Về phép tính tựa vi phân trên các không gian p định chuẩn

MỞ ĐẦUPhép tính vi phân trên không gian định chuẩn và rộng hơn là khônggian lồi địa phương là sự mở rộng tự nhiên của phép tính vi phân cổ điểntrên không gian hữu hạn chiều Rn.. Nghiên c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-VÕ TUYẾT XUÂN

VỀ PHÉP TÍNH TỰA VI PHÂN TRÊN CÁC

KHÔNG GIAN P − ĐỊNH CHUẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-VÕ TUYẾT XUÂN

VỀ PHÉP TÍNH TỰA VI PHÂN TRÊN CÁC

KHÔNG GIAN P − ĐỊNH CHUẨN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS KIỀU PHƯƠNG CHI

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

Mở đầu 3

1 Mở đầu về không gian p-định chuẩn 5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.2 Không gian p- định chuẩn 8

2 Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn 26 2.1 Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn 26

2.2 Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng 33

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

MỞ ĐẦU

Phép tính vi phân trên không gian định chuẩn và rộng hơn là khônggian lồi địa phương là sự mở rộng tự nhiên của phép tính vi phân cổ điểntrên không gian hữu hạn chiều Rn Tuy nhiên, việc nghiên cứu các phéptính vi phân trên không gian định chuẩn hay không gian địa phương vềmặt kỹ thuật là phức tạp hơn nhiều Chẳng hạn, đơn giản nhất là các đathức trong không gian định chuẩn hay lồi địa phương không thể cho đượctường minh như trong R Nghiên cứu giải tích thực và phức trong khônggian định chuẩn và không gian lồi địa phương được thực hiện bởi một

số chuyên gia nổi tiếng trong lĩnh vực giải tích hàm như Kothe, Meise,Vogt, (xem [7]) vào giữa thế kỷ trước Đối với giải tích thực và phứctrong không gian không lồi địa phương (nhưng bị chặn địa phương) đượcthực hiện vào những năm 90 của thế kỷ trước bởi chùm các công trìnhcủa Bayoumi (xem [4], [5], [6]) Không gian bị chặn địa phương là khônggian mêtric tuyến tính, với mêtric được xác định bởi một p-chuẩn, do

đó người ta còn gọi không gian bị chặn địa phương là không gian p-địnhchuẩn

Với mục đích tìm hiểu các kết quả mở đầu về phép tính tựa vi phântrên không gian bị chặn địa phương (hay không gian p-định chuẩn),chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là:

Về phép tính tựa vi phân trên các không gian p−định chuẩn

Nội dung của luận văn nhằm nghiên cứu có hệ thống các khái niệm,

ví dụ và tính chất về không gian p−định chuẩn; toán tử tuyến tính liêntục trên không gian p-định chuẩn; khái niệm và các tính chất mở đầu

của phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn; một số định lýgiá trị trung bình cho hàm tựa khả vi trên không gian p-định chuẩn Cácnội dung trên được viết thành hai chương

Chương 1: Mở đầu về không gian p-định chuẩn

Chương này nghiên cứu các kết quả căn bản về không gian tuyến tínhp−định chuẩn, không gian p−Banach và toán tử tuyến tính bị chặn giữacác không gian p-định chuẩn

Chương 2: Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn

Chương này nghiên cứu về mở đầu phép tính tựa vi phân trên khônggian p-định chuẩn, một số định lý giá trị trung bình cho hàm tựa khả vi

và ứng dụng

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Banchủ nhiệm Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học.Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, Khoa

Sư phạm Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè,đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 20 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ

và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đónggóp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 6 năm 2014

Võ Tuyết Xuân

CHƯƠNG 1

MỞ ĐẦU VỀ KHÔNG GIAN P -ĐỊNH CHUẨN

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần dùng về sau và mởđầu về không gian tuyến tính p-định chuẩn hay viết gọn là không gianp-định chuẩn

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này nhắc lại một số kết quả về tô pô và giải tích hàm cần dùng

về sau Các kết quả này có thể tìm thấy trong [1]

1.1.1 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùngvới một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng làliên tục

Tập con U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U vớimọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại

δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ

Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận U của 0 gồmcác tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U 1.1.2 Định nghĩa Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồinếu với mọi x, y ∈ U , với mọi 0 6 λ 6 1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U

Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương nếu nó cơ sở lân cận

U của 0 gồm các tập lồi

1.1.3 Định nghĩa Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi là

bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 sao cho U ⊂ tV với

là khả mêtric.

1.1.4 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô E được gọi là F -không giannếu tồn tại mêtric d bất biến trên E (tức là d(x, y) = d(x + z, y + z) vớimọi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) đầy đủ và mêtric d sinh ra tôpô của E.Như vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương là F -không gian

1.1.5 Định nghĩa Mỗi F -không gian và lồi địa phương được gọi làkhông gian Frechet

1.1.6 Định nghĩa Cho E là không gian tuyến tính trên trường R Hàmk.k : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiệnsau:

1) kxk > 0, với mọi x ∈ E và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E

Khi đó (E, k.k) được gọi là một không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩnd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E được gọi là khônggian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn Với tôpô sinh bởimetric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liêntục Rõ ràng mỗi không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương

và bị chặn địa phương Bởi vì Bn = {x ∈ E : kxk < 1

n}, n = 1, 2, là

cơ sở lân cận gồm các tập lồi, bị chặn của E Hơn nữa, người ta chứngminh được kết quả quan trọng sau:

1.1.7 Định lý Không gian véctơ tôpô là khả định chuẩn khi và chỉ khi

nó lồi địa phương và bị chặn địa phương

Ví dụ sau cho thấy mỗi không gian bị chặn địa phương có thể khônglồi địa phương

1.1.8 Ví dụ ([3]) Xét không gian lp = {x = {xn} ⊂ R : P∞

n=1|xn|p <+∞} với 0 < p < 1 Khi đó, lp là không gian véctơ với các phép toáncộng và nhân vô hướng theo số hạng tương ứng của dãy Hơn nữa, lp là

F −không gian với mêtric bất biến xác định bởi

với mọi x, y ∈ lp Tuy nhiên lp không phải là không gian lồi địa phương

Ví dụ sau lại chứng tỏ mỗi không gian lồi địa phương có thể không bịchặn địa phương

1.1.9 Ví dụ ([3]) Giả sử R∞ = {x = {xn} : xn ∈ R} là không gianvéctơ các dãy số thực với các phép toán cộng và nhân vô hướng theo sốhạng tương ứng của dãy Khi đó, R∞ là F −không gian với khoảng cáchxác định bởi

pn(x) = |xn|với mọi x ∈ R∞ Nói cách khác R∞ là không gian Frechet

1.2 Không gian p- định chuẩn

Trong mục này chúng tôi trình bày những kết quả cơ sở về không giantuyến tính p-định chuẩn hay viết gọn là không gian p-chuẩn Các kết quảchính của mục này cơ bản được trích ra từ [4] và đã được chứng minhchi tiết trong ([3])

Trong mục này, các không gian véc tơ được xét trên trường K = R, C.1.2.1 Định nghĩa Một p−chuẩn trên không gian véctơ E là ánh xạk.k : E → R+ thoả mãn các tính chất sau:

i) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii) kλxk = |λ|pkxk, với mọi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E

(E, k.k) được gọi là không gian tuyến tính p-chuẩn, hay viết gọn là khônggian p-chuẩn

1.2.2 Ví dụ Xét tập R với cấu trúc tuyến tính thực thông thường Với

0 < p 6 1 cố định, xét hàm cho bởi:

kxk = |x|p, ∀x ∈ R

Khi đó, công thức trên xác định một p-chuẩn trên R

1.2.3 Định nghĩa Một tựa chuẩn trên không gian véctơ E trên trường

K là ánh xạ k.k : E → R+ thoả mãn các tính chất sau:

i) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

ii) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) kx + yk 6 σ(kxk + kyk), với mọi x, y ∈ E, trong đó σ > 1 là hằng

số độc lập với x, y

Số σ nhỏ nhất để iii) đúng được gọi là hằng số tựa chuẩn của không gian(E, k.k)

1.2.4 Nhận xét 1) Giả sử (E, k.k) là không gian tựa chuẩn Khi đó, họ

BE(0, ε) = {x ∈ E : kxk < ε}, ε > 0 là cơ sở lân cận tại 0 Hơn nữa, E

là không gian mêtric tuyến tính, do cơ sở lân cận tại gốc có thể chọn làđếm được.

2)Nếu k.k là một p-chuẩn trên E với 0 < p 6 1 thì k.k1p xác định mộttựa chuẩn Hơn nữa, dp(x, y) = kx − yk1p là mêtric sinh ra tôpô tuyếntính trên E

3) Người ta còn chứng minh được rằng: nếu E là không gian bị chặnđịa phương thì tồn tại một p-chuẩn k.k trên E sao cho dp(x, y) = kx−yk1p

là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính trên E Do đó, mỗi không gian bị chặnđịa phương hoàn toàn xác định bởi một p-chuẩn nào đó, tức là nó đượcxem như một không gian p-định chuẩn

1.2.5 Định nghĩa Không gian p−định chuẩn E được gọi là p-Banachnếu nó đầy đủ với mêtric sinh bởi p-chuẩn

Như vậy, mỗi không gian p-Banach là F -không gian

1.2.6 Ví dụ Không gian bị chặn đia phương lp, 0 < p < 1, được xácđịnh bởi p-chuẩn

1.2.7 Mệnh đề Mỗi p-chuẩn là một hàm thực liên tục

Chứng minh Giả sử k.k là một p−chuẩn trên E Ta chứng minh bấtđẳng thức sau

|kxk − kyk| 6 kx − ykvới mọi x, y ∈ E

Thật vậy, với mọi x, y ∈ E

kxk = kx − y + yk 6 kx − yk + kyk

Suy ra

Mặt khác

kyk = ky − x + xk 6 ky −xk+kxk = |−1|pkx − yk + kxk = kx − yk + kxk.Suy ra

Từ (1.1) và (1.2) suy ra

|kxk − kyk| 6 kx − yk

Bất đẳng thức này chứng tỏ p-chuẩn liên tục

1.2.8 Định nghĩa Cho E và F lần lượt là các không gian p-chuẩn,không gian q-chuẩn ánh xạ A : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tínhnếu A(tx + y) = tA(x) + A(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi t ∈ K

Ví dụ sau cho thấy ánh xạ tuyến tính giữa các không gian p-chuẩn cóthể không liên tục

1.2.9 Ví dụ Cho E = C(I, K) là không gian p-chuẩn chứa tất cả cáchàm liên tục trên đoạn I = [0, 1] nhận giá trị trong K, xác định bởip-chuẩn (0 < p 6 1)

kf kp = sup

x∈I

|f (x)|p.Cho F là không gian con của E chứa tất cả các hàm f ∈ E sao cho f cóđạo hàm df liên tục trên I

Xét ánh xạ D : F → E xác định bởi D(f ) = df với mọi f ∈ F Khi

đó, dễ thấy D là ánh xạ tuyến tính Tuy nhiên, D không liên tục Thậtvậy, xét dãy {fn} ∈ F xác định bởi fn(x) = sin nx

n , n = 1, 2, với mọi

x ∈ I Ta có

kfnk1p =

hsup

x∈I

sin nxn

pi1p

6 1

n.Suy ra kfnkp → 0 khi n → ∞ Vì vậy {fn} hội tụ tới 0 trong F Tuynhiên

Dfn(x) = dfn(x) = cos nx,

và do đó

kDfnk1p =

hsup

x∈I

cos nx ... xác định < /p>

kA(x)k kAkkxkp< /small>q < /p>

với x ∈ E < /p>

Bổ đề sau cho ta phương ph? ?p xác định chuẩn ánh xạ < /p>

1.2.13 Bổ đề Cho E F không gian p- chuẩn, khônggian q -chuẩn. .. ngay< /p>

kAk = sup < /p>

x∈E\{0} < /p>

kA(x)kkxkqp< /small> < /p>

= sup < /p>

x6=0 < /p>

kA xkxk1p< /small> < /p>

>... < /p>

sin nxn < /p>

< /p>

p< /small>i1p< /sub> < /p>

6 1 < /p>

n.Suy kfnkp< /sup> → n → ∞ Vì {fn}