vec X  tương đương với phạm trù P  A Chứng minh Đặt  hàm tử từ Vec X  đến P  A kết hợp phân thớ vec-tơ E thành tập hợp lát cắt liên tục   E E Ta có   E A  môđun với  fsx  f x s x với f  A,s    E 67 Ta cần kiểm tra định nghĩa tốt, nghĩa   E thật môđun xạ ảnh hữu hạn sinh A Ta cần kết định lý sau: Định lý 3.1.21 (Định lý Swan) Cho E phân thớ vec-tơ không gian compắc Hausdorff, tồn phân thớ vec-tơ F cho E  F phân thớ thầm thường Đầu tiên, ta  ánh xạ phân thớ hạng n X đến A  n môđun tự hữu hạn sinh A Thật vậy, lát cắt liên tục s E ánh xạ liên tục s  C X, n   C X   An Mặt khác, hàm liên tục n n lát cắt E ,   E  A Bây E phân thớ vec-tơ không gian compắc X , theo định lý Swan E hạng tử trực tiếp phân n thớ tầm thường,   E hạng tử trực tiếp A Điều cho ta thấy   E hữu hạn sinh xạ ảnh m n Xét hai phân thớ tầm thường E  X  F  X  , cấu xạ f hai phân thớ cho ma trận M f  x  aij  x ; i  1, ,m; j  1, ,n với thành phần ma trận thuộc A Rõ ràng hai cấu xạ phân thớ có ma trận biểu diễn chúng trùng Hơn nữa, ma trận M biểu diễn cấu xạ phân thớ tầm thường Điều hàm tử  thiết lập tương đương phạm trù phân thớ tầm thường với A  môđun tự hữu hạn sinh Trước ta chứng minh cho trường hợp tổng quát, ta cần khái niệm bao Karoubi phạm trù sau đây: Định nghĩa 3.1.22 Cho X,e ,  phạm trù X  Ob   xác định cách e:XX ' phạm trù có vật cặp lũy đẳng, tức e  e Cấu xạ ' 68 Hom ' X,e ,X',e'   f  Hom X,X'| fe  f ,e' f  f  Khi đó, phạm trù ' liên kết với  gọi bao Karoubi  Bổ đề 3.1.23 Bao Karoubi phạm trù VecT X  phân thớ phức tầm thường với hạng hữu hạn không gian compắc X tương đương với phạm trù Vec X  phân thớ vec-tơ phức với hạng hữu hạn X Chứng minh Ta cần với phân thớ vec-tơ E X có dạng eV , với V phân thớ vec-tơ phức tầm thường với thớ V e : V  V phép chiếu Nếu F phân thớ vec-tơ e phép chiếu F , eF 1  e F phân thớ F Và đặc biệt, eV phân thớ V Để chứng minh chiều ngược lại, theo định lý Swan tồn phân thớ E' cho E  E'  V phân thớ tầm thường, từ phân tích tổng trực tiếp xác định cho ta phép chiếu e cho eV  E Bổ đề 3.1.24 Đặt F  A phạm trù môđun tự hữu hạn sinh A P  A phạm trù tất A  môđun xạ ảnh hữu hạn sinh Khi bao Karoubi F  A P  A Chứng minh Đặt P A  môđun xạ ảnh hữu hạn sinh Khi P hữu hạn sinh có toàn ánh p : An  P , đồng thời P xạ ảnh p có lát cắt, tức có ánh xạ A  môđun s : P  An cho ps : P  P ánh xạ đồng Khi đó, n đặt e  sp : An  An ta có e lũy đẳng A cho eAn  P Như P n hạng tử thực tiếp A tạo ảnh ánh xạ chiếu e Bổ đề 3.1.25 Nếu '   hai phạm trù tương đương, bao Karoubi phạm trù tương đương ' 69 Định lý Serre – Swan chứng minh hoàn toàn Thật ra, định lý Serre-Swan mối liên hệ K − lý thuyết tôpô K − lý thuyết đại số trường hợp riêng định lý kinh điển sau Định lý 3.1.26.(Định lý kinh điển) Cho X không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff Khi đó: K j ( X ) ≅ K j ( C0 ( X ) ) , 0,1 j= Chứng minh (Xem [5, trang 10]) Như vậy, Định lý Serre – Swan trường hợp riêng định lý j = X compắc Nhờ định lý kinh điển này, ta chuyển từ việc tính toán K − nhóm từ bên (tôpô) sang bên (đại số) việc tính toán bên khó bên kia, ngược lại Sau số ví dụ điển hình Các ví dụ điển hình Ví dụ 3.1.26 Với số tự nhiên n , ta có : = k  , n 2=  , n 2k , K1 C0 (  n ) ≅  K C0 (  n ) ≅  2k + 2k + 0 , n =  , n = ( ) ( ) Chứng minh Trước tiên, ta có hai khái niệm sau: Giả sử A đại số Banach giao hoán • Tập C ( A ) ánh xạ liên tục từ [ 0,1] vào A cho f ( ) = lập thành đại số Banach gọi nón A • Tập SA ánh xạ liên tục từ [ 0,1] vào A cho f= ( ) f= (1) lập thành đại số Banach gọi treo A Dễ thấy SA iđêan đóng C ( A ) Ta xem: SA ≅ C0 ( , A ) đại số hàm liên tục từ  vào A triệt tiêu vô 70 Nhận xét : • Với không gian compắc địa phương, Hausdorff X , Y , ta có luật mũ : C0 ( X × Y , Z ) ≅ C0 ( X , C0 (Y , Z ) ) • Từ trên, ta lại= có S  C= C0 (  ) ( ,  ) Bây giờ, áp dụng hai điều trên, ta có : S 2 = S ( S  ) ≅ C0 ( , S  ) = C0 ( , C0 (  ) ) ≅ C0 (  ) tổng quát S n  ≅ C0 (  n ) với n∈ Do : , n 2k =  K (  ) = K C0 (  n ) ≅ K ( S n  ) = Kn ( ) =  n 2k + ) , =  K1 ( = ( ) = n 2k ,  K (  ) 0= K1 C0 (  n ) ≅ K1 ( S n  ) =K ( S n +1 ) =K n +1 (  ) = n 2k + )  , =  K ( = ( ) Ví dụ 3.1.27 Với số tự nhiên n , ta có :  , n = 2k  , n = 2k K C ( S n ) = , K1 C ( S n )  = n 2k + n 2k +  , =  , = ( ( ) ) n S mặt cầu đơn vị không gian  n+1 Chứng minh n Trong Tôpô đại cương, ta biết rằng, compắc hóa điểm  n S , tức S n ≈ (  n ) Do : + C (Sn ) ≅ C ((  ) ) ≅ (C (  )) n + n + Mặt khác, với đại số Banach A : K ( A+ ) ≅ K ( A ) ⊕ K (  ) = K ( A ) ⊕  , K1 ( A+ ) ≅ K1 ( A ) Kết hợp với ví dụ trên, ta suy : 71  , n = k K C ( S n ) ≅ K C0 (  n ) ⊕  ≅  n 2k +  , = ( ) ( )  , n = 2k K1 C ( S n ) ≅ K1 C0 (  n ) ≅  n 2k +  , = ( ) ( ) 72 3.2 Mối liên hệ tuần hoàn Bott K  lý thuyết 3.2.1 Tuần hoàn Bott Định lý 3.2.1.(Tuần hoàn Bott) Cho C   đại số A Ánh xạ Bott b A : K0  A  K1 SA đẳng cấu Chứng minh (Xem [14, trang 187]) Hệ 3.2.2 Với C   đại số A số nguyên n  , ta có K n   A  K n  A Chứng minh Trường hợp n  nội dung định lý Trong trường hợp tổng quát, quy nạp ta có Kn2  A  Kn1 SA  Kn1 SA  Kn  A với n  3.2.2 Nhóm đồng luân p n Định nghĩa 3.2.1 Cho X không gian tôpô, ta nói hai điểm a , b  X đồng luân X , ký hiệu a ~ h b , có hàm liên tục v : 0,1  X cho v 0  a , v 1  b Chú ý Quan hệ ~h quan hệ tương đương X hàm v gọi đường liên tục từ a đến b, ta thường ký hiệu lại t  v t Định nghĩa 3.2.2 ( p0  tương đương) Cho Y không gian tôpô X không gian Y Xét ~h quan hệ tương đương X Y Ánh xạ nhúng sinh ánh xạ iˆ cho biểu đồ sau giao hoán i:XY cảm 73 i X   Y   iˆ X ~ h   Y ~h Khi đó, ta nói i p0  tương đương iˆ song ánh Cho A C   đại số có đơn vị, phần ta định nghĩa lại   A dãy nhóm sau:  ( A ) → 2 ( A ) → 3 ( A ) →  đó, ánh xạ liên kết n ( A ) → n +1 ( A ) cho u  diag ( u,1) Xét   A cách trở thành nhóm, ánh xạ λn : n ( A ) → ∞ ( A ) đồng cấu nhóm Trang bị cho   A metric cho d ( λn ( u ) , λn ( v )= ) u − v , với n chọn cho u, v ∈ n ( A ) Đây định nghĩa tốt ánh xạ liên kết n ( A ) → n +1 ( A ) đẳng cự Cho G môt nhóm tôpô, với n ≥ ta định nghĩa nhóm đồng cấp n , ký hiệu π n ( G ) , tập hợp lớp tương đương đồng luân ánh xạ liên tục S n → G biến điểm sở chọn S n thành e (phần tử trung hòa G ) Đặt π ( G ) tập hợp lớp tương đương đồng luân G Ta định nghĩa phép toán nhóm π n ( G ) sau: [ f ].[ g ] = [ f g ] với f , g : S n → G ánh xạ liên tục, ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) (sử dụng phép toán nhóm G ) Bây giờ, ta cho A C ∗ − đại số bất kì, có đơn vị không, đặt { ( ) }  ( A) = u ∈ ∞  A : s (u ) =     Dễ thấy  ( A ) nhóm đó, s ánh xạ vô hướng   A   tôpô, A có đơn vị  ( A ) đẳng cấu với   A 74 3.2.3 Liên hệ nhóm đồng luân K  lý thuyết Mệnh đề 3.2 Cho A C   đại số Khi Kn  A đẳng cấu với pn1   A đặc biệt ta có K  A , n  k   pn   A   K1  A , n  k   v   A  Chứng minh Trước tiên, ta ý với cặp u  n  A  m  u ~l v  Thật vậy, l u ~ l v ln u ~ h lm v   A  n h m    , tồn dãy đơn vị  A u0  ln u , u1 , u2 , , uN  lm v  với u  u  với j Ta tìm số k tốt n, m   A  j 1 j v0 , v1 , , vN v0  u  1kn  cho l v   u Do v ~ v  nên ta có k  A k  A   k j j j h j 1 v1  v  1km Điều u ~ l v Ngược lại u ~ l v ,  , ~ v  1k m  k  A ta có u  1k  n h  ~ l v  1k m   lm v ln u  lk u  1k n h k     A   ~ phép nhúng   A   A  p  Do mà K1  A đẳng cấu với   A  h       A cho u  s u u , kết ta có tương đương Sử dụng co rút   A      p0   A    A ~ h   A ~ h  K1  A 75 Với n  ta đồng Sn với không gian thương 0,1 n n n  0,1 ,   0,1 n bao đóng 0,1 đồng điểm đơn Đặt n  A tập hợp tất hàm liên tục f : 0,1    A với f t  1, t   0,1 , n  A nhóm n n tôpô liên thông đường địa phương, pn   A đẳng cấu với n  A ~ h Khi đó,   1  A  u  C  0,1 ,   A : u 0  u 1       : s u    SA  u   SA Ta thấy p1   A  1  A ~ h   SA ~ h  K1 SA  K2  A  thỏa mãn Đồng  SA với tập hợp hàm liên tục u : 0,1    A  u 0  u 1   s u t với t  0,1 Với n  ta đồng n  A với n1 SA sau: cho f  n  A t1 , t2 , , tn1   0,1 n1 , định nghĩa f t1 , t2 , , tn1   SA f t1 , t2 , , tn t  f t1 , t2 , , tn , t    Khi f  n1 SA ánh xạ f  f đẳng cấu nhóm tôpô ta có pn   A  n  A ~ h  n1 SA ~ h  Kn SA  Kn1  A với n  Mệnh đề chứng minh hoàn toàn 76 KẾT LUẬN Qua trình bày ta thấy để thu thông tin trực tiếp đa tạp nói chung lúc dễ dàng Để khắc phục, nhà Toán học xưa không ngừng tìm tòi phát triển cách giải vấn đề Kết có công cụ mạnh giúp khảo sát không gian Trong tất công cụ phát hiện, tác giả quan tâm đến việc áp dụng K – lý thuyết vào lĩnh vực nghiên cứu không gian Mô hình phương pháp mô tả cách hình ảnh sau: ta dùng máy ảnh đại số chụp không gian X để thu hình ảnh đại số Khi đó, công cụ đại số ta thu thông tin không gian X Từ thông tin này, ta trả lại tính chất hình học tương ứng X Và trình nghiên cứu tính chất này, trình tính K – lý thuyết tô pô gặp khó khăn ta lại dùng liên hệ mật thiết để chuyển thành toán K – lý thuyết đại số khảo sát dễ dàng hơn, ngược lại Vì nội dung luận văn tính K – nhóm số không gian tôpô để độc giả nắm sơ lược ứng dụng K – lý thuyết, sau mô tả mối liên hệ mật thiết K – lý thuyết tôpô với K – lý thuyết đại số giúp ta mở rộng cách tính K – lý thuyết Do nhiều hạn chế khách quan chủ quan, Luận văn dừng lại khuôn khổ định Tác giả hi vọng có dịp tiếp tục nghiên cứu vấn đề tương lai Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo, song sai sót tránh khỏi, tác giá xin chân thành lắng nghe cảm ơn độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận văn 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Đông (2012), Bài giảng đa tạp phức, Tp HCM Nguyễn Hà Thanh (2012), Bài giảng nhập môn đa tạp khả vi, Tp.HCM Lê Anh Vũ (2012), Bài giảng nhập môn K-lý thuyết tô pô, Tp HCM Tiếng Anh M F Atiyah (1964), K-theory Lecture notes, Harvard University P F Baum (2008), Topics in Algebraic and Topological K-theory, Springer J Brodzki (1996), “An introducion to K-theory and Cyclic Cohomology” R Bott (1963), Lectures on B Blackadar (1986), K-Theory for Operator Algebras, Springer – Verlag, Berlin K X  , Harvard University, Cambridge, Mass – Heidelberg – London – NewYork – Paris-Tokyo B Chris (2009), Some K-theory examples, May 10 F Clarke (2003), An Introdution to K-theory, January 11 A Hatcher (2003), K-theory and Vector Bundles, January 12 M Karoubi (1978), K-theory An Introdution, Springer – Verlag 13 V Karopa (2009), Complex Topological K-theory, Springer 14 M Rordam, An Introduction to K-theory for C  - Algabras, Cambridge University Press, United Kingdom 15 J L Taylor, “Banach Algebras and Topology”, Algebras in Analysis, Academic Press, London – Newyork – San Francisco [...]... sao cho mỗi Wn  k  là một phức với số ô hữu hạn và ta có thể chỉ ra rằng Gn  k  là một đa tạp Hausdorff với số chiều là k  k  n Ta có  k   k 1   Dãy này cảm sinh dãy các đa tạp phức Stiefel Wn  k   Wn  k 1   và dãy các đa tạp phức Grassman phức sau Gn  k   Gn  k 1   Ta đặt: Wn  :  lim Wn  k  và Gn  :  limGn  k  k k ta thu được hai không gian tôpô giới...  k  là một đa tạp phức Grassman Ta định nghĩa En  k   V , v  G   n k k và phép chiếu p : En  k   Gn  k  V ,v  V |v  V  15 Bộ ba g n ,k   En  k  , p ,Gn  k  là phân thớ phức chính tắc n chiều Ví dụ 1.3.5 Ta định nghĩa E'n  k   V ,u  G   n k k |u  V   và phép chiếu tương ứng lên thành phần đầu tiên p : E'n  k   Gn  k  V ,u  V n chiều Khi... tử nghịch đảo của h  k  n chiều sao cho x  h s e k , x0 , tức là tìm phân thớ vec-tơ phức trong đó e k là một phân thớ tầm thường k chiều trên X Áp dụng Định lý 1.7.2 với k đủ lớn để thu được ánh xạ  x    f * g n ,k  Mặt khác, ta có     n g n ,k  hn ,k  e k , f : X  Gn , sao cho với e k tầm thường k chiều trên X Do đó h:  f * hn ,k  Nếu X không liên thông, quá trình chứng... : K X   f : Y  X  G  Vect  f  : K X  K Y  Chú ý 1.7.4  K phản biến vì Vect X  phản biến  K là một bất biến đồng luân theo Chú ý 1.6.2  X 1.7.3 Hàm tử K ( )  ( X ) bằng một dãy khớp ngắn Định nghĩa K sao cho lớp x  khi k đủ lớn 28 Với bất k x0  X , xét ánh xạ bao hàm i : x0  X và ánh xạ hằng c : X  x0  X  được định nghĩa là hạt nhân của i * Ta có dãy khớp ngắn K c*... nhóm đầu tiên không rút gọn được K X  và nhóm  X  của K  lý thuyết tô pô Bên cạnh đó, chúng tôi cũng cung đầu tiên rút gọn được K cấp thêm mô tả tầm thường và mô tả hình học của mỗi nhóm, đồng thời chỉ ra rằng hai nhóm này đều được trang bị một cấu trúc vành Các định nghĩa trong nội dung này được tham khảo từ [4], [11], [13] 1.1 Sơ lược về không gian phân thớ Trước khi vào định nghĩa không gian... trên là  Kerf :  E  e n  K X | E s   e 0   s  hay Kerf :  e k  e n  K X  Thật vậy, E  s e 0  a,b,s,t : E  e a  e 0  e b  k, l,m,n : E  e nl  e k nm  k, l,m,n : E  e n  e l  e k  e n  e m  E  en s e k  en  Een  ek en Hiển nhiên Kerf :  E  e n  là một nhóm con của K X  đẳng cấu với  , vì vậy đẳng cấu với K  x0  và dãy khớp đã cho trong mục 1.7.3... có tính k t hợp trong Bund  B Xét F,G : n  n  n    n F  M, N ,K    M  N   K G  M, N ,K   M   N  K  cả hai ánh xạ trên đều liên tục Xét phép biến đổi tự nhiên giữa F và G được cho bởi t  M , N ,K  :  M  N   K  M   N  K  m  n  k  m  n  k Ta thấy rằng t được “định nghĩa tốt”, tuyến tính và có ánh xạ ngược Vì vậy nó là một đẳng cấu tuyến tính của các không gian...9 Chương 1 NHẬP MÔN VỀ K – LÝ THUYẾT Trong chương này, nội dung chủ yếu được tác giả trình bày là các nét cơ bản về K  lý thuyết tô pô phức Sơ lược các nội dung như sau: Mô tả không gian phân thớ, đây là nền tảng xây dựng K  lý thuyết; Đa tạp Grassman, dùng cho việc phân loại các đẳng cấu vec-tơ; Phân thớ vec-tơ phức cùng các phép toán tổng trực tiếp (tổng Whitney) và tích ten-xơ Các định... trật tự g  X    K 0   K  x0    K X   0  f   X   K  X  :  E  E  e n với g : K  s Tính hàm tử của K (X ) Do cấu trúc của K X  được viết lại nên ta quay trở lại Định nghĩa 1.7.3 Ta có 33 K : Top   Rng X  K X   f : X  Y   f * : K X  K Y  với f *  E  E' :  f *  E  f *  E' và f * là cái k o lùi của f Các tính chất của các k o lùi cho ta các đẳng... Định lý phân loại Chú ý 1.7.1 Để thuận tiện, từ phần này trở đi ta sẽ làm việc với các phân thớ vec-tơ mà không gian đáy là X (không phải B ) Hơn nữa, X được giả sử là không gian compắc Hausdorff Ở Ví dụ 1.3.4 phân thớ tổng thể g n ,k   En  k  , p ,Gn  k  đã được định nghĩa Dưới đây ta sẽ phát biểu Định lý phân loại có liên quan đến Trong định lý này ta chủ yếu quan tâm đến trường hợp g n ,k ... Trình bày mối liên quan tới lý thuyết đồng điều, hay cụ thể mối liên hệ K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số, nội dung chương trình bày hai vấn đề sau: K  lý thuyết lý thuyết đồng điều đại số... cứu K  lý thuyết mà cụ thể K  lý thuyết tôpô, đồng thời tìm hiểu mối liên hệ mật thiết K  lý thuyết tôpô K  lý thuyết đại số Tuy nhiên, việc nghiên cứu K  lý thuyết tầm tổng quát khó khăn...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Phong NHẬP MÔN K – LÝ THUYẾT VÀ LIÊN QUAN TỚI LÝ THUYẾT ĐỒNG ĐIỀU Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: