Các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TẠ LÊ LAN HƯƠNG CÁC TẬP ^-MỞ VÀ ^s-MỞ TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ TổNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 TẠ LÊ LAN HƯƠNG CÁC TẬP ^-MỞ VÀ _-MỞ TRONG CÁC KHÔNG GIAN TƠPƠ TổNG QT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYEN VĂN ĐẠI Mục lục Tài liệu tham khảo 45 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R N : Tập số thực : Tập số tự nhiên Q Q K : Tập số hữu tỉ Tu : Họ tất tập w-mỗ X c : Tập số vô tỉ : Trường số thực R số phức C MM Cond(B) í u U SO(X, T) : Hợp tất phần tử í : Tập tất điểm tụ B : Họ tất tập w-í-mỗ (X, í) : Bao đóng U : Họ tất tập nửa mở không gian (X, T) S^O(X, T) : Họ tất tập nửa w-mở không gian tôpô (X, T) A hay intA : Phần tập A Ta : Tôpô X (rcoc)x : Tôpô đối đếm X : Tích (X, íi) (Y, í2) í -prod a : w-bao đóng A (X, T) intw( A) : í^-phần A (X, T) : í^-phần ngồi A Extư( A) (X, T) : Họ tập w -mở (X, T) k>s(X, T) : -bao đóng A (X, T) : -phần A (X, T) s A uS intus ( A) MỞ ĐẦU Các không gian tôpô cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa khái niệm hội tụ, tính liên thơng tính liên tục Chúng xuất tất ngành toán học đại khái niệm thống có tính trọng tâm Cho (X, r) không gian tôpô A.V Engelking, [21], định nghĩa điểm xe X gọi điểm tụ A với U e T cho xe U, tập U A không đếm Năm 1982, Hdeib [22] định nghĩa tập í^-đóng w-mỗ sau: A gọi tập í^-đóng chứa tất điểm tụ Phần bù tập í^-đóng gọi tập w-mồ Họ tất tập w-mỗ X tôpô X, ký hiệu T Có nhiều khái niệm kết liên quan đến tập í^đóng w-mở nghiên cứu thời gian gần Năm 2002, Csaszar [11] định nghĩa không gian tôpô tổng quát sau: cặp (X, không gian tôpô tổng quát X tập khác rỗng tập tập X cho e hợp tập thuộc phần tử gọi tập ^-mỗ, phần bù tập ^-mỗ gọi tập ^-đóng, hợp tất phần tử ký hiệu MM không gian tôpô (X, gọi mạnh MM = X Gần đây, năm 2016, Samer Wafa [34] đưa khái niệm tập w-mỗ không gian tôpô tổng quát sau: Cho (X, không gian tôpô tổng quát B (,v Một điểm xe X gọi điểm tụ B với A e /I cho xe A, tập A n B không đếm Tập tất điểm tụ B ký hiệu Cond(B) Tập B í^-^-đóng Cond(B) c B Tập B w-^-mở X\B tập í^-^-đóng Họ tất tập w-^-mở (X, ự) ký hiệu /C' Họ sử dụng khái niệm để đưa lớp ánh xạ không gian tôpô tổng quát, đồng thời trình bày nhiều đặc trưng, tính chất ví dụ liên quan đến khái niệm Một khái niệm khác có liên quan chặt chẽ với tập mở tập nửa mở Khái niệm Levine [28] đưa lần vào năm 1963 sau: Tập hợp A nửa mở tồn tập mở U cho U c A c U, nói cách tương w đương A C int(A) Ta ký hiệu SO(X, T) họ tất tập nửa mở không gian tôpô (X, T) Bằng cách sử dụng tập nửa mở, ơng tổng qt tính liên tục tính nửa liên tục sau: Hàm f : (X, T1) —> (Y, T 2) hai không gian tôpô gọi nửa liên tục với Ve T , f~ \V) e SO(X, Năm 2002, Al-Zoubi AlNashef [4], sử dụng tập w-mỗ để định nghĩa tập nửa w-mỗ sau: Tập A nửa w-mỗ tồn tập w-mỗ U cho U c A c U Họ tất tập nửa w-mỗ không gian tôpô (X, T) ký hiệu SwO(X, r) Al-Zoubi, [5], sử dụng khái niệm tập nửa w-mở để giới thiệu hàm nửa w-liên tục sau: Hàm f : (X, T0 — > (Y, T2) hai không gian tơpơ gọi nửa í^-liên tục với Ve T , f~ V) e SwO(X, TJ Mới đây, khái niệm yếu “tập mở” mạnh “tập nửa mở” Samer Kafa [33] đề xuất nghiên cứu sau: Tập A w -mở tồn tập mở U cho U c A C U Các tác giả xem xét lớp tập sử dụng để nghiên cứu mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm 2 s Mục đích luận văn nghiên cứu đặc trưng tập w-mỗ w mở không gian tôpô tổng quát s Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu đặc trưng tập w-mỗ khơng gian tơpơ tổng qt, từ nghiên cứu đặc trưng khái niệm Lindelof, compact, compact đếm được, liên tục, không gian tôpô tổng quát Nghiên cứu vấn đề tương tự tập w -mở s Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành chương • Trong chương chúng tơi tóm tắt sơ lược số kiến thức khơng gian tơpơ tổng qt • chương chúng tơi trình bày khái niệm tập w-mở không gian tôpô tổng quát sử dụng chúng để tìm hiểu đặc trưng Lindelof, compact, liên tục khơng gian tơpơ tổng qt • Chương dành cho việc trình bày khái niệm tập w -mở không gian tôpô tổng quát sử dụng khái niệm để tìm hiểu lớp tập, mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm s Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy TS Nguyễn Văn Đại, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại cương không gian tôpô 1.1.1Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng Một họ tôpô X T thỏa mãn tiên đề sau đây: 1) e T, T tập X gọi T; 2) Nếu (G ) họ phần tử T a aeI Gae T; a&I 3) Nếu G , G2e T G n G2e r 1 n Bằng quy nạp, từ 3) ta thấy G , G , , Gne T Q Gịe r i= Giả sử X cho tơpơ T Khi cặp (X, T) gọi không gian tôpô xác định tập X Các phần tử T gọi tập mở phần tử xe X gọi điểm không gian tôpô (X, r) Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường ký hiệu vắn tắt không gian tôpô (X, T) X Tôpô gọi tơpơ thơ 1.1.2Ví dụ 1) Cho X tập hợp khác rỗng tùy ý Lấy T = {X,0} Khi tiên đề tơpơ thỏa mãn cách hiển nhiên Tôpô gọi tôpô thô 3) Cho X tập tùy ý T = P (X tập hợp tất tập X Lúc T tơpơ X Tôpô gọi tôpô rời rạc 1) Giả sử (X, d) không gian mêtric Gọi T họ tất tập mở X Lúc (X, T) khơng gian tơpơ Đặc biệt R, tôpô xác định mêtric d(x,y) = |x — y gọi tôpô thông thường Để ý tập hợp X cho trước, ta cho nhiều tơpơ khác Khi ta nhận khơng gian tơpơ khác (có chung tập X) Nếu T T hai tơpơ vậy, ta có hai khơng gian tôpô (X, T1) (X, T ) 2 Bây T T hai tôpô X thỏa mãn điều kiện Ti cz T , ta gọi T yếu T hay T mạnh T ký hiệu T < T Hiển nhiên tôpô thô tôpô yếu tôpô rời rạc tôpô mạnh tất tôpô xác định tập X 2 2 1 Cũng xảy trường hợp hai tôpô T T không so sánh với nhau, chẳng hạn T không chứa T ngược lại, T không chứa T 1 2 1.1.3 Lân cận Định nghĩa 1.1.1 Cho (X, T) không gian tôpô xo e X Tập A cz X gọi lân cận x tồn tập mở U e T cho x e U c A Hiển nhiên Uer U lân cận điểm Tuy nhiên lân cận x chưa tập o o o mở Nếu A lân cận x x gọi điểm A Nói cách khác, xo điểm A cz X tồn U G T cho x e U (A o o o Định lí 1.1.1 Tập A c X mở (tức A G T) lân cận điểm 1.1.4 Tập đóng Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, T) không gian tôpô Tập F cz X gọi tập đóng F := X\F tập mở (tức X\F G T) c Nhận xét 1.1.1 Ta có (G ) = X\(X\G) = G Như tập G mở tương đương với G tập c c đóng Định lí 1.1.2 Cho X khơng gian tơpơ Khi 1) 0, X tập đóng; 2) Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng; 3) Hợp số hữu hạn tập đóng tập đóng c 1.1.5 Phần bao đóng tập hợp Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian tơpơ A )| Khi ta có [0,ro)W = R Do [-1, 00) G ws(X, T)\TW (0^)GTWC ws(X, r) Định lí 3.2.3 Tập A không gian tôpô (X, T) w -mở A < ĩntÃ" s Chứng minh Điều kiện cần Cho A ws-mở Khi tồn U G T cho Uw Vì U C A nên U = int(U) C int(A) U C int(A)W Vì A C int(A)W Điều kiện đủ Giả sử A C int(A) Lấy U = int(A) Khi U G T với U c A < U Do A ws-mở □ Định lí 3.2.4 Hợp tùy ý tập W -mở không gian tôpô W -mở s s Chứng minh Cho (X, T) không gian tôpô {A a : a G A} c Ws(X, T) Với a G A, tồn U e T cho U < Aa < U,T Vì a a u Ua e T với u Ua C u Aa C u U A < u Ua aeA Do Aae WS(X, T) ae A aeA aeA aeA aeA □ Hệ 3.2.1 Nếu {C : a G A tập tập W -đóng khơng gian tơpơ (X, T) a s Ợ]{C : a G A W -đóng a s Ví dụ sau cho thấy giao hai tập W -mở nói chung khơng W -mồ s s Ví dụ 3.2.3 Xét (R, Tu) Cho A = [0, 1], B = [1, Theo Định lí 3.1.3a), (ÕÃ" = (Y, aw) liên tục nên f (Uw) c f(U)W Do f (A) e u>s(Y, a) □ w Không thể bỏ qua điều kiện “hàm mở” Định lí 3.2.11 Ví dụ 3.2.4 Giả sử f : (R, T ì > (R, Tu), f(x) = với x e R Khi ta có f : (R, (Tdisc)w) -> (R, (TU)W) liên tục Mặt khác, {0} e (Vs(R, Tdisc") f ({0}) = {0} ị Ws(R, Tù) d!sc 3.3 Tính liên tục tập ^s-mở không gian tôpô tổng quát Định nghĩa 3.3.1 Hàm f : (X, T) —> (Y, ơ) đựơc gọi hàm w -liên tục, với V G ơ, f~x(V) G ws(X, ơ) s Định lí 3.3.1 a) Mọi hàm liên tục w -liên tục s b) Mọi hàm w -liên tục nửa liên tục s Chứng minh Suy từ Định lí 3.2.1 Ví dụ sau cho thấy điều ngược lại khẳng định Định lí 3.3.1 nói chung không a xe N f x () b xe R\N ={ fa xe R\Q g(x) I b xe Q Ví dụ 3.3.1 Cho f, g : (R, T) -> ({a, b}, Tdisc), T = {0, R, N, Q , Nu Qc} Vì f“!({a}) = Ne T < w (R, T) f“!({b}) = R\N Gw (R, T)\T nên f x c s s s liên tục không liên tục Hơn nữa, g~!({a}) = R\Q G T C SO(X, T) g~ ({b}) = Q G SO(X, T)\W (X, T) nên f nửa liên tục không w -liên tục s S Định lí 3.3.2 Cho hàm f : (X, T) > (Y, ơ) a) Nếu (X, tục T) đếm địa phương f liên tục f ixs-liên b) Nếu (X, T) khơng đếm địa phương f w -liên tục f nửa liên tục s Chứng minh a) b) c) f{U)^ V d) Định lí 3.3.3 Cho hàm f : (X, r) —> (Y, Khi điều kiện sau tương đương: a) Hàm f w -liên tục; s b) Nghịch ảnh phần tử sở B thuộco?s(X,r) ; c) Nghịch ảnh tập đóng (Y, Wg-đóng (X, r); d) Với A c X ta có f(AUs) (b) Hiển nhiên (b) => (c) Giả sử B sở cho f“‘(B) e o?s(X, r), với B e B Lấy C tập đóng khác rỗng (Y, ờ) Khi Y\C e r\{0} Chọn B*cB cho Y\C = U(B : Be B*} Khi f) X\f- ‘(Cì = f- '( Y\C) g) h) = f-*(u(B : Be B’}) = u{f 1(B : B* B*} i) Vì theo giả thiết f~‘(B) e ws(X, r} với B e B* nên theo Định lí 3.2.4, ta có X\f~‘(C) e ws( X, r) f“‘(C) ws-đóng (X, r) (c) => (d) Lấy A C X Khi f(A) đóng (Y, theo (c), f“\f(A)) w,đóng (X, r) Vì As f-‘(f(A)) s f-‘(.((A)) f-'ifiA w,-đóng (X, r) nên T' £ f-‘(TĂ}) f(As)s f(f-‘(CA)) s fõà (ỳ) Lấy BcK Khi f- '(B)s X theo (d), ff- ‘(B)"') s ff~ 1(B'lì — B Vì f-1(B"' £ f-‘(B) j) k) (e) => (f) Lấy B < Y Khi theo (e), f-‘(Y\BUs < f“‘(Y\B) Hơn theo Nhận xét 3.2.1(h), X\X\f“x(B) a = intưa(f x(B)) Do l) m) fx(int(B) = f \ Y\Ỹ\B) n) = X\f- (Y\B) o) ọ p) = X\ÃFWs q) = /">x r x( B)) X X\f- \ Y\B “ s r) Bổ đề 3.3.1 Cho (X, T) không gian tôpô A C X Khi A = Auintư(A) s) Chứng minh Vì A^ us-đóng nên theo Định lí 3.2.10 Ws s t) intu((A )) = intu(A ’)c X s u) w Vì intư( A < intư( (AWs)) C A^ , Au intư( A < A^ Do As = Au intu( A nên Au intu( A u -đóng Vì intu( A) A, nên int (A) C A Vì s s s int w v) w intư Au int Au intu w) ỉntư( A) x) < Au intư( A) y) theo Định lí 3.2.10 Au intư( A u -(|óng s z) Cơ □ Định lí 3.3.4 Cho hàm f : (X, T) —> (Y, ơ) Khi mệnh đề sau tương đương: a) f ius-liên tục; b) Với A X, ta có ỉ(intu(A)) c f (A); c) Với B -liên tục nói chung khơng phải w -liên tục Ví dụ sau làm rõ điều s ap) aq) Ví dụ 3.3.2 Cho f, g : (R, Tu) ,X ()= f x ar) s x x1 v bx) (R, Tu), x < x^ĩ Khi x V (g°f)(x) x = as) at) Vì f g hiển nhiên nửa liên tục (R, Tu) khơng đếm địa phương nên theo Định lí 3.3.2 (b) f g w -liên tục Mặt khác, (2, oo) e T (g o f) _1 (2, oo) = {1} ị o?s(R, Tu) nên go f khơng ws-liên tục s u au) Định lí 3.3.6 Cho họ hàm {f : (X, T) —> (Y , aa) : a e A} Nếu hàm xác định f(x) = (fa(X)aeà Ws-liên tục với a ị ị Ya- ơprod^ ã à av) f :(X, T) aw) a a e A, f ix -liên tục a s ax) Chứng minh Giả sử f w -liên tục cho fie A Khi fp = n^ o f II ; : ( n Y , a ^ (Y/3, ơp) phép chiếu YfỊ Vì II ; liên tục nên theo s a prod y ay) h lí 3.3.5, fp o>s-liên tục Địn □ az)Ví dụ sau cho thấy điều ngược lại Định lí 3.3.6 nói chung khơng ba) Ví dụ 3.3.3 Định nghĩa f, g : (R, h : (R, T ) (RxR, T d) u bb) (R, T ) u pro xác định {2 X < z= —2 X < s(X, T) fa~ V U,i) e T với = 1, , n Do (fai “ V Uai)) n n(fan~ V Uan)) e T theo Định lí 3.2.5, ta có f- \ A G W8(X, r) Vậy f w liên tục □ s br) Hệ 3.3.1 Cho hàm f : (X, T) -► (Y, ơ) g : (X, T) -► (X X Y, Tprod) đồ thị hàm f cho g(x) = (x, f(x)), với xe X Khi g Wg-liên tục f Wg-liên tục bs) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử g w -liên tục Khi theo Định lí 3.3.6, f o>s-liên tục bt) Đi ều kiện đủ: Giả sử f x -liên tục Chú ý h(x) = (I(x), f(xỴ) I: (X, T) (X, T) hàm đồng Vì I liên tục nên theo Định lí 3.3.7, g ^s liên tục □ s s bu) KÊT LUẬN bv) Nội dung chủ yếu Luận văn nghiên cứu đặc trưng tập w-mỗ w -mở không gian tôpô tổng quát Luận văn tìm hiểu, hệ thống chi tiết hóa số kết sau liên quan đến vấn đề nói Cụ thể là: s Hệ thống số kiến thức giải tích hàm như: khơng gian véctơ tơpơ, khơng gian tích, khơng gian thương, Trình bày khái niệm tập w-mở không gian tôpô tổng quát sử dụng chúng để tìm hiểu đặc trưng Lindelof, compact, liên tục không gian tôpô tổng quát Nghiên cứu số khái niệm tập w -mở không gian tôpô tổng qt sử dụng khái niệm để tìm hiểu lớp tập, mối liên hệ chặt chẽ tính liên tục nửa liên tục lớp hàm s bw) Tài liệu tham khảo [1] A AL-Omari, T Noiri, A unified theory of contra-^, X-continuous functions in generalized topological spaces, Acta Math, Hungar., 135 (2012), 31-41 [2] A AL-Omari, M S Md Noorani, Regular generalized w-closed sets, Int J Math Sci., 2007 (2007), 11 pages [3] A AL-Omari, M S Md Noorani, Contra-w-continuous and almost contraw-continuous, Int J Math Sci., 2007 (2007), 13 pages [4] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, Semi w-open subsets, Abhath Al-Yaemouk, 11 (2002), 829-838 [5] K Al-Zoubi, Semi w-continuous functions, Abhath Al-Yaemouk, 12(2003), 119-131 [6] K Al-Zoubi, On generalized w-closed sets, Int J Math Sci., 13 (2005), 20112021 [7] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, The Topology of w-open subsets, Al- Manarah Journal, (2003), 169-179 [8] S Al Ghour, Certain Covering Properties Related to Paracompactness, Ph.D thesis, University of Jordan, Amman, Jordan, (1999) [9] S Al Ghour, Some generalizations of paracompactness, Missouri J Math Sci, 18 (2006), 64-77 [10] S Al Ghour, A AL-Omari, T Noiri, On homogeneity and homogeneity components in generalized topological spaces, Filomat, 27 (2013), 10971105 [11] A Csaszar, Generalized topology, generalized continuity, Acta Math Hungar., 96(2002), 351-357 a) [12] b) [13] c) [14] d) [15] e) [16] f) [17] g) [18] h) [19] bx) A Csaszar, Y-connected sets, Acta Math Hungar., 101(2003), 273279 by) A Csaszar, Separation axioms for generalized topologies, Acta Math Hungar., 104(2004), 63-69 bz) A Csaszar, Extremally disconnected generalized topologies, Ann Univ Sci Budapest Eotvos Sect Math., 47 (2004), 91-96 ca) A Csaszar, Generalized open sets generalized topologies, Acta Math Hungar., 106 (2005), 53-66 cb) A Csaszar, Product of generalized topologies, Acta Math Hungar., 123 (2009), 127-132 C Cao, J Yan, W Wang, Some generalized continuities functions on generalized topological spaces, Hacet J Math Stat., 42 (2013), 159163 cc) C Carpintero, N Rajesh, E Rosas, S Saranyasri, On slightly M- continuous multifunctions, Punjab Univ J Math (Lahore), 46 (2014), 51-57 C Carpintero, E Rosas, M Salas, J Sanabria, L Vasquez, Generalization of M-closed sets via operators and ideals, Sarajevo J Math., 9(2013), 293-301 cd) SG Crossley, SK Hildebrand, Semi-closure, Texas Journal of Sciences, 22 (1971), 99-112 i) [20] j) [21] k) [22] l) [23] m) [24] n) [25] ce) (1989) R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin cf)H Z Hdeib , M-closed mappings, Rev Colombiana Mat., 16 (1982), 65-78 cg) 153 H Z Hdeib, M-continuous functions, Dirasat J., 16 (1989), 136- D Jayanthi, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 263-271 ch) Y K Kim, W K Min, On operations induced by hereditary classes on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 130-138 o) [ ] p) [ ] ci) Y K Kim, W K Min, Rg, g')-continuity on generalized topological spaces, Commun Korean Math Soc., 27 (2012), 809-813 E Korczak-Kubiak, A Loranty, R J Pawlak, generalized topological spaces, generalized metric spaces and infinite game, Acta Math Hungar., 140 (2013), 203-231 q) [ ] cj)N Levine, Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer Math Monthly, 70(1963), 36-41 r) [ ] cl)W K Min, Some results on generalized topological spaces and generalized system, Acta Math Hungar., 108 (2005), 171-181 s) [ ] cn) V Renukadevi, P Vimaladevi, Note on generalized topological spaces with hereditary class, Bol Soc Parana Mat., 32 (2014), 89-97 t) [ ] cp) A G Samer, Z Wafa, Omega open sets in generalized topological spaces, Journal of Nonlinear Sciences and Applications, (2016), 30103017 u) [ ] v) [ 3 ] w) [ ] ck) Z Li, W Zhu, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 138 (2013), 34-43 cm) W K Min, (ố,ố')-continuity of generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 129 (2010), 350-356 co) A G Sammer, M Kafa, Between open sets and semi-opens sets, Univ Sci 23 (2018), 9-20 cq) M Sarsak, ^-almost Lindelof spaces, Questions Answers Gen Topology, 21 (2003), 27-35 cr)J Thomas, S J John, ^-compactness in generalized topological spaces, J Adv Stud Topol., (2012), 18-22 cs) I Zorlutuna, ^-continuous multifunctions, Filomat, 27 (2003), 165172 ... nghĩa không gian tôpô tổng quát sau: Cặp (X, không gian tôpô tổng quát X / tập tập X cho e đóng với phép tốn hợp tùy ý Đối với không gian tôpô tổng quát (X, ^), phần tử gọi tập ^ -mở, phần bù tập. .. không gian không gian tôpô tổng quát (X, ụ Hàm f : (X, ụi) (Y, ụ2) gọi hàm không gian tôpô tổng quát (X, (Y, ụ2) không gian tôpô tổng quát Ta quy ước, hàm hàm không gian tôpô tổng quát Định nghĩa... niệm tập ^ -mở khơng gian tôpô tổng quát Sử dụng khái niệm tập w- mỗ để tìm hiểu đặc trưng Lindelof, compact, liên tục không gian tôpô tổng quát w 2.1 Một số khái niêm không gian tôpô tổng quát