2 Phép tính tựa vi phân trên không gian p-định chuẩn
2.2. Các định lý giá trị trung bình và ứng dụng
Mục này nghiên cứu một số định lý giá trị trung bình cho hàm pq-khả vi và một vài ứng dụng của chúng.
Ta nhắc lại định ký giá trị trung bình cho ánh xạ khả vi trong không gian định chuẩn.
2.2.1 Định lý. ([2]) Cho E, F là các không gian định chuẩn thực và
U ⊂ E là tập mở chứa đoạn
[a, b] = {x ∈ E :x = (1−t)a+ tb,06 t6 1}.
Nếu f :U →R là hàm khả vi trên U thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
f(b)−f(a) =Df(c)(b−a).
Ta ký hiệu đoạn Aab nối a, b ∈ E trong không gian p-định chuẩn E xác định bởi
Aab = {(1−t)1/pa+t1/pb : 0 6 t6 1}.
2.2.2 Định lý. ([4]) Cho E là không gian p-định chuẩn và U là tập mở của E chứa đoạn Aab. Nếu f : U → R khả vi trên U. Khi đó, tồn tại
c ∈ Aba sao cho f(b)−f(a) = Df(c) λ1/p−1 p b− (1−λ) 1/p−1 p a với 0 < λ < 1. Chứng minh. Xét hàm ϕ: [0,+∞) → E xác định bởi ϕ(λ) = λ 1/p−1 p b− (1−λ) 1/p−1 p a.
Khi đó, ϕ(0) = a, ϕ(1) = b và ϕ([0,1]) = Aba. Từ U mở và ϕ liên tục suy ra tồn tại δ > 0 sao cho ϕ(−δ,1 +δ) ⊂ U. Hơn nữa, ϕ khả vi trên (0,1). Vì vậy, f ◦ϕ: [0,1] → R là hàm khả vi trên (0,1) và liên tục trên [0,1].
áp dụng định lý Lagrange cổ điển cho hàm f ◦ϕ ta tìm được λ0 ∈ (0,1) sao cho
f(ϕ(1))−f(ϕ(0)) = (f ◦ϕ)0(λ0)(1−0).
Vì vậy, theo công thức đạo hàm hàm hợp ta có
f(b)−f(a) =Dfλ1/p0 b+ (1−λ0)1/paλ 1/p 0 b+ (1−λ0)1/pa p = Df(c) λ1/p0 −1 p b− (1−λ0) 1/p−1 p a , trong đó c = λ1/p0 b+ (1−λ0)1/pa ∈ Aba ⊂U.
Để trình bày chứng minh định lý số gia giới nội ta cần bổ đề sau. 2.2.3 Bổ đề. Cho E là không gian p-định chuẩn với hình cầu đóng đơn vị BE = {x ∈ E : kxk 61}. Khi đó,nếu a, b ∈ BE thì Aba ⊂ BE.
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra BE tuyệt đối lồi. Thật vậy, với x, y ∈ BE
và α, β ∈ R sao cho |α|p +|β|p 6 1 thì
kαx+βy| 6 |α|pkxk+|β|pkyk
6 |α|p +|β|p 6 1.
Vì vậy αx+βy ∈ BE.
Lấy a, b,∈ BE và α, β như trên, từ BE tuyệt đối lồi ta có
αa+ βb ∈ BE.
Do đó, lấy α = λ1/p và β = (1−λ)1/p, với 06 λ 6 1 ta nhận được
x = λ1/pb+ (1−λ)1/pa ∈ Aba.
2.2.4 Định lý. ([4]) Cho E và F là các không gian p-định chuẩn thực và M là không gian con đóng của F với đối chiều n. Giả sử U là tập mở của E chứa đoạn Aba với a, b ∈ U và f : U →F là ánh xạ tựa khả vi sao cho f(Aba) ⊂ F/M. Khi đó, tồn tại c ∈ Aba sao cho
[d f(b)−f(a), M]1/p 6 σnkDf(c)λ 1/p−1 p b− (1−λ) 1/p−1 p a ,
với hằng số σ > 1. Đặc biệt, khi p= 1 thì
kf(b)−f(a)k 6kDf(c)(b−a)k.
Chứng minh. Đặt y0 = f(b)−f(a). Nếu y0 = 0 trong F thì kết quả là hiển nhiên. Nếu y0 6= 0 theo Hệ quả của định lý Hahn-Banach thì tồn tại ϕ tuyến tính liên tục trên F sao cho
16 kϕk 6σn
và ϕ(y0) =d1/p(y0, M).
Xét A : U → R xác định bởi A = ϕ◦f. Khi đó A là tựa khả vi trên
U và
A(b)−A(a) = ϕ(y0) = d1/p(y0, M), DA(x) = ϕD(f(x)).
Vì vậy, áp dụng Định lý 2.2.2 cho A ta nhận được c ∈ Aba sao cho
A(b)−A(a) = ϕ◦Df(c) λ 1/p−1 p b− (1−λ) 1/p−1 p a . Suy ra d1/p(f(b)−f(a)), M) = |A(b)−A(a)| 6 ϕFkDf(c) λ 1/p−1 p b− (1−λ) 1/p−1 p a k1/p 6 σnkDf(c) λ 1/p−1 p b− (1−λ) 1/p−1 p a k1/p.
Nếu E, F là không gian định chuẩn (p= 1). Khi đó, theo Hệ quả của định lý Hahn-Banach thì tồn tạiϕ ∈ F∗ sao choϕ(y0) = kϕkvà kϕk = 1. Khi đó, ta nhận được
kf(b)−f(a)k 6kDf(c)(b−a)k.
Tiếp theo ta nghiên cứu một số bất đẳng thức giá trị trung bình. 2.2.5 Định lý. ([4]) Cho E, F là các không gian p, q-định chuẩn tương ứng và U là tập mở của E sao cho Aba ⊂ U. Khi đó, nếu f : U → F là
pq-khả vi thì
kf(b)−f(a)k 6 sup x∈Ab a
kDf(x)kqkb−akq/p.
Chứng minh. Nếu f(b) =f(a) hoặc ánh xạ x 7→ kDf(x)k không bị chặn thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Giả sử M = supx∈Ab
a kDf(x)kq < ∞. Cho ε > 0 và xét tập
X = {x ∈ Aba : kf(t)−f(a)k 6 (M + ε)kt−akq/p, tinAxa}.
Rõ ràng a ∈ X và nếu x ∈ X thì Axa ⊂ X. Đặt c = supX. Ta chỉ ra
c = b. Nếu c < b thì do tính pq-khả vi của f tại c ta tìm được δ > 0 sao cho B(c, δ) ⊂ U và
kf(t)−f(c)−Df(c)(t−c)k 6 εkt−ckq/p, t ∈ B(c, δ). (2.7) Suy ra, nếu t, t0 ∈ B(c, δ)∩ Aab, a < c, t < c < t0 < b thì t ∈ X và từ
(2.7) ta có kf(t0)−f(a)k6 kf(t0)−f(c)k+kf(c)−f(t)k+kf(t)−f(a)k kDf(c)(t0 −c)k+ kf(t0)−f(c)−Df(c)(t0 −c)k +kDf(c)(t−c)k+kf(t)−f(c)−Df(c)(t−c)k +kf(t)−f(a)k 6 kDf(c)kqkt0 −ckq/p +εkt0 −ckq/p +kDf(c)kqkt−ckq/p +εkt−ckq/p + (M +ε)kt−akq/p kDf(c)kq +ε kt0 −ckq/p +kc−tkq/p+ (M +ε)kt−akq/p (M +ε)kt0 −akp/q,
khi t → t0 trong B(c, δ) ∩ Aba. Để ý rằng, từ tính chất của t, t0 thì khi
t → t0 ta có kt−ck = 0 = kt0 −ck. Thật vậy, kt−t0k1/p → 0 kéo theo
kt−ck1/p = 0 và vì thế kt0 −ck → 0 kéo theo từ bất đẳng thức
kt0 −ck1/p 6σ kt0 −tk1/p +kt−ck1/p .
Vì vậy t0 ∈ X và c ∈ X. Mâu thuẫn, với c = supX. Do đó c = b và vì thế ta nhận được
kf(b)−f(a)k 6 Mkb−akq/p.
Ta nhận được ngay hệ quả sau.
2.2.6 Hệ quả. ([4]) Cho E, F là các không gian p, q-định chuẩn tương ứng và U là tập mở của E sao cho Aba ⊂ U. Khi đó, nếu f : U → F là
pq-khả vi và kDf(x)kq 6M với mọi x ∈ Aba thì
kf(b)−f(a)k 6 Mkb−akq/p.
2.2.7 Định lý. ([4]) Cho E, F là các không gian p, q-định chuẩn tương ứng và U là tập mở của E sao cho Aba ⊂ U. Khi đó, nếu f : U → F là
pq-khả vi thì kf(b)−f(a)−Df(a)(b−a)k 6kb−akq/p sup x∈Ab a kDf(x)−Df(a)kq. Chứng minh. Nếu g(x) = f(x)−Df(a)x thì Dg(x) = Df(x) −Df(a). Khi đó, áp dụng Định lý 2.2.5 cho ánh xạ g(x) ta có kf(b)−f(a)−Df(a)(b−a)k = kg(a)−g(b)k 6kb−akq/p sup x∈Ab a kDf(x)−Df(a)kq.
Ta nhận được hệ quả sau.
2.2.8 Hệ quả. ([4]) Cho E, F là các không gian p, q-định chuẩn tương ứng và U là tập mở của E sao cho Aba ⊂ U. Giả sử f : U →F là pq-khả vi sao cho Df(x) liên tục trên U. Khi đó, nếu a ∈ U thì với mọi ε > 0
tồn tại δ >0 sao cho B(a, δ) ⊂U và nếu Ax2
x1 ⊂ B(a, δ) thì
kf(x1)−f(x2)−Df(a)(x1 −x2)k 6 εkx1 −x2kq/p.
Chứng minh. Từ ánh xạ Df : U → L(E, F) liên tục trên U, với ε > 0 tồn tạiδ > 0sao cho nếukx−ak < δ thìx ∈ U và kDf(x)−Df(a)k < ε. Lấy x1, x2 như giả thiết đã cho và áp dụng Định lý 2.2.7 ta có điều cần chứng minh.
Cuối cùng ta sẽ sử dụng các định lý giá trị trung bình để chứng minh định lý về chuyển giới hạn qua dấu tựa đạo hàm.
2.2.9 Định lý. ([4]) Cho U là tập mở, liên thông của không gian p- định chuẩn E và (fn) là dãy pq-khả vi từ U vào không gian q-BanachF
(0 < p, q 6 1). Giả sử rằng:
a) Tồn tại a ∈ U sao cho fn(a) hộ tụ trong F;
b) Với mỗi x ∈ U tồn tại hình cầu B(x, r) ⊂ U sao cho (Dfn) hội tụ đều trên B(x, r);
Khi đó, với mỗi x ∈ U dãy (fn) hội tụ đều trên một hình cầu tâm x. Hơn nữa, với mỗi x ∈ U, nếu ta đặt f(x) := lim
n→∞fn(x) thì f là tựa khả vi trên U và
Df(x) = lim
n→∞Dfn(x). (2.8)
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh (fn) hội tụ tại mỗi điểm x ∈ U. Đặt D = {x ∈ U : fn(x) hội tụ}. Khi đó, từ a) suy ra D 6= ∅. Bây giờ, ta sẽ chỉ ra D là tập vừa mở, vừa đóng trong U. Nếu a ∈ D thì theo b) tồn tại r > 0 sao cho Dfn hội tụ đều trên B(a, r). Vì vậy, với ε > 0 tồn tại n0 > 0 sao cho
kDfn(y)−Dfm(y)k< ε
rp/q (2.9)
với mọi y ∈ B(a, r) và
kfm(a)−fn(a)k < ε. (2.10) Bây giờ, áp dụng Định lý 2.2.5 cho fn−fm ta có
kfn(x)−fm(x)− fn(a)−fm(a)k < kx−akq/p sup y∈B(a,r) kDfn(y)−Dfm(y)k, (2.11) và vì vậy kfn(x)−fm(x)k 6 kfn(a)−fm(a)k+kx−akq/p sup y∈B(a,r) kDfn(y)−Dfm(y)k. (2.12) Kết hợp với (2.10)ta có kfn(x)−fm(x)k< 2ε
với mọi m, n > n0. Do đó, (fn(x)) là dãy Cauchy trong không gian q- Banach F. Suy ra (fn(x)) hội tụ trong F. Vì vậy B(a, r) ⊂ D, hay D
mở. Bây giờ, giả sử x ∈ D. Khi đó, tồn tại r > 0 sao cho (Dfn) hội tụ đều trên B(x, r). Lấy a ∈ B(x, r)∩D. Khi đó, từ (2.12) suy ra fn(x) hội
tụ. Vì vậy D ⊂ D. Do đó D đóng. Vì U liên thông nên D = U. Suy ra (fn) hội tụ trên U.
Đặt
f(x) := lim
n→∞fn(x) (2.13)
với mỗi x ∈ U. Ta sẽ chỉ ra f là tựa khả vi và Df(x) = lim
n→∞Dfn(x). Từ b) đặt g(x) = lim n→∞Dfn(x). Với mỗi a ∈ U ta có kf(x)−f(a)−g(a)(x−a)k 6kf(x)−f(a)−[fn(x)−f(a)]k + kfn(x)−fn(a)−Dfn(a)(x−a)k + kDfn(a)(x−a)−g(a)(x−a)k. (2.14) Với mỗi e > 0, từ Dfn hội tụ đều tới g trên B(a, r) suy ra tồn tại n0 sao cho
kDfn(y)−Dfm(y)k< εq
với mọi m, n > n0 với mọi y ∈ B(a, r) và
kg(a)−Dfn(a)k < εq. (2.15) Cho m → ∞ trong (2.11) ta nhận được
kf(x)−f(a)−[fn(x)−fn(a)k < εqkx−akq/p. (2.16) Vì Dfn(a) tồn tại nên có r1 < r sao cho
kf(x)−f(a)−Dfn(a)(x−a)k < εqkx−akq/p. (2.17) với kx−akq/p < r1 và x ∈ U. Vì vậy, từ (2.14), (2.15),(2.16) và(2.17) ta nhận được
kf(x)−f(a)−g(a)(x−a)k 6 3εqkx−akq/p
với kx−akq/p < r1 và x ∈ U. Điều đó chứng tỏ Df(a) tồn tại và bằng
Cuối cùng, ta chỉ ra fn hội tụ đều tới f trong lận cận mở của mỗi
a ∈ U. Với mỗi a ∈ U từ (2.16) ta có lim
n→∞kfn(x)−f(x)−[fn(a)−f(a)]k= 0.
Suy ra nếu fn(x) hội tụ với x ∈ B(a, δ) thì fn(a) tiến tới giới hạn đó. Vì vậy fn(x) hội tụ tới đều trên B(a, δ).
Kết luận
Luận văn đã thu được các kết quả sau:
1) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian p- chuẩn; không gian p−Banach; ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian p- chuẩn;
2) Trình bày khái niệm, một số ví dụ và các tính chất của các ánh xạ tựa khả vi trong không gian p-định chuẩn.
3) Chứng minh chi tiết một số kết quả mà tài liệu không chứng minh hoặc chứng minh vắn tắt như: Định lý 2.1.9; Định lý 2.1.10; Định lý 2.1.12; Định lý 2.1.4; Định lý 2.2.2; Định lý 2.2.4; Định lý 2.2.5; Định lý 2.2.7 và Định lý 2.2.9.
4) Đưa ra một số kết quả và ví dụ minh họa cho các kết quả như: Ví dụ 2.1.2; Ví dụ 2.1.3; Mệnh đề 2.1.4; Ví dụ 2.1.7; Định lý 2.1.8...
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001),Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập I, II, NXBGD.
[2] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập I, NXB Đại học Sư phạm.
[3] Lưu Anh Đức (2013), Về lý thuyết đa thức trên các không gian
p−định chuẩn, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh. [4] Bayoumi, A., (1989) On holomorphic Hahn-Banach extension the- orem and properties of bounding and weakly-bounding sets in some metric vector spaces, Portugal. Math. 46, no. 3, 329-340.
[5] Bayoumi, A. (2003) Foundations of complex analysis in non locally convex spaces. Function theory without convexity condition North- Holland Mathematics Studies, 193. Elsevier Science B.V., Amster- dam.
[6] Bayoumi, A. (1990) The theory of bounding subsets of topological vector spaces without convexity condition, Portugal. Math. 47,No. 1, 25-42.
[7] Meise, R. and Vogt, D., (1997) Introduction to functional analysis, Oxford University Press, New York.