Bước đầu phân loại các không gian tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC HOÀNG THỊ HIỀN BƯỚC ĐẦU PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Sơn La, năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC HOÀNG THỊ HIỀN BƯỚC ĐẦU PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS VŨ VIỆT HÙNG Sơn La, năm 2016 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận 1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng 10 1.4 Cơ sở tôpô 13 1.5 Các tiên đề đếm 14 1.6 Không gian 16 1.7 Tôpô sinh họ tập hợp 17 1.8 Ánh xạ liên tục 17 1.9 Không gian compact 20 1.10 Không gian compact địa phương 22 PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ 23 2.1 T0 - Không gian ( Không gian Komogorov ) 23 2.2 T1 - Không gian ( Không gian Frechet ) 23 2.3 T2 - Không gian ( Không gian Hausdorff ) 24 2.4 T3 - Không gian ( Không gian tôpô quy ) 25 2.5 T3 - không gian ( Không gian tôpô hoàn toàn quy ) 25 2.6 T4 - Không gian ( Không gian tôpô tắc ) 26 2.7 Nhận xét 26 2 3 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ 27 3.1 T0 - không gian mà T1 - không gian 27 3.2 T1 - không gian mà T2 - không gian 28 3.3 T2 - không gian mà T3 - không gian 29 3.4 T3 - không gian mà T3 - không gian 33 3.5 T3 - không gian mà T4 - không gian 37 2 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người định hướng nghiên cứu hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em tài liệu nghiên cứu động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận Trong trình làm khóa luận, em nhận giúp đỡ thầy cô giáo Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt thầy cô Bộ môn Giải tích, bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên quý thầy cô, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn giúp đỡ quý báu nói Sơn La, tháng năm 2016 Người thực Sinh viên:Hoàng Thị Hiền MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Không gian tôpô cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa khái niệm hội tụ, tính liên thông tính liên tục Chúng xuất tất ngành toán học đại khái niệm thống có tính trọng tâm Ngành toán nghiên cứu không gian tôpô gọi topology Các không gian tôpô phân loại, xác đến đồng phôi, tính chất tôpô chúng Tính chất tôpô tính chất không gian không thay đổi phép biến đổi đồng phôi Để chứng minh hai không gian không đồng phôi, tìm tính chất tôpô mà chúng khác Ví dụ tính liên thông, tính compact dựa vào tiên đề tách Việc phân loại không gian tôpô phần nhỏ lĩnh vực nghiên cứu không gian tôpô Đây phần giải tích ứng dụng nhiều thực tế tảng cho giải tích đại Do việc nghiên cứu cần thiết, giúp nắm vững kiến thức phần tạo điều kiện để nghiên cứu sâu phần giải tích có liên quan Xuất phát từ lí mạnh dạn chọn đề tài "Bước đầu phân loại không gian tôpô" để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận Khóa luận nghiên cứu nhằm đạt mục đích sau đây: - Trình bày vấn đề không gian tôpô kiến thức có liên quan cách có hệ thống logic; - Phân loại chi tiết lớp không gian tôpô quan trọng; - Đưa số phản ví dụ để chứng minh lớp không gian phân loại phân biệt Đối tượng nghiên cứu - Các khái niệm, tính chất kết không gian tôpô; - Phân loại lớp không gian tôpô quan trọng nghiên cứu đặc trưng chúng; - Các ví