Các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ LÊ LAN HƯƠNG CÁC TẬP ω -MỞ VÀ ωs-MỞ TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ LÊ LAN HƯƠNG CÁC TẬP ω -MỞ VÀ ωs-MỞ TRONG CÁC KHƠNG GIAN TƠPƠ TỔNG QT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN ĐẠI Bình Định - 2020 i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu 1 Một số kiến thức sở 1.1 Đại cương không gian tôpô 1.2 Ánh xạ liên tục 1.3 Khơng gian tích - Khơng gian thương 1.4 Các tiên đề tách 1.5 Không gian compact - Không gian liên thông Các 2.1 2.2 2.3 tập ω -mở hàm ω -liên tục Một số khái niệm không gian tôpô tổng quát Các tập ω -mở không gian tơpơ tổng qt Tính liên tục tập ω -mở không gian quát Các 3.1 3.2 3.3 tập ωs -mở hàm ωs -liên tục Một số kiến thức chuẩn bị Các tập ωs -mở không gian tơpơ tổng qt Tính liên tục tập ωs -mở không gian quát 4 10 11 14 16 tôpô 21 21 22 tổng 26 tôpô 32 33 33 tổng 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R : Tập số thực N : Tập số tự nhiên Q : Tập số hữu tỉ Qc : Tập số vô tỉ K : Trường số thực R số phức C τω : Họ tất tập ω -mở X Mµ : Hợp tất phần tử µ Cond♣B q : Tập tất điểm tụ B µω : Họ tất tập ω -µ-mở ♣X, µq U : Bao đóng U SO♣X, τ q : Họ tất tập nửa mở không gian ♣X, τ q SωO♣X, τ q : Họ tất tập nửa ω -mở không gian tôpô ♣X, τ q ˚ hay intA A : Phần tập A τα : Tôpô Xα ♣τcocqX : Tơpơ đối đếm X µprod ω A intω ♣Aq Extω ♣Aq ωs ♣X, τ q ωs A intωs ♣Aq : Tích ♣X, µ1 q ♣Y, µ2 q : ω -bao đóng A ♣X, τ q : ω -phần A ♣X, τ q : ω -phần A ♣X, τ q : Họ tập ωs -mở ♣X, τ q : ωs -bao đóng A ♣X, τ q : ωs -phần A ♣X, τ q MỞ ĐẦU Các không gian tôpô cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa khái niệm hội tụ, tính liên thơng tính liên tục Chúng xuất tất ngành toán học đại khái niệm thống có tính trọng tâm Cho ♣X, τ q không gian tôpô A ⑨ X Engelking, [21], định nghĩa điểm x € X gọi điểm tụ A với U € τ cho x € U, tập U ❳ A không đếm Năm 1982, Hdeib [22] định nghĩa tập ω -đóng ω -mở sau: A gọi tập ω -đóng chứa tất điểm tụ Phần bù tập ω -đóng gọi tập ω -mở Họ tất tập ω -mở X tơpơ X, ký hiệu τω Có nhiều khái niệm kết liên quan đến tập ω -đóng ω -mở nghiên cứu thời gian gần Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa không gian tôpô tổng quát sau: cặp ♣X, µq không gian tôpô tổng quát X tập khác rỗng µ tập tập X cho ❍ € µ hợp tập µ thuộc µ, phần tử µ gọi tập µ-mở, phần bù tập µ-mở gọi tập µ-đóng, hợp tất phần tử µ ký hiệu Mµ khơng gian tơpơ ♣X, µq gọi mạnh Mµ ✏ X Gần đây, năm 2016, Samer Wafa [34] đưa khái niệm tập ω -mở không gian tôpô tổng qt sau: Cho ♣X, µq khơng gian tôpô tổng quát B ⑨ X Một điểm x € X gọi điểm tụ B với A € µ cho x € A, tập A ❳ B không đếm Tập tất điểm tụ B ký hiệu Cond (B ) Tập B ω -µ-đóng Cond ♣B q ❸ B Tập B ω -µ-mở X ③B tập ω -µ-đóng Họ tất tập ω -µ-mở ♣X, µq ký hiệu µω Họ sử dụng khái niệm để đưa lớp ánh xạ không gian tơpơ tổng qt, đồng thời trình bày nhiều đặc trưng, tính chất ví dụ liên quan đến khái niệm Một khái niệm khác có liên quan chặt chẽ với tập mở tập nửa mở Khái niệm Levine [28] đưa lần vào năm 1963 sau: Tập hợp A nửa mở tồn tập mở U cho U ❸ A ❸ U , nói cách tương đương A ❸ int♣Aq Ta ký hiệu SO♣X, τ q họ tất tập nửa mở không gian tôpô ♣X, τ q Bằng cách sử dụng tập nửa mở, ông tổng quát tính liên tục tính nửa liên tục sau: Hàm f : ♣X, τ1 q Ñ ♣Y, τ2 q hai không gian tôpô gọi nửa liên tục với V € τ2 , f ✁1 ♣V q € SO♣X, τ1 q Năm 2002, Al-Zoubi Al-Nashef [4], sử dụng tập ω -mở để định nghĩa tập nửa ω -mở sau: Tập A nửa ω -mở tồn tập ω -mở U cho U ❸ A ❸ U Họ tất tập nửa ω -mở không gian tôpô ♣X, τ q ký hiệu SωO♣X, τ q Al-Zoubi, [5], sử dụng khái niệm tập nửa ω -mở để giới thiệu hàm nửa ω -liên tục sau: Hàm f : ♣X, τ1 q Ñ ♣Y, τ2 q hai không gian tôpô gọi nửa ω -liên tục với V € τ2 , f ✁1 ♣V q € SωO♣X, τ1 q Mới đây, khái niệm yếu “tập mở” mạnh “tập nửa mở” Samer Kafa [33] đề xuất nghiên cứu sau: Tập A ω ωs -mở tồn tập mở U cho U ❸ A ❸ U Các tác giả xem xét lớp tập sử dụng để nghiên cứu mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm Mục đích luận văn nghiên cứu đặc trưng tập ω -mở ωs -mở không gian tôpô tổng quát Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu đặc trưng tập ω -mở không gian tôpô tổng quát, từ nghiên cứu đặc trưng cỏc khỏi nim Lindelăof, compact, compact m c, liờn tc, không gian tôpô tổng quát Nghiên cứu vấn đề tương tự tập ω s -mở Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành chương ❼ Trong chương chúng tơi tóm tắt sơ lược số kiến thức không gian tôpô tổng qt ❼ Ở chương chúng tơi trình bày khái niệm tập ω -mở không gian tơpơ tổng qt sử dụng chúng để tìm hiểu cỏc c trng Lindelăof, compact, liờn tc cỏc khụng gian tôpô tổng quát ❼ Chương dành cho việc trình bày khái niệm tập ωs -mở không gian tôpô tổng quát sử dụng khái niệm để tìm hiểu lớp tập, mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy TS Nguyễn Văn Đại, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại cương không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Một họ τ tập X gọi tôpô X τ thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) ❍ € τ, X € τ ; 2) Nếu ♣Gα qα€I họ phần tử τ ↕ α €I Gα € τ; 3) Nếu G1 , G2 € τ G1 ❳ G2 € τ Bằng quy nạp, từ 3) ta thấy G1 , G2 , , Gn € τ n ↔ i ✏1 Gi € τ Giả sử X cho tơpơ τ Khi cặp ♣X, τ q gọi không gian tôpô xác định tập X Các phần tử τ gọi tập mở phần tử x € X gọi điểm không gian tôpô ♣X, τ q Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường ký hiệu vắn tắt không gian tôpô ♣X, τ q X Tơpơ gọi tơpơ thơ 1.1.2 Ví dụ 1) Cho X tập hợp khác rỗng tùy ý Lấy τ ✏ tX, ❍✉ Khi tiên đề tôpô thỏa mãn cách hiển nhiên Tôpô gọi tôpô thô 3) Cho X tập tùy ý τ ✏ P ♣X q tập hợp tất tập X Lúc τ tơpơ X Tơpơ gọi tôpô rời rạc 1) Giả sử (X, d) không gian mêtric Gọi τ họ tất tập mở X Lúc (X, τ ) khơng gian tơpơ Đặc biệt R, tôpô xác định mêtric d♣x, y q ✏ ⑤x ✁ y ⑤ gọi tôpô thông thường Để ý tập hợp X cho trước, ta cho nhiều tơpơ khác Khi ta nhận khơng gian tơpơ khác (có chung tập X ) Nếu τ1 τ2 hai tơpơ vậy, ta có hai khơng gian tơpơ ♣X, τ1 q ♣X, τ2 q Bây τ1 τ2 hai tôpô X thỏa mãn điều kiện τ1 ⑨ τ2 , ta gọi τ1 yếu τ2 hay τ2 mạnh τ1 ký hiệu τ1 ↕ τ2 Hiển nhiên tôpô thô tôpô yếu tôpô rời rạc tôpô mạnh tất tơpơ xác định tập X Cũng xảy trường hợp hai tôpô τ1 τ2 không so sánh với nhau, chẳng hạn τ1 không chứa τ2 ngược lại, τ2 không chứa τ1 1.1.3 Lân cận Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, τ ) không gian tôpô x0 € X Tập A ⑨ X gọi lân cận x0 tồn tập mở U € τ cho x0 € U ⑨ A Hiển nhiên U € τ U lân cận điểm Tuy nhiên lân cận x0 chưa tập mở Nếu A lân cận x0 x0 gọi điểm A Nói cách khác, x0 điểm A ⑨ X tồn U € τ cho x0 € U ⑨ A Định lí 1.1.1 Tập A ⑨ X mở (tức A € τ ) lân cận điểm 1.1.4 Tập đóng Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, τ ) không gian tôpô Tập F ⑨ X gọi tập đóng F c :✏ X ③F tập mở (tức X ③F € τ ) Nhận xét 1.1.1 Ta có ♣Gc qc ✏ X ③♣X ③Gq ✏ G Như tập G mở tương đương với Gc tập đóng Định lí 1.1.2 Cho X khơng gian tơpơ Khi 1) ❍, X tập đóng; 2) Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng; 3) Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng 1.1.5 Phần bao đóng tập hợp Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X khơng gian tơpơ A ⑨ X Lúc có tập mở chứa A chẳng hạn tập rỗng Hợp tất tập mở chứa ˚ hay intA Ta có A gọi phần tập A, ký hiệu A ˚ tập mở (vì hợp tập mở) 1) A ˚ tập mở lớn chứa A (vì A có chứa tập mở khác 2) A phải chứa hợp tất tập mở chứa A) ˚ 3) A tập mở A ✏ A Định lí 1.1.3 Cho A, B ⑨ X Khi ˚ tập A tập hợp tất điểm tập A; 1) Phần A ˚ ⑨ B; ˚ 2) A ⑨ B A ˚ ❳ B ˚ 3) int♣A ❳ B q ✏ A Định nghĩa 1.1.4 Cho A ⑨ X Ln ln có tập đóng chứa A, chẳng hạn X Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A, ký hiệu A Hiển nhiên A tập đóng bé chứa A Từ định nghĩa ta có kết quả: A tập đóng A ✏ A Định lí 1.1.4 Cho A, B ⑨ X, ta có 1) A ✏ A; 2) Nếu A ⑨ B A ⑨ B; 3) A ❨ B ✏ A ❨ B 33 Suốt chương này, R, N, Q, Qc ký hiệu tập số thực, tập số tự nhiên, tập số hữu tỉ, tập số vô tỉ Với tập X ✘ ❍, ký hiệu τdisc tôpô rời rạc X, τω tôpô thông thường R 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 3.1.1 ([28]) Hàm f : ♣X, τ1 q Ñ ♣X, τ2 q nửa liên tục với V € τ2, f ✁1♣V q € SO♣X, τ1q Định nghĩa 3.1.2 ([4]) A nửa ω -mở tồn tập ω -mở U cho U ❸ A ❸ U Tập tất tập nửa ω -mở không gian tôpô ♣X, τ q ký hiệu SωO♣X, τ q Định nghĩa 3.1.3 ([5]) Hàm f : ♣X, τ1 q Ñ ♣Y, τ2 q nửa ω -liên tục với € τ2, f ✁1♣V q € SωO♣X, τ1q Định lí 3.1.1 ([7]) Cho ♣X, τ q không gian tôpô A ❸ X Khi a) Nếu A ✘ ❍ ♣τA qω ✏ ♣τω qA V b) ♣τω qω ✏ τω Định lí 3.1.2 ([4]) Cho ♣X, τ q khơng gian tơpơ Khi a) SO♣X, τ q ❸ SωO♣X, τ q SO♣X, τ q ✘ SωO♣X, τ q ❸ SωO♣X, τ q τω ✘ SωO♣X, τ q Định lí 3.1.3 ([8]) Cho ♣X, τ q khơng gian tơpơ Khi ω a) Nếu ♣X, τ q khơng đếm địa phương với A € τω , A ✏ A với tập ω -đóng A ♣X, τ q, intω ♣Aq ✏ int♣Aq b) τω b) Nếu ♣X, τ q đếm địa phương τω tơpơ rời rạc 3.2 Các tập ωs-mở không gian tôpô tổng quát Định nghĩa 3.2.1 Cho A tập khơng gian tơpơ ♣X, τ q Khi A ω gọi ωs -mở ♣X, τ q tồn U € τ cho U ❸ A ❸ U A gọi ωs -đóng Ac ωs -mở Họ tất tập ωs -mở ♣X, τ q ký hiệu ωs ♣X, τ q 34 Định lí 3.2.1 Cho ♣X, τ q khơng gian tơpơ Khi τ ❸ ωs♣X, τ q ❸ SO♣X, τ q € τ U ❸ A ❸ U ω Suy Chứng minh Cho A € τ, lấy U ✏ A Khi U A € ωs ♣X, τ q Do τ ❸ ωs ♣X, τ q Lấy A € ωs ♣X, τ q Khi tồn U € τ cho U A € SO♣X, τ q ❸ A ❸ U ω Vì U ω ❸ U nên Vậy ωs ♣X, τ q ❸ SO♣X, τ q Ví dụ sau cho ta thấy hai bao hàm Định lí 3.2.1 nói chung khơng phải đẳng thức Ví dụ 3.2.1 Xét ♣R, τ q τ ✏ t❍, R, N, Qc , N ❨ Qc ✉ Khi ta có N ω N, N ✏ Q Qc ✏ R③N Do Q € SO♣X, τ q③ωs ♣X, τ q R③N € ωs ♣X, τ q③τ ω ✏ Định lí 3.2.2 Cho ♣X, τ q khơng gian tơpơ Khi a) Nếu ♣X, τ q khơng đếm địa phương ωs ♣X, τ q ✏ SO♣X, τ q b) Nếu ♣X, τ q đếm địa phương τ ✏ ωs♣X, τ q Chứng minh a) Theo Định lí 3.2.1, ta có SO♣X, τ q ❸ ωs ♣X, τ q Lấy A € SO♣X, τ q Khi tồn U € τ cho U ❸ A ❸ U Vì ♣X, τ q ω khơng đếm địa phương nên theo Định lí 3.1.3a), U ✏ U Do A € ωs ♣X, τ q b) Theo Định lí 3.2.1, ta có ωs ♣X, τ q ❸ τ ω Lấy A € ωs ♣X, τ q Khi tồn U € τ cho U ❸ A ❸ U Vì ♣X, τ q ω đếm địa phương, nên theo Định lí 3.1.3b), U ✏ U Do A ✏ U A € τ Ví dụ sau cho thấy tập ω -mở ωs -mở độc lập Ví dụ 3.2.2 Xét ♣R, τ q τ ✦ ✮ ✏ ❍, R, r0, ✽q Khi ta có r0, ✽qω ✏ R Do r✁1, ✽q € ωs ♣X, τ q③τω ♣0, ✽q € τω ❸ ωs ♣X, τ q Định lí 3.2.3 Tập A không gian tôpô ♣X, τ q ωs -mở ω A ❸ int♣Aq Chứng minh Điều kiện cần Cho A ωs -mở Khi tồn U € τ cho ω ω ω U ❸ A ❸ U Vì U ❸ A nên U ✏ int♣U q ❸ int♣Aq U ❸ int♣Aq ω Vì A ❸ int♣Aq ω Điều kiện đủ Giả sử A ❸ int♣Aq Lấy U ✏ int♣Aq Khi U € τ với U ❸ A ❸ ω U Do A ωs -mở 35 Định lí 3.2.4 Hợp tùy ý tập ωs -mở không gian tôpô ωs -mở Chứng minh Cho ♣X, τ q không gian tôpô tAα : α € ∆✉ ❸ ωs ♣X, τ q Với ω α € ∆, tồn Uα € τ cho Uα ❸ Aα ❸ Uα Vì ↕ Do ↕ α€∆ α €∆ Aα Uα €τ với € ωs♣X, τ q ↕ α€∆ Uα ❸ ↕ α€∆ Aα ❸ ↕ α €∆ Uα ω ❸ ↕ α €∆ ω Uα Hệ 3.2.1 Nếu tCα : α € ∆✉ tập tập ωs -đóng khơng gian tơpơ ♣X, τ q ➇tCα : α € ∆✉ ωs-đóng Ví dụ sau cho thấy giao hai tập ωs -mở nói chung khơng ωs -mở Ví dụ 3.2.3 Xét ♣R, τω q Cho A ✏ r0, 1s, B ✏ r1, 2s Theo Định lí 3.1.3a), ♣0, 1qω ✏ ♣0, 1q ✏ A, ♣1, 2qω ✏ ♣1, 2q ✏ B Vậy A, B € ωs ♣X, τ q A ❳ B ✏ t1✉ ❘ ωs ♣X, τ q Định lí 3.2.5 Trong khơng gian tơpơ bất kỳ, giao hai tập ωs -mở tập ωs -mở Chứng minh Cho ♣X, τ q không gian tôpô, A € τ B € ωs ♣X, τ q ω ω Lấy U € τ cho U ❸ B ❸ U Ta có A ❳ U € τ A ❳ U ❸ A ❳ B ❸ A ❳ U ω A ❳ U Suy A ❳ B € ωs ♣X, τ q ❸ Hệ 3.2.2 Cho không gian tôpô bất kỳ, hợp hai tập ωs -đóng tập ωs -đóng Định lí 3.2.6 Cho ♣X, τ q khơng gian tôpô, B ✘ ❍, B ❸ X A ❸ B Khi a) Nếu A € ωs ♣X, τ q A € ωs ♣B, τB q b) Nếu B €τ A € ωs ♣B, τB q A € ωs ♣X, τ q Chứng minh a) Giả sử A € ωs ♣X, τ q Khi tồn U ω Khi U ✏ U ❳ B ❸ A ❸ U ❳ B € τ cho U ❸ A ❸ U ω Chú ý U ❳ B bao đóng U ♣τω qB theo Định lí 3.1.1a), bao đóng U ♣τB qω Điều suy A € ωs ♣B, τB q ω A € ωs ♣B, τB q Vì A € ωs ♣B, τB q nên tồn V € τB cho V ❸ A ❸ H H bao đóng V, ♣B, ♣τB qω q Vì B € τ nên b) Giả sử B V €τ € τ Hơn V ❸ A ❸ H ❸ V ω Do A € ωs♣X, τ q 36 Định lí 3.2.7 Cho ♣X, τ q khơng gian tôpô Nếu A € ωs ♣X, τ q A ❸ B B € ωs ♣X, τ q ❸ Aω Chứng minh Vì A € ωs ♣X, τ q nên tồn U € τ cho U ❸ A ❸ U Vì A ❸ U ω ω ω ω ω nên A ❸ U Vì B ❸ A nên B ❸ U Do đó, ta có U € τ U ❸ A ❸ B ❸ U Vậy B € ωs ♣X, τ q ω ω Định lí 3.2.8 Với khơng gian tơpơ ♣X, τ q, ta có SO♣X, τω q ✏ ωs ♣X, τω q Chứng minh Theo Định lí 3.2.1, ta có ωs ♣X, τω q ❸ SO♣X, τω q Ngược lại, lấy A € SO♣X, τω q, tồn U € τω cho U ❸ A ❸ H, H bao đóng U ♣X, τω q Theo Định lí 3.1.1b), ta có ♣τω qω ✏ τω ω H ✏ U Do A € SO♣X, τω q Định lí 3.2.9 Với khơng gian tơpơ ♣X, τ q, ta có ✏ tint♣Aq : A € ωs♣X, τ q✉ Theo Định lí 3.2.1, ta có τ ❸ ωs ♣X, τ q τ Chứng minh Định lí 3.2.10 Một tập C không gian tôpô ♣X, τ q ωs -đóng intω ♣C q ❸ C Chứng minh Điều kiện cần Giả sử C ωs -đóng ♣X, τ q Khi X ③C ω ωs -đóng theo Định lí 3.2.3, X ③C ❸ int♣X ③C q Vì intω ♣C q ❸ Extω ♣X ③C q ✏ Extω ♣Ext♣C qq ✏ X ③Ext♣C qω ✏ X ③int♣X ③C qω ❸ C Điều kiện đủ Giả sử intω ♣C q ❸ C Khi X ③C ❸ X ③intω ♣C q ✏ X ③Extω ♣X ③C q ✏ X ③Extω ♣Ext♣C qq ✏ Ext♣C qω ✏ int♣X ③C qω Theo Định lí 3.2.3, X ③C ωs -mở C ωs -đóng 37 Định nghĩa 3.2.2 Cho ♣X, τ q không gian tôpô cho A ❸ X a) ωs -bao đóng A ♣X, τ q ký hiệu A ωs A ωs :✏ ➇✦ định nghĩa sau: ✮ C : C ωs -đóng ♣X, τ q A ❸ C b) ωs -phần A ♣X, τ q ký hiệu intωs ♣Aq định nghĩa sau: intωs ♣Aq :✏ ➈✦ U : U ωs -mở ♣X, τ q U ✮ ❸A Nhận xét 3.2.1 Cho ♣X, τ q không gian tôpô A ❸ X Khi ωs a) A tập ωs -đóng nhỏ ♣X, τ q chứa A b) A ωs -đóng ♣X, τ q A ✏ A ωs c) intωs ♣Aq tập ωs -mở lớn ♣X, τ q chứa A d) A ωs -mở ♣X, τ q A ✏ intωs ♣Aq e) x € A ωs B f) intωs ♣Ac q ❳ A g) X ωs € ωs♣X, σq với x € B, A ❳ B ✘ ❍ ✏ ❍ ✏ intω ♣Acq ❨ Aω s s h) X ③A ωs ✏ intω ♣Acq X ③intω ♣Acq ✏ Aω s s s Cho X Y hai không gian tôpô Hàm f : X mở Y, với U mở X ÑY mở ảnh f ♣U q Định lí 3.2.11 Cho f : ♣X, τ q Đ ♣Y, σ q hàm mở cho f : ♣X, τω q Đ ♣Y, σω q liên tục Khi với A € ωs ♣X, τ q, ta có f ♣Aq € ωs ♣Y, σ q Chứng minh Cho A € ωs ♣X, τ q Khi tồn U € τ cho U ❸ A ❸ U ω dó f ♣U q ❸ f ♣Aq ❸ f ♣U q Vì f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, σ q mở nên f ♣U q € σ Vì ω ω f : ♣X, τω q Ñ ♣Y, σω q liên tục nên f ♣U q ❸ f ♣U q Do f ♣Aq € ωs ♣Y, σ q ω Không thể bỏ qua điều kiện “hàm mở” Định lí 3.2.11 Ví dụ 3.2.4 Giả sử f : ♣R, τdisc q Ñ ♣R, τu q, f ♣xq ✏ với x € R Khi ta có f : ♣R, ♣τdisc qω q Ñ ♣R, ♣τu qω q liên tục Mặt khác, t0✉ € ωs ♣R, τdisc q f ♣t0✉q ✏ t0✉ ❘ ωs ♣R, τu q 38 3.3 Tính liên tục tập ωs-mở khơng gian tôpô tổng quát Định nghĩa 3.3.1 Hàm f : ♣X, τ q với V € σ, f ✁1 ♣V q € ωs ♣X, σ q Định lí 3.3.1 Ñ ♣Y, σq đựơc gọi hàm ωs-liên tục, a) Mọi hàm liên tục ωs -liên tục b) Mọi hàm ωs -liên tục nửa liên tục Chứng minh Suy từ Định lí 3.2.1 Ví dụ sau cho thấy điều ngược lại khẳng định Định lí 3.3.1 nói chung khơng Ví dụ 3.3.1 Cho f, g : ♣R, τ q Ñ ♣ta, b✉, τdisc q, τ N ❨ Qc ✉ ✩ ✫ a x € N f ♣xq ✏ ✪ b x € R③N ✏ t❍, R, N, Qc, ✩ ✫ a x € R③Q g ♣xq ✏ ✪ b x € Q Vì f ✁1 ♣ta✉q ✏ N € τ ❸ ωs ♣R, τ q f ✁1 ♣tb✉q ✏ R③N € ωs ♣R, τ q③τ nên f ωs liên tục khơng liên tục Hơn nữa, g ✁1 ♣ta✉q ✏ R③Q € τ ❸ SO♣X, τ q g ✁1 ♣tb✉q ✏ Q € SO♣X, τ q③ωs ♣X, τ q nên f nửa liên tục không ωs -liên tục Định lí 3.3.2 Cho hàm f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, σ q a) Nếu ♣X, τ q đếm địa phương f liên tục f ωs -liên tục b) Nếu ♣X, τ q không đếm địa phương f ωs -liên tục f nửa liên tục Chứng minh a) Theo Định lí 3.2.2 b) Định lí 3.3.1 a) b) Theo Định lí 3.2.2 a) Định lí 3.3.1 b) Nhận xét 3.3.1 Hàm f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, σ q ωs -liên tục với x € X tập mở V chứa f ♣xq tồn U € ωs ♣X, τ q cho x € U f ♣U q ❸ V 39 Định lí 3.3.3 Cho hàm f : ♣X, τ q đương: Ñ ♣Y, σq Khi điều kiện sau tương a) Hàm f ωs -liên tục; b) Nghịch ảnh phần tử sở B σ thuộc ωs ♣X, τ q; c) Nghịch ảnh tập đóng ♣Y, σ q ωs -đóng ♣X, τ q; d) Với A ❸ X ta có f ♣A ωs q ❸ f ♣Aq; ❸ f ✁1♣B q; e) Với B ❸Y ωs ta có f ✁1 ♣B q f) Với B ❸Y ta có f ✁1 ♣int♣B qq ❸ intωs ♣f ✁1 ♣B qq Chứng minh ♣aq ñ ♣bq Hiển nhiên ♣bq ñ ♣cq Giả sử B sở σ cho f ✁1♣B q € ωs♣X, τ q, với B € B Lấy C tập đóng khác rỗng ♣Y, σ q Khi Y ③C € τ ③t❍✉ Chọn B ✝ ❸ B ➈ cho Y ③C ✏ tB : B € B✝ ✉ Khi X ③f ✁1 ♣C q ✏ f ✁1 ♣Y ③C q ✁↕ ✠ ✏ f ✁1 t B : B € B ✝ ✉ ✮ ↕✦ ✏ f ✁1 ♣ B q : B € B ✝ Vì theo giả thiết f ✁1 ♣B q € ωs ♣X, τ q với B € B✝ nên theo Định lí 3.2.4, ta có X ③f ✁1 ♣C q € ωs ♣X, τ q f ✁1 ♣C q ωs -đóng ♣X, τ q Lấy A ❸ X Khi f ♣Aq đóng ♣Y, σ q theo (c), f ✁1 ♣f ♣Aqq ωs -đóng ♣X, τ q Vì A ❸ f ✁1 ♣f ♣Aqq ❸ f ✁1 ♣f ♣Aqq f ✁1 ♣f ♣Aqq ωs -đóng ωs ωs ♣X, τ q nên A ❸ f ✁1 ♣f ♣Aqq f ♣A q ❸ f ♣f ✁1 ♣f ♣Aqqq ❸ f ♣Aq ♣cq ñ ♣dq Lấy B ❸ Y Khi f ✁1 ♣B q ❸ X theo (d), f ♣f ✁1 ♣B q ωs B Vì f ✁1 ♣B q ❸ f ✁1 ♣B q ♣dq ñ ♣eq ♣eq ñ ♣f q Lấy B ωs q ❸ f ♣f ✁1♣B qq ❸ ❸ Y Khi theo (e), f ✁1♣Y ③B qω ❸ f ✁1♣Y ③B q Hơn theo s 40 Nhận xét 3.2.1(h), X ③X ③f ✁1 ♣B q ωs ✏ intω ♣f ✁1♣B qq Do s f ✁1 ♣int♣B qq ✏ f ✁1 ♣Y ③Y ③B q ✏ X ③f ✁1♣Y ③B q ❸ X ③f ✁1♣Y ③B qω ✏ X ③X ③f ✁1♣B qω ✏ intω ♣f ✁1♣B qq s s s Bổ đề 3.3.1 Cho ♣X, τ q không gian tơpơ A ❸ X Khi A ωs ωs Chứng minh Vì A ✏ A ❨ intω ♣Aq ωs -đóng nên theo Định lí 3.2.10 intω ♣♣A ωs qq ✏ intω ♣Aω q ❸ Aω s s Vì intω ♣Aq ❸ intω ♣♣A qq ❸ A , A ❨ intω ♣Aq ❸ A Do A ✏ A ❨ intω ♣Aq nên A ❨ intω ♣Aq ωs -đóng Vì intω ♣Aq ❸ A, nên intω ♣Aq ❸ A Vì ωs ωs ✁ ωs ✠ intω A ❨ intω ♣Aq ✁ ✏ intω A ❨ intω ♣Aq ✏ intω ♣Aq ❸ A ❨ intω ♣Aq ωs ✠ theo Định lí 3.2.10 A ❨ intω ♣Aq ωs -đóng Định lí 3.3.4 Cho hàm f : ♣X, τ q đương: Đ ♣Y, σq Khi mệnh đề sau tương a) f ωs -liên tục; b) Với A ❸ X, ta có f ♣intω ♣Aqq ❸ f ♣Aq; c) Với B ❸ Y, ta có intω ♣f ✁1♣B qq ❸ f ✁1♣B q Chứng minh ♣aq ñ ♣bq Giả sử f ωs-liên tục Cho A ❸ X Khi ω f ♣A q ❸ f ♣Aq Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có ω f ♣intω ♣Aqq ❸ f ♣A q ❸ f ♣Aq s s theo Định lí 3.3.3 (d), 41 ♣bq đ ♣aq Ta áp dụng Định lí 3.3.3 (d) Cho A ❸ X Khi theo (b), ta có f ♣intω ♣Aqq ❸ f ♣Aq Hơn nữa, ta ln có f ♣Aq ❸ f ♣Aq Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có f ♣A ωs q ✏ f ♣A ❨ intω ♣Aqq ✏ f ♣Aq ❨ f ♣intω ♣Aqq ❸ f ♣Aq ♣aq ñ ♣cq Giả sử f ωs-liên tục Cho B ❸ Y Khi theo Định lí 3.3.3 (e), ω f ✁1 ♣B q ❸ f ✁1 ♣B q Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có ω intω ♣f ✁1 ♣B qq ❸ f ✁1 ♣B q ❸ f ✁1 ♣B q ♣cq ñ ♣aq Ta áp dụng Định lí 3.3.3 (e) Cho B ❸ Y Khi theo (c), ta có intω ♣f ✁1 ♣B qq ❸ f ✁1 ♣B q Hơn nữa, ta ln có f ✁1 ♣B q ❸ f ✁1 ♣B q Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có ω f ✁1 ♣B q ✏ f ✁1 ♣B q ❨ intω ♣f ✁1 ♣B qq ❸ f ✁1 ♣B q s s s Định lí 3.3.5 Nếu f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, σ q ωs -liên tục g : ♣Y, σ q liên tục g ✆ f : ♣X, τ q Ñ ♣Z, λq ωs -liên tục Đ ♣Z, λq € λ Vì g liên tục nên g✁1♣V q € σ Vì f ωs-liên tục nên ♣g ✆ f q✁1♣V q ✏ f ✁1♣g✁1♣V qq € ωs♣X, τ q Chứng minh Cho V Hợp hai hàm ωs -liên tục nói chung khơng phải ωs -liên tục Ví dụ sau làm rõ điều Ví dụ 3.3.2 Cho f, g : ♣R, τu q Ñ ♣R, τu q, ✩ ✫ x x ↕ f ♣xq ✏ ✪ x → Khi ✩ ✫ x ➔ g ♣xq ✏ ✪ x ➙ ✩ ✫ x ✘ ♣g ✆ f q♣xq ✏ ✪ x ✏ Vì f g hiển nhiên nửa liên tục ♣R, τu q không đếm địa phương nên theo Định lí 3.3.2 (b) f g ωs -liên tục Mặt khác, ♣2, ✽q € τu ♣g ✆ f q✁1♣2, ✽q ✏ t1✉ ❘ ωs♣R, τuq nên g ✆ f không ωs-liên tục 42 Định lí 3.3.6 ✁ ➵Cho họ ✠ hàm tfα : ♣X, τ q Ñ ♣Yα , σα q : α € ∆✉ Nếu hàm f : ♣X, τ q Ñ Yα , σprod xác định f ♣xq ✏ ♣fα ♣xqqα€∆ ωs -liên tục với α €∆ α € ∆, fα ωs -liên tục Chứng minh Giả ✠ sử f ωs -liên tục cho β € ∆ Khi fβ ✏ Πβ ✆ f ✁➵ Πβ : Yα , σprod Ñ ♣Yβ , σβ q phép chiếu Yβ Vì Πβ liên tục nên theo α €∆ Định lí 3.3.5, fβ ωs -liên tục Ví dụ sau cho thấy điều ngược lại Định lí 3.3.6 nói chung khơng Ví dụ 3.3.3 Định nghĩa f, g : ♣R, τu q Ñ ♣R, τu q h : ♣R, τu q Ñ ♣R ✂ R, τprod q xác định ✩ ✫ ✁2 x ➔ g ♣xq ✏ ✪ x ➙ ✩ ✫ x ↕ , f ♣xq ✏ ✪ ✁2 x → ✁ ✠ h♣xq ✏ f ♣xq, g ♣xq Vì f g hiển nhiên nửa liên tục ♣R, τu q không đếm địa phương nên theo Định lí 3.3.2(b) f g ωs -liên tục Mặt khác, ♣0, ✽q✂♣✁✽, 0q € τprod h✁1 ♣♣0, ✽q ✂ ♣✁✽, 0qq ✏ t0✉ ❘ ωs ♣R, τu q nên h không ωs -liên tục Định lí 3.3.7 Cho họ hàm tfα : ♣X, τ q Ñ ♣Yα , σα q : α € ∆✉ Nếu với số α0 € ✁∆, fα0 ωs -liên ✠ tục fα liên tục với α € ∆③tα0 ✉ hàm ➵ f : ♣X, τ q Ñ Yα , τprod xác định f ♣xq ✏ ♣fα ♣xqqα€∆ ωs -liên tục α €∆ Chứng minh ✁Ta áp dụng ✠ mệnh đề (b) Định lí 3.3.3 Cho A tập ➵ mở sở Yα , τprod , khơng tính tổng qt ta giả sử α €∆ A ✏ Πα0 ✁1 ♣Uα0 q ❳ Πα1 ✁1 ♣Uα1 q ❳ ❳ Παn ✁1 ♣Uαn q, Uαi tập mở sở Yαi với i ✏ 0, 1, , n Khi f ✁1 ♣Aq ✏ ✁ ♣Πα0 ✆ f q✁1♣Uα0 q ✠ ♣Πα1 ✆ f q✁1♣Uα1 q ✠ ❳ ❳ ✏ ♣fα ✁1♣Uα qq ❳ ♣fα ✁1♣Uα qq ❳ ❳ ♣fα ✁1♣Uα qq 0 ❳ ✁ n ✁ ✠ ✁ ♣Παn ✆ f q ♣Uαn q n Theo giả thiết fα0 ✁1 ♣Uα0 q € ωs ♣X, τ q fαi ✁1 ♣Uαi q € τ với i ✏ 1, , n Do ♣fα1 ✁1♣Uα1 qq❳ ❳♣fαn ✁1♣Uαn qq € τ theo Định lí 3.2.5, ta có f ✁1♣Aq € ωs♣X, τ q Vậy f ωs -liên tục 43 Hệ 3.3.1 Cho hàm f : ♣X, τ q Ñ ♣Y, σ q g : ♣X, τ q Ñ ♣X ✂ Y, τprod q đồ thị hàm f cho g ♣xq ✏ ♣x, f ♣xqq, với x € X Khi g ωs -liên tục f ωs -liên tục Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử g ωs -liên tục Khi theo Định lí 3.3.6, f ωs -liên tục Điều kiện đủ : Giả sử f ωs -liên tục Chú ý h♣xq ✏ ♣I ♣xq, f ♣xqq I : ♣X, τ q Ñ ♣X, τ q hàm đồng Vì I liên tục nên theo Định lí 3.3.7, g ωs -liên tục 44 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu đặc trưng tập ω -mở ωs -mở không gian tôpô tổng quát Luận văn tìm hiểu, hệ thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến vấn đề nói Cụ thể là: Hệ thống số kiến thức giải tích hàm như: khơng gian véctơ tơpơ, khơng gian tích, khơng gian thương, Trình bày khái niệm tập ω -mở không gian tơpơ tổng qt sử dụng chúng để tìm hiu cỏc c trng Lindelăof, compact, liờn tc cỏc không gian tôpô tổng quát Nghiên cứu số khái niệm tập ωs -mở không gian tơpơ tổng qt sử dụng khái niệm để tìm hiểu lớp tập, mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm 45 Tài liệu tham khảo [1] A AL-Omari, T Noiri, A unified theory of contra-µ, λ-continuous functions in generalized topological spaces, Acta Math, Hungar., 135 (2012), 31-41 [2] A AL-Omari, M S Md Noorani, Regular generalized ω -closed sets, Int J Math Sci., 2007 (2007), 11 pages [3] A AL-Omari, M S Md Noorani, Contra-ω -continuous and almost contra-ω -continuous, Int J Math Sci., 2007 (2007), 13 pages [4] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, Semi ω -open subsets, Abhath Al-Yaemouk, 11 (2002), 829-838 [5] K Al-Zoubi, Semi ω -continuous functions, Abhath Al-Yaemouk, 12(2003), 119-131 [6] K Al-Zoubi, On generalized ω -closed sets, Int J Math Sci., 13 (2005), 2011-2021 [7] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, The Topology of ω -open subsets, AlManarah Journal, (2003), 169-179 [8] S Al Ghour, Certain Covering Properties Related to Paracompactness, Ph.D thesis, University of Jordan, Amman, Jordan, (1999) [9] S Al Ghour, Some generalizations of paracompactness, Missouri J Math Sci, 18 (2006), 64-77 [10] S Al Ghour, A AL-Omari, T Noiri, On homogeneity and homogeneity components in generalized topological spaces, Filomat, 27 (2013), 1097-1105 [11] A Csaszar, Generalized topology, generalized continuity, Acta Math Hungar., 96(2002), 351-357 46 [12] A Csaszar, γ -connected sets, Acta Math Hungar., 101(2003), 273279 [13] A Csaszar, Separation axioms for generalized topologies, Acta Math Hungar., 104(2004), 63-69 [14] A Csaszar, Extremally disconnected generalized topologies, Ann Univ Sci Budapest Eotvos Sect Math., 47 (2004), 91-96 [15] A Csaszar, Generalized open sets generalized topologies, Acta Math Hungar., 106 (2005), 53-66 [16] A Csaszar, Product of generalized topologies, Acta Math Hungar., 123 (2009), 127-132 [17] C Cao, J Yan, W Wang, Some generalized continuities functions on generalized topological spaces, Hacet J Math Stat., 42 (2013), 159-163 [18] C Carpintero, N Rajesh, E Rosas, S Saranyasri, On slightly ω continuous multifunctions, Punjab Univ J Math (Lahore), 46 (2014), 51-57 [19] C Carpintero, E Rosas, M Salas, J Sanabria, L Vasquez, Generalization of ω -closed sets via operators and ideals, Sarajevo J Math., 9(2013), 293–301 [20] SG Crossley, SK Hildebrand, Semi-closure, Texas Journal of Sciences, 22 (1971), 99-112 [21] R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin (1989) [22] H Z Hdeib, ω -closed mappings, Rev Colombiana Mat., 16 (1982), 65-78 [23] H Z Hdeib, ω -continuous functions, Dirasat J., 16 (1989), 136-153 [24] D Jayanthi, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 263-271 [25] Y K Kim, W K Min, On operations induced by hereditary classes on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 130-138 47 [26] Y K Kim, W K Min, R♣g, g ✶ q-continuity on generalized topological spaces, Commun Korean Math Soc., 27 (2012), 809-813 [27] E Korczak-Kubiak, A Loranty, R J Pawlak, generalized topological spaces, generalized metric spaces and infinite game, Acta Math Hungar., 140 (2013), 203-231 [28] N Levine, Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer Math Monthly, 70(1963), 36-41 [29] Z Li, W Zhu, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 138 (2013), 34-43 [30] W K Min, Some results on generalized topological spaces and generalized system, Acta Math Hungar., 108 (2005), 171-181 [31] W K Min, ♣δ, δ ✶ q-continuity of generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 129 (2010), 350-356 [32] V Renukadevi, P Vimaladevi, Note on generalized topological spaces with hereditary class, Bol Soc Parana Mat., 32 (2014), 89-97 [33] A G Sammer, M Kafa, Between open sets and semi-opens sets, Univ Sci 23 (2018), 9-20 [34] A G Samer, Z Wafa, Omega open sets in generalized topological spaces, Journal of Nonlinear Sciences and Applications, (2016), 30103017 [35] M Sarsak, ω -almost Lindelă of spaces, Questions Answers Gen Topology, 21 (2003), 27-35 [36] J Thomas, S J John, µ-compactness in generalized topological spaces, J Adv Stud Topol., (2012), 18-22 [37] I Zorlutuna, ω -continuous multifunctions, Filomat, 27 (2003), 165172 ... nghĩa 1.1.11 Tôpô τY gọi tôpô cảm sinh lên tập Y tôpô τ X Không gian tôpô ♣Y, τY q gọi không gian không gian ♣X, τ q Giả sử X không gian tôpô, Y không gian X A tập Y Để ý rằng, A tập mở (hay đóng)... kiến thức không gian tôpô tổng quát ❼ Ở chương trình bày khái niệm tập ω -mở không gian tôpô tổng quát sử dụng chúng để tỡm hiu cỏc c trng Lindelăof, compact, liờn tc không gian tôpô tổng quát ❼... 1.4.1 1) Các không gian metric không gian Hausdorff 2) Mọi T2 -không gian T1 -không gian Định nghĩa 1.4.3 Không gian tôpô X gọi T3 -khơng gian khơng gian quy X T1 - không gian với x € X tập đóng