Bước đầu phân loại các không gian tôpô

Ngành toán nghiên cứu về các không gian tôpô gọi là topology.Các không gian tôpô có thể được phân loại, chính xác đến một đồng phôi, bằngcác tính chất tôpô của chúng.. Xuất phát từ những

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

HOÀNG THỊ HIỀN

BƯỚC ĐẦU PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sơn La, năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

HOÀNG THỊ HIỀN

BƯỚC ĐẦU PHÂN LOẠI

CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành: Giải tích

Giảng viên hướng dẫn: TS VŨ VIỆT HÙNG

Sơn La, năm 2016

Mục lục

1.1 Không gian tôpô 8

1.2 Tập mở, tập đóng, lân cận 9

1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng 10

1.4 Cơ sở tôpô 13

1.5 Các tiên đề đếm được 14

1.6 Không gian con 16

1.7 Tôpô sinh bởi một họ tập hợp 17

1.8 Ánh xạ liên tục 17

1.9 Không gian compact 20

1.10 Không gian compact địa phương 22

2 PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ 23 2.1 T0 - Không gian ( Không gian Komogorov ) 23

2.2 T1 - Không gian ( Không gian Frechet ) 23

2.3 T2 - Không gian ( Không gian Hausdorff ) 24

2.4 T3 - Không gian ( Không gian tôpô chính quy ) 25

2.5 T31 2 - không gian ( Không gian tôpô hoàn toàn chính quy ) 25

2.6 T4 - Không gian ( Không gian tôpô chính tắc ) 26

2.7 Nhận xét 26

3 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ PHÂN LOẠI CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ 27

3.1 T0 - không gian mà không phải là T1 - không gian 273.2 T1 - không gian mà không phải là T2 - không gian 283.3 T2 - không gian mà không phải là T3 - không gian 293.4 T3 - không gian mà không phải là T31

2 - không gian 333.5 T31

2 - không gian mà không phải là T4 - không gian 37

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người đã định

hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình em, giúp đỡ em về tài liệu nghiên cứucũng như động viên em có nghị lực hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của cácthầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giảitích, các bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán Những ý kiến đóng góp, giúp đỡđộng viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thànhkhóa luận này Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp

đỡ quý báu nói trên

Sơn La, tháng 5 năm 2016.Người thực hiện

Sinh viên:Hoàng Thị Hiền

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Không gian tôpô là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các kháiniệm như là sự hội tụ, tính liên thông và tính liên tục Chúng xuất hiện hầu nhưtrong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất cótính trọng tâm Ngành toán nghiên cứu về các không gian tôpô gọi là topology.Các không gian tôpô có thể được phân loại, chính xác đến một đồng phôi, bằngcác tính chất tôpô của chúng Tính chất tôpô là tính chất của không gian khôngthay đổi trong các phép biến đổi đồng phôi Để chứng minh hai không giankhông đồng phôi, có thể tìm một tính chất tôpô mà chúng khác nhau Ví dụ nhưtính liên thông, tính compact và dựa vào các tiên đề tách

Việc phân loại các không gian tôpô là một phần nhỏ trong lĩnh vực nghiên cứukhông gian tôpô Đây là một trong những phần giải tích được ứng dụng nhiềutrong thực tế và đó là nền tảng cho giải tích hiện đại Do vậy việc nghiên cứu làrất cần thiết, giúp tôi nắm vững hơn kiến thức về phần này và tạo điều kiện đểtôi nghiên cứu sâu hơn các phần giải tích có liên quan

Xuất phát từ những lí do trên tôi đã mạnh dạn chọn đề tài "Bước đầu phân loại

các không gian tôpô" để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu của khóa luận

Khóa luận nghiên cứu nhằm đạt được các mục đích sau đây:

- Trình bày các vấn đề cơ bản nhất về không gian tôpô và các kiến thức có liênquan một cách có hệ thống và logic;

- Phân loại chi tiết các lớp không gian tôpô quan trọng;

- Đưa ra một số phản ví dụ để chứng minh các lớp không gian đã phân loại

là phân biệt

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các khái niệm, tính chất và kết quả cơ bản về không gian tôpô;