dụ đặc sắc minh họa cho lớp không gian nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu toán học với công cụ kỹ thuật truyền thống lý thuyết chuyên ngành giải tích - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn Bộ môn Cấu trúc khóa luận Từ mục đích nhiệm vụ đặt bố cục đề tài xếp sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Hệ thống nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nội dung đề tài chương như: Lý thuyết không gian tôpô Tiếp trình bày số kiến thức sở không gian tô như: Tập mở, tập đóng, lân cận Các loại điểm, phần trong, bao đóng Cơ sở tôpô Không gian compact Chương Phân loại không gian tôpô Trình bày không gian tôpô quan trọng bao gồm: T0 - không gian T1 không gian T2 - không gian T3 - không gian T3 - không gian T4 - không gian Chương Một số phản ví dụ phân loại không gian tôpô Trình bày kết đề tài Đưa mệnh đề phản ví dụ liên quan đến lý thuyết chương : T0 - không gian mà T1 - không gian T1 - không gian mà T2 - không gian T3 - không gian mà T3 - không gian T3 - không gian mà T4 - không 2 gian Đóng góp khóa luận Đề tài trình bày cách có hệ thống kiến thức liên quan việc phân loại không gian tôpô Đề tài tài liệu tham khảo chuyên sâu hữu ích cho sinh viên chuyên ngành toán lĩnh vực đề tài nói riêng tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc thư viện nhà trường nói chung Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức sở không gian tôpô để làm sở cho nghiên cứu chương sau 1.1 Không gian tôpô Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp X = ∅ Họ τ tập hợp X gọi tôpô X nếu: i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ii) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ iii) Nếu ∀ { Gi }i∈ I ∈ τ i∈ I Gi ∈ τ Tập hợp X với tôpô X gọi không gian tôpô Kí hiệu ( X, τ ) Ví dụ 1.2 a) Cho X tập hợp tùy ý khác rỗng Họ τ = (∅, X )là tôpô X ( X, τ ) gọi không gian tôpô thô (hoặc không gian phản rời rạc) b) Họ τ = { A | A ⊂ X } tôpô X ( X, τ ) gọi không gian tôpô rời rạc c) Cho tập hợp X vô hạn τ = { A ⊂ X | A = ∅ X \ A hữu hạn} τ tôpô X Tập X với tôpô gọi không gian tôpô bù hữu hạn Hay không gian Darixki d) X tùy ý A ⊂ X, τ = {∅, A, X } tôpô X Nhận xét 1.3 a) Trên tập hợp X cho nhiều tôpô khác b) Cho τ1 , τ2 tôpô X τ1 yếu (nhỏ, thô) τ2 hay nói cách khác τ2 mạnh (lớn, mịn) τ1 , τ1 ⊂ τ2 Kí hiệu τ1 ≤ τ2 c) Tôpô thô tôpô yếu tôpô rời rạc tôpô mạnh tất tôpô cho tập hợp X d) Nếu τ1 τ2 τ2 τ1 tôpô so sánh với Ví dụ A, B ⊂ X A = B τ1 = {∅, A, X } τ2 = {∅, B, X } tôpô không so sánh với 1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận Định nghĩa 1.4 Cho ( X, τ ) không gian tôpô Tập G ⊂ X gọi tập mở ( X, τ ) G ∈ τ Nhận xét 1.5 a) ∅ X tập hợp mở b) Hợp họ tập hợp mở tập mở c) Giao hữu hạn tập mở tập mở Định nghĩa 1.6 Cho A ⊂ X V ⊂ X, V gọi lân cận tập hợp A ∃ G ∈ τ : A ⊂ G ⊂ V Nếu A = { x } V gọi lân cận điểm x Nếu V tập mở V lân cận mở A Định lý 1.7 G tập mở G lân cận điểm thuộc G Chứng minh (⇒) Hiển nhiên (⇐) Với x ∈ G G lân cận x nên ∃Vx ∈ τ : x ∈ Vx ⊂ G (x) ⊂ Ta có G = x∈G V (x) ⊂ G ⇒ G = x∈G x∈G Vx ⇒ G mở Định nghĩa 1.8 Họ tất lân cận x ( X, τ ) gọi hệ lân cận x Kí hiệu V x Định nghĩa 1.9 Họ B x ⊂ V x sở lân cận điểm x ( hay sở địa phương không gian x điểm x ) ∀V ⊂ V x , ∃ B ∈ B x : x ∈ B ⊂ V Định lý 1.10 Nếu V x họ tất lân cận x thì: i) x ∈ V, ∀V ∈ V x ii) ∀V1 , V2 ∈ V x ⇒ V1 ∩ V2 ∈ V x iii) V1 ∈ V x , V2 ⊃ V1 ⇒ V2 ∈ V x iv) ∀V ∈ V x , ∃W ⊂ V : W ⊂ Vy , ∀y ∈ W Ngược lại với x ∈ X có họ V x tập X thỏa mãn tính chất i), ii), iii), iv) X có tôpô nhận họ V x làm hệ lân cận x Nhận xét 1.11 a) Hợp lân cận x lân cận x b) Giao hữu hạn lân cận x lân cận x Định nghĩa 1.12 F ⊂ X gọi tập đóng X \ F ∈ τ Nhận xét 1.13 a) F đóng ⇔ X \ F mở b) Giao họ tập đóng tập đóng c) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng Ví dụ 1.14 (i) Cho X với tôpô thô Khi có hai tập vừa đóng vừa mở X ∅ X (ii) Cho X với tôpô rời rạc X ∀ A ⊂ X ⇒ A vừa mở vừa đóng (iii) Trên R đặt: τ = A ⊂ R | A hợp hữu hạn hay đếm khoảng rời Ta chứng minh τ tôpô R Trong không gian tôpô ta có: Z tập đóng Q tập không mở không đóng 1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng Định nghĩa 1.15 Cho không gian tôpô ( X, τ ), x ∈ X A ⊂ X Khi • x gọi điểm A ∃ G ∈ τ cho x ∈ G ⊂ A ( tức X nhận A làm lân cận ) • x điểm A ∃ G ∈ τ : x ∈ G ⊂ X \ A 10 Chương MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, trình bày xây dựng phản ví dụ cho lớp không gian trình bày chương 2, từ lớp không gian (theo thứ tự) bao hàm thức thực 3.1 T0 - không gian mà T1 - không gian Ví dụ 3.1 Cho X tập vô hạn tùy ý x0 ∈ X Đặt τ = { G ⊂ X \ G = ∅ x0 ∈ G } Ta chứng tỏ rằng: a ( X, τ ) không gian tôpô b Không gian tôpô ( X, τ ) T0 - không gian, không T1 - không gian Chứng minh a i, Rõ ràng ∅ ∈ τ, X ∈ τ ii, A, B ∈ τ khác rỗng, suy x0 ∈ A ∩ B ⇒ A ∩ B ∈ τ iii, Họ ( Aα )α∈ I ∈ τ giả sử Aα0 = ∅, α0 ∈ I x0 ∈ α∈ I Aα ⇒ α∈ I Aα ∈ τ Vậy ( X, τ ) không gian tôpô b Lấy hai điểm phân biệt y1 , y2 thuộc X Nếu y1 , y2 khác x0 , tập { x0 , y1 } tập mở không chứa y2 Nếu y1 = x0 ⇒ { x0 } không chứa y2 Suy ( X, τ ) T0 - không gian 27 Lấy y khác x0 , lân cận y chứa x0 nên ( X, τ ) không T1 - không gian Ví dụ 3.2 Xét X = R đặt B họ tất tập có dạng ( a; +∞) , a ∈ R ∅ Ta chứng tỏ rằng: a Tồn tôpô R nhận B làm sở b X T0 - không gian không T1 - không gian Chứng minh a Rõ ràng R = a ∈R ( a; +∞) Lấy U = ( a; +∞) , V = (b; +∞) , ( giả sử a ≤ b ) ⇒ U ∩ V = (b; +∞) ∈ B nên tồn tôpô τ R có sở B b Kiểm tra ( X, τ ) T0 - không gian, không T1 - không gian Với a, b ∈ R, a = b giả sử a < b suy a+b ; +∞ ∈ B, b ∈ a+b ; +∞ , a ∈ / a+b ; +∞ Mọi lân cận a chứa b Vậy X T0 - không gian không T1 - không gian 3.2 T1 - không gian mà T2 - không gian Ví dụ 3.3 Cho X tập vô hạn đặt τ = { G ⊂ X \ G = ∅ G = X X \ G hữu hạn} Ta chứng tỏ rằng: a ( X, τ ) không gian tôpô, gọi tôpô Zariski b ( X, τ ) T1 - không gian mà T2 - không gian Chứng minh a Chứng minh ( X, τ ) không gian tôpô i Rõ ràng ∅, X ∈ τ ii Giả sử có G1 , G2 ∈ τ Nếu G1 , G2 ∈ τ \ {∅} X \ G1 , X \ G2 hai tập hữu hạn phần tử nên X \ ( G1 ∩ G2 ) = X \ G1 ∪ X \ G2 hữu hạn phần tử Còn có hai tập G1 , G2 ∅ hiển nhiên ta có G1 ∩ G2 = ∅ ∈ τ 28 iii Với họ ( Gα )α∈ I ∈ τ Nếu có α0 ∈ I để X \ Gα0 hữu hạn phần tử X\ Gα α∈ I α∈ I nên X \ α∈ I Gα ( X \ Gα ) ⊂ X \ Gα0 = hữu hạn phần tử Còn Gα = ∅, ∀α ∈ I Vậy τ tôpô X α∈ I Gα = ∅ ∈ τ α∈ I Gα ∈ τ b ( X, τ ) T1 - không gian mà T2 - không gian Với x, y ∈ X, x = y Đặt U = X \ {y} , V = X \ { x } Suy U, V ∈ τ U lân cận x không chứa y, V lân cận y không chứa x Do ( X, τ ) T1 - không gian Giả sử ( X, τ ) T2 - không gian tồn lân cận U, V ∈ τ cho x ∈ U , y ∈ V U ∩ V = ∅ Suy ( X \U ) , ( X \V ) có hữu hạn phần tử X = X \ ∅ = X \ (U ∩ V ) = ( X \U ) ∪ ( X \ V ) Suy X có hữu hạn phần tử mâu thuẫn với X tập vô hạn Vậy ( X, τ ) T2 - không gian 3.3 T2 - không gian mà T3 - không gian Ví dụ 3.4 Cho X tập số thực, kí hiệu Z= ∈ X |i số nguyên khác i 1 x − ,x + i i   {Ui ( x )}∞ x=0 i =1 B( x ) =   {U ( x ) \ Z } ∞ x = i i =1 Mỗi x ∈ X đặt Ui ( x ) = Ta cần chứng tỏ điều sau: { B ( x )} x∈X hệ lân cận xác định tôpô τ X ( X, τ ) T2 - không gian 29 ( X, τ ) không T3 - không gian Chứng minh { B ( x )} x∈X hệ lân cận xác định tôpô τ X i Rõ ràng ∀ x ∈ X, B ( x ) = ∅ , U ∈ B ( x ) ⇒ x ∈ U ii Lấy V1 , V2 ∈ B ( x ) Nếu x = lân cận mở có dạng: V1 = −1 , \Z , V2 = i1 i1 −1 , \Z i2 i2 Giả thiết i1 ≤ i2 , suy V1 ∩ V2 = V2 Nếu x = lân cận mở x có dạng: V1 = x− 1 ,x + i1 i1 , V2 = x− 1 ,x + i2 i2 Giả thiết i1 ≤ i2 suy V1 ∩ V2 = V2 Cả hai trường hợp có V1 ∩ V2 ∈ B ( x ) iii Lấy x ∈ X, ∀y ∈ V ∈ B ( x ), cần tồn lân cận W y cho W ⊆ V [•] Nếu y = x chọn W = V [•] Nếu y = x xét: [-] Nếu x = 0, y = lân cận x có dạng : 1 1 V = x − ,x + , chọn số nguyên j cho = d ( x, y) , − d ( x, y) i1 i1 j i 1 ⊆ V Suy W = y − , y + j j 1 [-] Nếu x = 0, y = chọn W = y , y + \Z j j −1 [-] Nếu x = 0, y = lân cận V x có dạng V = , \Z ⇒ ∃n0 số tự i i 1 nhiên cho ≤y≤ y ∈ / Z n0 + n0 1 Đặt r = , , lấy W = (y − r, y + r ) Suy W ∈ B (y) , W ⊆ V n0 + n0 Vậy họ { B ( x )} x∈X sinh tôpô τ X ( X, τ ) T2 - không gian Gọi O tôpô tự nhiên tập số thực R Lấy G ∈ O Nếu ∈ / G G ∈ τ 30 hiển nhiên Nếu ∈ G suy ra: G= x ∈ G,i ∈ N 1 x − ,x + i i = = x ∈ G,i ∈ N 1 x − ,x + i i i∈ N −1 , \Z i i nên ta có G ∈ τ Do tôpô τ mạnh tôpô O , lại ( X, O) không gian Hausdorff nên ( X, τ ) không gian Haudorff ( X, τ ) không T3 - không gian Rõ ràng Z đóng không gian ( X, τ ) , ∈ / Z tập mở U, V chứa Z có giao khác rỗng Vậy ( X, τ ) không T3 - không gian Ví dụ 3.5 Cho X tập số thực, Q tập số hữu tỉ ( X, O) tôpô tự nhiên X Q, O không gian tôpô sinh không gian tôpô ( X, O) Đặt τ = O ∪ O Ta cần chứng tỏ: ( X, τ ) tôpô X ( X, τ ) T2 - không gian ( X, τ ) không T3 - không gian Chứng minh ( X, τ ) tôpô X i Rõ ràng: ∅ ∈ τ, X ∈ τ ii Lấy A, B ∈ τ • Nếu A, B ∈ O A, B ∈ O A ∩ B ∈ τ • Nếu A ∈ O B = G ∩ Q, G ∈ τ A ∩ B = ( A ∩ G ) ∩ Q ∈ τ A ∩ G ∈ O iii Lấy họ ( Aα )α∈ I ∈ τ, ta có α∈ I    Aα =  A αi   αi ∈ I1 31  Aα j  α j ∈ I2 Với họ ( Aαi )α ∈ I gồm tất Aαi ∈ O , ta i ∪αi ∈ I1 Aαi ∈ O Họ Aα j α j ∈ I2 gồm tất phần tử thuộc O , ta Aα j ∈ O α j ∈ I2 Nên α∈ I Aα ∈ τ Vậy ( X, τ ) không gian tôpô Chứng minh ( X, τ ) T2 - không gian Rõ ràng tôpô O yếu tôpô τ , lại ( X, O) không gian Hausdorff suy ( X, τ ) không gian Hausdorff Chứng minh ( X, τ ) không T3 - không gian Do Q tập mở nên X \Q = I tập đóng, tập số vô tỉ tập đóng không gian tôpô ( X, τ ) ∈ I Mọi tập mở U, V chứa điểm tập số vô tỉ I có giao khác rỗng Do ( X, τ ) không gian quy Ví dụ 3.6 Trong R x ∈ R gọi L x đường thẳng qua x mà không chứa x, Bx hình cầu mở tâm x Ux hình cầu mở tâm x trừ số hữu hạn tập dạng L x Đặt B x họ tập có dạng Ux Bx Khi x ∈ R2 , họ B x thỏa mãn điều kiện sau: a) Mọi x ∈ R2 Vx ∈ B x ta có x ∈ Vx b) Giả sử có Vx1 , Vx2 ∈ B x dễ dàng chứng minh Wx = Vx1 ∩ Vx2 ∈ B x c) Với x ∈ R2 , y ∈ Vx y = x tồn tập dạng By ∈ By 32 cho Uy ⊂ Vx Còn y = x tồn tập Ux = Vx ∈ B x : Ux = Vx Do tồn tôpô τ1 R2 cho B x sở lân cận x ∈ R2 τ1 = G ⊂ R2 | G = ∅ ∀ x ∈ G, ∃Vx ∈ B x : Vx ⊂ G 1) Rõ ràng τ ≤ τ1 , τ tôpô thông thường R2 Do R2 , τ T2 không gian nên R2 , τ1 T2 - không gian 2) Dễ thấy với x ∈ R2 , Vx ∈ B x , ∀y ∈ Vx tồn Vy ∈ By cho Vy ⊂ Vx ⇒ Vx ∈ τ1 Suy B x ⊂ τ1 , ∀ x ∈ R2 Gọi O = O (0, 0) gốc tọa độ, đặt LO trục hoành trừ gốc tọa độ O Ta có UO = BO \ LO ∈ BO Suy R2 \ LO = UO = BO \ LO | với BO hình cầu mở tâm O R2 Do R2 \ LO ∈ τ1 ⇒ LO tập đóng R2 , τ1 không chứa điểm O Mặt khác rõ ràng không tồn hai tập mở R2 , τ1 rời chứa tập LO điểm O (0, 0) Vậy R2 , τ1 T3 - không gian 3.4 T3 - không gian mà T3 - không gian Ví dụ 3.7 Để không gian quy mà không hoàn toàn quy, xây dựng không gian tôpô, tiếp đến không gian quy mà không không gian hoàn toàn quy Thông qua ba bước sau: Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Decac xây dựng tôpô sau: • Với số chẵn m, kí hiệu Lm tập điểm đoạn thẳng m × [−1, 0] • Với số lẻ n, k ∈ Z, k ≥ 2, kí hiệu Cn,k tập điểm nằm đoạn thẳng 33 n+ k−1 k × [−1, 0] , n − k−1 k × [−1, 0] nửa đường tròn x × y | ( x − n )2 + y2 = ( k − 1)2 k2 y ≥ mặt phẳng • Đặt X hợp cấc đoạn thẳng Lm , ∀m chẵn , Cn,k (∀n l, ∀k ≥ 2) với hai điểm vô cực a, b • Mỗi số lẻ n, k ∈ Z, k ≥ 2, lấy Pn,k ∈ Cn,k , Pn,k = n × k−1 k Gọi B họ tất tập G X có dạng sau: i Tập G có dạng: điểm { p} p ∈ Cn,k , p = pn,k ii Tập G có dạng: từ tập Cn,k bỏ hữu hạn điểm Cn,k iii Mỗi số chẵn m, > (0 < < 1), y ∈ [−1, 0], tập G có dạng: tập gió điểm X với đoạn thẳng (m − , m + ) × y iv Mỗi số chẵn m, tập G có dạng hợp { a} tập điểm x × y X cho x < m v Mỗi số chẵn m, tập G có dạng hợp {b} tập điểm x × y X cho x > m Chúng ta X, có tôpô τ nhận B làm sở a Rõ ràng X = G G∈B b Lấy G1 , G2 ∈ B , ∀ x ∈ G1 ∩ G2 cần ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ G1 ∩ G2 • Nếu G1 , G2 dạng (hoặc i, ii v), chọn W = G1 ∩ G2 34 • Nếu G1 có dạng i, G2 có dạng lại thì: G1 ∩ G2 = ∅ G1 ∩ G2 = G1 chọn W = G1 • Nếu G1 có dạng ii, G2 có dạng iii thì: G1 ∩ G2 = ∅ G1 ∩ G2 = { x } chọn W = { x } dạng i • Nếu G1 có dạng ii, G2 có dạng iv, v thì: G1 ∩ G2 = ∅ G1 ∩ G2 = G1 chọn W = G1 • Nếu G1 có dạng iii, G2 = x × y ∈ X \ x < m, m chẵn có dạng iv ta có G1 ∩ G2 = ∅ G1 ∩ G2 = G1 chọn W = G1 có dạng iii, G1 ∩ G2 chứa điểm nằm lân cận Cn,k , lấy x ∈ G1 ∩ G2 Chọn W = { x } có dạng i, x ∈ W ⊆ G1 ∩ G2 Các trường hợp lại xét tương tự Vậy họ B sinh tôpô τ X nhận B làm sở Tôpô xây dựng gọi tôpô John Thomas Chú ý là: • Mỗi n lẻ, k nguyên k ≥ 2, tập Cn,k mở • Các tâp hợp dạng (ii) chứa lân cận đỉnh Pn,k • Các tập hợp dạng (iii) chứa lân cận điểm nằm Lm • Các tập hợp dạng (iv),(v) chứa lân cận điểm vô cực a, b Bước 2: Ta chứng minh ( X, τ ) T3 - không gian ∗ Lấy x, y ∈ X, x = y Rõ ràng có lân cận điểm không chứa điểm Nên ( X, τ ) T1 - không gian ∗ Để kiểm tra X quy, lấy p ∈ X, U lân cận mở chứa p, cần chứng tỏ tồn lân cận mở V p cho V ⊂ U • Trường hợp U có dạng (i) (ii), (iii) U = U chọn V = U • Trường hợp U có dạng (iv), U chứa a điểm x × y x cho x < m với m chẵn - Nếu p = a có lân cận V chứa a với điểm x × y X cho x < m − V = V ∪ Lm−2 ⊂ U - Nếu p = a, p ∈ U chọn V lân cận p có dạng (i), (ii) (iii) nằm U, rõ ràng V = V 35 Lý luận tương tự U có dạng (v) Vậy ( X, τ ) không gian quy Bước 3: Để chứng minh ( X, τ ) không gian T3 - không gian, cần hàm số liên tục f : X → [0, 1] f ( a) = f (b) đủ Mỗi số lẻ n, k = 2, k ∈ Z kí hiệu Sn,k = p ∈ Cn,k | f ( p) = f ( pn,k ) Ta chứng tỏ tập Sn,k tập đếm Kí hiệu f ( pn,k ) = c f −1 (c) = ∞ ∞ 1 f −1 c − , c + n n n =1 mà tập mở f −1 (c) = 1 f −1 c − , c + chứa hầu hết điểm Cn,k trừ số hữu hạn Do n n n =1 f −1 (c) chứa hầu hết điểm Cn,k trừ số đếm điểm Cn,k Vì Sn,k tập đếm phần tử Suy tập A = ∪ Sn,k | n lẻ, k ≥ 2, k ∈ Z tập đếm nên tồn d ∈ [−1; 0] cho đường thẳng R × d không giao với tập A Tức Cn,k , giá trị f giao đường thẳng R × d với Cn,k , f ( pn,k ) = c Với số chẵn m, kí hiệu cm giao điểm Lm với đường thẳng R × d Ta chứng minh f (cm ) = f (cm+2 ) Lấy n = m + 1, xét Cn,k , gọi ak , bk ( giả thiết điểm ak có hoành độ nhỏ hoành độ điểm bk ) giao điểm Cn,k đường thẳng R × d ( hình vẽ ) Khi k → ∞ ak → cm , bk → cm+2 Do f liên tục nên lim f ( ak ) = f (cm ), lim f (bk ) = f (cm+2 ) Suy f (cm ) = lim f ( ak ) = lim f (bk ) = f (cm+2 ) Vậy chứng tỏ giá trị hàm f điểm cm với số 36 chẵn m Rõ ràng cm → a m → −∞ cm → b m → +∞, với hàm f liên tục suy ra: f ( a) = lim f (cm ) = lim f (cm ) = f (b) m→−∞ 3.5 m→+∞ T3 - không gian mà T4 - không gian Ví dụ 3.8 Chúng ta xây dựng không gian tôpô thỏa yêu cầu thông qua ba bước sau: Bước 1: Xây dựng không gian tôpô Trong mặt phẳng tọa độ R2 kí hiệu : L : = { x × y \ y ≥ 0} , L1 : = { x × y \ y = 0} , L2 : = L \ L1 • Với x ∈ L1 , r > 0, đặt U ( x, r ) tập hợp điểm L bên đường tròn bán kính r tiếp xúc với L1 x ∪ x, i = 1, Kí hiệu Ui ( x ) = U x, i • Với x ∈ L2 , r > đặt U ( x, r ) tập điểm bên đường tròn tâm x bán kính r Kí hiệu :Ui ( x ) = U x, Khi họ {B ( x )} x∈X , i = 1, i với B( x ) = {Ui ( x )}i∞=1 sinh tôpô X, nhận họ làm sở lân cận L Thật vậy: a) ∀ x ∈ X, từ định nghĩa họ B ( x ) ta thấy B ( x ) = ∅, Ui ( x ) ∈ B ( x ) x ∈ Ui ( x ) b) Ui ( x ), Vi ( x ) ∈ B ( x ) Ui ( x ) ∩ Vi ( x ) ∈ B( x ) c) x ∈ Uj (y) ∈ B (y) cần tồn Ui ( x ) ∈ B ( x ) cho Ui ( x ) ⊂ Uj (y) • Nếu y ∈ L1 , x ∈ L1 suy x = y chọn Ui ( x ) = Uj (y) • Nếu y ∈ L2 , x ∈ L1 y ∈ L1 , x ∈ L2 ta chọn số nguyên i đủ lớn để Ui ( x ) ⊂ U j ( y ) • Nếu y ∈ L2 , x ∈ L2 chọn số nguyên i cho 1 < d( x, y); − d( x, y) i j 37 Ui ( x ) ⊂ Uj (y) Vậy họ {B( x )} x∈X thỏa mãn điều kiện sinh tôpô X nhận {B( x )} x∈X làm sở lân cận Không gian gọi mặt phẳng Niemyzki Bước 2: Ta chứng minh mặt phẳng Niemyzki không gian Tykhonoff • Dễ dàng có mặt phẳng Niemyzki T1 - không gian • Mỗi x ∈ X,Ui ( x ) ∈ B( x ),∀y ∈ Ui ( x ) \ { x }, kí hiệu y giao điểm tia xy với biên Ui ( x ) đặt hàm f sau:    y = x     f ( x ) = y ∈ L \ Ui ( x )    | x.y|    y ∈ Ui ( x ) \ { x } | x.y | Rõ ràng hàm số f : X → I hàm liên tục X, f ( x ) = f (y) = với y ∈ L \ Ui ( x ) Như mặt phẳng Niemyzki không gian Tykhonoff Bước 3: Chứng minh mặt phẳng Niemyzki không không gian chuẩn tắc Để ý tập điểm tụ đường thẳng L1 L1d = ∅ Mọi tập A ⊂ L1 suy Ad = ∅ nên A tập đóng L Kí hiệu C = x × y ∈ L2 | x, y số hữu tỉ Khi C trù mật L Giả sử L không gian chuẩn tắc Mọi A ⊂ L1 , tồn tập mở U A , VA ⊂ L cho A ⊂ U A , L \ A ⊂ VA U A ∩ VA = ∅ Với A ⊂ L1 , đặt C A = C ∩ U A Chúng ta chứng tỏ C A = CB với A = B điều dẫn đến mâu thuẫn L1 chứa 2c tập phân biệt C chứa c tập phân biệt Lấy A, B ⊂ L1 cho A = B, không tính tổng quát ta giả sử A \ B = ∅ Mặt khác, ∅ = A \ B ⊂ U A ∩ VB U B ∩ VB = ∅ (Do UB ∩ VB = ∅) 38 Nên có U A = U B Do C trù mật L nên U A = U ∩ C, U B = V ∩ C C A = C B hay C A = CB 39 KẾT LUẬN Trong khả điều kiện cho phép, bước đầu đề tài giải vấn đề đặt ra: Phân loại không gian tôpô đưa mệnh đề phản ví dụ minh họa Cụ thể sau: Thứ nhất, đề tài trình bày nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nội dung đề tài chương như: Lý thuyết không gian tôpô Tập mở ,tập đóng, lân cận Các loại điểm, phần trong, bao đóng Cơ sở tôpô Không gian compact Thứ hai, chương trình bày không gian tôpô quan trọng bao gồm T1 - không gian, T2 - không gian, T3 - không gian, T3 - không gian, T4 - không gian Qua khái niệm đưa ví dụ minh họa phản ví dụ minh họa cho khái niệm Thứ ba, nói kết đề tài, trình bày số mệnh đề phản ví dụ có liên quan đến lý thuyết chương Như T0 - không gian mà T1 - không gian T1 - không gian mà T2 - không gian T3 - không gian mà T3 - không gian T3 - không 2 gian mà T4 - không gian Từ mệnh đề đưa ví dụ để làm rõ mệnh đề đưa bước để xây dựng không gian tôpô thỏa mãn yêu cầu Do thời gian nghiên cứu có hạn kiến thức chuyên môn chưa tích lũy nhiều nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp, giúp đỡ, góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để đề tài đầy đủ hoàn thiện 40 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Minh Thông (2007), Không gian tôpô, Độ đo-Tích phân, Nxb Giáo dục [2] M Amry and D El Moutawakil,Normal structure and fixec points of nonexpansive maps in general topological specal, Acta Math Academiae Paedagogicae Nýiregyphaziensis, 18 (2002), 71-76 [3] Robert G Bartle (2001), A Modern Theory of Integration II, Vol.32, Amer ican Mathematical Society Providence, Rhode Island [4] G Grnenhage (1984), Generalized metric spaces, in K Kunen and Z E Vaughan, eds, Hanbook of Set-Thoeretic Topology, North-Hanland [5] S Kantorovitz (2003), Introduction to Modern Analysis, Oxford University Press Inc., New York 41 [...]... ta phân loại các lớp không gian tôpô như sau 2.1 T0 - Không gian ( Không gian Komogorov ) Định nghĩa 2.1 Không gian tôpô X được gọi là T0 - Không gian nếu với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian luôn tồn tại lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia Ví dụ 2.2 a Tập X = {0, 1} cùng với tôpô τ = { X, {0} , φ} là T0 không gian b Đường thẳng thực với tôpô tự nhiên là T0 - không gian c Không. .. nhưng không là T1 - không gian 2.3 T2 - Không gian ( Không gian Hausdorff ) Định nghĩa 2.7 Không gian tôpô X được gọi là T2 - không gian nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau Ví dụ 2.8 R với tôpô tự nhiên là T2 - không gian Nhận xét 2.9 X là T2 - không gian thì X là T1 - không gian Điều ngược lại nói chung không đúng Thật vậy, xét tập vô hạn X với tôpô hữu... Mọi không gian tôpô compact Hausdorff đều là T4 - không gian 2.7 Nhận xét Từ các định nghĩa và ví dụ minh họa ta đi đến nhận xét sau : T4 - không gian ⇒ T3 1 - không gian ⇒ T3 - không gian ⇒ T2 - không gian ⇒ T1 2 không gian ⇒ T0 - không gian Tuy nhiên điều ngược lại không đúng Phần tiếp theo là các mệnh đề và ví dụ để ta thấy rằng điều ngược lại không đúng 26 Chương 3 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ PHÂN LOẠI CÁC... ngược lại nói chung là không đúng 22 Chương 2 PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Chúng ta đều biết rằng mọi không gian metric đều là không gian tôpô, tuy nhiên một bài toán được đặt ra đó là liệu điều ngược lại có đúng hay không? Có thể thấy ngay rằng câu trả lời là phủ định Chính vì điều này, dựa vào các điều kiện gần "giống" với các không gian metric, người ta đã phân loại các không gian tôpô theo thứ tự điều... phủ con đếm được của A Do đó X là không gian Lindelof Không gian con Định nghĩa 1.39 Cho ( X, τx ) là không gian tôpô, Y ⊂ X Khi đó ta có họ τy = { G ∩ Y, G ∈ τx } là một tôpô trên Y Y, τy được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô ( X, τx ) Tôpô τy được gọi là tôpô cảm sinh trên Y bởi tôpô τx Ví dụ 1.40 Cho R với tôpô tự nhiên và A = [0, 1) Trong không gian con A ta có 1 0, là tập mở 2 Định... liên tục trên X 18 Ví dụ 1.48 a) Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X lên chính nó là ánh xạ liên tục b) Ánh xạ hằng (không đổi) là ánh xạ liên tục c) Mọi ánh xạ từ không gian tôpô rời rạc đến không gian tôpô bất kì là ánh xạ liên tục d) Mọi ánh xạ từ không gian tôpô bất kì đến không gian tôpô thô đều là ánh xạ liên tục Định lý 1.49 Cho ba không gian tôpô ( X, τx ), Y, τy , ( Z, τz ) và hai ánh xạ liên... thực với tôpô tự nhiên là T0 - không gian c Không gian tôpô rời rạc là T0 - không gian 2.2 T1 - Không gian ( Không gian Frechet ) Định nghĩa 2.3 Không gian tôpô X được gọi là T1 - không gian nếu với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian luôn tồn tại một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x 23 Định lý 2.4 X là T1 - không gian khi và chỉ khi mỗi tập con gồm một phần tử của... cả các phần tử thuộc O , khi đó ta được Aα j ∈ O α j ∈ I2 Nên α∈ I Aα ∈ τ Vậy ( X, τ ) là không gian tôpô 2 Chứng minh ( X, τ ) là T2 - không gian Rõ ràng tôpô O yếu hơn tôpô τ , lại do ( X, O) là không gian Hausdorff suy ra ( X, τ ) là không gian Hausdorff 3 Chứng minh ( X, τ ) không là T3 - không gian Do Q là tập mở nên X \Q = I là tập đóng, như vậy tập các số vô tỉ là tập đóng trong không gian tôpô. .. trong R2 , τ1 không chứa điểm O Mặt khác rõ ràng không tồn tại hai tập mở nào trong R2 , τ1 rời nhau lần lượt chứa tập LO và điểm O (0, 0) Vậy R2 , τ1 không phải là T3 - không gian 3.4 T3 - không gian mà không phải là T3 1 - không gian 2 Ví dụ 3.7 Để chỉ ra một không gian chính quy mà không hoàn toàn chính quy, đầu tiên chúng ta xây dựng không gian tôpô, tiếp đến chúng ta sẽ chỉ ra nó là không gian chính... trong không gian ( X, τ ) , 0 ∈ / Z và bất kì các tập mở U, V lần lượt chứa 0 và Z có giao nhau khác rỗng Vậy ( X, τ ) không là T3 - không gian Ví dụ 3.5 Cho X là tập số thực, Q là tập các số hữu tỉ ( X, O) là tôpô tự nhiên trên X và Q, O là không gian tôpô con sinh bởi không gian tôpô ( X, O) Đặt τ = O ∪ O Ta cần chứng tỏ: 1 ( X, τ ) là tôpô trên X 2 ( X, τ ) là T2 - không gian 3 ( X, τ ) không là