- Phân loại các lớp không gian tôpô quan trọng và nghiên cứu các đặc trưngcủa chúng;

- Các ví dụ đặc sắc minh họa cho các lớp không gian đã nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học

cơ bản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành giảitích

- Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn và Bộ môn

4 Cấu trúc của khóa luận

Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp như sau:Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung

đề tài gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Hệ thống cơ bản các nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu nộidung chính của đề tài trong chương 1 như: Lý thuyết về không gian tôpô Tiếp

đó tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của không gian tô như: Tập mở, tập đóng,lân cận Các loại điểm, phần trong, bao đóng Cơ sở tôpô Không gian compact

Chương 2 Phân loại không gian tôpô

Trình bày các không gian tôpô quan trọng bao gồm: T0 - không gian T1 không gian T2 - không gian T3 - không gian T31

-2 - không gian T4 - không gian

Chương 3 Một số phản ví dụ về phân loại các không gian tôpô

Trình bày kết quả chính của đề tài Đưa ra các mệnh đề và các phản ví dụ liênquan đến lý thuyết chương 2 đó là : T0 - không gian mà không phải là T1- khônggian T1 - không gian mà không phải là T2 - không gian T3 - không gian màkhông phải là T31

2 - không gian T31

2 - không gian mà không phải là T4 - khônggian

5 Đóng góp của khóa luận

Đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan về việc phân loạicác không gian tôpô Đề tài cũng có thể là tài liệu tham khảo chuyên sâu hữuích cho các sinh viên chuyên ngành toán trong lĩnh vực của đề tài nói riêng và

là tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắctại thư viện của nhà trường nói chung

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian tôpô

để làm cơ sở cho những nghiên cứu trong các chương sau

1.1 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1. Cho một tập hợp X 6=∅ Họ τ các tập hợp con nào đó của X

được gọi là một tôpô trên X nếu:

Ví dụ 1.2. a) Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng Họ τ = (∅, X)là một tôpô trên

X.(X, τ)được gọi là không gian tôpô thô (hoặc không gian phản rời rạc)

b) Họ τ ={A|A⊂X}là một tôpô trên X.(X, τ)gọi là không gian tôpô rời rạc

c) Cho tập hợp X vô hạn τ={A⊂X| A=∅ hoặc X\Ahữu hạn} τ là một tôpô

trên X Tập X với tôpô này được gọi là không gian tôpô bù hữu hạn Hay khônggian Darixki

d) X tùy ý A⊂X, τ={∅, A, X}là một tôpô trên X

Nhận xét 1.3. a) Trên một tập hợp X có thể cho nhiều tôpô khác nhau

b) Cho τ1, τ2 là 2 tôpô trên X τ1 là yếu (nhỏ, thô) hơn τ2 hay nói cách khác là τ2

là mạnh (lớn, mịn) hơn τ1, nếu τ1 ⊂τ2 Kí hiệu τ1≤τ2

c) Tôpô thô là tôpô yếu nhất và tôpô rời rạc là tôpô mạnh nhất trong tất cả các

tôpô cho trên cùng một tập hợp X.

d) Nếu τ1 *τ2 và τ2 *τ1 thì 2 tôpô này không thể so sánh được với nhau Ví dụ

A, B⊂X và A6= B thì τ1 ={∅, A, X}và τ2 ={∅, B, X} là 2 tôpô không so sánhđược với nhau

Định lý 1.7 G là tập mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc G.

Chứng minh. (⇒)Hiển nhiên

(⇐)Với mỗi x∈Gdo G là lân cận của x nên∃Vx ∈ τ: x∈Vx ⊂G

ii) ∀V1, V2∈ Vx ⇒V1∩V2 ∈ Vx.

iii) V1 ∈ Vx, V2⊃V1⇒V2 ∈ Vx.

iv)∀V∈ Vx,∃W ⊂V : W ⊂ Vy,∀y∈W.

Ngược lại nếu với mỗi x∈ X có họ Vx các tập con nào đó của X thỏa mãn các tính chất

i), ii), iii), iv) thì trên X có một tôpô duy nhất nhận họ Vx làm hệ lân cận của x.

Nhận xét 1.11. a) Hợp các lân cận của x là lân cận của x

b) Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của x

Định nghĩa 1.12 F⊂X được gọi là tập đóng nếu X\F∈τ

τ= A⊂R|Alà hợp hữu hạn hay đếm được các khoảng rời nhau

Ta chứng minh được τ là một tôpô trên R.

Trong không gian tôpô này ta có:

Zlà tập đóng

Qlà tập không mở cũng không đóng

1.3 Các loại điểm, phần trong, bao đóng.

Định nghĩa 1.15. Cho không gian tôpô(X, τ), x∈ Xvà A⊂X Khi đó

• xđược gọi là điểm trong của A nếu ∃G∈τ sao cho x∈G ⊂A ( tức X nhận Alàm lân cận )

• xlà điểm ngoài của A nếu

∃G∈ τ: x∈G⊂X\A

• xlà điểm biên của A nếu

Kí hiệu : intA hoặc A0

Định lý 1.17 IntA là tập mở lớn nhất được chứa trong A.

Chứng minh.

• IntA là tập mở Thật vậy:

Nếu intA =∅⇒intA là tập mở

Giả sử intA 6= ∅ Với mỗi x∈ intA ta có x là điểm trong của A Do đó∃G∈ τ :

x∈G⊂ A Mặt khác do G mở nên G⊂intA

Vậy ∀x∈ intA,∃G⊂A : x∈G⊂intA Điều này chứng tỏ intA là tập mở (1)

• Giả sử G là tập mở, G ⊂Athì theo trên ta có G⊂intA.(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.18 a) IntA = ∪ {G : G là tập mở trong A}.

b) G mở nếu và chỉ nếu G =IntG.

Định lý 1.19 a) Int ∅=∅, intX=X.

b) Mọi A, B⊂X ta có:

i) Int(intA)=IntA.

ii) Nếu A⊂B thì IntA⊂IntB.

iii) Int(A∩B)= intA ∩intB.

iv) Int(A∪ B) ⊃intA∪ intB.

Định nghĩa 1.20. Bao đóng của tập A là tập bé nhất trong X chứa A

Chứng minh. (⇒)Giả sử x không là điểm dính của A

Khi đó tồn tại một lân cận mở V của x sao cho V ∩ A=∅

Suy ra A⊂X\V suy ra A∩V =∅ suy ra x /∈ A

Điều này mâu thuẫn với giả thiết x ∈ A

Vậy x là điểm dính của A

(⇐)Giả sử x /∈ Asuy ra x∈X\A=V Do x là điểm dính của A nên V∩A6=∅.Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Vậy x ∈ A

Nhận xét 1.24. a) F là tập đóng khi và chỉ khi mọi điểm dính của F đều thuộc F.b) X\A=X\A0

(X\A)0 =X\ A

Chứng minh. (⇒)Giả sử G là tập mở Ta có G là lân cận của mỗi điểm x∈G.

DoB là cơ sở tôpô nên mỗi x∈ Gđều tồn tại Bx ∈ B sao cho ta có x∈ Bx ⊂G⇒

Vậy B là cơ sở tôpô của(X, τ)

Định lý 1.27 HọB là cơ sở của một tôpô nào đó trên X= ∪{B, B∈ B}khi và chỉ khi

với mỗi B1,B2 thuộcB, với mỗi x∈B1∩B2 đều tồn tại B∈ B sao cho x∈B∈ B1∩B2 Chứng minh. (⇒)Giả sửBlà cơ sở tôpô của τ Khi đó với B1, B2∈ B ⇒B1∩B2∈

Vậy τ là một tôpô trên X Dễ thấyB là cơ sở của tôpô này.

Định lý 1.28 Giả sử σ là một họ tập hợp khác rỗng Khi đó họ B các giao hữu hạn có thể của các phần tử trong σ là một cơ sở của một tôpô nào đó trên X= ∪{S : S∈ σ} Chứng minh Giả sử σ là một họ tập hợp khác rỗng.

Gọi B là họ các giao hữu hạn có thể của các phần tử trong σ.

Với mỗi B1, B2∈ B , đặt B=B1∩B2

Khi đó với x∈ B1∩B2,∃B=B1∩ B2 ∈ B: x∈B⊂B1 ∩B2

Vậy B là cơ sở của một tôpô nào đó trên X= ∪{S : S∈σ}

Định nghĩa 1.29. Họ σ tùy ý khác rỗng các tập được gọi là một tiền cơ sở của một tôpô τ nào đó nếu họ các giao hữu hạn có thể các phần tử của σ lập thành một cơ sở tôpô của τ.

1.5 Các tiên đề đếm được

Định nghĩa 1.30. (X, τ) được gọi là thỏa mãn tiên đề thứ nhất nếu mỗi điểm

x∈X đều tồn tại một hệ cơ sở lân cận của x gồm đếm được phần tử

Định nghĩa 1.31. (X, τ) được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu X

có một cơ sở tôpô gồm đếm được phần tử

Định lý 1.32 Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì X thỏa mãn tiên đề đếm

được thứ nhất.

Chứng minh. Giả sử X có một cơ sở tôpô đếm được làB = {B1, B2, , Bn, }

Với mỗi x∈ X đặtBx ={Bk: Bk∈ B∩ Vx} Khi đó ta có:

• Bx ⊂ Vx (1)

• DoBlà cơ sở tôpô nên với mỗi V là lân cận của x thì tồn tại Bk∈ B: x∈Bk⊂V.Suy ra Bk ∈ Bx và Bk thỏa mãn x∈ Bk⊂V (2)

• Mặt khácBx là đếm được (3)

Từ (1), (2), (3) ta có Bx là hệ cơ sở lân cận đếm được của x

Vậy X thỏa tiên đề đếm được thứ nhất

Nhận xét 1.33 X thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì chưa chắc X thỏa tiên đềđếm được thứ hai

Định lý 1.34 Nếu X thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì X khả ly.

Chứng minh. Giả sửB = {B1, B2, , Bn, }là cơ sở tôpô đếm được của X

Trong mỗi Bn lấy một điểm xn tùy ý Đặt A={xn}n Ta có:

Từ (i) và (ii) ta kết luận X là không gian khả ly

Định nghĩa 1.35. HọU các tập hợp nào đó là một cái phủ của tập B nếu hợp tất

cả các tập thuộc U chứa B

Nếu tất cả các tập thuộcU là các tập mở (đóng) thìU là một phủ mở (phủ đóng)của tập B

Định nghĩa 1.36. Nếu họ U là một cái phủ của tập B,M là một họ con hữu hạncủa họ U vàM cũng là cái phủ của B thì M được gọi là một phủ con hữu hạncủa phủU

Định nghĩa 1.37. Một không gian tôpô có tính chất từ một phủ mở đều trích rađược một phủ con đếm được được gọi là không gian Lindleof

Định lý 1.38 Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì X là không gian Lindelof.

Chứng minh. Giả sửB = {B1, B2, , Bn, }là cơ sở tôpô đếm được của X, A⊂X

DoC đếm được nên ta có thể viếtC = Bi1, Bi2, ,

Gọi Ui1 là một tập trongU chứa Bi1

jlà một phủ con đếm được của A Do đó X là không gian Lindelof

1.6 Không gian con

Định nghĩa 1.39. Cho (X, τx) là không gian tôpô, Y ⊂X Khi đó ta có họ τy ={G∩Y, G∈ τx}là một tôpô trên Y Y, τy
được gọi là không gian tôpô con củakhông gian tôpô (X, τx) Tôpô τy được gọi là tôpô cảm sinh trên Y bởi tôpô τx

Ví dụ 1.40. Cho R với tôpô tự nhiên và A= [0, 1) Trong không gian con A ta có

Chứng minh. Giả sử B là tập hợp đóng trong Y Khi đó Y\B là tập mở trong

Y⇒Y\B=G∩Y, với G là tập mở trong X Khi đó ta đặt F=X\G⇒ Flà tậpđóng trong X

Ta có

X\ (Y\B) =X\ (G∩Y) =F∪ (X\Y)

Cho giao cả hai vế với Y ta được

Y∩ [X\ (Y\B)] =Y∩ [F∪ (X\Y)] ⇔B=Y∩F

Nhận xét 1.42. Nếu Y, τy
là không gian con của không gian(X, τx)và y∈Ythìmọi lân cận của y trong Y đều có dạng V ∩Yvới V là một lân cận của y trong X

1.7 Tôpô sinh bởi một họ tập hợp

Định lý 1.43 Giao của một họ các tôpô trên X cũng là một tôpô trên X.

Nhận xét 1.44. Cho µ là một họ các tập con nào đó của X Luôn tồn tại ít nhất một tôpô trên X chứa µ Giao của tất cả các tôpô trên X chứa µ là một tôpô trên

X chứa µ Đó là tôpô duy nhất bé nhất chứa µ Tôpô này được gọi là tôpô sinh bởi µ.

• f được gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x∈ X

Định lý 1.46 Cho X, Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f : X →Y Khi đó ánh xạ

f liên tục tại điểm x0 thuộc X khi và chỉ khi với mỗi lân cận W của f(x0) trong Y thì

f−1(W)là lân cận của x0 trong X.

Chứng minh. (⇒)Giả sử W là một lân cận của f(x0)

Do f liên tục tại x0 nên tồn tại V là một lân cận của x0 với f(V) ⊂ W ⇒ V ⊂

f−1(W) ⇒ f−1(W)là một lân cận của x0

(⇐)Giả sử W là một lân cận của f(x0) Theo giả thiết thì f−1(W)là lân cận của

Đặt V = f−1(W) Ta có V là một lân cận của x0 và f(V) ⊂W

Vậy f liện tục tại x0

Định lý 1.47 Giả sử (X, τx), Y, τy
là hai không gian tôpô và f là ánh xạ từ X vào

Y Các mệnh đề sau đây là tương đương.

Ví dụ 1.48. a) Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X lên chính nó là ánh xạliên tục.

b) Ánh xạ hằng (không đổi) là ánh xạ liên tục

c) Mọi ánh xạ từ không gian tôpô rời rạc đến không gian tôpô bất kì là ánh xạliên tục

d) Mọi ánh xạ từ không gian tôpô bất kì đến không gian tôpô thô đều là ánh xạliên tục

Định lý 1.49 Cho ba không gian tôpô (X, τx), Y, τy
, (Z, τz) và hai ánh xạ liên tục

Định nghĩa 1.50. Cho hai không gian tôpô X và Y Ánh xạ f : X →Y được gọi

là một phép đồng phôi nếu f là một song ánh, f liên tục và f−1 liên tục

Khi đó hai không gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau hay là tươngđương tôpô

Ví dụ 1.51.

• Hai không gian rời rạc cùng lực lượng thì đồng phôi với nhau

• Hai không gian thô cùng lực lượng thì đồng phôi với nhau

Nhận xét 1.52.

• Nếu f : X →Ylà phép đồng phôi thì ta có: G ∈τx ⇔ f(G) ∈τy Do đó ta có thểđồng nhất hai không gian đồng phôi

• Quan hệ đồng phôi là một quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.53. Cho hai không gian tôpô X và Y Ánh xạ f : X →Y được gọi

là ánh xạ đóng (mở) nếu mọi tập A đóng (mở) trong X đều có f(A)đóng (mở)trong Y

Định lý 1.54 Giả sử f : X →Y là một song ánh liên tục Các mệnh đề sau đây là

tương đương:

a) f là một đồng phôi.

b) f là ánh xạ đóng.

c) f là ánh xạ mở.

Chứng minh a) →b)Lấy F là tập đóng bất kì trong X

Do f−1 liên tục nên f(F)là tập đóng trong Y

1.9 Không gian compact

Định nghĩa 1.55. Không gian tôpô (X, τ)được gọi là không gian compact nếumọi phủ mở của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn

Ta có: (X, τ)là không gian compact

Định nghĩa 1.56. Cho(X, τ)là một không gian tôpô, A∈X và A6=∅ Khi đó:

• A được gọi là tập compact trong X nếu A với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpôtrên X là không gian compact

• Alà tập compact tương đối nếu A là tập compact

Ví dụ 1.57. a) Tập X tùy ý với tôpô thô là không gian compact

b) R với tôpô tự nhiên là không gian compact

Định lý 1.58 Tập hợp con A của không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi với mỗi

phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn.